שיעור 43- נקודת אי רציפות -(חור) 1

נושא השיעור-

מציאת נקודת אי רציפות מסוג "חור" בפונקציה רציונלית

מהי נקודת אי רציפות מסוג "חור"?

נקודה זו היא סוג מסוים של אי רציפות בפונקציה, כאשר הגרף של הפונקציה נראה "שלם" בכל מקום, אך יש בו "חור" קטן בנקודה מסוימת. זה קורה כאשר המונה והמכנה של הפונקציה הרציונלית מתאפסים באותו ערך של x, אך ניתן לצמצם את הביטוי ו"לבטל" את הגורם שגורם לאפס במכנה.

כיצד למצוא נקודת אי רציפות מסוג "חור"?

1. מציאת ערכי x שמאפסים את המונה והמכנה:

   • שווה את המונה והמכנה לאפס ופתור את המשוואות.

   • אם יש ערך משותף לשני הפתרונות, זהו מועמד להיות נקודת חור.

2. צמצום הביטוי:

   • אם יש גורם משותף למונה ולמכנה, צמצם אותו.

3. בדיקה:

   • לאחר הצמצום, בדוק אם הערך שמצאנו בשלב הראשון עדיין מאפס את המכנה החדש.

   • אם כן, אז הערך הזה הוא נקודת חור.

   • אם לא, אז זהו אסימפטוטה אנכית.

דוגמה:

נניח שיש לנו את הפונקציה הבאה:

f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2)

1. מציאת ערכי x שמאפסים את המונה והמכנה:

   • המונה מתאפס עבור x = 2 ו- x = -2.

   • המכנה מתאפס עבור x = 2.

   • יש לנו ערך משותף: x = 2.

2. צמצום הביטוי:

   • ניתן לפקטור את המונה: (x^2 – 4) = (x – 2)(x + 2).

   • נצמצם את הביטוי: f(x) = (x + 2).

3. בדיקה:

   • לאחר הצמצום, x = 2 לא מאפס יותר את המכנה.

מסקנה:

במקרה זה, x = 2 היא נקודת חור. הגרף של הפונקציה יהיה זהה לגרף של הפונקציה y = x + 2, אך עם חור בנקודה (2, 4).

מתי יש אסימפטוטה אנכית ולא חור?

כאשר המונה והמכנה מתאפסים באותו ערך של x, אך אי אפשר לצמצם את הגורם שגורם לאפס במכנה, אז יש לנו אסימפטוטה אנכית בנקודה זו.