שיעור 36 – פתרון בגרות 807 קיץ 2016 – חקירה עם 3 בחזקת x (ללא סרטון)

פתרון בגרויות בפונקציה מעריכית

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות 5 יחידות · שאלון 035807 · קיץ 2016 מועד ב׳ · שאלה 4
פתרון בגרות – חקירת 9^x − 2 · 3^x − 3

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 9^x − 2 · 3^x − 3 המוגדרת לכל x.

א. (1) מצא את השיעורים של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

(2) מצא את האסימפטוטה האופקית לגרף הפונקציה.

(3) מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה), וקבע את סוגן.

(4) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

ב. מצא את השטח מימין לציר ה־y , המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי ציר ה־y ועל ידי האסימפטוטה האופקית. תוכל להשאיר ln בתשובתך.

ג. נתונה הפונקציה g(x) = f(x) + 4 . השטח שמצאת בסעיף ב שווה לשטח מימין לציר ה־y , המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) , על ידי ציר ה־y ועל ידי הישר y = k . מהו הערך של k ? נמק.

✏️ פתרון

סעיף א(1) – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y – נציב x = 0 :

f(0) = 9⁰ − 2 · 3⁰ − 3 = 1 − 2 − 3 = −4

ציר ה־x – נציב y = 0 :

9^x − 2 · 3^x − 3 = 0

9^x = (3²)^x = (3^x)²📐 חזקה של חזקה(a^m)ⁿ = a^{m · n}

נסמן t = 3^x (ו־t > 0):

t² − 2t − 3 = 0

פירוק לגורמים: מה כפול מה שווה −3 , ומה ועוד מה שווה −2 :

(t − 3)(t + 1) = 0

t = 3 , t = −1

t = −1 נפסל, כי 3^x > 0 תמיד.

3^x = 3¹ ⇒ x = 1📐 משוואה עם בסיסים שוויםa^f(x) = a^g(x) ⇒ f(x) = g(x)

✅ פתרון סופי: (0 , −4) , (1 , 0)

סעיף א(2) – אסימפטוטה אופקית

כאשר x → −∞ :

9^x → 0 , 3^x → 0

f(x) → 0 − 0 − 3 = −3

כאשר x → ∞ הערכים שואפים ל־∞.

✅ פתרון סופי: y = −3

סעיף א(3) – נקודות קיצון

f′(x) = 9^x · ln 9 − 2 · 3^x · ln 3📐 נגזרת של a^x(a^x)′ = a^x · ln a

ln 9 = ln 3² = 2 ln 3📐 לוגריתם של חזקהln aⁿ = n · ln a

f′(x) = 2 ln 3 · 9^x − 2 ln 3 · 3^x

נכתוב 9^x = 3^x · 3^x ונוציא גורם משותף 2 ln 3 · 3^x :

f′(x) = 2 ln 3 · 3^x · (3^x − 1)

נשווה ל־0. 3^x > 0 ו־ln 3 > 0 , ולכן:

3^x − 1 = 0📐 נקודת קיצוןבנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0

3^x = 3⁰ ⇒ x = 0📐 משוואה עם בסיסים שוויםa^f(x) = a^g(x) ⇒ f(x) = g(x)

מסעיף (1): f(0) = −4.

סוג הנקודה – נציב x = −1 ו־x = 1 בנגזרת:

f′(−1) = 2 ln 3 · 3⁻¹ · (3⁻¹ − 1)

f′(−1) = 2 ln 3 · 13 · (−23) < 0📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘

f′(1) = 2 ln 3 · 3¹ · (3¹ − 1)

f′(1) = 2 ln 3 · 3 · 2 = 12 ln 3 > 0

x	−1	0	1
f′(x)	−	0	+
f(x)	↘	min	↗

✅ פתרון סופי: min (0 , −4)

סעיף א(4) – סקיצה

הגרף בכחול והאסימפטוטה y = −3 באפור מקווקו. בצד שמאל הגרף מתחת לאסימפטוטה ומתקרב אליה.

✅ פתרון סופי: ראו סרטוט

סעיף ב – שטח

השטח נמצא בין הגרף (למטה) לאסימפטוטה y = −3 (למעלה), מציר ה־y ועד הנקודה שבה הגרף פוגש את האסימפטוטה:

9^x − 2 · 3^x − 3 = −3

3^x · (3^x − 2) = 0

3^x = 2 ⇒ x = ln 2ln 3 ≈ 0.63📐 כשהנעלם בחזקהa^x = b ⇒ x = ln bln a

S = ∫₀^{ln 2ln 3} [−3 − f(x)] dx📐 שטח בעזרת אינטגרלS = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dxf(x) הגרף העליון

S = ∫₀^{ln 2ln 3} (2 · 3^x − 9^x) dx

F(x) = 2 · 3^xln 3 − 9^xln 9📐 אינטגרל של a^x∫ a^x dx = a^xln a + C

בגבול העליון 3^x = 2 ולכן 9^x = 4 . נציב, עם ln 9 = 2 ln 3 :

F(ln 2ln 3) = 2 · 2ln 3 − 42 ln 3 = 2ln 3

נציב x = 0 :

F(0) = 2 · 3⁰ln 3 − 9⁰2 ln 3 = 1.5ln 3

S = 2ln 3 − 1.5ln 3 = 12 ln 3📐 ניוטון־לייבניץ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

S ≈ 0.46

השטח הוא החלק הקטן שבין הגרף הכחול לקו המקווקו, מימין לציר ה־y.

✅ פתרון סופי: S = 12 ln 3 ≈ 0.46

סעיף ג – הזזה

g(x) = f(x) + 4 היא הזזה של הגרף של f ב־4 יחידות למעלה. כל הצורה זזה למעלה, וגם האסימפטוטה:

y = −3 + 4 = 1

השטח שבין g , ציר ה־y והישר y = 1 הוא בדיוק השטח מסעיף ב שהוזז למעלה, ולכן הוא שווה לו. כל ערך אחר של k משנה את גודל השטח.

✅ פתרון סופי: k = 1

📌 סיכום

א(1)	(0 , −4) , (1 , 0)
א(2)	y = −3
א(3)	min (0 , −4)
ב	S = 12 ln 3 ≈ 0.46
ג	k = 1

חקירת פונקציית e- 572 2 פרקים36 שיעורים18 שבועות

כניסה לשיעורים