שיעור 52- חקירת פונקציית מנה

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון חקרנו פונקציית מנה מההתחלה ועד הסוף, לפי השלבים הקבועים, וגם ענינו על שאלה בעזרת הגרף. כאן כל שלב כתוב בכרטיס משלו 👇

📋 שלבי החקירה

1. תחום הגדרה ואסימפטוטה אנכית 2. חיתוך עם הצירים 3. נקודות קיצון בטבלה 4. עלייה וירידה 5. שרטוט

🔷 חקירת הפונקציה y = 11 − x²

שלב 1: תחום הגדרה ואסימפטוטה אנכית

המכנה לא יכול להיות 0:

1 − x² ≠ 0

1 ≠ x²

תחום הגדרה: x ≠ ±1

הערכים שאסורים בתחום הם האסימפטוטות האנכיות

אסימפטוטות אנכיות: x = ±1

שלב 2: חיתוך עם הצירים

עם ציר x מציבים y = 0 :

0 = 11 − x²

במונה יש 1, והוא אף פעם לא 0 ← אין חיתוך עם ציר x

עם ציר y מציבים x = 0 :

y = 11 − 0² = 1

נקודת חיתוך: (0 , 1)

שלב 3: נקודות קיצון, גוזרים בנגזרת מנה y' = f'·g − g'·fg²

נגזרת המונה 1 היא 0, ונגזרת המכנה 1 − x² היא −2x :

y' = 0·(1 − x²) − (−2x)·1(1 − x²)²

y' = 2x(1 − x²)²

משווים ל־0. שבר שווה 0 כשהמונה שווה 0:

2x = 0 / :2

x = 0

מציבים בפונקציה: y = 11 − 0² = 1

נקודה חשודה לקיצון: (0 , 1)

שלב 4: טבלה, עלייה וירידה

על ציר המספרים שמים את 0 וגם את האסימפטוטות −1 , 1

המכנה בריבוע תמיד חיובי, אז הסימן נקבע רק לפי 2x :

x = −2 : 2·(−2) < 0 ← יורדת

x = −12 : 2·(−12) < 0 ← יורדת

x = 12 : 2·12 > 0 ← עולה

x = 2 : 2·2 = 4 > 0 ← עולה

יורדת ואז עולה ← (0 , 1) היא נקודת מינימום

עולה: 0 < x < 1 , x > 1

יורדת: x < −1 , −1 < x < 0

שלב 5: שרטוט

משרטטים את האסימפטוטות x = ±1 בקו מקווקו

בין −1 ל־1 : "קערה" שהנקודה הכי נמוכה שלה היא המינימום (0 , 1)

משמאל ל־−1 ומימין ל־1 הגרף מתחת לציר x (אין חיתוך עם ציר x), ויורד לאורך האסימפטוטות

🔵 שאלה בעזרת הגרף

תרגיל: עבור אילו ערכי k הישר y = k חותך את הפונקציה בנקודה אחת?

ישר מהצורה y = k הוא ישר אופקי

מזיזים אותו על הגרף למעלה ולמטה: ישר שעובר בדיוק דרך נקודת המינימום נוגע בגרף בנקודה אחת בלבד

מעל המינימום הוא חותך את ה"קערה" בשתי נקודות, ומתחת לציר x הוא חותך את שני הענפים

תשובה: k = 1

💡 לזכור

בחקירת פונקציית מנה שמים בטבלה גם את נקודות הקיצון וגם את האסימפטוטות האנכיות, כי גם בהן הפונקציה יכולה לשנות כיוון. ואם המכנה של הנגזרת בריבוע, הוא תמיד חיובי, וקובע את הסימן רק המונה.

חקירת פונקציות -פולינום ומנה ,פונקציה זוגית ,אי זוגית, קשר בין פונקציה לנגזרת-571. 13 פרקים96 שיעוריםללא הגבלת זמן

כניסה לשיעורים