בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 – קיץ 2021 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 8 שאלות בשלושה פרקים: פרק ראשון – "שאלות קצרות", סדרות והסתברות (שאלות 1–3); פרק שני – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4–5); פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (שאלות 6–8). משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. בשאלה 1 עונים על 3 מתוך 4 הסעיפים.

שימו לב – הנחיות מיוחדות (בחינת קיץ 2021, תקופת הקורונה): בשער השאלון נכתב שבבחינה זו יש הנחיות מיוחדות: עונים על 4 שאלות בלבד לבחירה מתוך 8, ולכל שאלה 25 נקודות (4 × 25 = 100). בעמוד השאלות עצמו מופיע הנוסח הרגיל (5 שאלות, 20 נקודות לכל שאלה) – הקובע הוא ההנחיה המיוחדת שבשער.

כאן פתורות כל 8 השאלות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2021 מועד א'

שאלון 571 קיץ 2021 מועד א' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 571 קיץ 2021 מועד א' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 571 קיץ 2021 מועד א' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 571 קיץ 2021 מועד א' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 571 קיץ 2021 מועד א' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 571 קיץ 2021 מועד א' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – "שאלות קצרות": זווית בין מיתרים, אינדוקציה, זהות פונקציות, פונקציה צוברת שטח

📄 נוסח השאלה

ענה על שלושה מן הסעיפים א–ד.

א. במעגל שבציור המיתרים AB ו־CD נחתכים בנקודה P. הוכח: ∢BPD = ∪BD + ∪AC2 .

ב. לפניך שתי טענות. קבע איזו מהן נכונה לכל n טבעי, והוכח אותה באינדוקציה.

I. 12 · 3 + 13 · 4 + … + 1(n + 1)(n + 2) = n2n + 4

II. 12 · 3 + 13 · 4 + … + 1(n + 1)(n + 2) = n3(n + 1)

ג. קבע אם הטענות הבאות נכונות. נמק.

I. הפונקציה f(x) = √x + 1 · √x − 3 זהה לפונקציה h(x) = √(x + 1)(x − 3) .

II. הפונקציה f(x) = x√x + 1 זהה לפונקציה h(x) = √x2(x + 1) .

ד. נתון גרף הפונקציה f(x) בתחום −5 ≤ x ≤ 5, ונתונה הפונקציה h(a) = ∫−4a f(x) dx עבור a > −4:

גרף הפונקציה f מתוך השאלון

(1) קבע באיזה תחום הפונקציה h(a) עולה. נמק.

(2) מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה והקעירות כלפי מטה של הפונקציה h(a). נמק.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הוכחה

נעביר את הקטע AD. במשולש APD הזווית BPD היא זווית חיצונית:📐 משפט: זווית חיצונית למשולששווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שלא צמודות לה
∢BPD = ∢PAD + ∢PDA
∢PAD = ∢BAD – זווית היקפית שנשענת על הקשת BD:📐 משפט: זווית היקפית∢ = הקשת שעליה היא נשענת2
∢BAD = ∪BD2
∢PDA = ∢CDA – זווית היקפית שנשענת על הקשת AC:
∢CDA = ∪AC2
∢BPD = ∪BD2 + ∪AC2
∢BPD = ∪BD + ∪AC2
ABCDP
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב – אינדוקציה

נבדוק n = 2: אגף שמאל 16 + 112 = 14.
I : 22 · 2 + 4 = 28 = 14 ✓
II : 23 · 3 = 29 ✗
לכן טענה II לא נכונה. נוכיח את טענה I באינדוקציה:📐 נוסחה: אינדוקציה מתמטית(1) בדיקה ל־n = 1 ; (2) הנחה ל־n = k ; (3) הוכחה ל־n = k + 1
(1) n = 1:
12 · 3 = 16
12 · 1 + 4 = 16 ✓
(2) נניח שהטענה נכונה ל־n = k:
12 · 3 + 13 · 4 + …
+ 1(k + 1)(k + 2)
= k2k + 4
(3) נוכיח ל־n = k + 1, כלומר שהסכום שווה ל־k + 12k + 6:
אגף שמאל = k2k + 4 + 1(k + 2)(k + 3)
= k2(k + 2) + 1(k + 2)(k + 3)
= k(k + 3) + 22(k + 2)(k + 3)
= k2 + 3k + 22(k + 2)(k + 3)
= (k + 1)(k + 2)2(k + 2)(k + 3)
= k + 12(k + 3) = k + 12k + 6 ✓
✅ פתרון סופי: טענה I נכונה (הוכחה באינדוקציה); טענה II לא נכונה

סעיף ג – זהות פונקציות

שתי פונקציות זהות אם יש להן אותו תחום הגדרה ואותם ערכים בכל התחום.
I. תחום של f:📐 נוסחה: תחום הגדרה של שורש√u מוגדר כאשר u ≥ 0
x + 1 ≥ 0
x − 3 ≥ 0
⟹ x ≥ 3
תחום של h:
(x + 1)(x − 3) ≥ 0
x ≤ −1 או x ≥ 3
למשל x = −2: h(−2) = √5 מוגדרת, ו־f(−2) לא מוגדרת – התחומים שונים. הטענה לא נכונה.
II. לשתי הפונקציות התחום x ≥ −1. אבל:📐 נוסחה: שורש של ריבוע√x2 = |x|
h(x) = √x2 · √x + 1 = |x|√x + 1
למשל x = −0.5: f(−0.5) = −0.5 · √0.5 < 0 ו־h(−0.5) = 0.5 · √0.5 > 0. הטענה לא נכונה.
✅ פתרון סופי: I לא נכונה ; II לא נכונה

סעיף ד – h(a)

📐 משפט: פונקציה צוברת שטחh(a) = ∫ca f(x) dx⟹ h′(a) = f(a)h″(a) = f′(a)
h′(a) = f(a)
(1) h עולה כאשר h′ = f > 0. לפי הגרף f > 0 כאשר −5 < x < 0, ובתחום של h (a > −4):
−4 < a < 0
(2) h″(a) = f′(a). לפי הגרף f עולה כאשר −5 < x < −3 ו־3 < x < 5, ויורדת כאשר −3 < x < 3:📐 נוסחה: קעירותh″ > 0 – קעורה כלפי מעלה ; h″ < 0 – קעורה כלפי מטה
קעורה כלפי מעלה: −4 < a < −3 , 3 < a < 5
קעורה כלפי מטה: −3 < a < 3
✅ פתרון סופי: (1) −4 < a < 0 ; (2) ∪ : −4 < a < −3 , 3 < a < 5 ; ∩ : −3 < a < 3

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אהוכח
סעיף בטענה I נכונה
סעיף גשתיהן לא נכונות
סעיף דעולה: −4 < a < 0
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 42 – אינטגרל מצטבר לקוח מבגרות 2021
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סדרות: סכום, סדרה חשבונית וסדרות הנדסיות

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה an שסכום n האיברים הראשונים שלה הוא Sn = kn2 − pn . k ו־p הם פרמטרים שונים מ־0.

א. (1) הבע באמצעות k , p ו־n את האיבר הכללי an.

(2) הראה כי האיבר הכללי שמצאת מתאים גם ל־a1.

(3) הראה כי an סדרה חשבונית, והבע באמצעות k את ההפרש שלה d.

נתונה סדרה הנדסית bn שהמנה שלה היא d, ונתונה סדרה הנדסית אינסופית cn שהמנה שלה היא 2d.

האיבר הראשון בסדרה an, האיבר הראשון בסדרה bn והאיבר הראשון בסדרה cn שווים זה לזה. נתון: k = 1.5 , p = 4.5 .

ב. הראה כי הסדרה cn מתכנסת.

ג. היחס בין סכום m האיברים הראשונים בסדרה bn ובין סכום כל האיברים בסדרה cn הוא 4013. מצא את m.

ד. קבע אם הסדרה cn עולה או יורדת. נמק.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – האיבר הכללי וההפרש

(1)📐 נוסחה: איבר כללי מתוך סכוםan = Sn − Sn − 1 ( n ≥ 2 )a1 = S1
an = kn2 − pn
− [k(n − 1)2 − p(n − 1)]
= kn2 − pn − kn2 + 2kn
− k + pn − p
an = 2kn − k − p
(2)
a1 = S1 = k − p
2k · 1 − k − p = k − p ✓
(3)📐 נוסחה: סדרה חשבוניתהפרש קבוע: an + 1 − an = d
an + 1 − an
= [2k(n + 1) − k − p]
− [2kn − k − p]
= 2k
ההפרש קבוע, לכן הסדרה חשבונית עם d = 2k.
✅ פתרון סופי: an = 2kn − k − p ; d = 2k

סעיף ב – cn מתכנסת

d = 2 · 1.5 = 3
qc = 2d = 23
📐 נוסחה: סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת|q| < 1S = c11 − q
|23| < 1
לכן הסדרה ההנדסית האינסופית מתכנסת.
✅ פתרון סופי: מתכנסת, כי המנה 2/3

סעיף ג – מציאת m

a1 = k − p = 1.5 − 4.5 = −3
b1 = c1 = −3
qb = 3
📐 נוסחה: סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת|q| < 1S = c11 − q
Sc = −31 − 23 = −313 = −9
Sm = −3(3m − 1)3 − 1 = −3(3m − 1)2📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסיתSm = b1(qm − 1)q − 1
SmSc = −3(3m − 1)2 · (−9) = 3m − 16
3m − 16 = 1213
3m − 1 = 242
3m = 243 = 35
m = 5
✅ פתרון סופי: m = 5

סעיף ד – עולה או יורדת

cn = −3 · (23)n − 1
c1 = −3
c2 = −2
c3 = −43
כל האיברים שליליים, וערכם המוחלט קטן (המנה בין 0 ל־1). לכן כל איבר גדול מקודמו:
cn + 1 − cn = cn(23 − 1)
= −13cn > 0
✅ פתרון סופי: עולה

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אan = 2kn − k − p , d = 2k
סעיף במתכנסת
סעיף גm = 5
סעיף דעולה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות: סקר קורונה, ברנולי והסתברות מותנית

📄 נוסח השאלה

בבית ספר תיכון גדול מאוד, מספר התלמידים גדול פי 9 ממספר המורים.

בבית הספר נערך סקר שהשתתפו בו כל המורים והתלמידים בבית הספר, והם בלבד. המשתתפים בסקר נשאלו אם הם נבדקו לגילוי קורונה.

נמצא כי 80% מן המורים בבית הספר נבדקו לגילוי קורונה.

כמו כן נמצא כי 1315 מכלל המשתתפים בסקר (מורים ותלמידים), שנבדקו לגילוי קורונה, היו תלמידים.

א. מהי ההסתברות שמבין כל המשתתפים בסקר ייבחר באקראי תלמיד שלא נבדק לגילוי קורונה?

בחרו באקראי בזה אחר זה 5 משתתפים מבין כל משתתפי הסקר.

ב. מהי ההסתברות שלפחות 4 מהם נבדקו לגילוי קורונה?

ג. ידוע כי מבין החמישה שנבחרו, לפחות משתתף אחד נבדק לגילוי קורונה. מהי ההסתברות שלפחות 4 מן המשתתפים שנבחרו נבדקו לגילוי קורונה?

ד. ידוע כי מבין החמישה שנבחרו, בדיוק 2 נבדקו לגילוי קורונה. מהי ההסתברות שהאחרון שנבחר נבדק לגילוי קורונה?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – תלמיד שלא נבדק

נסמן את מספר המורים t. מספר התלמידים 9t, וסך הכול 10t משתתפים.
מורים שנבדקו = 0.8t
נסמן ב־N את מספר כל הנבדקים. 1315 מהם תלמידים, ולכן 215 מהם מורים:
215N = 0.8t
N = 6t
תלמידים שנבדקו:
6t − 0.8t = 5.2t
תלמידים שלא נבדקו:
9t − 5.2t = 3.8t
P = 3.8t10t = 0.38📐 נוסחה: הסתברותP = מספר המקרים הרצוייםמספר כל המקרים
✅ פתרון סופי: 0.38

סעיף ב – לפחות 4 מתוך 5 נבדקו

בית הספר גדול מאוד – הבחירות בלתי תלויות, וההסתברות שמשתתף נבדק קבועה:
p = 6t10t = 0.6
P(4) = C(5 , 4) · 0.64 · 0.4📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP(k) = C(n , k) · pk· (1 − p)n − k
= 5 · 0.1296 · 0.4 = 0.2592
P(5) = 0.65 = 0.07776
P(≥ 4) = 0.2592 + 0.07776
= 0.33696
✅ פתרון סופי: 0.33696

סעיף ג – בהינתן שלפחות אחד נבדק

P(≥ 1) = 1 − 0.45📐 נוסחה: מאורע משליםP(לפחות 1) = 1 − P(0)
= 1 − 0.01024 = 0.98976
המאורע "לפחות 4" כלול במאורע "לפחות 1":📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
P = 0.336960.98976
= 3511031 ≈ 0.3405
✅ פתרון סופי: 3511031 ≈ 0.3405

סעיף ד – האחרון נבדק, בהינתן בדיוק 2

בהינתן שבדיוק 2 מתוך 5 נבדקו, כל סידור של שני הנבדקים בין חמשת המקומות שווה הסתברות:📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
P = C(4 , 1) · 0.62 · 0.43C(5 , 2) · 0.62 · 0.43
= 410 = 0.4
✅ פתרון סופי: 0.4

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.38
סעיף ב0.33696
סעיף ג3511031 ≈ 0.3405
סעיף ד0.4
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – ברנולי
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גאומטרייה: מעגלים משיקים, משיקים משותפים ויחס שטחים

📄 נוסח השאלה

שני מעגלים משיקים זה לזה בנקודה A (ראה סרטוט). הנקודה O היא מרכז המעגל השמאלי.

מעבירים בנקודה A משיק משותף לשני המעגלים. B ו־C הן נקודות ההשקה של ישר נוסף שמשיק לשני המעגלים. שני המשיקים נחתכים בנקודה M.

א. הוכח כי הזווית BAC ישרה.

ב. הוכח כי 4 · AM2 = AC2 + AB2 .

נתון: AB = 8 , AC = 6 .

ג. חשב את רדיוס המעגל שמרכזו הוא בנקודה O.

ד. חשב את יחס השטחים SOBMSAMC .

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – BAC ישרה

מ־M יוצאים שני משיקים למעגל השמאלי (MB , MA) ושני משיקים למעגל הימני (MA , MC):📐 משפט: משיקים מנקודה למעגלשני קטעי המשיקים היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה
MB = MA
MC = MA
MA = MB = MC = BC2
AM הוא תיכון לצלע BC במשולש ABC ושווה למחציתה:📐 משפט: תיכון במשולשאם התיכון לצלע שווה למחצית הצלע – המשולש ישר זווית, והזווית מול הצלע ישרה
∢BAC = 90
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב – הוכחה

BC = 2AM
המשולש ABC ישר זווית ב־A:📐 נוסחה: משפט פיתגורסBC2 = AB2 + AC2
BC2 = AB2 + AC2
(2AM)2 = AC2 + AB2
4 · AM2 = AC2 + AB2
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ג – רדיוס המעגל O

4 · AM2 = 36 + 64 = 100
⟹ AM = 5
MB = MA = 5
OA = OB (רדיוסים) ו־MA = MB, לכן OM הוא האנך האמצעי של AB. נסמן ב־N את אמצע AB:📐 משפט: אנך אמצעינקודה שנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע נמצאת על האנך האמצעי שלו
BN = 4
∢BNM = 90
MN = √52 − 42 = 3
∢OBM = 90 (רדיוס מאונך למשיק), ו־BN הוא הגובה ליתר OM:📐 משפט: גובה ליתר במשולש ישר זוויתOBBM = BNMN (משולשים דומים OBN ∼ BMN)
OB5 = 43
R = OB = 203
✅ פתרון סופי: R = 203 ≈ 6.67

סעיף ד – יחס השטחים

OBM ישר זווית ב־B:📐 נוסחה: שטח משולשS = a · h2S = a · b2 (ישר זווית)
SOBM = 203 · 52 = 503
AMC שווה שוקיים (MA = MC = 5), בסיס AC = 6. הגובה מ־M חוצה את הבסיס:
h = √52 − 32 = 4
SAMC = 6 · 42 = 12
SOBMSAMC = 50312 = 2518
▬ המעגלים (כחול) · ▬ המשיקים (סגול) · ▬ המשולש ABC (ירוק חזק) · ▬ המשולש OBM (תכלת)
BCMAO
✅ פתרון סופי: 2518

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אהוכח
סעיף בהוכח
סעיף גR = 203
סעיף ד2518
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – טריגונומטריה: משיקים, מרובעים בני חסימה וקטרים

📄 נוסח השאלה

DB ו־DC משיקים למעגל שמרכזו O, כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: R.

המשך BD חותך את המשך OC בנקודה A. הקטע OD והמיתר BC נחתכים בנקודה M. הקטע CE מאונך ל־AB.

נסמן: ∢ABC = x (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית).

א. הסבר מדוע אפשר לחסום במעגל: (1) את המרובע OBDC ; (2) את המרובע MDEC.

נסמן: d1 הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע OBDC; d2 הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע MDEC; d3 הוא קוטר המעגל החוסם את המשולש AOD.

ב. הבע באמצעות x ו־R את d1 , את d2 ואת d3.

ג. מצא את הערך של x שבעבורו מתקיים: d2d1 = d1d3 .

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – מרובעים בני חסימה

(1) רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה:
∢OBD = ∢OCD = 90
∢OBD + ∢OCD = 180📐 משפט: מרובע בר חסימהמרובע שסכום שתי זוויות נגדיות בו 180 – בר חסימה
זוויות נגדיות משלימות ל־180, לכן OBDC בר חסימה.
(2) DB = DC ו־OB = OC, לכן OD האנך האמצעי של BC:📐 משפט: משיקים מנקודהקטעי המשיקים שווים, והקטע מהנקודה למרכז חוצה את הזווית המרכזית ומאונך למיתר ההשקה
∢DMC = 90
∢DEC = 90 (CE ⊥ AB)
הנקודות M ו־E רואות את DC בזווית ישרה, לכן MDEC בר חסימה (במעגל שקוטרו DC).📐 משפט: זווית ישרה נשענת על קוטרשתי נקודות שרואות קטע בזווית ישרה נמצאות על מעגל שהקטע הוא קוטרו
✅ פתרון סופי: הוסבר

סעיף ב – הקטרים

הזווית ABC היא זווית בין המשיק BA למיתר BC:📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית שנשענת על אותה קשת (מחצית הזווית המרכזית)
∢BOC = 2x
∢BOD = x📐 משפט: משיקים מנקודהקטעי המשיקים שווים, והקטע מהנקודה למרכז חוצה את הזווית המרכזית ומאונך למיתר ההשקה
d1: ∢OBD = 90, לכן OD קוטר המעגל החוסם את OBDC. במשולש OBD:📐 נוסחה: טריגונומטריה במשולש ישר זוויתcos x = ניצב לידיתרtan x = ניצב מולניצב ליד
cos x = ROD
d1 = OD = Rcos x
d2: לפי א(2), DC הוא קוטר המעגל החוסם את MDEC:
tan x = BDR
d2 = DC = BD = R tan x
d3: במשולש OBA (∢OBA = 90):
∢OAD = 90 − 2x
במשולש AOD, לפי משפט הסינוסים:📐 נוסחה: משפט הסינוסיםasin A = 2R
d3 = ODsin(90 − 2x)
= Rcos xcos 2x
d3 = Rcos x · cos 2x
OBCDAME
✅ פתרון סופי: d1 = Rcos x ; d2 = R tan x ; d3 = Rcos x cos 2x

סעיף ג – מציאת x

d2d1 = R tan x · cos xR = sin x
d1d3 = Rcos x · cos x cos 2xR = cos 2x
sin x = cos 2x
sin x = 1 − 2sin2x📐 נוסחה: זווית כפולהcos 2x = 1 − 2sin2x
2sin2x + sin x − 1 = 0
(2sin x − 1)(sin x + 1) = 0
x זווית חדה (ונדרש 2x < 90 כדי ש־A תהיה קיימת), לכן sin x = −1 נפסל:
sin x = 12
⟹ x = 30
✅ פתרון סופי: x = 30

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אהוסבר
סעיף בd1 = Rcos x , d2 = R tan x , d3 = Rcos x cos 2x
סעיף גx = 30
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – טריגו עם מעגל 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציות רציונליות, אי־זוגיות, אינטגרל ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונות הפונקציות: f(x) = x(x2 − 2)2 , g(x) = x(x2 − 2)3 .

א. ענה על תת־סעיפים (1)–(4) בעבור כל אחת משתי הפונקציות f(x) ו־g(x).

(1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

(2) מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים.

(3) הראה כי אין לפונקציה נקודות קיצון.

(4) הוכח כי הפונקציה אי־זוגית.

ב. (1) הגרף שלפניך מתאר את אחת הפונקציות f(x) , g(x). קבע איזו מן הפונקציות הגרף מתאר. נמק את קביעתך.

הגרף מתוך השאלון

(2) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה האחרת.

נתונה פונקציה h(x) שמקיימת: h′(x) = f(x) . f(x) ו־h(x) מוגדרות באותו תחום.

ג. מה הם תחומי העלייה והירידה של h(x) ?

ד. חשב את: (1) ∫−11 f(x) dx . נמק את תשובתך. (2) השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f(x) , ציר ה־x והישרים x = −1 , x = 1 .

נתונה הפונקציה k(x) = f(x) + b . b ≠ 0 הוא פרמטר.

ה. האם הפונקציה k(x) זוגית, אי־זוגית או לא זוגית ולא אי־זוגית? נמק את תשובתך.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום, אסימפטוטות, קיצון, אי־זוגיות

(1) לשתי הפונקציות:📐 נוסחה: תחום הגדרההמכנה שונה מ־0
x2 − 2 ≠ 0
⟹ x ≠ ±√2
(2) אנכיות: המכנה מתאפס והמונה ±√2 ≠ 0:
x = √2
x = −√2
אופקית: חזקת המכנה (4 או 6) גדולה מחזקת המונה (1):
y = 0
(3) f:📐 נוסחה: נגזרת מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
f′(x) = (x2 − 2)2 − 4x2(x2 − 2)(x2 − 2)4
= x2 − 2 − 4x2(x2 − 2)3 = −3x2 − 2(x2 − 2)3
המונה −3x2 − 2 < 0 תמיד – הנגזרת לא מתאפסת, אין קיצון.
g:
g′(x) = (x2 − 2)3 − 6x2(x2 − 2)2(x2 − 2)6
= x2 − 2 − 6x2(x2 − 2)4 = −5x2 − 2(x2 − 2)4
המונה −5x2 − 2 < 0 תמיד – אין קיצון.
(4) התחום סימטרי.📐 נוסחה: פונקציה אי־זוגיתf(−x) = −f(x) לכל x בתחום
f(−x) = −x((−x)2 − 2)2 = −f(x)
g(−x) = −x((−x)2 − 2)3 = −g(x)
✅ פתרון סופי: x ≠ ±√2 ; x = ±√2 , y = 0

סעיף ב – זיהוי הגרף וסקיצה

(1) בגרף, כאשר 0 < x < √2 הפונקציה חיובית.
ב־f המכנה (x2 − 2)2 > 0, לכן הסימן של f הוא הסימן של x: חיובית כאשר x > 0 ✓.
ב־g, כאשר 0 < x < √2: המונה חיובי והמכנה (x2 − 2)3 < 0 – שלילית ✗.
לכן הגרף מתאר את f(x).
(2) g: יורדת בכל תחום (סעיף א), עוברת בראשית, שלילית כאשר 0 < x < √2 וחיובית כאשר x > √2, אי־זוגית:
▬ g(x) (סגול) · ▬ האסימפטוטות x = ±√2 (תכלת)
xy√2
✅ פתרון סופי: הגרף מתאר את f(x)

סעיף ג – עלייה וירידה של h

📐 נוסחה: קשר בין פונקציה לנגזרתh′ > 0 – עולה ; h′ < 0 – יורדת
h′(x) = f(x)
f > 0 כאשר x > 0 ו־f < 0 כאשר x < 0 (בתחום):
עלייה: 0 < x < √2 , x > √2
ירידה: x < −√2 , −√2 < x < 0
✅ פתרון סופי: עלייה: 0 < x < √2 , x > √2 ; ירידה: x < −√2 , −√2 < x < 0

סעיף ד – אינטגרל ושטח

(1) f אי־זוגית ורציפה בקטע [−1 , 1] (האסימפטוטות מחוץ לקטע):📐 משפט: אינטגרל של פונקציה אי־זוגית∫−aa f(x) dx = 0
∫−11 f(x) dx = 0
(2) השטח סימטרי, וכאשר 0 < x < 1 , f > 0:
S = 2∫01 x(x2 − 2)2 dx
2x היא הנגזרת של x2 − 2:📐 נוסחה: אינטגרל עם נגזרת פנימית∫ u′u2 dx = −1u + c
∫ x(x2 − 2)2 dx = −12(x2 − 2) + c
S = 2[−12(x2 − 2)]01
= 2(12 − 14)
S = 12
▬ f(x) (כחול) · ▬ השטח (ירוק חלש)
xy−111
✅ פתרון סופי: (1) 0 ; (2) 12

סעיף ה – זוגיות של k

k(−x) = f(−x) + b = −f(x) + b
זוגית אם k(−x) = k(x):
−f(x) + b = f(x) + b
⟹ f(x) = 0
לא מתקיים לכל x בתחום.
אי־זוגית אם k(−x) = −k(x):
−f(x) + b = −f(x) − b
⟹ b = 0
אבל b ≠ 0.
✅ פתרון סופי: לא זוגית ולא אי־זוגית

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף אx ≠ ±√2 ; x = ±√2 , y = 0
סעיף בf(x)
סעיף געלייה x>0 בתחום, ירידה x<0 בתחום
סעיף ד0 ; 12
סעיף הלא זוגית ולא אי־זוגית
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 39 – שאלת חשיבה אינטגרל עם פונקציה אי זוגית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציית שורש עם פרמטר ו־1 חלקי f

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה: f(x) = √3x2 − 4ax3 . a > 0 הוא פרמטר.

בסעיפים א–ה, בטא את תשובותיך באמצעות a , לפי הצורך.

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) ?

ב. הוכח שהפונקציה f(x) אי־זוגית.

ג. (1) מה הם שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים? (2) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן.

ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה גם הפונקציה: g(x) = 1f(x) .

ה. (1) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה g(x) ? (2) מה הן משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x) , אם יש כאלה?

ידוע כי בכל אחת מנקודות הקיצון הפנימיות של הפונקציות f(x) ו־g(x) , יש לגרף של f(x) ולגרף של g(x) משיק משותף.

ו. (1) הוסף לסרטוט שבמחברתך סקיצה של גרף הפונקציה g(x) . פרט את שיקוליך. (2) מהו הערך של a ? נמק את תשובתך.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

📐 נוסחה: תחום הגדרה של שורש√u מוגדר כאשר u ≥ 0 ; מכנה ≠ 0
3x2 − 4a ≥ 0
⟹ x2 ≥ 4a3
x ≤ −√4a3 או x ≥ √4a3
(ו־x ≠ 0 מתקיים ממילא.)
✅ פתרון סופי: x ≤ −√4a3 או x ≥ √4a3

סעיף ב – אי־זוגיות

התחום סימטרי.📐 נוסחה: פונקציה אי־זוגיתf(−x) = −f(x)
f(−x) = √3(−x)2 − 4a(−x)3
= √3x2 − 4a−x3 = −f(x)
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ג – חיתוך וקיצון

(1) x = 0 לא בתחום – אין חיתוך עם ציר y. ציר x:
3x2 − 4a = 0
⟹ x = ±√4a3
(2)📐 נוסחה: נגזרת מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
u = √3x2 − 4a📐 נוסחה: נגזרת שורש(√u)′ = u′2√u
u′ = 6x2√3x2 − 4a = 3x√3x2 − 4a
v = x3
v′ = 3x2
נכפיל מונה ומכנה ב־√3x2 − 4a:
f′(x) = 3x4 − 3x2(3x2 − 4a)x6√3x2 − 4a
= 3x2(4a − 2x2)x6√3x2 − 4a = 6(2a − x2)x4√3x2 − 4a
f′(x) = 0
⟹ x2 = 2a
⟹ x = ±√2a
(2a > 4a3 , לכן הנקודות בתחום.) הסימן של f′ הוא הסימן של 2a − x2:
√4a3 < x < √2a: עלייה; x > √2a: ירידה.
f(√2a) = √6a − 4a2a√2a = √2a2a√2a = 12a
ובקצה התחום (√4a3 , 0): הפונקציה עולה ממנה – מינימום (קצה). לפי אי־זוגיות, בצד השמאלי הסוגים מתחלפים:
מקסימום (√2a , 12a)
מינימום (√4a3 , 0)
מינימום (−√2a , −12a)
מקסימום (−√4a3 , 0)
✅ פתרון סופי: (±√4a3 , 0) ; מקסימום (√2a , 12a) , מינימום (−√2a , −12a)

סעיף ד – סקיצה של f

כאשר x → ∞: f → 0 (חזקת המכנה גדולה) – אסימפטוטה y = 0. הגרף מתחיל ב־(√4a3 , 0), עולה למקסימום ויורד לאפס; הענף השמאלי סימטרי לראשית.
הסקיצה בסוף השאלה (כחול), עבור a = 0.5.
✅ פתרון סופי: ראה סקיצה

סעיף ה – g(x)

g(x) = x3√3x2 − 4a
(1) המכנה שונה מ־0, לכן הקצוות לא שייכים:
x < −√4a3 או x > √4a3
(2) אנכיות – המכנה שואף ל־0 בקצוות:
x = √4a3
x = −√4a3
אופקית: כאשר x → ±∞, g → ±∞ (מונה ממעלה 3, מכנה כמו x) – אין.
✅ פתרון סופי: x < −√4a3 או x > √4a3 ; x = ±√4a3

סעיף ו – g וערך a

(1) קוראים את g = 1f מתוך הגרף של f (סעיף ד), בלי לגזור.
נעבור על הענף הימני:📐 משפט: הגרף של 1 חלקי ff עולה ⇐ 1f יורדת (ולהפך)
מקסימום של f ⇐ מינימום של 1f
כש־f → 0+ ⇐ 1f → ∞
• ב־x = √4a3 מתקיים f = 0, ולכן ל־g יש שם אסימפטוטה אנכית (g → ∞).
• f עולה עד המקסימום (√2a , 12a).
⇐ g יורדת מ־∞ עד המינימום:
מינימום (√2a , 2a)
• אחר כך f יורדת אל 0+ (כש־x → ∞).
⇐ g עולה שוב ל־∞.
• הענף השמאלי: f אי־זוגית, ולכן גם g – הגרף סימטרי לראשית:
מקסימום (−√2a , −2a)
(2) בנקודות הקיצון הפנימיות המשיקים אופקיים. משיק משותף ב־x = √2a פירושו אותו ישר:📐 נוסחה: משיק בנקודת קיצוןמשיק אופקי: y = f(x0)
12a = 2a
4a2 = 1
⟹ a = 12 (a > 0)
▬ f(x) (כחול) · ▬ g(x) (סגול) · ▬ המשיקים המשותפים y = ±1 (ירוק חזק) · ▬ x = ±√(4a/3) (תכלת)
xy1−11−1
✅ פתרון סופי: a = 12

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א|x| ≥ √4a3
סעיף גמקסימום (√2a , 12a) , מינימום (−√2a , −12a)
סעיף הx = ±√4a3
סעיף וa = 12
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – פתרון בגרות 2021 מועד א-חקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת שורש 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון בטריגונומטריה: היקף משולש מקסימלי

📄 נוסח השאלה

במשולש ABC אורך הצלע BC הוא a.

נתון: ∢BAC = y (y ברדיאנים; בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית).

נסמן: ∢ABC = x ( 0 < x < π − y ).

א. הבע באמצעות x , a ו־y את היקף המשולש ABC.

ב. הבע באמצעות y את ערך ה־x שבעבורו היקף המשולש ABC הוא מקסימלי.

ג. הסבר מדוע מתקיים המשפט הזה: מכל המשולשים בעלי צלע נתונה וזווית מולה נתונה, המשולש בעל ההיקף המקסימלי הוא משולש שווה שוקיים.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – ההיקף

∢ACB = π − x − y📐 נוסחה: סכום זוויות במשולשA + B + C = πsin(π − t) = sin t
לפי משפט הסינוסים:📐 נוסחה: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C
AC = a sin xsin y
AB = a sin(π − x − y)sin y = a sin(x + y)sin y
P(x) = a + a sin xsin y + a sin(x + y)sin y
✅ פתרון סופי: P = a + a sin x + a sin(x + y)sin y

סעיף ב – היקף מקסימלי

P′(x) = a cos x + a cos(x + y)sin y📐 נוסחה: נגזרת(sin x)′ = cos x(sin(x + y))′ = cos(x + y) ( y קבוע )
P′(x) = 0
⟹ cos x = −cos(x + y)
cos x = cos(π − x − y)
בתחום 0 < x < π − y שתי הזוויות בין 0 ל־π, לכן:📐 נוסחה: משוואה עם קוסינוסcos t = cos s ⟹ t = ±s + 2πk
x = π − x − y
x = π − y2
בדיקה: P″(x) = −a sin x + a sin(x + y)sin y < 0 (כל הסינוסים חיוביים בתחום) – מקסימום.
✅ פתרון סופי: x = π − y2

סעיף ג – הסבר

לפי סעיף ב, ההיקף מקסימלי כאשר x = π − y2. אז:
∢ACB = π − y − π − y2 = π − y2
∢ABC = ∢ACB
⟹ AB = AC
החישוב נכון לכל a ולכל y, ולכן מכל המשולשים עם צלע נתונה והזווית מולה נתונה – בעל ההיקף המקסימלי שווה שוקיים.
▬ המשולש שווה השוקיים (היקף מקסימלי) (ירוק חזק) · ▬ משולש אחר עם אותם נתונים (כחול)
BCAA′
✅ פתרון סופי: הוסבר

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אP = a + a sin x + a sin(x + y)sin y
סעיף בx = π − y2
סעיף גהוסבר
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – משפט הסינוסים 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות