שיעור 33 – תרגילים נוספים – חוקי לוגריתמים (ללא סרטון)

פתרון בגרויות בפונקציה לוגריתמית

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

חוקי לוגריתמים · 5 יחידות · שאלון 572
תרגילים נוספים – חוקי לוגריתמים

📄 התרגילים (נסו לבד, הפתרונות מתחת)

תרגיל 1. פתרו: log₃(x + 2) − log₃(x − 4) = 1 .

תרגיל 2. פתרו: e^x − 6e^−x = 1 .

תרגיל 3. פתרו: 3^2x − 3^{x + 1} − 10 = 0 .

תרגיל 4. פתרו: (log₂x)² − log₂(x⁴) + 3 = 0 .

תרגיל 5. פתרו: ln x = 1 + ln(x − 1) .

תרגיל 6. מצאו את נקודת החיתוך של הגרפים y = ln(x + 2) ו־y = ln x + ln 3 .

✏️ פתרון

תרגיל 1

x + 2 > 0 , x − 4 > 0 ⟹ x > 4📐 תחום הגדרה של לוגריתםlog_aA מוגדר רק כאשר A > 0

log₃x + 2x − 4 = 1📐 לוגריתם של מנהlog_axy = log_ax − log_ay

x + 2x − 4 = 3¹ = 3📐 הגדרת הלוגריתםlog_ab = c ⟺ a^c = bכאשר a > 0 , a ≠ 1 , b > 0

x + 2 = 3x − 12 ⟹ 2x = 14 ⟹ x = 7

x = 7 – בתחום ✓

✅ פתרון סופי: x = 7

תרגיל 2

כופלים את שני האגפים ב־e^x :

e^2x − 6 = e^x ⟹ e^2x − e^x − 6 = 0📐 כפל חזקותa^m · aⁿ = a^m+n

נציב t = e^x :

t² − t − 6 = 0

(t − 3)(t + 2) = 0 ⟹ t = 3 , t = −2📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

e^x = −2 – אין פתרון (e^x > 0 תמיד).

e^x = 3 ⟹ x = ln 3 ≈ 1.10📐 הקשר בין ln ל־eln(e^c) = ce^{ln b} = b

✅ פתרון סופי: x = ln 3 ≈ 1.10

תרגיל 3

3^{x + 1} = 3 · 3^x📐 כפל חזקותa^m · aⁿ = a^m+n

נציב t = 3^x :

t² − 3t − 10 = 0

(t − 5)(t + 2) = 0 ⟹ t = 5 , t = −2📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

3^x = −2 – אין פתרון.

3^x = 5 ⟹ x = ln 5ln 3 = 1.60941.0986 ≈ 1.46📐 פתרון משוואה מעריכיתa^x = b ⟹ x = ln bln a

✅ פתרון סופי: x ≈ 1.46

תרגיל 4

תחום: x > 0 .

log₂(x⁴) = 4log₂x📐 לוגריתם של חזקהlog_a(xⁿ) = n · log_ax

נציב t = log₂x :

t² − 4t + 3 = 0

(t − 1)(t − 3) = 0 ⟹ t = 1 , t = 3📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0

log₂x = 1 ⟹ x = 2📐 הגדרת הלוגריתםlog_ab = c ⟺ a^c = bכאשר a > 0 , a ≠ 1 , b > 0

log₂x = 3 ⟹ x = 8

✅ פתרון סופי: x = 2 , x = 8

תרגיל 5

x > 0 , x − 1 > 0 ⟹ x > 1📐 תחום הגדרה של לוגריתםlog_aA מוגדר רק כאשר A > 0

ln x − ln(x − 1) = 1 ⟹ lnxx − 1 = 1📐 לוגריתם של מנהlog_axy = log_ax − log_ay

xx − 1 = e📐 הגדרת הלוגריתםlog_ab = c ⟺ a^c = bכאשר a > 0 , a ≠ 1 , b > 0

x = ex − e ⟹ e = x(e − 1)

x = ee − 1 ≈ 1.58

x ≈ 1.58 – בתחום ✓

✅ פתרון סופי: x = ee − 1 ≈ 1.58

תרגיל 6

משווים את שתי הפונקציות. תחום: x > 0 .

ln(x + 2) = ln(3x)📐 לוגריתם של מכפלהlog_a(x · y) = log_ax + log_ay

x + 2 = 3x ⟹ x = 1📐 שוויון לוגריתמיםlog_aA = log_aB ⟹ A = B

נציב x = 1 :

y = ln(1 + 2) = ln 3 ≈ 1.10

✅ פתרון סופי: (1 , ln 3) ≈ (1 , 1.10)

📌 סיכום

תרגיל 1	x = 7
תרגיל 2	x = ln 3
תרגיל 3	x ≈ 1.46
תרגיל 4	x = 2 , x = 8
תרגיל 5	x ≈ 1.58
תרגיל 6	(1 , ln 3)

פונקציית lan. 3 פרקים33 שיעורים15 שבועות

כניסה לשיעורים