בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 – קיץ 2023 מועד מיוחד

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 8 שאלות בשלושה פרקים: פרק ראשון – "שאלות קצרות", סדרות והסתברות (שאלות 1–3; בשאלה 1 עונים על שלושה מן הסעיפים א–ד); פרק שני – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4–5); פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות, של פונקציות שורש ושל פונקציות טריגונומטריות (שאלות 6–8). עונים על 5 שאלות: לפחות שאלה אחת מכל פרק. 20 נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2023 מועד מיוחד

שאלון 571 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 7
עמוד 7 מתוך 7

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – שאלות קצרות: מעגלים חוסמים במקבילית, ברנולי, גרפי נגזרות, סדרה הנדסית במעגל

📄 נוסח השאלה

ענו על שלושה מארבעת הסעיפים א–ד. בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. בסרטוט שלפניכם ABCD מקבילית. הנקודות E ו־F נמצאות על המשכי הצלע AB, כמתואר בסרטוט.

הקטע EC חותך את הצלע AD בנקודה G. הקטע FD חותך את הצלע BC בנקודה H.

נתון: GE = 5 , HF = 4.

(1) מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש HBF ובין רדיוס המעגל החוסם את המשולש GEA. נמקו את תשובתכם.

נתון גם: המרובע ABHD הוא בר־חסימה, BH = FH.

(2) הוכיחו כי המשולש HBF הוא משולש שווה צלעות.

סרטוט סעיף א: המקבילית ABCD והנקודות E, F, G, H

ב. ב־20% מן המשפחות בעיר יש בדיוק 2 ילדים. בוחרים באקראי 4 משפחות מן העיר.

לפניכם שלוש הסתברויות:

I – ההסתברות שבין 4 המשפחות שנבחרו מספר המשפחות שיש בהן בדיוק 2 ילדים גדול ממספר המשפחות שאין בהן בדיוק 2 ילדים.

II – ההסתברות שבין 4 המשפחות שנבחרו מספר המשפחות שיש בהן בדיוק 2 ילדים קטן ממספר המשפחות שאין בהן בדיוק 2 ילדים.

III – ההסתברות שבין 4 המשפחות שנבחרו יש לפחות משפחה אחת שיש בה בדיוק 2 ילדים ויש לפחות משפחה אחת שאין בה בדיוק 2 ילדים.

לפניכם שני ביטויים:

ביטוי 1: 1 − 0.24 − 0.84

ביטוי 2: 4 · 0.23 · 0.8 + 0.24

בעבור כל אחד מן הביטויים, קבעו איזו מן ההסתברויות I–III הוא מבטא. נמקו את קביעתכם.

ג. f(x) היא פונקציה. בסרטוט שלפניכם מוצגים שני גרפים: גרף I וגרף II. אחד הגרפים הוא של פונקציית הנגזרת f′(x), והגרף האחר הוא הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה f′′(x).

(1) איזה גרף הוא של f′(x), ואיזה גרף הוא של f′′(x)? נמקו.

(2) הוכיחו שהשטח המוגבל על ידי גרף II ועל ידי ציר ה־x ברביע הרביעי (השטח המקווקו בסרטוט) שווה לשטח המוגבל על ידי גרף II, על ידי ציר ה־x ועל ידי ציר ה־y ברביע הראשון (השטח המנוקד בסרטוט).

סרטוט סעיף ג: גרף I וגרף II

ד. במעגל שמרכזו O בונים סדרה אין־סופית של משולשים שווי שוקיים. זוויות הראש של המשולשים הן זוויות מרכזיות במעגל, ושוקי המשולשים הם רדיוסים במעגל.

זווית הראש של המשולש הראשון (AOB) היא x. זווית הראש של המשולש השני (BOC) היא x2, כמתואר בסרטוט. ממשיכים לבנות משולשים שווי שוקיים כך שזווית הראש של כל משולש נוסף בסדרה קטנה פי 2 מזווית הראש של המשולש שלפניו.

נתון: סכום כל זוויות הראש של כל המשולשים בסדרה הוא 240.

(1) מצאו את x.

(2) האם שטחי כל המשולשים האלה הם סדרה הנדסית? נמקו את תשובתכם.

(בשאלון זווית הראש של המשולש הראשון מסומנת באות יוונית; כאן סימנו אותה באות x.)

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – יחס הרדיוסים

נבטא את רדיוס כל מעגל חוסם לפי משפט הסינוסים.
במשולש HBF: הצלע HF נמצאת מול הזווית HBF:
HFsin∢HBF = 2R1📐 משפט הסינוסיםasin A = 2R
R1 = 42sin∢HBF
במשולש GEA: הצלע GE נמצאת מול הזווית GAE:
GEsin∢GAE = 2R2📐 משפט הסינוסיםasin A = 2R
R2 = 52sin∢GAE
נקשר בין הזוויות. AD ∥ BC (צלעות נגדיות במקבילית):
הזווית HBF שווה לזווית DAB (זוויות מתאימות).📐 ישרים מקביליםזוויות מתאימות שוות, זוויות מתחלפות שוות
הזווית GAE היא זווית צמודה לזווית DAB:
∢GAE = 180 − ∢DAB📐 זוויות צמודותסכומן 180
sin∢GAE = sin(180 − ∢DAB)📐 זוויות משלימותsin(180 − x) = sin x
= sin∢DAB
sin∢HBF = sin∢GAE
לכן:
R1R2 = 42sin∢HBF52sin∢GAE
= 45
✅ פתרון סופי: RHBFRGEA = 45

סעיף א (2) – המשולש HBF שווה צלעות

נסמן ∢DAB = x.
∢HBF = ∢DAB = x (זוויות מתאימות, AD ∥ BC).📐 ישרים מקביליםזוויות מתאימות שוות, זוויות מתחלפות שוות
ABHD מרובע חסום. הזווית HBF היא זווית חיצונית שלו בקודקוד B, והזווית הפנימית הנגדית לה היא ADH:📐 מרובע חסום במעגלזווית חיצונית שווה לזווית הפנימית הנגדית
∢ADH = ∢HBF = x
BH = FH, ולכן המשולש HBF שווה שוקיים:📐 משולש שווה שוקייםמול צלעות שוות – זוויות שוות
∢HFB = ∢HBF = x
נסתכל על המשולש AFD. הנקודה H על הקטע FD, ו־B על הקטע AF:
∢FAD = x , ∢AFD = x , ∢ADF = x
3x = 180 ⟸ x = 60📐 סכום זוויות במשולש180
במשולש HBF שתי זוויות שוות ל־60:
∢HBF = ∢HFB = 60
∢BHF = 180 − 60 − 60 = 60
שלוש הזוויות שוות, ולכן המשולש שווה צלעות.
✅ פתרון סופי: הוכחה – כל הזוויות של HBF שוות ל־60

סעיף ב – הביטויים וההסתברויות

נסמן: p = 0.2 – הסתברות שבמשפחה יש בדיוק 2 ילדים, 1 − p = 0.8 – שאין בה בדיוק 2 ילדים.
ביטוי 1:
0.24
ההסתברות שבכל 4 המשפחות יש בדיוק 2 ילדים.
0.84
ההסתברות שבאף אחת מ־4 המשפחות אין בדיוק 2 ילדים.
1 − 0.24 − 0.84 – כל המקרים חוץ משני המקרים האלה: יש לפחות משפחה אחת מכל סוג. זו ההסתברות III.📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(Ā)
ביטוי 2:
4 · 0.23 · 0.8📐 נוסחת ברנוליP = C(n , k) · pk · (1 − p)n − k
ההסתברות שבדיוק 3 משפחות מ־4 הן עם בדיוק 2 ילדים.
0.24
ההסתברות שכל 4 המשפחות הן כאלה.
הסכום: 3 או 4 משפחות עם בדיוק 2 ילדים, כלומר יותר משפחות כאלה מאשר משפחות שאינן כאלה. זו ההסתברות I.
✅ פתרון סופי: ביטוי 1 – III , ביטוי 2 – I

סעיף ג (1) – איזה גרף הוא הנגזרת

בכל נקודה שבה לגרף I יש נקודת קיצון, גרף II חותך את ציר ה־x: בערך ב־x = −0.6, ב־x = 0.4 וב־x = 1.
בנקודת קיצון של פונקציה הנגזרת שלה מתאפסת. לכן גרף II הוא הנגזרת של גרף I.📐 נגזרת בקיצוןבנקודת קיצון (פנימית) הנגזרת מתאפסת
גם הסימן מתאים: בקטע −0.6 < x < 0.4 גרף I עולה וגרף II חיובי; בקטע 0.4 < x < 1 גרף I יורד וגרף II שלילי.
לכן גרף I הוא f′(x), וגרף II (הנגזרת שלו) הוא f′′(x).
בסרטוט (סקיצה שמתאימה לנתונים): גרף I בתכלת, גרף II בכחול, השטח המנוקד בצהוב והשטח המקווקו בתכלת חלש:
−11−2−112xyIII
✅ פתרון סופי: גרף I – f′(x) , גרף II – f′′(x)

סעיף ג (2) – השוואת השטחים

נסמן ב־k את נקודת החיתוך של גרף II עם ציר ה־x שבין 0 ל־1, בערך 0.4.
גרף I עובר בראשית, ולכן:
f′(0) = 0
גרף I משיק לציר ה־x בנקודה שבה x = 1, ולכן:
f′(1) = 0
השטח המנוקד (גרף II מעל ציר ה־x):
S1 = ∫0k f′′(x) dx📐 אינטגרל של הנגזרת∫ab f′′(x) dx = f′(b) − f′(a)
= f′(k) − f′(0)
S1 = f′(k) − 0 = f′(k)
השטח המקווקו (גרף II מתחת לציר ה־x, ולכן מוסיפים מינוס):
S2 = −∫k1 f′′(x) dx📐 אינטגרל של הנגזרת∫ab f′′(x) dx = f′(b) − f′(a)
= −(f′(1) − f′(k))
S2 = −(0 − f′(k)) = f′(k)
S1 = S2
✅ פתרון סופי: הוכחה – שני השטחים שווים ל־f′(k)

סעיף ד (1) – זווית הראש

זוויות הראש: x , x2 , x4 , … – סדרה הנדסית אין־סופית עם a1 = x ו־q = 12:
x1 − 12 = 240📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a11 − q
2x = 240
x = 120
✅ פתרון סופי: x = 120

סעיף ד (2) – האם השטחים סדרה הנדסית

השוקיים של כל המשולשים הם רדיוסים, באורך r:
S1 = 12r2 sin120 = 12r2 · √32📐 שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
S2 = 12r2 sin60 = 12r2 · √32
S3 = 12r2 sin30 = 12r2 · 12
נבדוק את המנות בין איברים סמוכים:
S2S1 = 1
S3S2 = 12√32 = 1√3
המנות לא שוות, ולכן השטחים אינם סדרה הנדסית.📐 סדרה הנדסיתan + 1an = q קבוע
בסרטוט: המשולשים הראשונים במעגל, עם זוויות הראש 120, 60, 30, 15:
ABCDO
✅ פתרון סופי: לא – המנות 1 ו־1√3 שונות

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א (1)45 (או 0.8)
סעיף א (2)הוכחה
סעיף בביטוי 1 – III
ביטוי 2 – I
סעיף ג (1)גרף I – f′(x) , גרף II – f′′(x)
סעיף ג (2)הוכחה
סעיף ד (1)x = 120
סעיף ד (2)לא
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 40 – חישוב אינטגרלים עם הנגזרת השנייה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סדרות חשבוניות: סדרת הממוצעים וסכומים

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה חשבונית A ובה 2n איברים (n הוא מספר טבעי).

d הוא הפרש הסדרה (d ≠ 0).

מגדירים סדרה נוספת B באופן הזה: bm = am + am + 12.

בסדרה B יש 2n − 1 איברים.

א. הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה חשבונית, והביעו באמצעות d את ההפרש שלה.

נסמן ב־SA את סכום האיברים בסדרה A, וב־SB את סכום האיברים בסדרה B.

ב. הוכיחו: SA2n = SB2n − 1.

נתון: SA = 220 + SB , SA = 6665 · SB.

ג. (1) מצאו את n.

(2) מצאו את סכום שני האיברים האמצעיים בסדרה A.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הסדרה B חשבונית

am = a1 + (m − 1)d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
am + 1 = a1 + md
bm = a1 + (m − 1)d + a1 + md2
= 2a1 + (2m − 1)d2
= a1 + md − d2
נחסר שני איברים סמוכים בסדרה B:
bm + 1 − bm = a1 + (m + 1)d − d2
− a1 − md + d2
= d
ההפרש קבוע (לא תלוי ב־m), ולכן B סדרה חשבונית שההפרש שלה d.📐 סדרה חשבוניתan + 1 − an = d קבוע
✅ פתרון סופי: הוכחה – ההפרש של B הוא d

סעיף ב – השוויון בין הסכומים

SA = 2n(a1 + a2n)2 = n(a1 + a2n)📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n(a1 + an)2
SA2n = a1 + a2n2
SB = (2n − 1)(b1 + b2n − 1)2📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n(a1 + an)2
נחשב את האיבר הראשון והאחרון של B:
b1 = a1 + a22 , b2n − 1
= a2n − 1 + a2n2
b1 + b2n − 1 = a1 + a2 + a2n − 1 + a2n2
בסדרה חשבונית סכום איברים שנמצאים במרחק שווה מהקצוות שווה: a2 + a2n − 1 = a1 + a2n.📐 איברים במרחק שווה מהקצוותak + an + 1 − k = a1 + an
b1 + b2n − 1 = 2(a1 + a2n)2
= a1 + a2n
SB2n − 1 = a1 + a2n2
שני הביטויים שווים:
SA2n = SB2n − 1
✅ פתרון סופי: הוכחה

סעיף ג (1) – מציאת n

נציב את הנתון השני בראשון:
6665SB = 220 + SB
165SB = 220
SB = 14300
SA = 220 + 14300 = 14520
נציב בשוויון מסעיף ב:
145202n = 143002n − 1
14520(2n − 1) = 14300 · 2n
29040n − 14520 = 28600n
440n = 14520
n = 33
✅ פתרון סופי: n = 33

סעיף ג (2) – סכום שני האיברים האמצעיים

בסדרה A יש 2n = 66 איברים. שני האיברים האמצעיים הם a33 ו־a34.
הם במרחק שווה מהקצוות, ולכן:📐 איברים במרחק שווה מהקצוותak + an + 1 − k = a1 + an
a33 + a34 = a1 + a66
מסעיף ב:
SA = n(a1 + a2n)
14520 = 33(a1 + a66)
a1 + a66 = 440
✅ פתרון סופי: a33 + a34 = 440

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהוכחה, ההפרש d
סעיף בהוכחה
סעיף ג (1)n = 33
סעיף ג (2)440
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות: מבחני קבלה, עץ, הסתברות מותנית וברנולי

📄 נוסח השאלה

כדי להתקבל ללימודים בפקולטה מסוימת מועמד צריך להיבחן בשני מבחנים.

ההסתברות שמועמד יצליח במבחן הראשון היא P (P > 0.5).

אם המועמד הצליח במבחן הראשון, אז ההסתברות שהוא יצליח במבחן השני היא P + 0.3.

אם המועמד נכשל במבחן הראשון, אז ההסתברות שהוא יצליח במבחן השני היא P − 0.1.

נתון כי ההסתברות שהמועמד יצליח בדיוק במבחן אחד מבין השניים היא 940.

א. מצאו את P.

כדי להתקבל ללימודים בפקולטה המועמד צריך להצליח בשני המבחנים.

ב. ידוע כי מועמד הצליח לפחות במבחן אחד. מהי ההסתברות שהוא התקבל לפקולטה?

שלושה מועמדים נבחנו בשני המבחנים.

ג. מהי ההסתברות ששני מועמדים מבין השלושה התקבלו לפקולטה ואחד מהם נכשל בשני המבחנים?

n מועמדים נבחנו בשני המבחנים (n ≥ 2).

ד. הביעו באמצעות n את ההסתברות שלפחות מועמד אחד התקבל לפקולטה וגם לפחות מועמד אחד לא התקבל לפקולטה.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – מציאת P

בדיוק מבחן אחד: עובר את הראשון ונכשל בשני, או נכשל בראשון ועובר את השני.
נבנה עץ: בענף הראשון הצלחה בהסתברות P וכישלון בהסתברות 1 − P.📐 עץ הסתברויותכופלים לאורך ענף, ומחברים בין ענפים
P(1 − (P + 0.3)) + (1 − P)(P
− 0.1) = 940
P(0.7 − P) + (1 − P)(P − 0.1)
= 0.225
0.7P − P2 + P − 0.1 − P2 + 0.1P
= 0.225
−2P2 + 1.8P − 0.1 = 0.225
2P2 − 1.8P + 0.325 = 0
P = 1.8 ± √3.24 − 2.64 = 1.8 ± 0.84📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
P = 0.65
או
P = 0.25
נתון P > 0.5, ולכן:
P = 0.65
העץ עם P = 0.65 (ההסתברות להצליח בשני: 0.95 אחרי הצלחה, 0.55 אחרי כישלון):
מבחן ראשוןמבחן שני0.65הצליח0.95הצליח0.05נכשל0.35נכשל0.55הצליח0.45נכשל
✅ פתרון סופי: P = 0.65

סעיף ב – הסתברות מותנית

התקבל = הצליח בשני המבחנים:📐 עץ הסתברויותכופלים לאורך ענף, ומחברים בין ענפים
ההסתברות להתקבל:
0.65 · 0.95 = 0.6175
נכשל בשניהם:
0.35 · 0.45 = 0.1575
ההסתברות להצליח לפחות במבחן אחד:
1 − 0.1575 = 0.8425📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(Ā)
אם התקבל, הוא בוודאי הצליח לפחות במבחן אחד, ולכן החיתוך הוא 0.6175:
P = 0.61750.8425 = 247337📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
P ≈ 0.733
✅ פתרון סופי: 247337 ≈ 0.733

סעיף ג – שלושה מועמדים

לכל מועמד שלוש אפשרויות שמעניינות אותנו: התקבל (0.6175), נכשל בשניהם (0.1575), או אחרת.
צריך שניים שהתקבלו ואחד שנכשל בשניהם. המועמד שנכשל יכול להיות כל אחד מ־3 המועמדים:
3 · 0.61752 · 0.1575📐 סידוריםמספר המקומות של המועמד שנכשל: 3
= 3 · 0.38131 · 0.1575
≈ 0.180
✅ פתרון סופי: ≈ 0.18

סעיף ד – n מועמדים

כל מועמד מתקבל בהסתברות 0.6175 ולא מתקבל בהסתברות 0.3825.
המאורע המשלים: כולם התקבלו, או אף אחד לא התקבל.
ההסתברות שכולם התקבלו:
0.6175n
ההסתברות שאף אחד לא התקבל:
0.3825n
P = 1 − 0.6175n − 0.3825n📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(Ā)
= 1 − 247n + 153n400n
✅ פתרון סופי: 1 − 0.6175n − 0.3825n

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אP = 0.65
סעיף ב247337 ≈ 0.733
סעיף ג≈ 0.18
סעיף ד1 − 0.6175n − 0.3825n
= 1 − 247n + 153n400n
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – עץ עם נעלמים ומותנת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גאומטרייה: משולש ישר זווית, מעגל ומשיק

📄 נוסח השאלה

במשולש ישר הזווית ABC (∢ACB = 90) הנקודות G, ‏H, ‏F נמצאות על הצלעות AC, ‏CB, ‏AB בהתאמה.

המרובע GCHF חסום במעגל. הצלע AB משיקה למעגל בנקודה F (ראו סרטוט).

נתון: GH ∥ AB.

א. הוכיחו כי FG = FH.

ב. (1) מצאו את הזווית ACF.

(2) הוכיחו כי המשולש GFC דומה למשולש FBC.

הקוטר במעגל היוצא מן הנקודה F חותך את הצלע AC בנקודה E.

ג. הוכיחו כי ∢FEB = ∢FCB.

סרטוט שאלה 4: המשולש ABC והמעגל

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – FG = FH

AB משיק בנקודה F, ו־FG מיתר:📐 זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
∢AFG = ∢FHG
GH ∥ AB, ו־FG חותך אותם:📐 ישרים מקביליםזוויות מתחלפות שוות
∢AFG = ∢FGH
∢FHG = ∢FGH
במשולש FGH שתי זוויות שוות, ולכן הצלעות שמולן שוות:📐 משולש שווה שוקייםמול זוויות שוות – צלעות שוות
FG = FH
✅ פתרון סופי: הוכחה

סעיף ב (1) – הזווית ACF

∢GCH = 90 היא זווית היקפית, ולכן GH הוא קוטר.📐 זווית היקפית בת 90נשענת על קוטר
∢GFH = 90
המשולש GFH ישר זווית ושווה שוקיים (סעיף א):
∢FGH = ∢FHG = 180 − 902 = 45
∢ACF ו־∢GHF נשענות על אותה קשת GF:📐 זווית היקפיתזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
∢ACF = ∢GHF = 45
✅ פתרון סופי: ∢ACF = 45

סעיף ב (2) – דמיון המשולשים

נשווה שתי זוויות במשולשים GFC ו־FBC:
זוג ראשון: מסעיף ב(1) ∢GCF = ∢ACF = 45.
∢FCB = 90 − 45 = 45
∢GCF = ∢FCB
זוג שני: FB משיק, ו־FC מיתר:📐 זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
∢BFC = ∢FGC
שתי זוויות שוות, ולכן המשולשים דומים:📐 דמיון משולשיםמשפט דמיון ז.ז.
המשולש GFC דומה למשולש FBC.
✅ פתרון סופי: הוכחה

סעיף ג – שוויון הזוויות

FE עובר דרך המרכז, ו־AB משיק ב־F:📐 רדיוס ומשיקהרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק
∢EFB = 90
נתון:
∢ECB = 90
במרובע EFBC סכום שתי הזוויות הנגדיות F ו־C הוא 180, ולכן הוא בר־חסימה.📐 מרובע בר־חסימהסכום זוויות נגדיות 180
∢EFB + ∢ECB = 90 + 90 = 180
במעגל החוסם את EFBC: ‏∢FEB ו־∢FCB נשענות על אותה קשת FB:📐 זווית היקפיתזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
∢FEB = ∢FCB
בסרטוט (בקנה מידה): המעגל, המשולש FGH (סגול), הקטע CF (ירוק) והקוטר FE (כחול):
CABGHFE
✅ פתרון סופי: הוכחה

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אהוכחה
סעיף ב (1)∢ACF = 45
סעיף ב (2)הוכחה
סעיף גהוכחה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – טריגונומטריה: משיק למעגל, משפט הסינוסים ויחס שטחים

📄 נוסח השאלה

המשולש ABC חסום במעגל שרדיוסו R.

המשיק למעגל בנקודה B חותך את המשך הצלע CA בנקודה D (ראו סרטוט).

נתון: ∢DBC = 120 , ∢ABD = x.

א. הביעו באמצעות R ו־x את אורך הצלע AB ואת אורך הצלע BC.

נתון: SBDCSBDA = 1.8.

ב. מצאו את x.

נתון גם: רדיוס המעגל החוסם את המשולש BDA הוא 4.

ג. מצאו את R.

(בשאלון הזווית ABD מסומנת באות יוונית; כאן סימנו אותה באות x.)

סרטוט שאלה 5: המשולש ABC, המעגל והמשיק

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – הצלעות AB ו־BC

BD משיק ב־B, ו־BA מיתר. הזווית ACB היא זווית היקפית על המיתר AB:📐 זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
∢ACB = ∢ABD = x
הנקודה A על הקטע DC, ולכן הקרן BA בתוך הזווית DBC:
∢ABC = 120 − x
∢BAC = 180 − x − (120 − x) = 60📐 סכום זוויות במשולש180
משפט הסינוסים במשולש ABC (המעגל החוסם שלו הוא המעגל הנתון):
ABsin∢ACB = 2R📐 משפט הסינוסיםasin A = 2R
AB = 2R sin x
BCsin∢BAC = 2R📐 משפט הסינוסיםasin A = 2R
BC = 2R sin60 = 2R · √32
BC = √3R
בסרטוט (בקנה מידה, עם הערך של x מסעיף ב): המעגל, המשולש ABC והמשיק BD (סגול):
ABCDO
✅ פתרון סופי: AB = 2R sin x , BC = √3R

סעיף ב – מציאת x

למשולשים BDC ו־BDA יש אותו גובה מ־B לישר DC, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:
SBDCSBDA = DCDA = 1.8📐 משולשים עם גובה משותףיחס השטחים = יחס הבסיסים
הזוויות במשולש BDA:
∢BAD = 180 − 60 = 120
∢ADB = 180 − 120 − x = 60 − x
משפט הסינוסים במשולש BDA:
DAsin x = ABsin(60 − x)📐 משפט הסינוסיםasin A = bsin B
DA = AB · sin xsin(60 − x)
משפט הסינוסים במשולש BDC, שבו ∢DBC = 120 ו־∢BCD = x:
DCsin120 = BCsin(60 − x)📐 משפט הסינוסיםasin A = bsin B
DC = BC · sin120sin(60 − x)
נחלק:
DCDA = BC · sin120AB · sin x
= √3R · √322R sin x · sin x
= 34sin2x
34sin2x = 1.8
sin2x = 37.2 = 512
sin x = √512 ≈ 0.6455
x זווית במשולש BDA עם x < 60, ולכן חדה:
x ≈ 40.2
✅ פתרון סופי: x ≈ 40.2

סעיף ג – מציאת R

משפט הסינוסים במשולש BDA, שרדיוס המעגל החוסם שלו 4. הצלע AB מול הזווית ADB = 60 − x:
ABsin(60 − x) = 2 · 4📐 משפט הסינוסיםasin A = 2R
AB = 8sin(60 − 40.2)
= 8sin19.8 ≈ 2.71
מסעיף א:
AB = 2R sin x
2R · sin40.2 = 8sin19.8
R = 4sin19.8sin40.2
R ≈ 2.1
הערך המדויק:
R = 2√4.2 − 2 ≈ 2.099
✅ פתרון סופי: R ≈ 2.1

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אAB = 2R sin x
BC = √3R
סעיף בx ≈ 40.2
סעיף גR ≈ 2.1
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – טריגונומטריה עם מעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציה טריגונומטרית והפונקציה 1 חלקי שורש

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = sin(x) · cos3(x) המוגדרת בתחום −π2 ≤ x ≤ π2.

א. (1) האם הפונקציה f(x) היא זוגית או אי־זוגית? נמקו.

(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

(3) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = 1√f(x).

ב. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).

(2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x).

(3) סרטטו (בקו מקווקו) סקיצה של גרף הפונקציה g(x) באותה מערכת צירים שבה סרטטתם את גרף הפונקציה f(x).

ענו על סעיף ג בעבור התחום שבו מוגדרות שתי הפונקציות f(x) ו־g(x).

ג. מצאו את המרחק המינימלי בין הפונקציות f(x) ו־g(x).

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – זוגיות

f(−x) = sin(−x) · cos3(−x)📐 זוגיות של sin ו־cossin(−x) = −sin x
cos(−x) = cos x
= −sin x · cos3x
= −f(x)
התחום סימטרי סביב 0, ולכן הפונקציה אי־זוגית.📐 פונקציה אי־זוגיתf(−x) = −f(x)
✅ פתרון סופי: אי־זוגית

סעיף א (2) – חיתוך עם הצירים

חיתוך עם ציר ה־y (x = 0):
f(0) = 0 · 1 = 0
חיתוך עם ציר ה־x:
sin x · cos3x = 0
sin x = 0 ⟸ x = 0
cos x = 0 ⟸ x = ±π2
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (π2 , 0) , (−π2 , 0)

סעיף א (3) – נקודות קיצון

f′(x) = cos x · cos3x + sin x📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′
· 3cos2x · (−sin x)
= cos4x − 3sin2x cos2x
= cos2x (cos2x − 3sin2x)
f′(x) = 0:
cos2x = 0 ⟸ x = ±π2
אלה קצות התחום.
cos2x = 3sin2x
tan2x = 13📐 זהותtan x = sin xcos x
tan x = ±1√3 ⟸ x = ±π6
טבלת סימנים לנגזרת. הגורם cos2x אינו שלילי, ולכן הסימן נקבע לפי הסוגריים:
• −π2 < x < −π6: ‏f′ < 0 – יורדת.
• −π6 < x < π6: ‏f′ > 0 – עולה.
• π6 < x < π2: ‏f′ < 0 – יורדת.
f(π6) = 12 · (√32)3 = 3√316 ≈ 0.325
f(−π6) = −3√316 ≈ −0.325
בשני הקצוות הערך הוא 0. בין הקצה השמאלי ל־−π6 הפונקציה יורדת, ולכן הקצה השמאלי הוא מקסימום.
בין π6 לקצה הימני הפונקציה יורדת, ולכן הקצה הימני הוא מינימום.
✅ פתרון סופי: מקסימום (π6 , 0.325) , מינימום (−π6 , −0.325)
קצוות: מקסימום (−π2 , 0) , מינימום (π2 , 0)

סעיף א (4) – סקיצה של f

הגרף עולה מהנקודה (−π6 , −0.325) דרך הראשית עד הנקודה (π6 , 0.325), ובשני הצדדים יורד אל הקצוות (±π2 , 0).
−0.30.3xy−π/2−π/6π/6π/2
✅ פתרון סופי: הסקיצה למטה

סעיף ב (1) – תחום ההגדרה של g

שורש מוגדר כשהביטוי שבתוכו אינו שלילי, והמכנה שונה מאפס:📐 תחום של שורש במכנה1√h מוגדר כש־h > 0
f(x) > 0
מהסקיצה של f ומנקודות החיתוך: f(x) > 0 רק בין 0 ל־π/2.
0 < x < π2
✅ פתרון סופי: 0 < x < π2

סעיף ב (2) – הקיצון של g

קוראים מהסקיצה של f (סעיף א (4)) בתחום 0 < x < π2:
f חיובית, עולה מ־0 עד המקסימום (π6 , 0.325), ואחר כך יורדת חזרה ל־0.
g(x) = 1√f(x)📐 הפונקציה 1 חלקי שורשכש־f > 0 גדלה, √f גדל, ולכן 1√f קטנה (ולהפך)
כש־f עולה, g יורדת; כש־f יורדת, g עולה.
לכן g יורדת עד x = π6 ועולה אחריו: במקום שבו ל־f יש מקסימום, ל־g יש מינימום.
g(π6) = 1√3√316 ≈ 1√0.325 ≈ 1.75
✅ פתרון סופי: מינימום (π6 , 1.75)

סעיף ב (3) – סקיצה של g

כש־x שואף ל־0 או ל־π/2 בתוך התחום, f(x) שואף ל־0 מלמעלה, ולכן g(x) שואף לאינסוף: הישרים x = 0 ו־x = π2 הם אסימפטוטות אנכיות.
הסקיצה של g מופיעה בסרטוט שלמטה (סגול מקווקו), מעל גרף f.
123xy−π/2−π/6π/6π/2
✅ פתרון סופי: הסקיצה למטה

סעיף ג – המרחק המינימלי

בכל התחום g מעל f. נסמן את המרחק האנכי:
d(x) = g(x) − f(x)
ב־x = π6 יש ל־g מינימום ול־f מקסימום. לכן לכל x בתחום:
g(x) ≥ g(π6) , f(x) ≤ f(π6)
d(x) ≥ g(π6) − f(π6)
d(π6) ≈ 1.755 − 0.325 ≈ 1.43
בסרטוט: הקטע הירוק ב־x = π/6 הוא המרחק המינימלי.
✅ פתרון סופי: ≈ 1.43

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)אי־זוגית
סעיף א (2)(0 , 0)
(±π2 , 0)
סעיף א (3)מקסימום (π6 , 0.325)
מינימום (−π6 , −0.325)
קצוות: מקסימום (−π2 , 0)
מינימום (π2 , 0)
סעיף א (4)סקיצה
סעיף ב (1)0 < x < π2
סעיף ב (2)מינימום (π6 , 1.75)
סעיף ב (3)סקיצה
סעיף ג≈ 1.43
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 34 – הפונקציה 1 חלקי f(x)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציית שורש, שיקוף ואינטגרלים

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x + √x2 − 4.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x (אם יש כאלה).

(3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

(4) מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה (∪) וכלפי מטה (∩) של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה h(x) = −f(−x). הפונקציות f(x) ו־h(x) מוגדרות באותו תחום.

ג. באותה מערכת צירים שבה סרטטתם סקיצה של גרף הפונקציה f(x), הוסיפו בקו מקווקו סקיצה של גרף הפונקציה h(x).

נתון: a > 4 הוא פרמטר.

ד. סדרו את הביטויים I–III שלפניכם מן הקטן ביותר אל הגדול ביותר.

I. ∫aa + 1 (f(x) − h(x)) dx

II. ∫a + 1a + 2 (f(x) − h(x)) dx

III. ∫−a + 1−a + 2 (f(x) − h(x)) dx

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

הביטוי שבתוך השורש אינו שלילי:📐 תחום של שורש√u מוגדר כש־u ≥ 0
x2 − 4 ≥ 0
x ≤ −2
או
x ≥ 2
✅ פתרון סופי: x ≤ −2 או x ≥ 2

סעיף א (2) – חיתוך עם ציר ה־x

x + √x2 − 4 = 0
√x2 − 4 = −x
שורש אינו שלילי, ולכן צריך x ≤ 0. נעלה בריבוע:
x2 − 4 = x2
−4 = 0
אין פתרון.
✅ פתרון סופי: אין נקודות חיתוך עם ציר ה־x

סעיף א (3) – עלייה וירידה

f′(x) = 1 + 2x2√x2 − 4📐 נגזרת של שורש(√u)′ = u′2√u
= 1 + x√x2 − 4
בתחום x > 2: ‏x√x2 − 4 > 0, ולכן f′(x) > 0 – עולה.
בתחום x < −2: ‏√x2 − 4 < |x|, ולכן:
x√x2 − 4 = −|x|√x2 − 4 < −1
f′(x) = 1 + x√x2 − 4 < 0
הפונקציה יורדת.
✅ פתרון סופי: עלייה: x ≥ 2 , ירידה: x ≤ −2

סעיף א (4) – קעירות

f′′(x) = √x2 − 4 − x · x√x2 − 4x2 − 4📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= x2 − 4 − x2(x2 − 4)√x2 − 4
= −4(x2 − 4)√x2 − 4
המכנה חיובי בכל התחום (בלי הקצוות), ולכן f′′(x) < 0.
✅ פתרון סופי: קעורה כלפי מעלה: אין ; כלפי מטה: x < −2 , x > 2

סעיף ב – סקיצה של f

מה שמצאנו: נקודות הקצה (2 , 2) ו־(−2 , −2); אין חיתוך עם ציר ה־x; עולה ב־x ≥ 2 ויורדת ב־x ≤ −2; קעורה כלפי מטה בשני הענפים.
כש־x → −∞ הגרף שואף ל־0 מלמטה, כלומר הישר y = 0 הוא אסימפטוטה. משם הגרף יורד עד הנקודה (−2 , −2).
מהנקודה (2 , 2) הגרף עולה לאינסוף.
הסקיצה בכחול (בסרטוט שבסעיף ג).
✅ פתרון סופי: הסקיצה בסעיף ג

סעיף ג – הפונקציה h

h(x) = −f(−x) = −(−x + √x2 − 4)
h(x) = x − √x2 − 4
הגרף של h מתקבל מהגרף של f בשיקוף סביב ראשית הצירים.📐 שיקוף סביב הראשיתy = −f(−x) – סיבוב של 180 סביב הראשית
הענף הימני של h יורד מ־(2 , 2) אל 0, והענף השמאלי יורד מ־(−2 , −2) למינוס אינסוף.
בסרטוט: f בכחול, h בסגול מקווקו.
−6−4−2246−6−4−2246xy(2 , 2)(−2 , −2)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד – סידור הביטויים

f(x) − h(x) = 2√x2 − 4
הפונקציה 2√x2 − 4 זוגית. כש־x > 2 היא עולה, כי ככל ש־x גדל גם הביטוי שבתוך השורש גדל.
ביטוי III: נציב x = −t. בגלל הזוגיות:
∫−a + 1−a + 2 2√x2 − 4 dx📐 פונקציה זוגיתהשטח מתחת לגרף בקטע ובקטע הסימטרי לו שווה
= ∫a − 2a − 1 2√t2 − 4 dt
שלושת הביטויים הם שטחים מתחת לאותה פונקציה עולה, על קטעים באורך 1. כי a > 4, כל הקטעים נמצאים בתחום x > 2:
III: [a − 2 , a − 1]
I: [a , a + 1]
II: [a + 1 , a + 2]
ככל שהקטע ימני יותר, הפונקציה גבוהה יותר והשטח גדול יותר.
III < I < II
✅ פתרון סופי: מהקטן לגדול: III , I , II

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)x ≤ −2 או x ≥ 2
סעיף א (2)אין
סעיף א (3)עלייה: x ≥ 2
ירידה: x ≤ −2
סעיף א (4)כלפי מעלה: אין
כלפי מטה: x < −2 , x > 2
סעיף בסקיצה
סעיף גסקיצה
סעיף דIII < I < II
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ונקודות קיצון בחקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת שורש 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון: ישר, משולשים ויחס שטחים

📄 נוסח השאלה

ישר ששיפועו −2 חותך את החלק החיובי של ציר ה־x בנקודה B, ואת החלק החיובי של ציר ה־y בנקודה A.

הנקודה D נמצאת על הישר AB ברביע הראשון.

הנקודה E נמצאת על ציר ה־x כך שהקטע DE מקביל לציר ה־y.

הנקודה O היא ראשית הצירים, כמתואר בסרטוט.

נסמן את אורך הקטע OE ב־p.

נתון: שטח המשולש OED הוא p2.

א. הביעו באמצעות p את משוואת הישר AB.

ב. מצאו את הערך של p שבעבורו היחס בין שטח המשולש OED ובין שטח המשולש ABO הוא מקסימלי.

סרטוט שאלה 8: הישר AB והמשולש OED

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – משוואת הישר AB

נסמן B(b , 0), ‏b > 0:
y − 0 = −2(x − b)📐 משוואת ישר לפי שיפוע ונקודהy − y1 = m(x − x1)
y = −2x + 2b
הנקודה D מעל E(p , 0):
D(p , −2p + 2b)
DE = 2b − 2p
המשולש OED ישר זווית ב־E:
SOED = p(2b − 2p)2 = p(b − p)📐 שטח משולש ישר זוויתS = a · b2
p(b − p) = p2
p > 0, ולכן נחלק ב־p:
b − p = 12
b = p + 12
y = −2x + 2p + 1
✅ פתרון סופי: y = −2x + 2p + 1

סעיף ב – היחס המקסימלי

A(0 , 2p + 1) , B(p + 12 , 0)
SABO = (p + 12)(2p + 1)2 = (2p + 1)24
נסמן את היחס:
k(p) = p2(2p + 1)24
= 2p(2p + 1)2 , p > 0
k′(p)📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= 2(2p + 1)2 − 2p · 2(2p + 1) · 2(2p + 1)4
= 2(2p + 1)[(2p + 1) − 4p](2p + 1)4
= 2(1 − 2p)(2p + 1)3
k′(p) = 0 ⟸ p = 12
• 0 < p < 12: ‏k′ > 0 – עולה.
• p > 12: ‏k′ < 0 – יורדת.
עלייה ואז ירידה – מקסימום ב־p = 12.
k(12) = 14
בסרטוט (בקנה מידה) המצב שבו p = 0.5. הישר הוא y = −2x + 2, המשולש OED בירוק והמשולש ABO בתכלת:
12xyABDEO
✅ פתרון סופי: p = 12

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אy = −2x + 2p + 1
סעיף בp = 12
היחס 14
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות