בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 – קיץ 2022 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 8 שאלות בשלושה פרקים: פרק ראשון – "שאלות קצרות", סדרות והסתברות (שאלות 1–3); פרק שני – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4–5); פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (שאלות 6–8). עונים על 5 שאלות לבחירה, 20 נקודות לכל שאלה; בשאלה 1 עונים על 3 מתוך 4 הסעיפים. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. כאן פתורות כל 8 השאלות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 טופס✅ פתרון סופי

📄 טופס הבחינה

📥 הורדה🖨️ הדפסה

🔍 אפשר להגדיל באצבעות, או להקיש על עמוד כדי לפתוח אותו בגודל מלא.

טופס הבחינה – שאלון 35571 – קיץ 2022 מועד א – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 7
טופס הבחינה – שאלון 35571 – קיץ 2022 מועד א – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 7
טופס הבחינה – שאלון 35571 – קיץ 2022 מועד א – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 7
טופס הבחינה – שאלון 35571 – קיץ 2022 מועד א – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 7
טופס הבחינה – שאלון 35571 – קיץ 2022 מועד א – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 7
טופס הבחינה – שאלון 35571 – קיץ 2022 מועד א – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 7
טופס הבחינה – שאלון 35571 – קיץ 2022 מועד א – עמוד 7
עמוד 7 מתוך 7

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – שאלות קצרות: אינדוקציה, גרף הנגזרת, אינטגרל מצטבר, משיקים למעגל

📄 נוסח השאלה

ענו על שלושה מארבעת הסעיפים א–ד. כאן פתורים כל ארבעת הסעיפים.

א. (1) בעבור כל n טבעי, הוכיחו באינדוקצייה או בדרך אחרת כי הביטוי 4n − 1 מתחלק ב־3 ללא שארית.

(2) נתון: p הוא מספר שלם. כתבו דוגמה לערך של p שבעבורו הביטוי 4n+1 + p מתחלק ב־12 ללא שארית, לכל n טבעי.

ב. נתונה הפונקציה: f(x) = (2 − 1x)3.

(1) אחד מן הגרפים א–ג מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). קבעו איזה מהם ונמקו בקצרה.

הגרפים א–ג מתוך השאלון

(2) קבעו כמה נקודות פיתול יש לפונקצייה f(x). נמקו את התשובה.

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה f(x) המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ 7.

גרף הפונקציה f(x) מתוך השאלון

ונתונה הפונקצייה h(t) = ∫0t f(x)dx בתחום זה.

(1) חשבו את הערכים של h(0) , h(3) , h(5).

(2) קבעו באיזה תחום h(t) יורדת. נמקו את התשובה.

ד. משולש ABC שווה שוקיים (AB = AC) חסום במעגל (ראו סרטוט). נסמן את זווית הראש של המשולש ב־2x. (בשאלון מסומן באות יוונית; כאן x.)

סרטוט סעיף ד מתוך השאלון

דרך כל אחד מקודקודי המשולש מעבירים משיק למעגל. המשיקים נפגשים בנקודות D , E ו־F, כמתואר בסרטוט.

הביעו באמצעות x את זוויות המשולש DEF.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – הוכחה באינדוקציה

בדיקה עבור n = 1: 4 − 1 = 3 – מתחלק ב־3.
הנחה: 4k − 1 = 3m (m שלם).
הוכחה עבור n = k + 1:
4k+1 − 1 = 4 · 4k − 1📐 משפט: אינדוקציה1. בדיקה עבור n = 12. הנחה עבור n = k , הוכחה עבור n = k + 1
= 4(4k − 1) + 4 − 1
= 4 · 3m + 3 = 3(4m + 1)
מתחלק ב־3, ולכן הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף א (2) – דוגמה ל־p

4n+1 + p = 4 · 4n + p
= 4(4n − 1) + 4 + p
לפי (1) 4n − 1 = 3m, ולכן 4(4n − 1) = 12m מתחלק ב־12. מספיק ש־4 + p יתחלק ב־12:
4 + p = 12 ⟹ p = 8
(גם כל p = 8 + 12m מתאים, למשל p = −4.)
✅ פתרון סופי: p = 8

סעיף ב (1) – גרף הנגזרת

f′(x) = 3(2 − 1x)2 · 1x2📐 נוסחה: נגזרת של חזקה (שרשרת)((g(x))3)′ = 3(g(x))2 · g′(x)(−1x)′ = 1x2
f′(x) = 3(2x − 1)2x4
תכונות: f′(x) ≥ 0 לכל x ≠ 0; f′(12) = 0; כאשר x → 0 f′ → ∞; כאשר x → ±∞ f′ → 0.
בגרף א הגרף מימין לא מתקרב ל־0, ובגרף ב יש ערכים שליליים. רק גרף ג לא שלילי, נוגע בציר ה־x בנקודה חיובית ומתקרב ל־0 באין־סוף.
✅ פתרון סופי: גרף ג

סעיף ב (2) – נקודות פיתול

נקודות הפיתול של f הן נקודות שבהן f″ מחליפה סימן, כלומר נקודות קיצון של f′. נגזור את f′:
f″(x) = u′v − uv′v2📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
עם u = 3(2x − 1)2 , v = x4:
u′v − uv′ = 12(2x − 1)x4 −
− 3(2x − 1)2 · 4x3
= 12(2x − 1)x3(x − (2x − 1))
= 12(2x − 1)x3(1 − x)
f″(x) = 12(2x − 1)(1 − x)x5
f″ = 0 ⟹ x = 12 , x = 1
בשתי הנקודות f″ מחליפה סימן (גורמים בחזקה ראשונה). בגרף ג רואים זאת: מינימום של f′ ב־12 ומקסימום אחריו.
לכן ל־f שתי נקודות פיתול.📐 משפט: נקודת פיתולf″(x) = 0ו־f″ מחליפה סימן
✅ פתרון סופי: 2 נקודות פיתול

סעיף ג (1) – h(0), h(3), h(5)

h(0) = ∫00 f(x)dx = 0
h(3) – השטח מתחת לגרף מ־0 עד 3 (הגרף מעל הציר):
0 ≤ x ≤ 1 : 1 · 2 = 2
1 ≤ x ≤ 2 : (2 + 4) · 12 = 3📐 נוסחה: שטח טרפזS = (a + b) · h2
2 ≤ x ≤ 3 : 1 · 42 = 2📐 נוסחה: שטח משולשS = צלע · גובה2
h(3) = 2 + 3 + 2 = 7
מ־3 עד 5 הגרף מתחת לציר (משולש עם בסיס 2 וגובה 2), ולכן מחסירים:
h(5) = 7 − 2 · 22 = 5
✅ פתרון סופי: h(0) = 0 , h(3) = 7 , h(5) = 5

סעיף ג (2) – תחום הירידה של h

h′(t) = f(t)📐 נוסחה: אינטגרל מצטברg(t) = ∫at f(x)dx⟹ g′(t) = f(t)
f(t) < 0 בתחום 3 < t < 7, ולכן שם h יורדת.📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולה , f′ < 0 – יורדת
✅ פתרון סופי: 3 < t < 7

סעיף ד – זוויות המשולש DEF

במשולש שווה השוקיים זוויות הבסיס שוות:
∢ABC = ∢ACB = 180 − 2x2 = 90 − x📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
הזווית D: DA ו־DC משיקים, ולכן DA = DC. הזווית בין המשיק DA למיתר AC שווה לזווית ההיקפית ∢ABC:
∢DAC = ∢ABC = 90 − x📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
∢DCA = ∢DAC = 90 − x📐 משפט: משיקים ממקום אחדשני משיקים למעגל מנקודה אחת שווים זה לזה
∢D = 180 − 2(90 − x) = 2x
הזווית E: באותו אופן (EA = EB , ∢EAB = ∢ACB = 90 − x):
∢E = 2x
הזווית F:
∢F = 180 − 2x − 2x = 180 − 4x📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢D = ∢E = 2x , ∢F = 180 − 4x

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א (1)הוכחה
סעיף א (2)p = 8
סעיף ב (1)גרף ג
סעיף ב (2)2
סעיף ג (1)0 , 7 , 5
סעיף ג (2)3 < t < 7
סעיף ד2x , 2x , 180 − 4x
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 39 – קשר בין הפונקציה לנגזרת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סדרות הנדסיות: שילוב איברים וסכום אינסופי

📄 נוסח השאלה

סדרה I היא סדרה הנדסית אין־סופית שאיבריה הם a1 , a2 , a3 , … ומנתה היא 9 · r2.

נתון: 0 < r < 13.

בין כל שני איברים בסדרה I הכניסו איבר נוסף, ונוצרה סדרה הנדסית חדשה יורדת, סדרה II, שאיבריה הם b1 , b2 , b3 , … ומנתה היא q.

א. (1) הביעו את q באמצעות r.

(2) הסבירו מדוע שתי הסדרות I ו־II מתכנסות.

נתון כי סכום סדרה II גדול פי 43 מסכום סדרה I.

ב. חשבו את q.

נתון כי סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה II הוא 12.

ג. מצאו את סכום כל האיברים של סדרה II במקומות שמתחלקים ב־5 (b5 , b10 , b15 , …).

ד. מצאו בסדרה II את היחס בין האיבר החמישי לבין סכום כל האיברים שאחרי איבר זה.

ה. הוכיחו כי בכל סדרה הנדסית מתכנסת היחס בין איבר כלשהו לבין סכום כל האיברים שאחריו אינו תלוי במיקום של האיבר בסדרה.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א (1) – המנה של סדרה II

נסמן את האיברים של סדרה II ב־bn ואת המנה שלה ב־q.
הכניסו איבר בין כל שני איברים של סדרה I, ולכן איברי סדרה I נמצאים בסדרה II במקומות האי־זוגיים: a1 = b1 , a2 = b3 , …
a2 = a1 · 9r2📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
b3 = b1 · q2📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
מכיוון ש־a1 = b1 ו־a2 = b3:
q2 = 9r2
q = 3r או q = −3r
סדרה II יורדת, ולכן כל איבריה באותו סימן והמנה חיובית (במנה שלילית הסימנים מתחלפים והסדרה אינה יורדת).
לכן q = 3r (ו־r חיובי).
✅ פתרון סופי: q = 3r

סעיף א (2) – שתי הסדרות מתכנסות

סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת כאשר המנה בין −1 ל־1 (ושונה מ־0).📐 נוסחה: תנאי התכנסות−1 < q < 1 , q ≠ 0
סדרה II:
0 < r < 13
0 < 3r < 1
המנה 3r בין 0 ל־1, ולכן סדרה II מתכנסת.
סדרה I:
0 < r2 < 19
0 < 9r2 < 1
המנה 9r2 בין 0 ל־1, ולכן גם סדרה I מתכנסת.
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב – המנה של סדרה II

המנה של סדרה I היא 9r2 = (3r)2 = q2 , והאיבר הראשון של שתיהן b1.
SI = b11 − q2📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q−1 < q < 1 , q ≠ 0
SII = b11 − q📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q−1 < q < 1 , q ≠ 0
לפי הנתון:
SII = 43 · SI
b11 − q = 43 · b1(1 − q)(1 + q)📐 נוסחה: הפרש ריבועים1 − q2 = (1 − q)(1 + q)
נחלק את שני האגפים ב־b11 − q (שונה מ־0):
1 = 43(1 + q)
3(1 + q) = 4
1 + q = 43
q = 13
✅ פתרון סופי: q = 13

סעיף ג – סכום האיברים במקומות שמתחלקים ב־5

מציאת b1: האיברים במקומות הזוגיים b2 , b4 , b6 , … הם סדרה הנדסית:
איבר ראשון: b2 = b1 · q = b13📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
מנה: q2 = 19
b131 − 19 = 12📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q−1 < q < 1 , q ≠ 0
b13 : 89 = 12
b13 · 98 = 12
3b18 = 12
b1 = 32
האיברים במקומות שמתחלקים ב־5: b5 , b10 , b15 , …
b5 = 32 · (13)4 = 3281📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
מנה: q5 = (13)5 = 1243
S = 32811 − 1243📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q−1 < q < 1 , q ≠ 0
S = 3281 · 243242
S = 32 · 3242 = 96242 = 48121 ≈ 0.397
✅ פתרון סופי: 48121 ≈ 0.397

סעיף ד – היחס בין האיבר החמישי לסכום האיברים שאחריו

b5 = 3281
האיברים שאחרי b5 הם b6 , b7 , … – סדרה הנדסית אין־סופית עם אותה מנה.
b6 = b5 · q = 3281 · 13 = 32243📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
S = 322431 − 13📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q−1 < q < 1 , q ≠ 0
S = 32243 · 32 = 1681
b5S = 3281 : 1681 = 2
✅ פתרון סופי: 2 (האיבר החמישי גדול פי 2 מסכום האיברים שאחריו)

סעיף ה – היחס אינו תלוי במיקום

נסמן איבר כלשהו בסדרה ב־an. האיברים שאחריו: an+1 , an+2 , … – סדרה הנדסית אין־סופית עם מנה q.
an+1 = an · q📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
S = an · q1 − q📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q−1 < q < 1 , q ≠ 0
anS = an : an · q1 − q
anS = an · 1 − qan · q
anS = 1 − qq
הביטוי 1 − qq תלוי רק במנה q ולא ב־n, כלומר היחס אינו תלוי במיקום של האיבר – כנדרש. (בדיקה עם סעיף ד: 1 − 1313 = 2 ✔)
✅ פתרון סופי: הוכח

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א (1)q = 3r
סעיף א (2)הסבר
סעיף בq = 13
סעיף ג48121
סעיף ד2
סעיף ההוכחה – היחס 1 − qq
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות: ניצחון, הפסד ותיקו

📄 נוסח השאלה

נטע משחקת במשחק מסוים. במשחק זה יש בדיוק שלוש תוצאות אפשריות: ניצחון, תיקו והפסד.

ההסתברות שנטע תנצח במשחק גדולה פי 3 מן ההסתברות שהיא תפסיד במשחק.

נסמן ב־p את ההסתברות שנטע תפסיד במשחק (p > 0).

בשאלה כולה תוצאות המשחקים אינן תלויות זו בזו.

נתון שאם נטע משחקת 2 משחקים בזה אחר זה, ההסתברות שהיא תנצח במשחק אחד לפחות היא 4.5p.

א. מצאו את הערך של p.

נטע שיחקה 5 משחקים בזה אחר זה.

ב. מצאו את ההסתברות שנטע תנצח ב־3 משחקים לפחות.

ג. מצאו את ההסתברות שנטע תנצח בשלושת המשחקים הראשונים לפחות.

ד. (1) מצאו את ההסתברות שנטע לא תפסיד בשום משחק.

(2) ידוע כי נטע הפסידה במשחק אחד לפחות. מהי ההסתברות שהיא ניצחה בשלושת המשחקים הראשונים וקיבלה תוצאת תיקו במשחק האחרון?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הערך של p

ההסתברויות במשחק אחד:
P(הפסד) = p
P(ניצחון) = 3p
P(תיקו) = 1 − p − 3p = 1 − 4p📐 נוסחה: סכום ההסתברויותסכום ההסתברויות של כל התוצאות = 1
"ניצחון במשחק אחד לפחות" – המאורע המשלים: אין ניצחון באף אחד משני המשחקים.
P(אין ניצחון במשחק) = 1 − 3p📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)
P(אין ניצחון בשניהם) = (1 − 3p)2📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)
ניצחון אחד לפחות:
P = 1 − (1 − 3p)2📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)
לפי הנתון:
1 − (1 − 3p)2 = 4.5p
1 − (1 − 6p + 9p2) = 4.5p📐 נוסחה: ריבוע של הפרש(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
6p − 9p2 = 4.5p
1.5p − 9p2 = 0
p(1.5 − 9p) = 0
p = 0 או p = 1.59 = 16
נתון p > 0, ולכן p = 16.
אז: P(ניצחון) = 12 , P(תיקו) = 1 − 46 = 13.
✅ פתרון סופי: p = 16

סעיף ב – ניצחון ב־3 משחקים לפחות

5 משחקים בלתי תלויים, בכל משחק "הצלחה" = ניצחון בהסתברות 12 – ניסוי ברנולי.
P5(3) = C(5,3) · (12)3 · (12)2📐 נוסחה: נוסחת ברנוליPn(k) = C(n,k)·pk·(1 − p)n−k
P5(3) = 10 · 132 = 1032
P5(4) = C(5,4) · (12)4 · 12📐 נוסחה: נוסחת ברנוליPn(k) = C(n,k)·pk·(1 − p)n−k
P5(4) = 5 · 132 = 532
P5(5) = C(5,5) · (12)5 = 132📐 נוסחה: נוסחת ברנוליPn(k) = C(n,k)·pk·(1 − p)n−k
ניצחון ב־3 משחקים לפחות:
P = P5(3) + P5(4) + P5(5)
P = 10 + 5 + 132 = 1632 = 12
✅ פתרון סופי: 12

סעיף ג – ניצחון בשלושת המשחקים הראשונים לפחות

צריך ניצחון במשחקים 1, 2 ו־3. במשחקים 4 ו־5 כל תוצאה מתאימה (הסתברות 1).
P = 12 · 12 · 12 · 1 · 1📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)
P = 18
✅ פתרון סופי: 18

סעיף ד (1) – אף הפסד

לא הפסד במשחק אחד: P = 1 − 16 = 56📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)
אף הפסד ב־5 המשחקים: P = (56)5📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)
P = 31257776 ≈ 0.402
✅ פתרון סופי: 31257776 ≈ 0.402

סעיף ד (2) – הסתברות מותנית

B – נטע הפסידה במשחק אחד לפחות.
P(B) = 1 − 31257776 = 46517776📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)
A – ניצחה בשלושת הראשונים ותיקו במשחק החמישי.
כדי ש־A ו־B יקרו יחד, ההפסד חייב להיות במשחק הרביעי (משחקים 1–3 ניצחון, משחק 5 תיקו):
P(A וגם B) = (12)3 · 16 · 13📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A וגם B) = P(A) · P(B)
P(A וגם B) = 18 · 118 = 1144
P(A | B) = 114446517776📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A וגם B)P(B)
P(A | B) = 1144 · 77764651 = 544651
P(A | B) ≈ 0.0116
✅ פתרון סופי: 544651 ≈ 0.0116

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אp = 16
סעיף ב12
סעיף ג18
סעיף ד (1)≈ 0.402
סעיף ד (2)≈ 0.0116
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – ברנולי
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גאומטרייה: משיק, קוטר ומשולשים דומים

📄 נוסח השאלה

נתון מעגל שרדיוסו R ומרכזו O.

מנקודה A שמחוץ למעגל יוצאים שלושה ישרים:

הישר AB משיק למעגל בנקודה B,

הישר AD עובר דרך מרכז המעגל O וחותך את המעגל בנקודות C ו־D,

והישר AG מאונך לישר AD (ראו סרטוט).

הנקודות B , D ו־G נמצאות על ישר אחד, כמתואר בסרטוט.

נסמן: ∢ADB = x. (בשאלון מסומן באות יוונית; כאן x.)

סרטוט שאלה 4 מתוך השאלון

א. הביעו את כל זוויות המשולש ABG באמצעות x.

ב. הוכיחו: ABAC = DBBC.

נתון: AC = 12DC , AG = 8.

ג. חשבו את R.

נסמן ב־S את שטח המשולש BDC.

ד. (1) הוכיחו: △ADG ∼ △BDC.

(2) הביעו את שטח המשולש ADG באמצעות S.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – זוויות המשולש ABG

סרטוט מדויק בקנה מידה (לפי הנתונים: R = 8√3 , x = 30 מעלות):
ABCDGOx
הזווית ∢ABC: זווית בין המשיק AB למיתר BC.
∢ABC = ∢BDC = x📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
הזווית ∢CBD: CD קוטר (עובר דרך O).
∢CBD = 90📐 משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטרזווית היקפית הנשענת על קוטר שווה 90 מעלות
∢ABD = ∢ABC + ∢CBD = x + 90
הזווית ∢ABG: D , B , G על ישר אחד – זוויות צמודות.
∢ABG = 180 − (x + 90) = 90 − x📐 משפט: זוויות צמודותסכום זוויות צמודות 180 מעלות
הזווית ∢AGB: במשולש ADG הזווית ∢GAD = 90 (נתון AG ⊥ AD).
∢AGD = 180 − 90 − x = 90 − x📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
הזווית ∢BAG: במשולש ABG:
∢BAG = 180 − (90 − x) − (90 − x)📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
∢BAG = 180 − 180 + 2x = 2x
✅ פתרון סופי: ∢BAG = 2x , ∢ABG = ∢AGB = 90 − x

סעיף ב – הוכחה

נתבונן במשולשים ABC ו־ADB:
∢BAC = ∢DAB (זווית משותפת)
∢ABC = ∢ADB = x (סעיף א)📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
△ABC ∼ △ADB📐 משפט: דמיון משולשים (ז.ז.)שתי זוויות שוות בהתאמה ⟸ המשולשים דומים
מהדמיון – יחס הצלעות המתאימות שווה:
ABAD = BCDB = ACAB📐 נוסחה: יחס צלעות במשולשים דומיםABAD = BCDB = ACAB
מהשוויון BCDB = ACAB נהפוך את שני האגפים:
DBBC = ABAC
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ג – חישוב R

לפי סעיף א, במשולש ABG: ∢ABG = ∢AGB = 90 − x.
מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות:
AB = AG = 8📐 משפט: משולש שווה שוקייםמול זוויות שוות במשולש מונחות צלעות שוות
DC = 2R
AC = 12 · 2R = R
AD = AC + CD = R + 2R = 3R
מסעיף ב: ABAD = ACAB, כלומר:
AB2 = AC · AD📐 נוסחה: משיק וחותךAB2 = AC · AD
82 = R · 3R
64 = 3R2
R2 = 643
R = 8√3 = 8√33 ≈ 4.62
✅ פתרון סופי: R = 8√33 ≈ 4.62

סעיף ד (1) – הוכחת דמיון

נתבונן במשולשים ADG ו־BDC:
∢GAD = 90 (נתון AG ⊥ AD)
∢CBD = 90📐 משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטרזווית היקפית הנשענת על קוטר שווה 90 מעלות
∢ADG = ∢BDC = x (זווית משותפת)
△ADG ∼ △BDC📐 משפט: דמיון משולשים (ז.ז.)שתי זוויות שוות בהתאמה ⟸ המשולשים דומים
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ד (2) – שטח המשולש ADG

הצלעות המתאימות: AD (ליד הזווית הישרה A ולזווית D) מתאימה ל־BD (ליד הזווית הישרה B ולזווית D).
AD = 3R = 3 · 8√3 = 24√3 = 8√3
מציאת x במשולש ישר הזווית ADG:
tan x = AGAD📐 נוסחה: טנגנס במשולש ישר זוויתtan x = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית
tan x = 88√3 = 1√3
x = 30 מעלות
מציאת BD במשולש ישר הזווית BDC (היתר DC = 2R):
BD = DC · cos x📐 נוסחה: קוסינוס במשולש ישר זוויתcos x = ניצב ליד הזוויתיתר
BD = 2 · 8√3 · cos 30
BD = 16√3 · √32 = 8
יחס הדמיון: k = ADBD = 8√38 = √3
SADGSBDC = k2 = (√3)2 = 3📐 נוסחה: יחס שטחים במשולשים דומיםS1S2 = k2
SADG = 3S
✅ פתרון סופי: SADG = 3S

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א2x , 90 − x , 90 − x
סעיף בהוכחה
סעיף גR = 8√33 ≈ 4.62
סעיף ד (1)הוכחה
סעיף ד (2)3S
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – טריגונומטרייה: מרובע חסום במעגל

📄 נוסח השאלה

המרובע ABCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R (ראו סרטוט).

נסמן: ∢DAB = x, x היא זווית חדה. (בשאלון מסומן באות יוונית; כאן x.)

סרטוט שאלה 5 מתוך השאלון

א. הביעו את BD באמצעות R ו־x.

נתון: CD = R√2 , BC = R.

ב. מצאו את x.

נתון: BD הוא חוצה הזווית ABC.

ג. מצאו את ∢ABD.

ד. h1 הוא הגובה לצלע BD במשולש ABD, ו־h2 הוא הגובה לצלע BD במשולש BOD.

מצאו את היחס h1h2.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – BD באמצעות R ו־x

סרטוט מדויק בקנה מידה (לפי הנתונים: x = 75 מעלות):
ABCDOh₁h₂
המשולש ABD חסום באותו מעגל שרדיוסו R. לפי משפט הסינוסים, הצלע BD מול הזווית ∢DAB = x:
BDsin x = 2R📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
BD = 2R sin x
✅ פתרון סופי: BD = 2R sin x

סעיף ב – מציאת x

המשולש BCD חסום באותו מעגל.
הזווית ∢BDC (מול BC):
BCsin ∢BDC = 2R📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
Rsin ∢BDC = 2R
sin ∢BDC = 12
∢BCD = 180 − x היא זווית קהה (כי x חדה), ולכן שתי הזוויות האחרות במשולש BCD חדות:
∢BDC = 30
הזווית ∢CBD (מול CD):
CDsin ∢CBD = 2R📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
R√2sin ∢CBD = 2R
sin ∢CBD = √22
∢CBD = 45
הזווית ∢BCD:
∢BCD = 180 − 30 − 45 = 105📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
הזווית x: זוויות נגדיות במרובע חסום:
x = 180 − 105 = 75📐 משפט: מרובע חסום במעגלסכום זוויות נגדיות במרובע חסום 180 מעלות
✅ פתרון סופי: x = 75 מעלות

סעיף ג – הזווית ABD

לפי סעיף ב: ∢DBC = ∢CBD = 45.
BD חוצה את הזווית ABC, ולכן:
∢ABD = ∢DBC = 45📐 משפט: חוצה זוויתחוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
✅ פתרון סופי: ∢ABD = 45 מעלות

סעיף ד – היחס h₁ : h₂

הגובה h1 (במשולש ABD):
∢ADB = 180 − 75 − 45 = 60📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
ABsin ∢ADB = 2R📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
AB = 2R sin 60 = 2R · √32 = R√3
במשולש ישר הזווית שיוצר הגובה h1 עם הצלע AB (היתר):
h1 = AB · sin ∢ABD📐 נוסחה: סינוס במשולש ישר זוויתsin x = ניצב מול הזוויתיתר
h1 = R√3 · sin 45
h1 = R√3 · √22 = R√62
הגובה h2 (במשולש BOD):
הזווית ההיקפית ∢BAD = 75 והזווית המרכזית ∢BOD נשענות על אותה קשת BD:
∢BOD = 2 · 75 = 150📐 משפט: זווית מרכזית וזווית היקפיתזווית מרכזית גדולה פי 2 מזווית היקפית הנשענת על אותה קשת
המשולש BOD שווה שוקיים (OB = OD = R), ולכן הגובה h2 הוא גם חוצה זווית הראש:
∢BOH = 1502 = 75📐 משפט: גובה במשולש שווה שוקייםהגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש
(H – עקב הגובה על BD.) במשולש ישר הזווית BOH (היתר OB = R):
h2 = OB · cos ∢BOH📐 נוסחה: קוסינוס במשולש ישר זוויתcos x = ניצב ליד הזוויתיתר
h2 = R cos 75
היחס:
h1h2 = R√62R cos 75 = √62 cos 75
cos 75 ≈ 0.2588
h1h2 ≈ 2.4490.5176 ≈ 4.73
(בערך מדויק: h1h2 = 3 + √3.)
✅ פתרון סופי: h1h2 = √62 cos 75 ≈ 4.73

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אBD = 2R sin x
סעיף בx = 75
סעיף ג∢ABD = 45
סעיף ד≈ 4.73
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – משפט הסינוסים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית, הנגזרת ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 2x + 2x.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

(2) האם הפונקצייה f(x) היא זוגית, אי־זוגית או לא זוגית ולא אי־זוגית? הוכיחו את התשובה.

(3) מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקצייה f(x).

נתונות שתי פונקציות: f′(x) ו־g(x).

f′(x) היא פונקציית הנגזרת של f(x), ו־g(x) מקיימת g(x) = f(x) · f′(x).

הפונקציות f′(x) ו־g(x) מוגדרות באותו התחום כמו הפונקצייה f(x).

ב. כל אחד מן הגרפים I–III שלפניכם מתאר את אחת הפונקציות f(x) , f′(x) ו־g(x). לכל אחת מן הפונקציות כתבו איזה גרף מתאר אותה. נמקו את התשובה.

הגרפים I–III מתוך השאלון

ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הפונקצייה g(x) עם ציר ה־x.

ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקצייה g(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = 14 ו־x = 4.

ה. נתון: 1 < a הוא פרמטר. חשבו את ∫1/aa g(x)dx.

נתונה הפונקצייה h(x) = ∫1x f′(t)dt. נתון כי הפונקצייה h(x) מוגדרת בתחום 1 ≤ x.

ו. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה h(x), וקבעו את סוגה.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

אסור לחלק באפס – המכנה x שונה מ־0.
x ≠ 0
✅ פתרון סופי: x ≠ 0

סעיף א (2) – זוגיות

f(−x) = 2(−x) + 2−x
f(−x) = −2x − 2x
f(−x) = −(2x + 2x) = −f(x)📐 הגדרה: פונקציה אי־זוגיתf(−x) = −f(x)
✅ פתרון סופי: אי־זוגית

סעיף א (3) – תחומי עלייה וירידה

f′(x) = 2 − 2x2📐 נוסחה: נגזרת(xn)′ = n · xn−1(ax)′ = −ax2
f′(x) = 0
2 − 2x2 = 0
x2 = 1
x = 1 או x = −1
נבדוק את סימן הנגזרת בכל תחום (כולל סביב x = 0 שאינו בתחום):
f′(−2) = 2 − 24 = 1.5 > 0📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולהf′ < 0 – יורדת
f′(−0.5) = 2 − 8 = −6 < 0
f′(0.5) = 2 − 8 = −6 < 0
f′(2) = 2 − 24 = 1.5 > 0
עולה: x < −1 או x > 1. יורדת: −1 < x < 0 או 0 < x < 1.
xy−114−4(1 , 4)(−1 , −4)
גרף f(x) (כחול)
✅ פתרון סופי: עולה: x < −1 , x > 1 ; יורדת: −1 < x < 0 , 0 < x < 1

סעיף ב – התאמת הגרפים

f(x): לפי סעיף א(3) יש לה מינימום ב־(1 , 4) ומקסימום ב־(−1 , −4), והיא אי־זוגית. רק גרף II מתאים.
f′(x) = 2 − 2x2:
f′(−x) = 2 − 2(−x)2 = f′(x)📐 הגדרה: פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)
זוגית (סימטרית לציר ה־y), שואפת ל־2 כש־x גדל, ושלילית מאוד ליד x = 0. זה גרף III.
g(x):
g(x) = (2x + 2x) · (2 − 2x2)
g(x) = 4x − 4x + 4x − 4x3
g(x) = 4x − 4x3
מכפלה של פונקציה אי־זוגית בפונקציה זוגית היא אי־זוגית, ו־g(x) מתקרבת לישר y = 4x (עולה כמו ישר). זה גרף I.
✅ פתרון סופי: f(x) – גרף II , f′(x) – גרף III , g(x) – גרף I

סעיף ג – חיתוך g עם ציר x

g(x) = 0
4x − 4x3 = 0
נכפול ב־x3 (שונה מ־0):
4x4 − 4 = 0
x4 = 1
x = 1 או x = −1
✅ פתרון סופי: (1 , 0) , (−1 , 0)

סעיף ד – השטח

xy¼1410−1020
גרף g(x) (סגול), השטח (תכלת). בתחום 0.25 < x < 1 הגרף יורד עד g(0.25) = −255 – החלק התחתון נחתך בסרטוט.
לפי סעיף ג, g(x) חותכת את ציר ה־x ב־x = 1. בתחום 14 < x < 1 הפונקציה שלילית ובתחום 1 < x < 4 חיובית (למשל g(0.5) = −30 , g(2) = 7.5).
פונקציה קדומה:
g(x) = 4x − 4x−3
G(x) = 2x2 + 2x−2 = 2x2 + 2x2📐 נוסחה: פונקציה קדומה∫xndx = xn+1n + 1 + c
החלק השלילי:
S1 = −∫1/41 g(x)dx📐 נוסחה: שטח בין גרף לציר xS = ∫ab f(x)dx (f ≥ 0)S = −∫ab f(x)dx (f ≤ 0)
S1 = −[G(1) − G(14)]
G(1) = 2 + 2 = 4📐 נוסחה: אינטגרל מסוים∫ab f(x)dx = F(b) − F(a)
G(14) = 2 · 116 + 2 · 16
G(14) = 18 + 32 = 32.125
S1 = −(4 − 32.125) = 28.125
החלק החיובי:
S2 = ∫14 g(x)dx = G(4) − G(1)📐 נוסחה: שטח בין גרף לציר xS = ∫ab f(x)dx (f ≥ 0)S = −∫ab f(x)dx (f ≤ 0)
G(4) = 2 · 16 + 216 = 32.125📐 נוסחה: אינטגרל מסוים∫ab f(x)dx = F(b) − F(a)
S2 = 32.125 − 4 = 28.125
S = S1 + S2
S = 28.125 + 28.125 = 56.25
✅ פתרון סופי: S = 56.25

סעיף ה – האינטגרל עם הפרמטר a

∫1/aa g(x)dx = G(a) − G(1a)📐 נוסחה: אינטגרל מסוים∫ab f(x)dx = F(b) − F(a)
G(a) = 2a2 + 2a2📐 נוסחה: פונקציה קדומה∫xndx = xn+1n + 1 + c
G(1a) = 2 · 1a2 + 2a2
G(a) − G(1a) = 2a2 + 2a2 − 2a2 − 2a2
G(a) − G(1a) = 0
✅ פתרון סופי: 0

סעיף ו – נקודת הקיצון של h(x)

h(x) = ∫1x f′(t)dt = f(x) − f(1)📐 נוסחה: אינטגרל מסוים∫ab f(x)dx = F(b) − F(a)
f(1) = 2 + 2 = 4
h(x) = 2x + 2x − 4 , x ≥ 1
h′(x) = f′(x) = 2 − 2x2📐 נוסחה: נגזרת(xn)′ = n · xn−1(ax)′ = −ax2
לכל x > 1: x2 > 1 ולכן 2x2 < 2, כלומר h′(x) > 0.
h(x) עולה בכל התחום x ≥ 1, ולכן הנקודה בקצה התחום היא מינימום (קצה).📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולה
h(1) = 2 + 2 − 4 = 0
✅ פתרון סופי: (1 , 0) – מינימום (נקודת קצה)

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)x ≠ 0
סעיף א (2)אי־זוגית
סעיף א (3)עולה x < −1 , x > 1 , יורדת −1 < x < 1 , x ≠ 0
סעיף בf – II , f′ – III , g – I
סעיף ג(1 , 0) , (−1 , 0)
סעיף ד56.25
סעיף ה0
סעיף ו(1 , 0) מינימום
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 5 – אינטגרל ושטחים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציה טריגונומטרית

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 2(cos x)2 + sin 2x2 cos x בתחום 0 ≤ x ≤ 2π.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

(2) הסבירו מדוע לפונקצייה f(x) אין אסימפטוטות המאונכות לציר ה־x.

(3) מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

ב. (1) הראו כי לכל x בתחום ההגדרה של הפונקצייה f(x) מתקיים: f′(x) = cos x − sin x.

(2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ג. (1) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

(2) k הוא מספר. מצאו את כל ערכי k שבעבורם יש למשוואה f(x) = k פתרון יחיד (בתחום 0 ≤ x ≤ 2π).

ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי שני הישרים x = 34π ו־x = 54π.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – תחום הגדרה

המכנה שונה מ־0:
2 cos x ≠ 0
cos x ≠ 0
x ≠ π2 , x ≠ 3π2📐 נוסחה: cos x = 0x = π2 + πk
✅ פתרון סופי: 0 ≤ x ≤ 2π , x ≠ π2 , x ≠ 3π2

סעיף א (2) – אין אסימפטוטות אנכיות

sin 2x = 2 sin x cos x📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולהsin 2x = 2 sin x cos x
f(x) = 2cos2x + 2 sin x cos x2 cos x
f(x) = 2 cos x (cos x + sin x)2 cos x
בתחום ההגדרה (cos x ≠ 0) מותר לצמצם:
f(x) = cos x + sin x
בנקודות x = π2 ו־x = 3π2 גם המונה מתאפס, והפונקציה המצומצמת cos x + sin x מקבלת שם ערך סופי (1 ו־−1). לכן הגרף לא שואף לאינסוף – בנקודות אלה יש "חורים" ולא אסימפטוטות.
✅ פתרון סופי: בנקודות שמחוץ לתחום יש חורים, הפונקציה לא שואפת לאינסוף

סעיף א (3) – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y (x = 0):
f(0) = cos 0 + sin 0 = 1
ציר ה־x (f(x) = 0):
cos x + sin x = 0
sin x = −cos x
נחלק ב־cos x (שונה מ־0 בתחום):
tan x = −1📐 נוסחה: טנגנסtan x = sin xcos x
x = 3π4 + πk📐 נוסחה: פתרון tan x = ax = x0 + πk
x = 3π4 , x = 7π4
✅ פתרון סופי: (0 , 1) , (3π4 , 0) , (7π4 , 0)

סעיף ב (1) – הנגזרת

f(x) = cos x + sin x
f′(x) = −sin x + cos x📐 נוסחה: נגזרות טריגונומטריות(sin x)′ = cos x(cos x)′ = −sin x
f′(x) = cos x − sin x
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב (2) – נקודות קיצון

f′(x) = 0
cos x − sin x = 0
tan x = 1📐 נוסחה: טנגנסtan x = sin xcos x
x = π4 , x = 5π4📐 נוסחה: פתרון tan x = ax = x0 + πk
f(π4) = √22 + √22 = √2
f(5π4) = −√22 − √22 = −√2
סימן הנגזרת:
f′(0) = 1 > 0📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולהf′ < 0 – יורדת
f′(π) = −1 < 0
f′(2π) = 1 > 0
עולה ב־0 < x < π4, יורדת ב־π4 < x < 5π4 (פרט ל־π2 שאינו בתחום), עולה ב־5π4 < x < 2π (פרט ל־3π2).
לכן (π4 , √2) מקסימום, (5π4 , −√2) מינימום.
קצות התחום: f(0) = 1 והפונקציה עולה אחריו – מינימום קצה; f(2π) = 1 והפונקציה עולה לפניו – מקסימום קצה.
✅ פתרון סופי: מקסימום (π4 , √2) , מינימום (5π4 , −√2) ; קצה: מינימום (0 , 1) , מקסימום (2π , 1)

סעיף ג (1) – סקיצה

xyπ/43π/45π/47π/42π1−1(π/4 , √2)(5π/4 , −√2)
גרף f(x) (כחול). עיגול ריק = חור: (π2 , 1) , (3π2 , −1). הישר y = −1 מקווקו (ירוק חזק).
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ג (2) – ערכי k לפתרון יחיד

מספר הפתרונות של f(x) = k הוא מספר נקודות החיתוך של הגרף עם הישר האופקי y = k.
k = √2: רק נקודת המקסימום x = π4 – פתרון יחיד.
k = −√2: רק נקודת המינימום x = 5π4 – פתרון יחיד.
k = −1: בקטע היורד f(π) = −1 (פתרון), ובקטע העולה הערך −1 מתקבל ב־x = 3π2 – שם יש חור. לכן פתרון יחיד.
k = 1: x = 0 ו־x = 2π (ב־π2 חור) – שני פתרונות.
לכל ערך אחר בין −√2 ל־√2 יש שני פתרונות, ומחוץ לתחום זה אין פתרון.
✅ פתרון סופי: k = √2 , k = −√2 , k = −1

סעיף ד – השטח

נבדוק את סימן f′(x) בתחום 3π4 ≤ x ≤ 5π4: לפי ב(2) f′ מתאפסת רק ב־5π4, ו־f′(π) = −1 < 0. לכן f′(x) ≤ 0 בכל הקטע – השטח מתחת לציר.
פונקציה קדומה של f′(x) היא f(x) = cos x + sin x.
S = −∫3π/45π/4 f′(x)dx📐 נוסחה: שטח מתחת לציר xS = −∫ab f′(x)dx= −[f(b) − f(a)]
S = −[f(5π4) − f(3π4)]📐 נוסחה: אינטגרל מסוים∫ab f′(x)dx = f(b) − f(a)
S = −[−√2 − 0]
S = √2 ≈ 1.414
✅ פתרון סופי: S = √2 ≈ 1.414

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)x ≠ π2 , 3π2
סעיף א (2)חורים
סעיף א (3)(0 , 1) , (3π4 , 0) , (7π4 , 0)
סעיף ב (2)מקס (π4 , √2) , מינ (5π4 , −√2) , קצה (0 , 1) , (2π , 1)
סעיף ג (2)k = √2 , −√2 , −1
סעיף ד√2
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – פונקציית חזקה ושורש, בעיית קיצון

📄 נוסח השאלה

נתונות הפונקציות f(x) = x3 ו־g(x) = √(f(x)).

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של כל אחת מן הפונקציות f(x) ו־g(x).

(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם גרף הפונקצייה g(x).

הנקודה A נמצאת על גרף הפונקצייה f(x), והנקודה B נמצאת על גרף הפונקצייה g(x), כך שהקטע AB מקביל לציר ה־x.

שיעור ה־x של הנקודה A הוא t, והוא נמצא בין שיעורי ה־x של נקודות החיתוך שמצאתם בתת־סעיף א(2).

ב. הביעו באמצעות t את אורך הקטע AB.

ג. O היא ראשית הצירים. מצאו את הערך של t שבעבורו שטח המשולש OAB מקסימלי, וחשבו את השטח המקסימלי.

ד. האם בעבור הערך של t שמצאתם בסעיף ג גם אורך הקטע AB מקסימלי? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – תחומי הגדרה

f(x) = x3 – פולינום, מוגדרת לכל x.
g(x) = √(x3)
ביטוי בתוך שורש ריבועי חייב להיות אי־שלילי:📐 נוסחה: תחום הגדרה של שורש√u מוגדר כאשר u ≥ 0
x3 ≥ 0
x ≥ 0
✅ פתרון סופי: f(x): כל x ; g(x): x ≥ 0

סעיף א (2) – נקודות החיתוך

x3 = √(x3) , x ≥ 0
נעלה בריבוע (שני האגפים אי־שליליים):
x6 = x3
x6 − x3 = 0
x3(x3 − 1) = 0
x = 0 או x = 1
f(0) = 0 , f(1) = 1
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (1 , 1)

סעיף ב – אורך הקטע AB

xy11ABOfg
f(x) (כחול), g(x) (סגול), המשולש OAB (תכלת) – מצויר עבור t = 0.8.
A(t , t3) , 0 < t < 1
AB מקביל לציר ה־x, ולכן ל־B אותו שיעור y: g(xB) = t3.
√(xB3) = t3
xB3 = t6
xB = t2
B(t2 , t3)
בתחום 0 < t < 1 מתקיים t2 < t, ולכן B משמאל ל־A:
AB = xA − xB = t − t2📐 נוסחה: אורך קטע מקביל לציר xd = x2 − x1
✅ פתרון סופי: AB = t − t2

סעיף ג – שטח מקסימלי של המשולש OAB

הבסיס AB, והגובה הוא המרחק מ־O לישר y = t3, כלומר t3.
S(t) = AB · h2 = (t − t2) · t32📐 נוסחה: שטח משולשS = a · ha2
S(t) = t4 − t52
S′(t) = 4t3 − 5t42📐 נוסחה: נגזרת(xn)′ = n · xn−1(ax)′ = −ax2
S′(t) = 0
t3(4 − 5t) = 0
t = 0 או t = 45
t = 0 לא בתחום 0 < t < 1, ולכן t = 45.
בדיקת סוג הקיצון:
S′(0.5) = 4 · 0.125 − 5 · 0.06252📐 משפט: עלייה וירידהS′ > 0 – עולהS′ < 0 – יורדת
S′(0.5) = 0.09375 > 0
S′(0.9) = 4 · 0.729 − 5 · 0.65612
S′(0.9) = −0.18225 < 0
עלייה ואחריה ירידה – מקסימום ב־t = 45.
S(45) = 0.84 − 0.852
S(45) = 0.4096 − 0.327682
S = 0.081922 = 0.04096 = 1283125
✅ פתרון סופי: t = 45 , Smax = 1283125 = 0.04096

סעיף ד – האם גם AB מקסימלי?

AB(t) = t − t2
AB′(t) = 1 − 2t📐 נוסחה: נגזרת(xn)′ = n · xn−1(ax)′ = −ax2
1 − 2t = 0
t = 12
AB′ חיובית לפני 12 ושלילית אחריו – אורך AB מקסימלי ב־t = 12, ולא ב־t = 45.
AB(45) = 0.8 − 0.64 = 0.16
AB(12) = 0.5 − 0.25 = 0.25
✅ פתרון סופי: לא – אורך AB מקסימלי ב־t = 12

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א (1)f – כל x , g – x ≥ 0
סעיף א (2)(0 , 0) , (1 , 1)
סעיף בt − t2
סעיף גt = 0.8 , S = 0.04096
סעיף דלא (מקסימום ב־t = 0.5)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות