בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 – קיץ 2022 מועד ב'

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב ומספרים מרוכבים (שאלות 1–3); פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות חזקה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). עונים על 3 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעתיים ורבע. כאן פתורות כל 5 השאלות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2022 מועד ב'

שאלון 572 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 572 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 572 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 572 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 572 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 572 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – גאומטרייה אנליטית: אנך אמצעי, מעגל ואליפסה

📄 נוסח השאלה

נתונות הנקודות A(−5 , 3) ו־B(0 , −2).

א. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של מרכזי המעגלים שהקטע AB הוא מיתר שלהם.

מעגל M הוא אחד מן המעגלים שהקטע AB הוא מיתר שלהם. נקודות החיתוך של המעגל M עם ציר ה־x הן מוקדים של אליפסה שמשוואתה קנונית.

ב. מצאו את שיעורי מרכז המעגל M ואת הרדיוס שלו.

נתון כי אורך הציר הראשי של האליפסה שווה לאורך קוטר המעגל M.

ג. מהי משוואת האליפסה?

נסמן ב־F את המוקד הימני של האליפסה. ישר המאונך לציר ה־x עובר במוקד השמאלי של האליפסה. הישר חותך את האליפסה בנקודות Q ו־T, ואת המעגל M בנקודות K ו־L.

ד. מצאו את היחס בין שטח המשולש KLF לבין שטח המשולש TQF.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המקום הגאומטרי

המקום הגאומטרי הוא האנך האמצעי של AB.
N = (−5 + 02 , 3 − 22)📐 נוסחה: אמצע קטע ושיפועM = (x1 + x22 , y1 + y22)m = y2 − y1x2 − x1
N = (−2.5 , 0.5)
mAB = −2 − 30 + 5 = −1
m⊥ = 1📐 משפט: ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y − 0.5 = 1 · (x + 2.5)📐 נוסחה: משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y1 = m(x − x1)
y = x + 3
✅ פתרון סופי: y = x + 3

סעיף ב – מרכז ורדיוס

נקודות החיתוך עם ציר ה־x הן מוקדי אליפסה קנונית – הן סימטריות לראשית, (±c , 0). לכן מרכז המעגל על ציר ה־y (x = 0), וגם על האנך האמצעי:
y = 0 + 3 = 3📐 משפט: אנך אמצעימרכז מעגל שהקטע AB מיתר בו נמצא על האנך האמצעי של AB
M(0 , 3)
R = MB = |3 − (−2)| = 5📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודותd2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
✅ פתרון סופי: M(0 , 3) , R = 5

סעיף ג – משוואת האליפסה

המעגל: x2 + (y − 3)2 = 25. חיתוך עם ציר ה־x (y = 0):
x2 + 9 = 25
x = ±4 ⟹ c = 4📐 נוסחה: משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2מרכז (a , b), רדיוס R
הציר הראשי שווה לקוטר:
2a = 10 ⟹ a = 5
b2 = 25 − 16 = 9📐 נוסחה: אליפסה קנוניתx2a2 + y2b2 = 1 , b2 = a2 − c2מוקדים (±c , 0) , אורך הציר הראשי 2a
x225 + y29 = 1
✅ פתרון סופי: x225 + y29 = 1

סעיף ד – יחס השטחים

המוקד השמאלי (−4 , 0), הישר x = −4, ו־F(4 , 0).
עם המעגל:
16 + (y − 3)2 = 25
y − 3 = ±3 ⟹ y = 6 , y = 0
K(−4 , 6) , L(−4 , 0) ⟹ KL = 6
עם האליפסה:
1625 + y29 = 1
y2 = 8125 ⟹ y = ±1.8
TQ = 3.6
לשני המשולשים הבסיס על הישר x = −4, והגובה הוא המרחק של F מהישר: 4 − (−4) = 8.
SKLF = 6 · 82 = 24📐 נוסחה: שטח משולשS = צלע · גובה2
STQF = 3.6 · 82 = 14.4
SKLFSTQF = 2414.4 = 53
xy53KLTQFAB
━ המעגל M (סגול) ━ האליפסה (כחול) ━ KLF (כתום) ━ TQF (ירוק)
✅ פתרון סופי: 53

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אy = x + 3
סעיף בM(0 , 3) , R = 5
סעיף גx225 + y29 = 1
סעיף ד53
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 68 – מציאת משוואת אליפסה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – וקטורים: פירמידה ישרה, גובה ונפח

📄 נוסח השאלה

נתונה פירמידה OABC שבסיסה משולש ABC.

נסמן: OA = u , OB = v , OC = w.

נתון: |w| = |v| = |u| , ∢AOB = ∢BOC = ∢COA = 90 מעלות.

הנקודה H מקיימת OH = tu + sv + kw , t , s , k הם פרמטרים. נתון כי OH מאונך לבסיס ABC של הפירמידה.

א. הוכיחו כי t = s = k.

הנקודה M נמצאת בבסיס ABC של הפירמידה, והיא נקודת המפגש של תיכוני הבסיס.

ב. הוכיחו כי OM = 13u + 13v + 13w, והסבירו מדוע OM הוא גובה לבסיס ABC של הפירמידה.

הנקודה P נמצאת על הישר ℓ שעליו מונח הגובה לבסיס ABC.

ג. הביעו באמצעות u , v , w את הווקטור OP שבעבורו נפח הפירמידה PABC כפול מנפח הפירמידה OABC (שתי אפשרויות).

ממקמים את הפירמידה OABC במערכת צירים. הנקודה O נמצאת בראשית הצירים, הנקודה A נמצאת על החלק החיובי של ציר ה־x, הנקודה B על החלק החיובי של ציר ה־y, והנקודה C על החלק החיובי של ציר ה־z. נתון: |u| = a.

ד. מצאו את ההצגה הפרמטרית של הישר ℓ שעליו נמצא הקטע OP.

ה. הביעו באמצעות a את משוואת המישור ABC.

ו. נתון כי נפח הפירמידה OABC הוא 2056. חשבו את a.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – t = s = k

נסמן |u| = |v| = |w| = a. הווקטורים מאונכים זה לזה, ולכן כל מכפלה סקלרית מעורבת היא 0.
AB = v − u , AC = w − u
OH מאונך לבסיס, ולכן לשני הווקטורים:
OH · AB =📐 נוסחה: וקטורים מאונכיםa ⟂ b ⟺ a · b = 0a · a = |a|2
= (tu + sv + kw) · (v − u)
= s a2 − t a2 = 0 ⟹ s = t
OH · AC =
= (tu + sv + kw) · (w − u)
= k a2 − t a2 = 0 ⟹ k = t
t = s = k
✅ פתרון סופי: הוכח: t = s = k

סעיף ב – OM גובה

OM = 13(u + v + w)📐 נוסחה: מפגש התיכוניםOM = 13(OA + OB + OC)
זה וקטור מהצורה t(u + v + w) עם t = 13. כמו בסעיף א, וקטור כזה מאונך ל־AB ול־AC:
(u + v + w) · (v − u) =
= a2 − a2 = 0
(u + v + w) · (w − u) =
= a2 − a2 = 0
OM יוצא מהקודקוד O, מאונך לבסיס, והנקודה M בבסיס – לכן OM הוא הגובה של הפירמידה.
✅ פתרון סופי: הוכח: OM = 13(u + v + w)

סעיף ג – הווקטור OP

לשתי הפירמידות אותו בסיס ABC, ולכן הנפח של PABC כפול כשהמרחק של P מהבסיס כפול מ־OM:
hP = 2 · OM📐 נוסחה: נפח פירמידהV = 13 · Sבסיס · h
נכתוב OP = r · OM. המרחק של P מהבסיס הוא |1 − r| · OM:
|1 − r| = 2
r = −1 או r = 3
OP1 = 3OM = u + v + w
OP2 = −OM = −13u − 13v − 13w
✅ פתרון סופי: OP = u + v + w או OP = −13(u + v + w)

סעיף ד – הישר ℓ

A(a , 0 , 0) , B(0 , a , 0)
C(0 , 0 , a)
OM = 13(a , a , a)
וקטור כיוון (1 , 1 , 1), והישר עובר בראשית:
ℓ : x = t(1 , 1 , 1)📐 נוסחה: הצגה פרמטרית של ישרx = A + t · d
✅ פתרון סופי: ℓ : x = t(1 , 1 , 1)

סעיף ה – משוואת המישור ABC

המישור חותך את הצירים ב־a:
xa + ya + za = 1📐 נוסחה: משוואת מישור לפי חיתוכים עם הציריםxp + yq + zr = 1
x + y + z − a = 0
✅ פתרון סופי: x + y + z − a = 0

סעיף ו – הערך של a

נחשב את הנפח עם הבסיס OAB (משולש ישר־זווית) והגובה OC = a:
V = 13 · a · a2 · a = a36📐 נוסחה: נפח פירמידהV = 13 · Sבסיס · h
a36 = 2056 = 1256
a3 = 125
a = 5
✅ פתרון סופי: a = 5

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהוכחה
סעיף בהוכחה והסבר
סעיף גu + v + w או −13(u + v + w)
סעיף דt(1 , 1 , 1)
סעיף הx + y + z − a = 0
סעיף וa = 5
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – מספרים מרוכבים: z חלקי z צמוד ומשולש שווה שוקיים

📄 נוסח השאלה

המספר z = R(cos x + i · sin x) נמצא במישור גאוס ברביע השלישי. (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה x.)

נתון: zz̄ = −12 + √32i.

א. מצאו את x.

נתון: |2iz| + |z̄i| − |zz̄| = 8.

ב. מצאו את R.

ג. נתונה המשוואה: w9 = z327 (z הוא המספר שמצאתם). הראו כי המספר zz̄ הוא אחד הפתרונות של המשוואה.

ד. המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים. קודקודי הבסיס B ו־C מתאימים למספרים zz̄ ו־z̄z. קודקוד הראש A מתאים למספר z + k , k הוא מספר מדומה טהור.

(1) מהו הערך של k?

(2) חשבו את שטח המרובע ABOC (הנקודה O היא ראשית הצירים).

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הזווית x

zz̄ = R cis xR cis(−x) = cis 2x📐 נוסחה: חילוק בהצגה קוטביתr1 cis ar2 cis b = r1r2 cis(a − b)
הצורה הקוטבית של המספר הנתון:
−12 + √32i = cis 120
2x = 120 + 360k
x = 60 + 180k
z ברביע השלישי, ולכן 180 < x < 270:
x = 240
✅ פתרון סופי: x = 240 מעלות

סעיף ב – המודול R

|2iz| = 2 · 1 · R = 2R📐 נוסחה: מודול של מכפלה ומנה|z1z2| = |z1| · |z2||z1z2| = |z1||z2| , |i| = 1
|z̄i| = R1 = R📐 נוסחה: מספר צמוד בהצגה קוטביתz = R cis x ⟹ z̄ = R cis(−x)|z| = |z̄| = R
|zz̄| = |cis 120| = 1
2R + R − 1 = 8
3R = 9
R = 3
✅ פתרון סופי: R = 3

סעיף ג – הוכחה

z3 = 33 cis(3 · 240)📐 נוסחה: דה מואבר(r cis a)n = rn cis(na)
z3 = 27 cis 720 = 27
z327 = 1
נציב w = zz̄ = cis 120:
w9 = cis(9 · 120) = cis 1080
cis 1080 = cis(3 · 360) = 1
לכן zz̄ פותר את המשוואה.
✅ פתרון סופי: הוכח: (zz̄)9 = 1 = z327

סעיף ד (1) – הערך של k

B : cis 120 = −12 + √32i
C : z̄z = cis(−120) = −12 − √32i
הבסיס BC אנכי (על הישר x = −12), ואמצעו על ציר ה־x. לכן האנך האמצעי שלו הוא הציר הממשי, ו־A עליו:
Im(z + k) = 0📐 משפט: קודקוד הראש במשולש שווה שוקייםנמצא על האנך האמצעי של הבסיס
z = 3 cis 240 = −32 − 3√32i
k מדומה טהור, k = bi:
z + k = −32 + (b − 3√32)i
b = 3√32
k = 3√32i
✅ פתרון סופי: k = 3√32i

סעיף ד (2) – שטח המרובע ABOC

A(−32 , 0) , O(0 , 0). האלכסון AO על הציר הממשי, והאלכסון BC אנכי – האלכסונים מאונכים, ו־AO חוצה את BC (המרובע דלתון):
AO = 32 , BC = √3
S = AO · BC2 = 12 · 32 · √3📐 נוסחה: שטח דלתוןS = d1 · d22(האלכסונים מאונכים)
S = 3√34 ≈ 1.299
xy−1.5ABOC
━ המרובע ABOC (כחול) ━ האלכסון BC (סגול)
✅ פתרון סופי: S = 3√34

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אx = 240
סעיף בR = 3
סעיף גהוכחה
סעיף ד (1)k = 3√32i
סעיף ד (2)3√34
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 28 – משולש שווה שוקיים במישור גאוס
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – פונקציית e עם פרמטר, שטח ופונקציה קדומה

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x2ea − x3 המוגדרת לכל x , a הוא פרמטר.

א. (1) מצאו את התחום שבו הפונקציה f(x) חיובית.

(2) מצאו את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

נתון כי השטח הכלוא בין הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x) לבין ציר ה־x הוא ∛(4e9).

ב. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 1 , וענו על הסעיפים ג–ה.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

הפונקציה f(x) היא נגזרת של הפונקציה g(x) (g′(x) = f(x)).

ד. (1) מהו תחום העלייה של הפונקציה g(x)? נמקו.

(2) כמה נקודות פיתול יש לפונקציה g(x)? נמקו.

נסמן ב־B את נקודת הפיתול שבה הערך של הפונקציה g(x) הוא הגבוה מבין כל נקודות הפיתול שלה. נתון כי שיעור ה־y של הנקודה B הוא e − ∛e3.

ה. מצאו את הפונקציה g(x).

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א (1) – תחום החיוביות

ea − x3 > 0 תמיד, ולכן הסימן של f הוא הסימן של x2:
x2 > 0 ⟺ x ≠ 0📐 נוסחה: חזקה של eet > 0 לכל t
✅ פתרון סופי: x ≠ 0

סעיף א (2) – נקודות הקיצון

f′(x) = 2x · ea − x3 +📐 נוסחה: נגזרת של מכפלה(uv)′ = u′v + uv′
+ x2 · (−3x2)ea − x3
(נגזרת המעריך: (ea − x3)′ = −3x2ea − x3.)
f′(x) = x ea − x3(2 − 3x3)📐 נוסחה: נגזרת של e בחזקת פונקציה(eg(x))′ = g′(x) · eg(x)
f′(x) = 0 ⟹ x = 0 או x3 = 23📐 משפט: נקודת קיצוןf′(x) = 0ובדיקת סימן הנגזרת משני הצדדים
x = 0 , x = ∛(23) ≈ 0.87
נסמן c = ∛(23):
הסימן של f′ הוא הסימן של x(2 − 3x3):
xx < 000 < x < ccx > c
f′−0+0−
f↘מינימום↗מקסימום↘
✅ פתרון סופי: x = 0 מינימום , x = ∛(23) מקסימום

סעיף ב – הערך של a

הנגזרת f′ מתאפסת ב־0 וב־∛(23), וביניהן היא חיובית (סעיף א). השטח הכלוא:
S = ∫0∛(2/3) f′(x)dx📐 נוסחה: אינטגרל של נגזרת∫ab f′(x)dx = f(b) − f(a)
S = f(∛(23)) − f(0)
f(∛(23)) = (23)2/3 · ea − 2/3
f(0) = 0
(23)2/3 · ea − 2/3 = ∛(4e9)
נכתוב ∛(4e9) = (23)2/3 · e1/3:
(23)2/3 · ea − 2/3 = (23)2/3 · e1/3
a − 23 = 13
a = 1
✅ פתרון סופי: a = 1

סעיף ג – סקיצה

עם a = 1: מינימום (0 , 0), מקסימום (∛(23) , ∛(4e9)) ≈ (0.87 , 1.07). כאשר x → ∞: f → 0 (אסימפטוטה y = 0 מימין). כאשר x → −∞: f → ∞. הפונקציה לא שלילית.
xy0.871.07max
━ f(x) (כחול)

סעיף ד (1) – תחום העלייה של g

g′(x) = f(x) ≥ 0 לכל x, ושווה ל־0 רק בנקודה בודדת x = 0.
לכן g עולה בכל התחום.📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולה , f′ < 0 – יורדת
✅ פתרון סופי: עולה לכל x

סעיף ד (2) – נקודות פיתול של g

g″(x) = f′(x). נקודת פיתול של g היא נקודה שבה f′ מחליפה סימן – כלומר נקודת קיצון של f.
ל־f שתי נקודות קיצון (x = 0 ו־x = ∛(23)), ולכן ל־g שתי נקודות פיתול.📐 משפט: נקודת פיתולg″ מחליפה סימן ⟺ g′ עוברת מעלייה לירידה (או להפך)
✅ פתרון סופי: 2 נקודות פיתול

סעיף ה – הפונקציה g(x)

g(x) = ∫ x2e1 − x3dx
הנגזרת של המעריך 1 − x3 היא −3x2:
g(x) = −13e1 − x3 + c📐 נוסחה: אינטגרל עם זיהוי נגזרת פנימית∫ g′(x)eg(x)dx = eg(x) + c
g עולה, ולכן הערך הגבוה בין נקודות הפיתול הוא ב־x הגדול: x = ∛(23):
g(∛(23)) = −13e1 − 2/3 + c = −∛e3 + c
−∛e3 + c = e − ∛e3
c = e3
g(x) = e − e1 − x33
✅ פתרון סופי: g(x) = e − e1 − x33

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א (1)x ≠ 0
סעיף א (2)מינימום x = 0 , מקסימום x = ∛(23)
סעיף בa = 1
סעיף גסקיצה
סעיף ד (1)עולה לכל x
סעיף ד (2)2
סעיף הe − e1 − x33
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – חקירת פונקציית e
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – פונקציה אי־זוגית, ln של פונקציה ואינטגרל

📄 נוסח השאלה

נתונה פונקציה f(x) המקיימת את התכונות האלה: הפונקציה מוגדרת לכל x ורציפה, הפונקציה היא אי־זוגית, הישר y = 0 הוא אסימפטוטה של הפונקציה, ולפונקציה יש נקודת מינימום יחידה ששיעוריה הם (−1 , −a) , a הוא פרמטר חיובי.

א. סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה h(x) = ln(f(x)).

ב. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה h(x).

(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה h(x) המאונכות לצירים (אם יש כאלה).

(3) מצאו את טווח הערכים של a שבעבורו גרף הפונקציה h(x) חותך את ציר ה־x בשתי נקודות.

(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה h(x) , אם ידוע שהגרף שלה חותך את ציר ה־x בשתי נקודות.

נתון: f(x) = 4x1 + x2. g(x) היא פונקציה המקיימת: g′(x) = f(x) , וגם g(0) = 0.

ג. (1) מצאו את הפונקציה g(x).

(2) האם הפונקציה g(x) היא זוגית, אי־זוגית או לא זוגית ולא אי־זוגית? נמקו.

לפניכם האינטגרל ∫−5t g(x)dx , t > −5.

ד. מהו הערך של t שבעבורו מתקיים 2 · ∫−5t g(x)dx = ∫−55 g(x)dx? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – סקיצה של f

f אי־זוגית, ולכן f(0) = 0, והמינימום (−1 , −a) משתקף למקסימום (1 , a).
הגרף מתקרב ל־y = 0 משני הצדדים: משמאל מלמטה, מימין מלמעלה. שלילי עבור x < 0 וחיובי עבור x > 0.📐 משפט: פונקציה אי־זוגיתהגרף סימטרי ביחס לראשית: (x , y) על הגרף ⟸ (−x , −y) על הגרף
xy−11a−aminmax
━ f(x) (כחול)

סעיף ב (1) – תחום ההגדרה של h

f(x) > 0📐 נוסחה: תחום הגדרה של lnln(f(x)) מוגדרת רק כאשר f(x) > 0
לפי הסקיצה f > 0 רק עבור x > 0:
x > 0
✅ פתרון סופי: x > 0

סעיף ב (2) – אסימפטוטות של h

כאשר x → 0+: f(x) → 0+ (רציפות, f(0) = 0), ולכן:
h(x) → −∞ ⟹ x = 0📐 נוסחה: גבולות של lnt → 0+ ⟹ ln t → −∞ln t = 0 ⟺ t = 1
כאשר x → ∞: f(x) → 0+ (אסימפטוטה y = 0), ולכן h(x) → −∞ – אין אסימפטוטה אופקית.
✅ פתרון סופי: x = 0 בלבד

סעיף ב (3) – טווח הערכים של a

h(x) = 0 ⟺ f(x) = 1📐 נוסחה: גבולות של lnt → 0+ ⟹ ln t → −∞ln t = 0 ⟺ t = 1
בתחום x > 0 הפונקציה f עולה מ־0 עד המקסימום a ב־x = 1, ואז יורדת חזרה ל־0. הישר y = 1 חותך אותה בשתי נקודות רק אם המקסימום גבוה מ־1:
a > 1
✅ פתרון סופי: a > 1

סעיף ב (4) – סקיצה של h

h עולה כש־f עולה ויורדת כש־f יורדת (ln פונקציה עולה). לכן: מתחיל ב־−∞ ליד x = 0, עולה למקסימום (1 , ln a) (חיובי כי a > 1), חותך את ציר ה־x פעמיים, ויורד ל־−∞.
xy1(1 , ln a)
━ h(x) (ירוק)

סעיף ג (1) – הפונקציה g

g(x) = ∫ 4x1 + x2dx = 2∫ 2x1 + x2dx
g(x) = 2 ln(1 + x2) + c📐 נוסחה: אינטגרל עם ln∫ g′(x)g(x)dx = ln|g(x)| + c
g(0) = 2 ln 1 + c = c = 0
g(x) = 2 ln(1 + x2)
✅ פתרון סופי: g(x) = 2 ln(1 + x2)

סעיף ג (2) – זוגיות

g(−x) = 2 ln(1 + (−x)2)📐 נוסחה: פונקציה זוגיתg(−x) = g(x)∫−aa g = 2∫−a0 g
g(−x) = 2 ln(1 + x2) = g(x)
✅ פתרון סופי: זוגית

סעיף ד – הערך של t

g זוגית, ולכן:
∫−55 g(x)dx = 2∫−50 g(x)dx📐 נוסחה: פונקציה זוגיתg(−x) = g(x)∫−aa g = 2∫−a0 g
נציב במשוואה ונחלק ב־2:
∫−5t g(x)dx = ∫−50 g(x)dx
g(x) > 0 לכל x ≠ 0, ולכן הפונקציה ∫−5t g(x)dx עולה ב־t – יש לה ערך אחד בלבד שבו היא שווה לערך שב־t = 0:
t = 0
✅ פתרון סופי: t = 0

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אסקיצה
סעיף ב (1)x > 0
סעיף ב (2)x = 0
סעיף ב (3)a > 1
סעיף ב (4)סקיצה
סעיף ג (1)g(x) = 2 ln(1 + x2)
סעיף ג (2)זוגית
סעיף דt = 0
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 28 – בהינתן f(x), שרטוט ln(f(x))
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות