שיעור 35 – חקירה מלאה של פונקציה עם a בחזקת x (ללא סרטון)

פתרון בגרויות בפונקציה מעריכית

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

חקירה מלאה של פונקציה עם a^x

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 4^x − 2^{x + 2} .

א. מה תחום ההגדרה? מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ב. מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים.

ג. מצאו את נקודות הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה־x וציר ה־y.

✏️ פתרון

סעיף א – תחום הגדרה וחיתוך עם הצירים

אין מכנה ואין שורש, ולכן הפונקציה מוגדרת לכל x.

ציר ה־y – נציב x = 0 :

f(0) = 4⁰ − 2^{0 + 2} = 1 − 4 = −3

ציר ה־x – נציב y = 0 :

4^x = 2^{x + 2}

נכתוב את 4 כחזקה של 2:

(2²)^x = 2^2x📐 חזקה של חזקה(a^m)ⁿ = a^{m · n}

2^2x = 2^{x + 2} ⇒ 2x = x + 2📐 משוואה עם בסיסים שוויםa^f(x) = a^g(x) ⇒ f(x) = g(x)

x = 2

✅ פתרון סופי: כל x ; (0 , −3) , (2 , 0)

סעיף ב – אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית: אין, כי הפונקציה מוגדרת לכל x.

אופקית – כאשר x → −∞ :

4^x → 0 , 2^{x + 2} → 0 ⇒ f(x) → 0

כאשר x → ∞ החזקה 4^x גדלה מהר יותר, והערכים שואפים ל־∞.

✅ פתרון סופי: y = 0 (כאשר x → −∞)

סעיף ג – קיצון, עלייה וירידה

f′(x) = 4^x · ln 4 − 2^{x + 2} · ln 2📐 נגזרת של a^g(x)[a^g(x)]′ = a^g(x) · ln a · g′(x)

נשווה ל־0:

4^x · ln 4 − 2^{x + 2} · ln 2 = 0

נכתוב הכול עם 2^x :

ln 4 = ln 2² = 2 ln 2📐 לוגריתם של חזקהln aⁿ = n · ln a

2^{x + 2} = 2^x · 2² = 4 · 2^x📐 כפל חזקות עם אותו בסיסa^m · aⁿ = a^{m + n}

2 ln 2 · (2^x)² − 4 ln 2 · 2^x = 0

נוציא גורם משותף 2 ln 2 · 2^x :

2 ln 2 · 2^x · (2^x − 2) = 0

2^x − 2 = 0📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

כי 2^x > 0 וגם ln 2 > 0 – רק הסוגריים יכולים להתאפס.

2^x = 2 ⇒ x = 1

נציב x = 1 בפונקציה:

f(1) = 4¹ − 2^{1 + 2} = 4 − 8 = −4

סוג הנקודה – נציב בנגזרת ערך מכל צד:

x	0	1	2
f′(x)	−	0	+
f(x)	↘	min	↗

נציב x = 0 ו־x = 2 בנגזרת:

f′(0) = 4⁰ · ln 4 − 2^{0 + 2} · ln 2

f′(0) = 2 ln 2 − 4 ln 2 < 0📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘

f′(2) = 4² · ln 4 − 2^{2 + 2} · ln 2

f′(2) = 32 ln 2 − 16 ln 2 > 0

✅ פתרון סופי: min (1 , −4) ; יורדת x < 1 , עולה x > 1

סעיף ד – סקיצה

הגרף בכחול. בצד שמאל הוא מתקרב לציר ה־x מלמטה, יורד עד המינימום (1 , −4) , ואחר כך עולה וחותך את ציר ה־x ב־(2 , 0).

✅ פתרון סופי: ראו סרטוט

סעיף ה – שטח

בין x = 0 ל־x = 2 הגרף מתחת לציר ה־x , ולכן הגרף העליון הוא הציר y = 0 :

S = ∫₀² [0 − f(x)] dx📐 שטח בעזרת אינטגרלS = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dxf(x) הגרף העליון

S = ∫₀² (2^{x + 2} − 4^x) dx

נמצא פונקציה קדומה:

∫ 2^{x + 2} dx = 2^{x + 2}ln 2📐 אינטגרל של a^{mx + n}∫ a^{mx + n} dx = a^{mx + n}m · ln a + C

∫ 4^x dx = 4^xln 4📐 אינטגרל של a^x∫ a^x dx = a^xln a + C

F(x) = 2^{x + 2}ln 2 − 4^xln 4

נציב x = 2 ונשתמש ב־ln 4 = 2 ln 2 :

F(2) = 2^{2 + 2}ln 2 − 4²ln 4

F(2) = 16ln 2 − 8ln 2 = 8ln 2

נציב x = 0 :

F(0) = 2^{0 + 2}ln 2 − 4⁰ln 4

F(0) = 4ln 2 − 0.5ln 2 = 3.5ln 2

S = F(2) − F(0) = 8ln 2 − 3.5ln 2📐 ניוטון־לייבניץ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

S = 4.5ln 2 = 92 ln 2 ≈ 6.49

✅ פתרון סופי: S = 92 ln 2 ≈ 6.49

📌 סיכום

א	(0 , −3) , (2 , 0)
ב	y = 0
ג	min (1 , −4)
תחומים	עולה x > 1 , יורדת x < 1
ה	S ≈ 6.49

חקירת פונקציית e- 572 2 פרקים36 שיעורים18 שבועות

כניסה לשיעורים