בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 – חורף 2023

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים (שאלות 1–3); פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות חזקה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). עונים על 3 שאלות, לפחות על שאלה אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעתיים ורבע. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2023

שאלון 572 חורף 2023 – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 5
שאלון 572 חורף 2023 – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 5
שאלון 572 חורף 2023 – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 5
שאלון 572 חורף 2023 – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 5
שאלון 572 חורף 2023 – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 5

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – אליפסה ומקום גאומטרי

📄 נוסח השאלה

נתונה אליפסה שמשוואתה x29 + y2b2 = 1. b הוא פרמטר חיובי.

ידוע כי המוקדים של האליפסה נמצאים על ציר ה־x. נסמן את נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר ה־y ב־D1 ו־D2, את המוקד השמאלי של האליפסה נסמן ב־F1, ואת המוקד הימני שלה ב־F2.

נתון כי המרובע F1D1F2D2 הוא ריבוע.

א. (1) מצאו את הערך של b. (2) חשבו את שטח הריבוע F1D1F2D2.

הציבו במשוואת האליפסה b2 = 4.5, וענו על הסעיפים ב–ד.

הנקודה E היא נקודה כלשהי על האליפסה. מחברים באמצעות קו ישר את המוקד השמאלי F1 עם הנקודה E, וממשיכים את הקו הישר עד לנקודה M (ראו סרטוט), כך שמתקיים EM = EF2.

האליפסה והנקודות E ו־M – סרטוט מתוך השאלון

ב. הוכיחו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות M הוא מעגל, ורשמו את משוואתו.

מזיזים את המעגל שמצאתם בסעיף ב ימינה ב־3√2 יחידות, ומתקבל מעגל אחר. מכפילים ב־23 את שיעור ה־y של כל אחת מן הנקודות שעל המעגל האחר, ומתקבל עקום חדש.

ג. זהו את צורת העקום החדש, ומצאו את משוואתו.

נתון משולש ששניים מקודקודיו הם נקודות החיתוך של העקום החדש עם ציר ה־x, והקודקוד הנוסף נמצא גם הוא על העקום החדש.

ד. מצאו את השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש. נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – הערך של b

c2 = 9 − b2📐 אליפסה (מוקדים על ציר ה־x)x2a2 + y2b2 = 1 , c2 = a2 − b2
המוקדים F1(−c , 0) , F2(c , 0) והקודקודים D1(0 , b) , D2(0 , −b). בריבוע האלכסונים שווים:
F1F2 = D1D2
2c = 2b , c = b
9 − b2 = b2
b2 = 4.5
b = √4.5 = 3√2
✅ פתרון סופי: b = 3√2 = √4.5

סעיף א (2) – שטח הריבוע

S = d22 = (2b)22 = 2b2📐 שטח ריבוע לפי אלכסוןS = d22
S = 2 · 4.5 = 9
✅ פתרון סופי: S = 9

סעיף ב – המקום הגאומטרי של M

a = 3 , c = √(9 − 4.5) = √4.5
M על המשך F1E מעבר ל־E, ולכן:
F1M = F1E + EM = F1E + EF2
F1E + EF2 = 2a = 6📐 הגדרת האליפסהסכום המרחקים מהמוקדים = 2a
F1M = 6
כל הנקודות M נמצאות במרחק קבוע 6 מן הנקודה F1(−√4.5 , 0) – זה מעגל:
✅ פתרון סופי: (x + √4.5)2 + y2 = 36

סעיף ג – העקום החדש

הזזה ימינה ב־3√2 = √4.5 מעבירה את המרכז לראשית:
x2 + y2 = 36
נקודה (x , y) על המעגל עוברת לנקודה (X , Y) = (x , 23y), כלומר x = X ו־y = 32Y:
X2 + 94Y2 = 36
X236 + Y216 = 1
✅ פתרון סופי: אליפסה: x236 + y216 = 1

סעיף ד – השטח הגדול ביותר

y = 0 : x2 = 36 , x = ±6
הבסיס הוא הקטע בין (−6 , 0) ל־(6 , 0), אורכו 12. הגובה הוא המרחק של הקודקוד השלישי מציר ה־x, |y|, והוא הגדול ביותר בקודקודי הציר הקטן (0 , ±4):
S = 12 · 42 = 24📐 שטח משולשS = a · h2
xy(−6 , 0)(6 , 0)(0 , 4)
✅ פתרון סופי: Smax = 24

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א (1)b = 3√2 = √4.5
סעיף א (2)S = 9
סעיף ב(x + √4.5)2 + y2 = 36
סעיף גאליפסה: x236 + y216 = 1
סעיף דSmax = 24
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 76 – תרגיל אליפסה (חורף 2023)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – מישורים וישרים במרחב

📄 נוסח השאלה

נתונים שני מישורים:

π1 : (k + 2)x + y + (k + 1)z + 11 = 0

π2 : (k + 1)x + y + z − 5 = 0

k הוא פרמטר.

א. הסבירו מדוע בהכרח שני המישורים נחתכים זה עם זה.

ידוע כי ישר החיתוך ℓ1 בין שני המישורים מקביל לישר ℓ2 : x = (1 , 2 , −1) + m(−1 , k , k).

ב. (1) מצאו את הערך של k. (2) מצאו הצגה פרמטרית של הישר ℓ1. (3) מצאו את הזווית בין המישורים π1 ו־π2.

הנקודה P נמצאת על הישר ℓ1 ועל המישור yz. הנקודות A ו־B הן נקודות החיתוך של ציר ה־y עם המישורים π1 ו־π2 בהתאמה.

ג. (1) מצאו את שיעורי הנקודות P , A ו־B. (2) מצאו את שטח המשולש APB.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – למה המישורים נחתכים

n1 = (k + 2 , 1 , k + 1) , n2
= (k + 1 , 1 , 1)
המישורים מקבילים (או מתלכדים) רק אם הנורמלים פרופורציוניים. רכיב ה־y של שניהם הוא 1, ולכן היחס חייב להיות 1, כלומר n1 = n2:📐 מישורים מקביליםהנורמלים פרופורציוניים
k + 2 = k + 1
אין k כזה, ולכן המישורים אף פעם לא מקבילים – הם נחתכים.
✅ פתרון סופי: הנורמלים אף פעם לא פרופורציוניים

סעיף ב (1) – הערך של k

ישר החיתוך נמצא בשני המישורים, ולכן הכיוון שלו מאונך לשני הנורמלים. הכיוון של ℓ2 מתאים לו:📐 ישר במישורהכיוון מאונך לנורמל: מכפלה סקלרית 0
(−1 , k , k) · (k + 1 , 1 , 1)
= 0
−k − 1 + k + k = 0
k − 1 = 0
k = 1
בדיקה עם n1:
(−1 , 1 , 1) · (3 , 1 , 2)
= −3 + 1 + 2 = 0
✅ פתרון סופי: k = 1

סעיף ב (2) – הצגה פרמטרית של ℓ1

π1 : 3x + y + 2z + 11 = 0
π2 : 2x + y + z − 5 = 0
נמצא נקודה משותפת עם x = 0:
y + 2z = −11
y + z = 5
z = −16 , y = 21
הכיוון (−1 , 1 , 1) (מסעיף ב(1)):
✅ פתרון סופי: ℓ1 : x = (0 , 21 , −16) + t(−1 , 1 , 1)

סעיף ב (3) – הזווית בין המישורים

cos t = |n1 · n2||n1| · |n2|📐 זווית בין מישוריםcos t = |n1 · n2||n1| · |n2|
n1 = (3 , 1 , 2) , n2
= (2 , 1 , 1)
n1 · n2 = 6 + 1 + 2 = 9
|n1| = √14 , |n2| = √6
cos t = 9√84 ≈ 0.982
t ≈ 10.89
✅ פתרון סופי: ≈ 10.89 מעלות

סעיף ג (1) – הנקודות P , A , B

במישור yz מתקיים x = 0. על ℓ1: −t = 0, t = 0:
P(0 , 21 , −16)
על ציר ה־y: x = 0 , z = 0:
π1 : y + 11 = 0 , A(0 , −11 , 0)
π2 : y − 5 = 0 , B(0 , 5 , 0)
✅ פתרון סופי: P(0 , 21 , −16)
A(0 , −11 , 0) , B(0 , 5 , 0)

סעיף ג (2) – שטח המשולש APB

שלוש הנקודות במישור yz. הבסיס AB על ציר ה־y:
AB = 5 − (−11) = 16
הגובה מ־P לציר ה־y הוא |zP| = 16:
S = 16 · 162 = 128📐 שטח משולשS = a · h2
✅ פתרון סופי: S = 128

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהנורמלים אף פעם לא פרופורציוניים
סעיף ב (1)k = 1
סעיף ב (2)ℓ1 : x = (0 , 21 , −16) + t(−1 , 1 , 1)
סעיף ב (3)≈ 10.89 מעלות
סעיף ג (1)P(0 , 21 , −16)
A(0 , −11 , 0) , B(0 , 5 , 0)
סעיף ג (2)S = 128
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – מספרים מרוכבים

📄 נוסח השאלה

נתונה משוואה I: w6 = −27. w הוא מספר מרוכב.

א. פתרו את משוואה I.

נתונה משוואה II: (z + √32i)6 = −27. z הוא מספר מרוכב.

ב. (1) היעזרו בפתרונות של משוואה I ורשמו בהצגה אלגברית את הפתרונות של משוואה II.

(2) הסבירו מדוע הנקודות במישור גאוס המייצגות את הפתרונות של משוואה II נמצאות על מעגל, ומצאו את משוואתו.

(3) הוכיחו כי כל הפתרונות של משוואה II מייצגים קודקודים של משושה משוכלל במישור גאוס.

נתון: שני הפתרונות המדומים ושני הפתרונות הממשיים של משוואה II מייצגים קודקודים של מרובע במישור גאוס.

ג. (1) מהו סוג המרובע שהתקבל? נמקו את תשובתכם. (2) מצאו את היחס בין שטח המשושה ובין שטח המרובע.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – פתרון משוואה I

−27 = 27 cis 180
w = 6√27 · cis 180 + 360k6📐 שורשים של מספר מרוכבzn = r cis t
z = n√r · cis t + 360kn
6√27 = √3
wk = √3 cis(30 + 60k) , k
= 0 , 1 , … , 5
✅ פתרון סופי: √3 cis 30 , √3 cis 90 , √3 cis 150
√3 cis 210 , √3 cis 270 , √3 cis 330

סעיף ב (1) – הפתרונות של משוואה II

נסמן w = z + √32i. אז w6 = −27, ולכן z = w − √32i:
√3 cis 30 = 32 + √32i📐 מעבר מהצגה קוטבית לאלגבריתr cis t = r cos t + i · r sin t
z1 = 32 + √32i − √32i = 32
√3 cis 90 = √3 i , z2 = √32i
√3 cis 150 = −32 + √32i , z3 = −32
√3 cis 210 = −32 − √32i , z4
= −32 − √3 i
√3 cis 270 = −√3 i , z5 = −3√32i
√3 cis 330 = 32 − √32i , z6
= 32 − √3 i
✅ פתרון סופי: z1 = 32
z2 = √32i
z3 = −32
z4 = −32 − √3 i
z5 = −3√32i
z6 = 32 − √3 i

סעיף ב (2) – המעגל

|z + √32i| = |w| = √3
כל הפתרונות במרחק √3 מן הנקודה (0 , −√32) – כלומר על מעגל שזה מרכזו:📐 מעגל במישור גאוס|z − z0| = R
✅ פתרון סופי: x2 + (y + √32)2 = 3

סעיף ב (3) – משושה משוכלל

פתרונות משוואה I הם קודקודים של משושה משוכלל שמרכזו בראשית: כולם במרחק √3 מהראשית, והזווית בין שני פתרונות סמוכים קבועה, 60.📐 שורשים מסדר nקודקודים של מצולע משוכלל עם n צלעות
כל פתרון של משוואה II מתקבל מפתרון של משוואה I על ידי אותה הזזה: z = w − √32i (הזזה של √32 למטה).
הזזה לא משנה אורכים וזוויות, ולכן גם הפתרונות של II הם קודקודים של משושה משוכלל, שמרכזו (0 , −√32).
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ג (1) – סוג המרובע

הפתרונות הממשיים z1 = 32 , z3 = −32, והמדומים z2 = √32i , z5 = −3√32i.
האלכסון z1z3 על הציר הממשי, והאלכסון z2z5 על הציר המדומה – הם מאונכים.
הציר המדומה חוצה את z1z3 (האמצע הוא 0), אבל האמצע של z2z5 הוא −√32i ≠ 0.
אלכסון אחד הוא אנך אמצעי לאלכסון השני, והאלכסונים לא חוצים זה את זה:📐 דלתוןאלכסון ראשי הוא אנך אמצעי לאלכסון השני
✅ פתרון סופי: דלתון

סעיף ג (2) – יחס השטחים

צלע המשושה שווה לרדיוס √3. המשושה בנוי משישה משולשים שווי צלעות:
S6 = 6 · (√3)2 · √34 = 9√32📐 שטח משולש שווה צלעותS = a2√34
d1 = 3 , d2 = √32 + 3√32 = 2√3
S4 = 3 · 2√32 = 3√3📐 שטח דלתוןS = d1 · d22
S6S4 = 9√323√3 = 32
✅ פתרון סופי: 32

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א√3 cis 30 , √3 cis 90 , √3 cis 150
√3 cis 210 , √3 cis 270 , √3 cis 330
סעיף ב (1)z1 = 32
z2 = √32i
z3 = −32
z4 = −32 − √3 i
z5 = −3√32i
z6 = 32 − √3 i
סעיף ב (2)x2 + (y + √32)2 = 3
סעיף ב (3)הוכח
סעיף ג (1)דלתון
סעיף ג (2)32
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 38 – שורשים מסדר n
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציות מעריכיות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 2e2xe2x − 5ex + 4.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקצייה f(x) המאונכות לצירים. (3) מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = 5exe2x − 5ex + 4, המוגדרת באותו התחום שבו מוגדרת הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך בין גרף הפונקצייה f(x) ובין גרף הפונקצייה g(x).

לפניכם סרטוט הגרפים של שתי הפונקציות f(x) ו־g(x). כל אחד מן החלקים של הגרפים מסומן בסרטוט בספרה אחרת.

ששת החלקים של הגרפים – סרטוט מתוך השאלון

ג. רשמו לאיזו פונקצייה שייך כל אחד מן החלקים המסומנים בסרטוט. נמקו את תשובתכם.

ד. לפניכם שני ביטויים, I–II. קבעו בנוגע לכל אחד מן הביטויים אם הוא שלילי או חיובי. נמקו ללא חישוב.

I. ∫−1−4 (f(x) − g(x)) dx   II. ∫ln 8ln 5 (f(x) − g(x)) dx

ה. חשבו את גודל השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות f(x) ו־g(x) ובין הישרים x = ln 9 ו־x = ln 16.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

נסמן t = ex. המכנה:
t2 − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4)
ex ≠ 1 , x ≠ 0
ex ≠ 4 , x ≠ ln 4
✅ פתרון סופי: x ≠ 0 , x ≠ ln 4

סעיף א (2) – אסימפטוטות

ב־x = 0 וב־x = ln 4 המכנה מתאפס והמונה לא – אסימפטוטות אנכיות.
כאשר x → ∞ נחלק מונה ומכנה ב־e2x:
f(x) = 21 − 5e−x + 4e−2x → 21 = 2
כאשר x → −∞: ex → 0, המונה שואף ל־0 והמכנה ל־4:
f(x) → 04 = 0
✅ פתרון סופי: x = 0 , x = ln 4 , y = 2 , y = 0

סעיף א (3) – עלייה וירידה

f′(x)📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= 4e2x(e2x − 5ex + 4) − 2e2x(2e2x − 5ex)(e2x − 5ex + 4)2
נפתח את המונה:
4e4x − 20e3x + 16e2x − 4e4x + 10e3x
= −10e3x + 16e2x = 2e2x(8 − 5ex)
המכנה בריבוע חיובי, ולכן הסימן של f′ כסימן של 8 − 5ex:
8 − 5ex = 0 , ex = 1.6 , x
= ln 1.6
x < ln 1.6 : f′(x) > 0
x > ln 1.6 : f′(x) < 0
✅ פתרון סופי: עלייה: x < 0 , 0 < x < ln 1.6
ירידה: ln 1.6 < x < ln 4 , x > ln 4

סעיף ב – נקודת החיתוך של f ו־g

למונים אותו מכנה, ולכן משווים מונים:
2e2x = 5ex
ex = 2.5 , x = ln 2.5
f(ln 2.5) = 2 · 6.256.25 − 12.5 + 4
= 12.5−2.25 = −509
✅ פתרון סופי: (ln 2.5 , −509)

סעיף ג – לאיזו פונקצייה שייך כל חלק

כאשר x → ∞: f → 2 ו־g → 0. לכן חלק 1 (שואף ל־2) שייך ל־f, וחלק 2 (שואף ל־0) שייך ל־g.
f(x) − g(x) = ex(2ex − 5)(ex − 1)(ex − 4)
כאשר x < 0: 2ex − 5 < 0 והמכנה חיובי, ולכן f < g. החלק העליון, 3, שייך ל־g, והתחתון, 4, ל־f.
בין 0 ל־ln 4 לפונקציות יש מקסימום: ל־f ב־x = ln 1.6 (הערך −329 ≈ −3.56), ול־g ב־x = ln 2 (הערך −5). המקסימום של חלק 5 גבוה יותר ושמאלי יותר – f; חלק 6 – g.
✅ פתרון סופי: f(x): חלקים 1 , 4 , 5
g(x): חלקים 2 , 3 , 6

סעיף ד – סימן הביטויים

f(x) − g(x) = ex(2ex − 5)(ex − 1)(ex − 4)
I. בתחום −4 ≤ x ≤ −1: ex < 1, ולכן 2ex − 5 < 0 והמכנה חיובי (שני גורמים שליליים). f − g < 0 – האינטגרל שלילי.
II. בתחום ln 5 ≤ x ≤ ln 8: ex ≥ 5, כל הגורמים חיוביים. f − g > 0 – האינטגרל חיובי.
✅ פתרון סופי: I – שלילי ; II – חיובי

סעיף ה – השטח בין ln 9 ל־ln 16

בתחום הזה ex > 4, ולכן f − g > 0 (כמו בסעיף ד). נשים לב שהמונה הוא הנגזרת של המכנה:
(e2x − 5ex + 4)′ = 2e2x − 5ex
S = ∫ln 16ln 9 2e2x − 5exe2x − 5ex + 4 dx📐 אינטגרל של מנה שבה המונה הוא נגזרת המכנה∫ u′u dx = ln|u| + C
= [ ln|e2x − 5ex + 4| ]ln 9ln 16
x = ln 16 : 256 − 80 + 4 = 180
x = ln 9 : 81 − 45 + 4 = 40
S = ln 180 − ln 40 = ln 18040
= ln 4.5 ≈ 1.5
✅ פתרון סופי: S = ln 4.5 ≈ 1.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א (1)x ≠ 0 , x ≠ ln 4
סעיף א (2)x = 0 , x = ln 4 , y = 2 , y = 0
סעיף א (3)עלייה: x < 0 , 0 < x < ln 1.6
ירידה: ln 1.6 < x < ln 4 , x > ln 4
סעיף ב(ln 2.5 , −509)
סעיף גf(x): חלקים 1 , 4 , 5
g(x): חלקים 2 , 3 , 6
סעיף דI – שלילי ; II – חיובי
סעיף הS = ln 4.5 ≈ 1.5
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 27 – פתרון בגרות חורף 2023: חקירת e
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת פונקציה לוגריתמית

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 4x(ln(x2) − 1).

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x. (3) הוכיחו כי הפונקצייה f(x) היא אי־זוגית.

ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן. (2) האם יש לפונקצייה f(x) נקודות פיתול? נמקו את תשובתכם. (3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = 1f(x).

ג. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה g(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקצייה g(x) המאונכות לצירים. (3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה g(x). (4) בכמה נקודות הגרפים של f(x) ו־g(x) נחתכים זה עם זה? נמקו את תשובתכם.

ד. כתבו דוגמה לפונקצייה קדומה של g(x).

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

ln(x2) מוגדר כאשר x2 > 0:📐 תחום של lnln u מוגדר כאשר u > 0
✅ פתרון סופי: x ≠ 0

סעיף א (2) – חיתוך עם ציר ה־x

4x(ln(x2) − 1) = 0
x = 0 לא בתחום, ולכן:
ln(x2) = 1 , x2 = e
x = ±√e
✅ פתרון סופי: (√e , 0) , (−√e , 0)

סעיף א (3) – f אי־זוגית

f(−x) = 4(−x)(ln((−x)2) − 1)📐 פונקצייה אי־זוגיתf(−x) = −f(x)
f(−x) = −4x(ln(x2) − 1) = −f(x)
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב (1) – נקודות הקיצון

f′(x) = 4(ln(x2) − 1) + 4x · 2xx2📐 נגזרת של מכפלה(uv)′ = u′v + uv′
f′(x) = 4 ln(x2) − 4 + 8
= 4 ln(x2) + 4
ln(x2) = −1 , x2 = 1e
x = ±1√e
הסימן של f′: חיובית כאשר |x| > 1√e, שלילית כאשר 0 < |x| < 1√e.
f(1√e) = 4√e(−1 − 1) = −8√e
הפונקצייה אי־זוגית, ולכן f(−1√e) = 8√e.
✅ פתרון סופי: מקסימום (−1√e , 8√e)
מינימום (1√e , −8√e)

סעיף ב (2) – נקודות פיתול

f″(x) = 4 · 2xx2 = 8x📐 נגזרת של ln של פונקצייה(ln u)′ = u′u
f″ לא מתאפסת אף פעם. היא מחליפה סימן רק ב־x = 0, שלא בתחום.
✅ פתרון סופי: אין נקודות פיתול

סעיף ב (3) – סקיצה של f

ליד x = 0 הפונקצייה שואפת ל־0 (הנקודה (0 , 0) לא בגרף). מקסימום משמאל, מינימום מימין, חיתוכים ב־±√e.
xymaxmin√e−√ef(x)
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ג (1) – תחום ההגדרה של g

g = 1f מוגדרת כאשר f מוגדרת ושונה מ־0:
✅ פתרון סופי: x ≠ 0 , x ≠ ±√e

סעיף ג (2) – אסימפטוטות של g

ב־x = ±√e וליד x = 0 הפונקצייה f שואפת ל־0, ולכן g שואפת ל־±∞.
כאשר x → ±∞, |f| → ∞, ולכן g → 0.
✅ פתרון סופי: x = 0 , x = ±√e , y = 0

סעיף ג (3) – סקיצה של g

לגרף של g = 1f אותו סימן כמו ל־f. במקסימום של f, g = √e8 – נקודת מינימום של g; ובמינימום של f – נקודת מקסימום של g.
xyx = √ex = −√eg(x)
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ג (4) – מספר נקודות החיתוך

f(x) = 1f(x)
f2(x) = 1 , f(x) = 1 או f(x)
= −1
בתחום x > 0: f יורדת מ־0 עד −8√e ≈ −4.85, ואחר כך עולה ל־∞.
הישר y = −1 חותך את הגרף פעמיים (בירידה ובעלייה), והישר y = 1 פעם אחת (מימין ל־√e).
f אי־זוגית, ולכן גם בתחום x < 0 יש 3 נקודות.
✅ פתרון סופי: 6 נקודות

סעיף ד – פונקצייה קדומה של g

g(x) = 14x(ln(x2) − 1)
(ln(x2) − 1)′ = 2xx2 = 2x📐 נגזרת של ln של פונקצייה(ln u)′ = u′u
g(x) = 18 · 2xln(x2) − 1
G(x) = 18 ln|ln(x2) − 1|📐 אינטגרל של מנה שבה המונה הוא נגזרת המכנה∫ u′u dx = ln|u| + C
✅ פתרון סופי: G(x) = 18 ln|ln(x2) − 1|

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א (1)x ≠ 0
סעיף א (2)(√e , 0) , (−√e , 0)
סעיף א (3)הוכח
סעיף ב (1)מקסימום (−1√e , 8√e)
מינימום (1√e , −8√e)
סעיף ב (2)אין נקודות פיתול
סעיף ב (3)ראו סקיצה
סעיף ג (1)x ≠ 0 , x ≠ ±√e
סעיף ג (2)x = 0 , x = ±√e , y = 0
סעיף ג (3)ראו סקיצה
סעיף ג (4)6 נקודות
סעיף דG(x) = 18 ln|ln(x2) − 1|
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 9 – נגזרת מורכבת עם פונקציית ln
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 572 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות