חקירת פונקציית e- 572 2 פרקים36 שיעורים18 שבועות
שיעור 22- חקירה פונקציית e
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בגרות קיץ 2023 מועד א (שאלון 472) – חקירת פונקציית e: נקודות חיתוך עם הצירים, פתיחת סוגריים בהצבה t, נקודות קיצון וסקיצה.
🔵 סעיף א: נקודות החיתוך של הפונקציה f(x) = ex(ex − 6)² עם הצירים
נתונה הפונקציה f(x) = ex · (ex − 6)², המוגדרת לכל x. א. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הפונקציה f(x) עם הצירים.
חיתוך עם ציר y – מציבים x = 0:
f(0) = e0 · (e0 − 6)²
f(0) = 1 · (1 − 6)²
f(0) = 1 · 25 = 25
נקודת החיתוך: (0, 25)
חיתוך עם ציר x – מציבים y = 0:
0 = ex · (ex − 6)²
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0:
ex = 0 – אין פתרון, כי ex > 0 לכל x
(ex − 6)² = 0 – מוציאים שורש:
ex − 6 = 0
ex = 6
הנוסחה: ex = a → x = ln a
x = ln6
תשובה: (0, 25) , (ln6, 0)
🟢 סעיף ב: פתיחת הסוגריים בעזרת הצבה ex = t – הוכחה ש־f(x) = e3x − 12e2x + 36ex
ב. הראו כי מתקיים: f(x) = e3x − 12e2x + 36ex
הצבה (לא חובה, אבל עוזר): ex = t
f(x) = t · (t − 6)²
פותחים את הסוגריים: (t − 6)² = t² − 12t + 36
f(x) = t · (t² − 12t + 36)
f(x) = t³ − 12t² + 36t
מחזירים t = ex:
f(x) = (ex)³ − 12(ex)² + 36ex
לפי חוקי חזקות (ex)³ = e3x , (ex)² = e2x
תשובה: f(x) = e3x − 12e2x + 36ex
🟣 סעיף ג: נקודות הקיצון של f(x) וסוגן – נגזרת של ef(x) והצבה t
ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.
גוזרים את הפונקציה מסעיף ב (יותר פשוט).
נגזרת של e: (ef(x))' = f'(x) · ef(x)
f'(x) = 3e3x − 12 · 2e2x
+ 36ex = 0
הצבה: ex = t
3t³ − 24t² + 36t = 0 / :3
t³ − 8t² + 12t = 0
t(t² − 8t + 12) = 0
t = 0 או t = 2 או t = 6
חוזרים ל־x:
ex = 0 – אין פתרון
ex = 2 → x = ln2
ex = 6 → x = ln6
מציבים בפונקציה המקורית:
f(ln2) = 32
f(ln6) = 0
סוג הנקודות – מציבים בנגזרת:
f'(0) > 0
f'(ln3) < 0
f'(ln7) > 0
| x | x=0 | ln2 | x=ln3 | ln6 | x=ln7 |
| f'(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| f(x) | ↗ | max | ↘ | min | ↗ |
עלייה ואחריה ירידה – מקסימום; ירידה ואחריה עלייה – מינימום.
תשובה: max (ln2, 32) , min (ln6, 0)
🔷 סעיף ד: סקיצה של גרף הפונקציה f(x) = ex(ex − 6)²
ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
מסמנים את נקודות החיתוך:
(0, 25)
(ln6, 0)
ואת נקודות הקיצון:
max (ln2, 32)
min (ln6, 0)
אין עוד נקודות חיתוך – לכן משמאל הגרף נצמד לציר x ולא חותך אותו.
תשובה: הסקיצה למעלה.
💡 לזכור
ex > 0 תמיד, ולכן ex = 0 אין פתרון. ex = a → x = ln a. הצבה ex = t הופכת את הביטוי לפולינום ב־t.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
