חקירת פונקציות -פולינום ומנה ,פונקציה זוגית ,אי זוגית, קשר בין פונקציה לנגזרת-571. 13 פרקים96 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 46- נקודת אי רציפות -(חור) 1
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון חקרנו פונקציה שיש לה גם אסימפטוטה אנכית וגם נקודת אי רציפות (חור). כאן החקירה המלאה, שלב אחרי שלב 👇
🟣 מה זו נקודת אי רציפות (חור)?
מוצאים x שמאפס את המכנה, ומציבים אותו במונה:
המונה לא מתאפס ← אסימפטוטה אנכית
המונה גם כן מתאפס ← נקודת אי רציפות (חור)
כדי למצוא את ה־y של החור: מצמצמים את השבר, ומציבים את ה־x בפונקציה המצומצמת.
🔷 התרגיל מהסרטון
חקור את הפונקציה f(x) = x − 2x² − 2x ושרטט אותה.
שלב 1: תחום הגדרה
x² − 2x ≠ 0
מוציאים x כגורם משותף:
x(x − 2) ≠ 0
x ≠ 0 , x ≠ 2
תשובה: x ≠ 0 , x ≠ 2
שלב 2: אסימפטוטה אנכית או חור? מציבים כל ערך במונה x − 2
ב־x = 0 :
0 − 2 = −2 ≠ 0
המונה לא מתאפס ← אסימפטוטה אנכית
ב־x = 2 :
2 − 2 = 0
גם המונה מתאפס ← נקודת אי רציפות (חור)
תשובה: אסימפטוטה אנכית x = 0 , חור ב־x = 2
שלב 3: ה־y של החור מצמצמים את השבר
f(x) = x − 2x(x − 2)
מצמצמים את (x − 2) :
f(x) = 1x
מציבים x = 2 :
y = 12
תשובה: נקודת אי רציפות (2 , 12)
שלב 4: אסימפטוטה אופקית
בפונקציה המצומצמת f(x) = 1x : מציבים ∞ : 1∞ = 0
תשובה: y = 0
שלב 5: חיתוך עם הצירים
עם ציר ה־y (x = 0): 0 לא בתחום ההגדרה ← אין
עם ציר ה־x (y = 0):
0 = 1x
0 = 1 ← לא ייתכן, אין
תשובה: אין נקודות חיתוך עם הצירים
שלב 6: נגזרת, קיצון, עלייה וירידה
f'(x) = −1x²
משווים ל־0: −1 = 0 ← לא ייתכן, אין נקודות קיצון
המונה −1 שלילי, והמכנה x² חיובי, ולכן תמיד f'(x) < 0
תשובה: הפונקציה יורדת בכל תחום ההגדרה. בשרטוט מסמנים עיגול ריק (חור) בנקודה (2 , 12)
💡 לזכור
אם הערך שמאפס את המכנה מאפס גם את המונה, זה לא אסימפטוטה אלא חור. את ה־y שלו מוצאים אחרי צמצום השבר.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il