חקירת פונקציות -פולינום ומנה ,פונקציה זוגית ,אי זוגית, קשר בין פונקציה לנגזרת-571. 13 פרקים96 שיעוריםללא הגבלת זמן
תרגול נוסף – חקירת פונקציה
✏️ תרגול נוסף – חקירת פונקציה
כאן 7 תרגילי חקירה מלאים ברמת 5 יחידות, מהקל אל הקשה: פולינומים ופונקציות מנה, כולל זוגיות, נקודות פיתול וקעירות, פרמטרים והזזה. נסו לפתור כל תרגיל לבד, ורק אחר כך בדקו את הפתרון שלב אחרי שלב 👇
📋 שלבי החקירה
1. תחום הגדרה ואסימפטוטות 2. זוגיות (אם מבקשים) 3. חיתוך עם הצירים 4. קיצון בטבלה של f′ 5. עלייה וירידה 6. פיתול וקעירות בטבלה של f″ 7. סרטוט 8. שאלות מהגרף
🔷 תרגיל 1
תרגיל 1: נתונה הפונקציה f(x) = x³ − 3x². ענו על הסעיפים:
א. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם הצירים.
ב. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.
ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה.
ד. מצאו את נקודת הפיתול ואת תחומי הקעירות כלפי מעלה ∪ וכלפי מטה ∩.
ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.
ו. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודת הפיתול.
✍️ פתרון תרגיל 1
סעיף א: תחום הגדרה וחיתוך עם הצירים.
פולינום ← כל x.
עם ציר y: f(0) = 0 ← (0 , 0)
עם ציר x:
x³ − 3x² = 0
x²(x − 3) = 0
x = 0 או x = 3
תשובה: כל x ; (0 , 0) , (3 , 0)
סעיף ב: נקודות קיצון וסוגן.
📐 נגזרת של חזקה:
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
ונגזרת של מספר לבד היא 0
f′(x) = 3x² − 6x = 0
3x(x − 2) = 0
x = 0 או x = 2
f(0) = 0 ← (0 , 0)
f(2) = 8 − 12 = −4 ← (2 , −4)
f′(−1) = 3 + 6 = 9 > 0
f′(1) = 3 − 6 = −3 < 0
f′(3) = 27 − 18 = 9 > 0
| x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| f′(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| f(x) | ↗ | max | ↘ | min | ↗ |
תשובה: (0 , 0) מקסימום , (2 , −4) מינימום
סעיף ג: תחומי עלייה וירידה.
לפי הטבלה:
תשובה: עלייה: x < 0 , x > 2
ירידה: 0 < x < 2
ירידה: 0 < x < 2
סעיף ד: נקודת פיתול ותחומי קעירות.
📐 נקודת פיתול:
f″(x) = 0 ← נקודה חשודה
f″ > 0 ← קעורה כלפי מעלה ∪
f″ < 0 ← קעורה כלפי מטה ∩
פיתול רק כשהקעירות מתחלפת
גוזרים פעם שנייה:
f″(x) = 6x − 6 = 0
6x = 6 ← x = 1
מציבים ב־f″ לפני ואחרי:
f″(0) = −6 < 0 ← ∩
f″(2) = 12 − 6 = 6 > 0 ← ∪
| x | 0 | 1 | 2 |
| f″(x) | − | 0 | + |
| f(x) | ∩ | פיתול | ∪ |
הקעירות מתחלפת ← נקודת פיתול. מציבים בפונקציה המקורית:
f(1) = 1 − 3 = −2
תשובה: פיתול (1 , −2)
∪ : x > 1 ; ∩ : x < 1
∪ : x > 1 ; ∩ : x < 1
סעיף ה: סרטוט.
סעיף ו: משוואת המשיק בנקודת הפיתול.
נקודת ההשקה: (1 , −2)
📐 שיפוע המשיק:
השיפוע של המשיק בנקודה שווה לנגזרת בנקודה: m = f′(x₁)
m = f′(1) = 3 − 6 = −3
📐 משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע:
y − y₁ = m(x − x₁)
y − (−2) = −3(x − 1)
y + 2 = −3x + 3
y = −3x + 1
תשובה: y = −3x + 1
🔷 תרגיל 2
תרגיל 2: נתונה הפונקציה f(x) = 3x⁴ − 4x³. ענו על הסעיפים:
א. מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
ב. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.
ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה.
ד. מצאו את נקודות הפיתול ואת תחומי הקעירות.
ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.
✍️ פתרון תרגיל 2
סעיף א: חיתוך עם הצירים.
עם ציר y: f(0) = 0 ← (0 , 0)
עם ציר x:
3x⁴ − 4x³ = 0
x³(3x − 4) = 0
x = 0 או 3x = 4 ← x = 43
תשובה: (0 , 0) , (43 , 0)
סעיף ב: נקודות קיצון וסוגן.
📐 נגזרת של חזקה:
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
ונגזרת של מספר לבד היא 0
f′(x) = 12x³ − 12x² = 0
12x²(x − 1) = 0
x = 0 או x = 1
f(0) = 0
f(1) = 3 − 4 = −1
f′(−1) = −12 − 12 = −24 < 0
f′(0.5) = 1.5 − 3 = −1.5 < 0
f′(2) = 96 − 48 = 48 > 0
| x | −1 | 0 | 0.5 | 1 | 2 |
| f′(x) | − | 0 | − | 0 | + |
| f(x) | ↘ | ↘ | ↘ | min | ↗ |
ב־x = 0 הנגזרת מתאפסת, אבל הפונקציה יורדת לפני ואחרי ← לא נקודת קיצון.
תשובה: (1 , −1) מינימום (נקודת הקיצון היחידה)
סעיף ג: תחומי עלייה וירידה.
לפי הטבלה:
תשובה: ירידה: x < 1
עלייה: x > 1
עלייה: x > 1
סעיף ד: נקודות פיתול ותחומי קעירות.
📐 נקודת פיתול:
f″(x) = 0 ← נקודה חשודה
f″ > 0 ← קעורה כלפי מעלה ∪
f″ < 0 ← קעורה כלפי מטה ∩
פיתול רק כשהקעירות מתחלפת
f″(x) = 36x² − 24x = 0
12x(3x − 2) = 0
x = 0 או x = 23
f″(−1) = 36 + 24 = 60 > 0 ← ∪
f″(0.5) = 9 − 12 = −3 < 0 ← ∩
f″(1) = 36 − 24 = 12 > 0 ← ∪
| x | −1 | 0 | 0.5 | 23 | 1 |
| f″(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| f(x) | ∪ | פיתול | ∩ | פיתול | ∪ |
מציבים בפונקציה המקורית:
f(0) = 0
f(23) = 3·1681 − 4·827
= 4881 − 9681 = −4881 = −1627
שימו לב: ב־(0 , 0) גם f′ = 0. זו נקודת פיתול עם משיק אופקי, ולכן היא לא נקודת קיצון (כמו שראינו בסעיף ב).
תשובה: פיתול (0 , 0) , (23 , −1627)
∪ : x < 0 , x > 23
∩ : 0 < x < 23
∪ : x < 0 , x > 23
∩ : 0 < x < 23
סעיף ה: סרטוט.
יורדת, "משתטחת" ב־(0 , 0), ממשיכה לרדת עד המינימום (1 , −1) ואז עולה:
🔷 תרגיל 3
תרגיל 3: נתונה הפונקציה f(x) = −x³ + ax² + b , a ו־b הם פרמטרים. הנקודה (1 , 0) היא נקודת הפיתול של הפונקציה.
א. מצאו את a ואת b.
הציבו את הערכים שמצאתם, וענו על הסעיפים הבאים.
הציבו את הערכים שמצאתם, וענו על הסעיפים הבאים.
ב. מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר y.
ג. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.
ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה ואת תחומי הקעירות.
ה. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודת הפיתול.
ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.
ז. לאילו ערכי k למשוואה f(x) = k יש שלושה פתרונות?
✍️ פתרון תרגיל 3
סעיף א: מציאת a ו־b.
📐 נגזרת של חזקה:
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
ונגזרת של מספר לבד היא 0
f′(x) = −3x² + 2ax
f″(x) = −6x + 2a
תנאי 1: בנקודת פיתול f″ = 0:
f″(1) = −6 + 2a = 0
2a = 6 ← a = 3
תנאי 2: הנקודה (1 , 0) על הגרף:
f(1) = −1 + 3·1² + b = 0
2 + b = 0 ← b = −2
בדיקה: f″(x) = −6x + 6 חיובית לפני 1 ושלילית אחרי, אז זו באמת נקודת פיתול.
הפונקציה: f(x) = −x³ + 3x² − 2
תשובה: a = 3 , b = −2
סעיף ב: חיתוך עם ציר y.
f(0) = −0 + 0 − 2 = −2
תשובה: (0 , −2)
סעיף ג: נקודות קיצון וסוגן.
f′(x) = −3x² + 6x = 0
−3x(x − 2) = 0
x = 0 או x = 2
f(0) = −2
f(2) = −8 + 12 − 2 = 2
f′(−1) = −3 − 6 = −9 < 0
f′(1) = −3 + 6 = 3 > 0
f′(3) = −27 + 18 = −9 < 0
| x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| f′(x) | − | 0 | + | 0 | − |
| f(x) | ↘ | min | ↗ | max | ↘ |
תשובה: (0 , −2) מינימום , (2 , 2) מקסימום
סעיף ד: עלייה, ירידה וקעירות.
עלייה וירידה לפי הטבלה מסעיף ג.
קעירות לפי f″(x) = −6x + 6:
f″(0) = 6 > 0 ← ∪
f″(2) = −6 < 0 ← ∩
תשובה: עלייה: 0 < x < 2
ירידה: x < 0 , x > 2
∪ : x < 1 ; ∩ : x > 1
ירידה: x < 0 , x > 2
∪ : x < 1 ; ∩ : x > 1
סעיף ה: משוואת המשיק בנקודת הפיתול (1 , 0).
📐 שיפוע המשיק:
השיפוע של המשיק בנקודה שווה לנגזרת בנקודה: m = f′(x₁)
m = f′(1) = −3 + 6 = 3
📐 משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע:
y − y₁ = m(x − x₁)
y − 0 = 3(x − 1)
y = 3x − 3
תשובה: y = 3x − 3
סעיף ו: סרטוט.
סעיף ז: מספר פתרונות.
ישר אופקי y = k חותך את הגרף 3 פעמים כשהוא עובר בין המינימום y = −2 למקסימום y = 2.
תשובה: −2 < k < 2
🔷 תרגיל 4
תרגיל 4: נתונה הפונקציה f(x) = 6x² + 3. ענו על הסעיפים:
א. מצאו את תחום ההגדרה.
ב. הראו שהפונקציה זוגית.
ג. מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.
ד. מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה.
ה. מצאו את נקודות הקיצון, את סוגן ואת תחומי העלייה והירידה.
ו. מצאו את נקודות הפיתול ואת תחומי הקעירות.
ז. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.
ח. לאילו ערכי k למשוואה f(x) = k יש בדיוק שני פתרונות?
✍️ פתרון תרגיל 4
סעיף א: תחום הגדרה.
x² ≥ 0 ← x² + 3 ≥ 3
המכנה אף פעם לא 0.
תשובה: כל x
סעיף ב: זוגיות.
📐 פונקציה זוגית:
f(−x) = f(x)
הגרף סימטרי לציר y
f(−x) = 6(−x)² + 3
= 6x² + 3 = f(x)
תשובה: הפונקציה זוגית
סעיף ג: חיתוך עם הצירים.
עם ציר y: f(0) = 63 = 2
עם ציר x: המונה 6 אף פעם לא 0 ← אין.
תשובה: (0 , 2) , ואין חיתוך עם ציר x
סעיף ד: אסימפטוטות.
אין x שמאפס את המכנה ← אין אסימפטוטה אנכית.
📐 אסימפטוטה אופקית לפי החזקות:
חזקה גבוהה במכנה גדולה יותר ← y = 0
חזקה גבוהה במונה גדולה יותר ← אין
חזקות שוות ← y = ab (מנת המקדמים)
החזקה הגבוהה במונה 0 (מספר), במכנה 2. המכנה גדול יותר.
תשובה: אסימפטוטה אופקית y = 0 , אין אנכית
סעיף ה: קיצון, עלייה וירידה.
📐 נגזרת מנה:
y = fg
y′ = f′·g − g′·fg²
המונה 6, נגזרתו 0. המכנה x² + 3, נגזרתו 2x.
f′(x) = 0·(x² + 3) − 2x·6(x² + 3)²
= −12x(x² + 3)²
−12x = 0 ← x = 0 ← (0 , 2)
המכנה חיובי, והסימן נקבע לפי −12x: חיובי כש־x < 0 ושלילי כש־x > 0.
| x | −1 | 0 | 1 |
| f′(x) | + | 0 | − |
| f(x) | ↗ | max | ↘ |
תשובה: (0 , 2) מקסימום
עלייה: x < 0 ; ירידה: x > 0
עלייה: x < 0 ; ירידה: x > 0
סעיף ו: נקודות פיתול וקעירות.
📐 נקודת פיתול:
f″(x) = 0 ← נקודה חשודה
f″ > 0 ← קעורה כלפי מעלה ∪
f″ < 0 ← קעורה כלפי מטה ∩
פיתול רק כשהקעירות מתחלפת
גוזרים את f′(x) = −12x(x² + 3)² בנגזרת מנה. המונה −12x, נגזרתו −12.
📐 נגזרת של סוגריים בחזקה:
[(g(x))ⁿ]′ =
n·(g(x))ⁿ⁻¹·g′(x)
נגזרת המכנה: [(x² + 3)²]′ = 2(x² + 3)·2x
f″(x) = −12(x² + 3)²
− 2(x² + 3)·2x·(−12x)(x² + 3)⁴
− 2(x² + 3)·2x·(−12x)(x² + 3)⁴
מוציאים גורם משותף (x² + 3) במונה ומצמצמים:
f″(x) = −12(x² + 3) + 48x²(x² + 3)³
= −12x² − 36 + 48x²(x² + 3)³
= 36x² − 36(x² + 3)³
משווים את המונה ל־0:
36x² − 36 = 0
x² = 1 ← x = 1 או x = −1
f(±1) = 61 + 3 = 32
המכנה חיובי, אז הסימן לפי המונה 36x² − 36:
x = −2 : 144 − 36 > 0 ← ∪
x = 0 : −36 < 0 ← ∩
x = 2 : 144 − 36 > 0 ← ∪
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
| f″(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| f(x) | ∪ | פיתול | ∩ | פיתול | ∪ |
תשובה: פיתול (−1 , 32) , (1 , 32)
∪ : x < −1 , x > 1
∩ : −1 < x < 1
∪ : x < −1 , x > 1
∩ : −1 < x < 1
סעיף ז: סרטוט.
"גבעה" סימטרית לציר y, שמתקרבת לציר x משני הצדדים ולא נוגעת בו:
סעיף ח: מתי יש בדיוק שני פתרונות.
ערכי הפונקציה: גדולים מ־0 (המונה והמכנה חיוביים) ולכל היותר 2 (המקסימום).
ישר אופקי בין 0 ל־2 חותך את ה"גבעה" פעמיים, פעם מכל צד.
ב־k = 2 יש רק נקודה אחת (המקסימום), וב־k ≤ 0 אין בכלל.
תשובה: 0 < k < 2
🔷 תרגיל 5
תרגיל 5: נתונה הפונקציה f(x) = x² + 5x − 2. ענו על הסעיפים:
א. מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות של הפונקציה.
ב. מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.
ג. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.
ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה.
ה. מצאו את תחומי הקעירות. האם יש לפונקציה נקודת פיתול? נמקו.
ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.
ז. לאילו ערכי k למשוואה f(x) = k אין פתרון?
ח. נתונה הפונקציה g(x) = f(x + 2). מצאו את נקודות הקיצון של g(x) ואת האסימפטוטה האנכית שלה.
✍️ פתרון תרגיל 5
סעיף א: תחום הגדרה ואסימפטוטות.
x − 2 ≠ 0 ← x ≠ 2
המונה ב־x = 2: 4 + 5 = 9 ≠ 0 ← אסימפטוטה אנכית.
📐 אסימפטוטה אופקית לפי החזקות:
חזקה גבוהה במכנה גדולה יותר ← y = 0
חזקה גבוהה במונה גדולה יותר ← אין
חזקות שוות ← y = ab (מנת המקדמים)
החזקה הגבוהה במונה 2, במכנה 1 ← אין אסימפטוטה אופקית.
תשובה: תחום: x ≠ 2 ; אנכית: x = 2 ; אין אופקית
סעיף ב: חיתוך עם הצירים.
עם ציר y: f(0) = 5−2 = −2.5
עם ציר x: x² + 5 = 0 ← אין פתרון.
תשובה: (0 , −2.5) , ואין חיתוך עם ציר x
סעיף ג: נקודות קיצון וסוגן.
📐 נגזרת מנה:
y = fg
y′ = f′·g − g′·fg²
המונה x² + 5, נגזרתו 2x. המכנה x − 2, נגזרתו 1.
f′(x) = 2x(x − 2) − 1·(x² + 5)(x − 2)²
= 2x² − 4x − x² − 5(x − 2)²
= x² − 4x − 5(x − 2)²
x² − 4x − 5 = 0
(x − 5)(x + 1) = 0
x = 5 או x = −1
f(5) = 25 + 53 = 10
f(−1) = 1 + 5−3 = −2
הסימן לפי המונה (המכנה בריבוע חיובי):
x = −2 : 4 + 8 − 5 = 7 > 0
x = 0 : −5 < 0
x = 3 : 9 − 12 − 5 = −8 < 0
x = 6 : 36 − 24 − 5 = 7 > 0
| x | −2 | −1 | 0 | 2 | 3 | 5 | 6 |
| f′(x) | + | 0 | − | ✕ | − | 0 | + |
| f(x) | ↗ | max | ↘ | ✕ | ↘ | min | ↗ |
תשובה: (−1 , −2) מקסימום , (5 , 10) מינימום
סעיף ד: תחומי עלייה וירידה.
לפי הטבלה:
תשובה: עלייה: x < −1 , x > 5
ירידה: −1 < x < 2 , 2 < x < 5
ירידה: −1 < x < 2 , 2 < x < 5
סעיף ה: קעירות ונקודת פיתול.
📐 נגזרת מנה:
y = fg
y′ = f′·g − g′·fg²
גוזרים את f′(x) = x² − 4x − 5(x − 2)². נגזרת המונה 2x − 4.
📐 נגזרת של סוגריים בחזקה:
[(g(x))ⁿ]′ =
n·(g(x))ⁿ⁻¹·g′(x)
נגזרת המכנה: [(x − 2)²]′ = 2(x − 2)·1
f″(x) = (2x − 4)(x − 2)²
− 2(x − 2)(x² − 4x − 5)(x − 2)⁴
− 2(x − 2)(x² − 4x − 5)(x − 2)⁴
מצמצמים ב־(x − 2):
f″(x) = (2x − 4)(x − 2)
− 2(x² − 4x − 5)(x − 2)³
− 2(x² − 4x − 5)(x − 2)³
פותחים סוגריים במונה:
(2x − 4)(x − 2) =
= 2x² − 8x + 8
−2(x² − 4x − 5) =
= −2x² + 8x + 10
מחברים:
2x² − 8x + 8 − 2x² + 8x + 10
= 18
f″(x) = 18(x − 2)³
המונה 18 אף פעם לא 0 ← f″ לא מתאפסת.
הסימן לפי (x − 2)³: חיובי כש־x > 2, שלילי כש־x < 2.
הקעירות מתחלפת ב־x = 2, אבל שם הפונקציה לא מוגדרת (אסימפטוטה), ולכן זו לא נקודת פיתול.
תשובה: ∪ : x > 2 ; ∩ : x < 2
אין נקודת פיתול
אין נקודת פיתול
סעיף ו: סרטוט.
סעיף ז: מתי אין פתרון ל־f(x) = k.
הענף השמאלי (∩) מגיע לכל היותר ל־−2.
הענף הימני (∪) לא יורד מתחת ל־10.
ישר אופקי בין −2 ל־10 לא פוגש את הגרף.
תשובה: −2 < k < 10
סעיף ח: הפונקציה g(x) = f(x + 2).
📐 הזזה אופקית:
f(x + c) ← הגרף זז c יחידות שמאלה
f(x − c) ← הגרף זז c יחידות ימינה
הגרף של g הוא הגרף של f, מוזז 2 יחידות שמאלה: מחסירים 2 מכל ערך x, וה־y לא משתנה.
מקסימום: (−1 − 2 , −2) = (−3 , −2)
מינימום: (5 − 2 , 10) = (3 , 10)
אסימפטוטה אנכית: x = 2 − 2 = 0
בדיקה: g(x) = (x + 2)² + 5x , והמכנה מתאפס ב־x = 0.
תשובה: (−3 , −2) מקסימום , (3 , 10) מינימום
אסימפטוטה אנכית: x = 0
אסימפטוטה אנכית: x = 0
🔷 תרגיל 6
תרגיל 6: נתונה הפונקציה f(x) = xx² − 1. ענו על הסעיפים:
א. מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות של הפונקציה.
ב. הראו שהפונקציה אי־זוגית.
ג. מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.
ד. הראו שלפונקציה אין נקודות קיצון, ומצאו את תחומי העלייה והירידה.
ה. מצאו את נקודות הפיתול ואת תחומי הקעירות.
ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.
✍️ פתרון תרגיל 6
סעיף א: תחום הגדרה ואסימפטוטות.
x² − 1 ≠ 0 ← x ≠ ±1
המונה ב־x = ±1 הוא ±1 ≠ 0 ← אסימפטוטות אנכיות.
📐 אסימפטוטה אופקית לפי החזקות:
חזקה גבוהה במכנה גדולה יותר ← y = 0
חזקה גבוהה במונה גדולה יותר ← אין
חזקות שוות ← y = ab (מנת המקדמים)
החזקה הגבוהה במונה 1, במכנה 2. המכנה גדול יותר.
תשובה: תחום: x ≠ ±1
אנכיות: x = 1 , x = −1 ; אופקית: y = 0
אנכיות: x = 1 , x = −1 ; אופקית: y = 0
סעיף ב: אי־זוגיות.
📐 פונקציה אי־זוגית:
f(−x) = −f(x)
הגרף סימטרי לראשית הצירים
f(−x) = −x(−x)² − 1 = −xx² − 1
= −xx² − 1 = −f(x)
תשובה: הפונקציה אי־זוגית
סעיף ג: חיתוך עם הצירים.
עם ציר y: f(0) = 0−1 = 0
עם ציר x: המונה x = 0.
תשובה: (0 , 0)
סעיף ד: אין קיצון; עלייה וירידה.
📐 נגזרת מנה:
y = fg
y′ = f′·g − g′·fg²
המונה x, נגזרתו 1. המכנה x² − 1, נגזרתו 2x.
f′(x) = 1·(x² − 1) − 2x·x(x² − 1)²
= x² − 1 − 2x²(x² − 1)² = −(x² + 1)(x² − 1)²
המונה: x² + 1 ≥ 1, ולכן −(x² + 1) תמיד שלילי. המכנה בריבוע תמיד חיובי.
לכן f′(x) < 0 בכל תחום ההגדרה: הנגזרת אף פעם לא 0 ← אין נקודות קיצון, והפונקציה יורדת בכל תחום.
תשובה: אין נקודות קיצון
ירידה: x < −1 , −1 < x < 1 , x > 1
ירידה: x < −1 , −1 < x < 1 , x > 1
סעיף ה: נקודות פיתול וקעירות.
📐 נקודת פיתול:
f″(x) = 0 ← נקודה חשודה
f″ > 0 ← קעורה כלפי מעלה ∪
f″ < 0 ← קעורה כלפי מטה ∩
פיתול רק כשהקעירות מתחלפת
גוזרים את f′(x) = −(x² + 1)(x² − 1)². נגזרת המונה: −2x.
📐 נגזרת של סוגריים בחזקה:
[(g(x))ⁿ]′ =
n·(g(x))ⁿ⁻¹·g′(x)
נגזרת המכנה: [(x² − 1)²]′ = 2(x² − 1)·2x
f″(x) = −2x(x² − 1)²
− 2(x² − 1)·2x·(−x² − 1)(x² − 1)⁴
− 2(x² − 1)·2x·(−x² − 1)(x² − 1)⁴
מצמצמים ב־(x² − 1):
f″(x) = −2x(x² − 1)
+ 4x(x² + 1)(x² − 1)³
+ 4x(x² + 1)(x² − 1)³
= −2x³ + 2x + 4x³ + 4x(x² − 1)³
= 2x³ + 6x(x² − 1)³
f″(x) = 2x(x² + 3)(x² − 1)³
משווים את המונה ל־0:
2x(x² + 3) = 0
x² + 3 תמיד חיובי, ולכן רק x = 0
בטבלה שמים את 0 ואת האסימפטוטות ±1. בודקים סימן מונה ומכנה:
x = −2 : −+ < 0 ← ∩
x = −0.5 : −− > 0 ← ∪
x = 0.5 : +− < 0 ← ∩
x = 2 : ++ > 0 ← ∪
| x | −2 | −1 | −0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 2 |
| f″(x) | − | ✕ | + | 0 | − | ✕ | + |
| f(x) | ∩ | ✕ | ∪ | פיתול | ∩ | ✕ | ∪ |
הקעירות מתחלפת ב־0, ו־f(0) = 0.
תשובה: פיתול (0 , 0)
∪ : −1 < x < 0 , x > 1
∩ : x < −1 , 0 < x < 1
∪ : −1 < x < 0 , x > 1
∩ : x < −1 , 0 < x < 1
סעיף ו: סרטוט.
שלושה ענפים יורדים. הגרף סימטרי לראשית הצירים, ועובר ב־(0 , 0):
🔷 תרגיל 7
תרגיל 7: נתונה הפונקציה f(x) = x² + ax² − 4 , a הוא פרמטר. גרף הפונקציה חותך את ציר y בנקודה (0 , −2).
א. מצאו את a.
הציבו את הערך שמצאתם, וענו על הסעיפים הבאים.
הציבו את הערך שמצאתם, וענו על הסעיפים הבאים.
ב. מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות, וקבעו אם הפונקציה זוגית.
ג. האם לגרף יש נקודות חיתוך עם ציר x?
ד. מצאו את נקודות הקיצון, את סוגן ואת תחומי העלייה והירידה.
ה. מצאו את תחומי הקעירות. האם יש לפונקציה נקודות פיתול?
ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.
ז. לאילו ערכי k הישר y = k לא חותך את גרף הפונקציה?
✍️ פתרון תרגיל 7
סעיף א: מציאת a.
הנקודה (0 , −2) על הגרף:
f(0) = 0 + a0 − 4 = −2
a−4 = −2 / ·(−4)
a = 8
הפונקציה: f(x) = x² + 8x² − 4
תשובה: a = 8
סעיף ב: תחום, אסימפטוטות וזוגיות.
x² − 4 ≠ 0 ← x ≠ ±2
המונה ב־x = ±2: 4 + 8 = 12 ≠ 0 ← אסימפטוטות אנכיות.
📐 אסימפטוטה אופקית לפי החזקות:
חזקה גבוהה במכנה גדולה יותר ← y = 0
חזקה גבוהה במונה גדולה יותר ← אין
חזקות שוות ← y = ab (מנת המקדמים)
חזקות שוות (2 ו־2), המקדמים 1 ו־1 ← y = 1
📐 פונקציה זוגית:
f(−x) = f(x)
הגרף סימטרי לציר y
f(−x) = (−x)² + 8(−x)² − 4 = f(x)
תשובה: תחום: x ≠ ±2
אנכיות: x = ±2 ; אופקית: y = 1
הפונקציה זוגית
אנכיות: x = ±2 ; אופקית: y = 1
הפונקציה זוגית
סעיף ג: חיתוך עם ציר x.
x² + 8 = 0 ← x² = −8 ← אין פתרון.
תשובה: אין חיתוך עם ציר x
סעיף ד: קיצון, עלייה וירידה.
📐 נגזרת מנה:
y = fg
y′ = f′·g − g′·fg²
המונה x² + 8, נגזרתו 2x. המכנה x² − 4, נגזרתו 2x.
f′(x) = 2x(x² − 4)
− 2x(x² + 8)(x² − 4)²
− 2x(x² + 8)(x² − 4)²
= 2x³ − 8x − 2x³ − 16x(x² − 4)²
= −24x(x² − 4)²
−24x = 0 ← x = 0 ← (0 , −2)
הסימן לפי −24x: חיובי כש־x < 0, שלילי כש־x > 0.
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| f′(x) | + | ✕ | + | 0 | − | ✕ | − |
| f(x) | ↗ | ✕ | ↗ | max | ↘ | ✕ | ↘ |
תשובה: (0 , −2) מקסימום
עלייה: x < −2 , −2 < x < 0
ירידה: 0 < x < 2 , x > 2
עלייה: x < −2 , −2 < x < 0
ירידה: 0 < x < 2 , x > 2
סעיף ה: קעירות ונקודות פיתול.
📐 נגזרת מנה:
y = fg
y′ = f′·g − g′·fg²
גוזרים את f′(x) = −24x(x² − 4)². נגזרת המונה −24.
📐 נגזרת של סוגריים בחזקה:
[(g(x))ⁿ]′ =
n·(g(x))ⁿ⁻¹·g′(x)
נגזרת המכנה: [(x² − 4)²]′ = 2(x² − 4)·2x
f″(x) = −24(x² − 4)²
− 2(x² − 4)·2x·(−24x)(x² − 4)⁴
− 2(x² − 4)·2x·(−24x)(x² − 4)⁴
מצמצמים ב־(x² − 4):
f″(x) = −24(x² − 4) + 96x²(x² − 4)³
= 72x² + 96(x² − 4)³
המונה 72x² + 96 תמיד חיובי ← f″ לא מתאפסת ← אין נקודות פיתול.
הסימן לפי (x² − 4)³:
x = 0 : (0 − 4)³ < 0 ← ∩
x = ±3 : (9 − 4)³ > 0 ← ∪
תשובה: ∪ : x < −2 , x > 2
∩ : −2 < x < 2
אין נקודות פיתול
∩ : −2 < x < 2
אין נקודות פיתול
סעיף ו: סרטוט.
באמצע: "כיפה" (∩) שהשיא שלה (0 , −2). בצדדים: ענפים (∪) מעל y = 1 שמתקרבים אליו.
סעיף ז: מתי הישר y = k לא חותך את הגרף.
בין האסימפטוטות: הערכים לכל היותר −2 (המקסימום).
בצדדים הגרף מעל y = 1. האם הוא נוגע ב־1? בודקים:
x² + 8x² − 4 = 1
x² + 8 = x² − 4
8 = −4 ← אין פתרון.
לכן גם k = 1 לא חותך, אבל k = −2 כן (נוגע במקסימום).
תשובה: −2 < k ≤ 1
💡 לזכור
f′ קובעת עלייה וירידה, ו־f″ קובעת קעירות. נקודה שבה הנגזרת מתאפסת היא רק חשודה: בודקים שהסימן מתחלף. ובפונקציית מנה, החלפת סימן באסימפטוטה אינה נקודת קיצון ואינה נקודת פיתול, כי שם הפונקציה לא מוגדרת.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il