בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 – קיץ 2023 מועד א׳

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 8 שאלות בשלושה פרקים: פרק ראשון – שאלות קצרות, סדרות והסתברות (שאלות 1–3; בשאלה 1 עונים על שלושה מן הסעיפים א–ד); פרק שני – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4–5); פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות (שאלות 6–8). עונים על 5 שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק. 20 נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2023 מועד א׳

שאלון 571 קיץ 2023 מועד א׳ – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2023 מועד א׳ – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2023 מועד א׳ – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2023 מועד א׳ – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2023 מועד א׳ – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2023 מועד א׳ – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2023 מועד א׳ – עמוד 7
עמוד 7 מתוך 7

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – שאלות קצרות

📄 נוסח השאלה

בשאלה זו ענו על שלושה מארבעת הסעיפים א–ד. בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. נתונות שתי סדרות המוגדרות לכל n טבעי: an = 2n − 1 , bn = 2n.

נסמן: Tn = a1b1 + a2b2 + … + anbn.

(1) הוכיחו כי: אם בעבור k טבעי כלשהו מתקיים Tk = (2k − 3) · 2k+1, אז מתקיים Tk+1 = (2k − 1) · 2k+2.

לפניכם טענה: לכל n טבעי מתקיים Tn = (2n − 3) · 2n+1.

(2) הסבירו מדוע טענה זו אינה נכונה.

ב. בטרפז ABCD (AB ∥ CD) הקטע EF הוא קטע אמצעים.

הקטע EF חותך את האלכסונים AC ו־BD של הטרפז בנקודות H ו־G בהתאמה.

הטרפז ABCD – סרטוט מתוך השאלון

נתון כי המרובע ABHG הוא מקבילית.

(1) הוכיחו: GH = 2EG.

המשך הישר AG חותך את הקטע DH בנקודה M.

(2) הוכיחו: הקטע AM חוצה את הקטע DH.

ג. לפניכם הגרפים I–III, המייצגים את הפונקציה f(x), את פונקציית הנגזרת הראשונה f′(x) ואת פונקציית הנגזרת השנייה f″(x). הפונקציות מוגדרות עבור 0 ≤ x ≤ 3.

הגרפים I–III מתוך השאלון

(1) התאימו כל אחד מן הגרפים I–III לכל אחת מן הפונקציות f(x) , f′(x) ו־f″(x). נמקו.

ענו על התת־סעיפים (2)–(3) על פי הנתונים המופיעים בגרפים I–III.

(2) מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודת הפיתול שלה.

(3) מצאו את הערך של האינטגרל: ∫0.80 f″(x) dx.

ד. לפניכם הגרף של הפונקציה f(x). הפונקציה f(x) מוגדרת עבור x ≠ −1 , x ≠ 1.

גרף הפונקציה f בסעיף ד מתוך השאלון

משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) הן: x = 1 , x = −1 , y = k , k > 1.

שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־y הם (0 , −a), a הוא מספר חיובי.

(1) מצאו עבור אילו ערכים של a יש לגרפים של הפונקציות f(x) ו־1f(x) שתי נקודות חיתוך. נמקו.

(2) נתון כי המרחק בין האסימפטוטות האופקיות של הפונקציות f(x) ו־1f(x) הוא 1.5. מהו הערך של k? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – אם … אז …

נניח ש־Tk = (2k − 3) · 2k+1. הסכום Tk+1 הוא Tk ועוד האיבר הבא:
Tk+1 = Tk + ak+1 · bk+1
ak+1 = 2(k + 1) − 1 = 2k + 1
bk+1 = 2k+1
Tk+1 =
(2k − 3) · 2k+1 + (2k + 1) · 2k+1
נוציא גורם משותף 2k+1:
Tk+1 = 2k+1(2k − 3 + 2k + 1)
Tk+1 = 2k+1(4k − 2)
Tk+1 = 2k+1 · 2(2k − 1)
Tk+1 = (2k − 1) · 2k+2📐 חוקי חזקותam · an = am+n
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף א (2) – למה הטענה לא נכונה

בדיקה עבור n = 1:
T1 = a1 · b1 = 1 · 2 = 2
(2 · 1 − 3) · 21+1 = (−1) · 4 = −4
2 ≠ −4
הטענה לא מתקיימת עבור n = 1. בסעיף (1) הוכחנו רק את שלב המעבר (מ־k ל־k + 1), אבל בלי שלב הבסיס האינדוקצייה לא מוכיחה דבר.📐 אינדוקצייה מתמטיתדרושים גם בדיקה עבור n = 1 וגם מעבר מ־k ל־k + 1
✅ פתרון סופי: הטענה אינה נכונה כבר עבור n = 1 (2 ≠ −4)

סעיף ב (1) – GH = 2EG

EF קטע אמצעים בטרפז, ולכן EF ∥ AB. במשולש ABD: E אמצע AD ו־EG ∥ AB, ולכן EG קטע אמצעים במשולש:📐 קטע אמצעים במשולשמקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה
EG = AB2
ABHG מקבילית, ולכן:📐 מקביליתצלעות נגדיות שוות
GH = AB
GH = AB = 2 · AB2 = 2EG
ABCDEFGHM
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב (2) – AM חוצה את DH

לפי סעיף (1), EG קטע אמצעים במשולש ABD, ולכן G היא אמצע BD.
במקבילית ABHG: AG ∥ BH. לכן במשולש DBH הישר GM עובר דרך אמצע הצלע DB ומקביל לצלע BH:📐 משפט קטע אמצעים (הפוך)ישר שעובר דרך אמצע צלע אחת ומקביל לצלע שנייה – חוצה את הצלע השלישית
DM = MH
✅ פתרון סופי: הוכח: M אמצע DH

סעיף ג (1) – התאמת הגרפים

לגרף II יש מינימום ב־(2 , −4.5), ולגרף III יש נקודות חיתוך עם ציר ה־x ב־x = 0 וב־x = 2. בתחום 0 < x < 2 גרף II יורד וגרף III שלילי, ומימין ל־2 גרף II עולה וגרף III חיובי – לכן III היא הנגזרת של II.📐 קשר פונקציה–נגזרתf′ > 0 – f עולה
f′ < 0 – f יורדת
לגרף III יש מינימום ב־x = 0.8, ושם גרף I חותך את ציר ה־x; משמאל ל־0.8 גרף III יורד וגרף I שלילי, ומימין עולה וגרף I חיובי – לכן I היא הנגזרת של III.
✅ פתרון סופי: גרף I – f″(x) ; גרף II – f(x) ; גרף III – f′(x)

סעיף ג (2) – המשיק בנקודת הפיתול

בנקודת הפיתול f″ = 0 ומחליפה סימן: לפי גרף I זה קורה ב־x = 0.8.📐 נקודת פיתולf″ = 0 ומחליפה סימן
מגרף II: f(0.8) = −2. מגרף III: שיפוע המשיק f′(0.8) = −6.
y − (−2) = −6(x − 0.8)📐 משוואת ישר לפי שיפוע ונקודהy − y1 = m(x − x1)
y + 2 = −6x + 4.8
y = −6x + 2.8
✅ פתרון סופי: y = −6x + 2.8

סעיף ג (3) – האינטגרל של f″

∫0.80 f″(x) dx = f′(0.8) − f′(0)📐 אינטגרל של נגזרת∫ba g′(x) dx = g(b) − g(a)
מגרף III: f′(0.8) = −6 , f′(0) = 0:
= −6 − 0 = −6
✅ פתרון סופי: −6

סעיף ד (1) – מתי יש שתי נקודות חיתוך

f(x) = 1f(x)
f2(x) = 1
f(x) = 1 או f(x) = −1
לפי הגרף, בענפים החיצוניים הגרף מעל האסימפטוטה y = k (k > 1), ולכן שם f(x) > 1 – אין פתרון ל־f(x) = 1.
בענף האמצעי הערך הגדול ביותר הוא −a (בנקודה (0 , −a)), והגרף יורד משני הצדדים אל −∞. הישר y = −1 חותך אותו בשתי נקודות רק אם הוא מתחת לנקודה הזאת:
−1 < −a
a < 1
אם a = 1 יש נקודה אחת, ואם a > 1 אין נקודות.
✅ פתרון סופי: 0 < a < 1

סעיף ד (2) – הערך של k

כאשר x → ±∞, f(x) → k, ולכן 1f(x) → 1k. האסימפטוטה האופקית של 1f היא y = 1k.📐 אסימפטוטה אופקיתהערך שהפונקציה שואפת אליו כאשר x → ±∞
כי k > 1, מתקיים k > 1k:
k − 1k = 1.5
k2 − 1.5k − 1 = 0
k = 1.5 ± √(2.25 + 4)2 = 1.5 ± 2.52📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
k = 2
k = −0.5 נפסל, כי k > 1.
✅ פתרון סופי: k = 2

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א (1)הוכח
סעיף א (2)הטענה אינה נכונה כבר עבור n = 1 (2 ≠ −4)
סעיף ב (1)הוכח
סעיף ב (2)הוכח: M אמצע DH
סעיף ג (1)גרף I – f″(x) ; גרף II – f(x) ; גרף III – f′(x)
סעיף ג (2)y = −6x + 2.8
סעיף ג (3)−6
סעיף ד (1)0 < a < 1
סעיף ד (2)k = 2
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 75 – מציאת נקודות פיתול בהינתן גרף הנגזרת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סדרות הנדסיות וסדרה חשבונית

📄 נוסח השאלה

נתונות שתי סדרות הנדסיות אין־סופיות מתכנסות, A ו־B, שכל איבריהן שונים מ־0.

האיבר הכללי של הסדרה A הוא an ומנתה היא qA.

האיבר הכללי של הסדרה B הוא bn ומנתה היא qB.

משתי הסדרות ההנדסיות A ו־B בונים סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת חדשה, שאיבריה הם: a1b1 , a2b2 , a3b3 , … , anbn , …

כל שלוש הסדרות, הסדרה A, הסדרה B והסדרה החדשה אינן קבועות.

א. הביעו את המנה של הסדרה החדשה באמצעות qA ו־qB.

הסדרה A אינה עולה ואינה יורדת, והסדרה B עולה.

ב. בנוגע לכל אחד משני ההיגדים (1)–(2) שלפניכם, קבעו אם הוא נכון או לא נכון ונמקו את קביעתכם.

(1) מנת הסדרה החדשה היא חיובית. (2) כל איברי הסדרה B הם שליליים.

המספרים c1 , c2 ו־c3 הם שלושה איברים ראשונים בסדרה חשבונית.

נתון כי c2 שווה ל־−c1, ומתקיים גם: c1 · c2c3 = −145.

ג. מצאו את c1.

נתון כי המנה של הסדרה A שווה ל־c1, ומתקיים גם: a1b1 + a2b2 + a3b3 + … = a1 + a2 + a3 + …b1 + b2 + b3 + …

ד. מצאו את הערך של qB.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – מנת הסדרה החדשה

an+1bn+1anbn = an+1an · bnbn+1📐 מנה בסדרה הנדסיתq = an+1an
= qA · 1qB = qAqB
✅ פתרון סופי: q = qAqB

סעיף ב – ההיגדים

הסדרות מתכנסות, ולכן −1 < qA < 1 ו־−1 < qB < 1 (ושונות מ־0).📐 סדרה הנדסית מתכנסת−1 < q < 1 , q ≠ 0
הסדרה A לא עולה ולא יורדת – הסימנים מתחלפים: qA < 0.
הסדרה B עולה. מנה שלילית הייתה נותנת סימנים מתחלפים, ולכן 0 < qB < 1. האיברים קטנים בערכם המוחלט (שואפים ל־0), ובכל זאת הסדרה עולה – זה קורה רק כאשר האיברים שליליים: b1 < 0.
(1) qAqB: מונה שלילי ומכנה חיובי – המנה שלילית. ההיגד לא נכון.
(2) b1 < 0 ו־qB > 0, ולכן כל האיברים שליליים. ההיגד נכון.
✅ פתרון סופי: (1) לא נכון ; (2) נכון

סעיף ג – הערך של c1

d = c2 − c1 = −c1 − c1 = −2c1📐 הפרש בסדרה חשבוניתd = an+1 − an
c3 = c2 + d = −c1 − 2c1 = −3c1
c1 · (−c1)−3c1 = −145
c13 = −145
c1 = −345 = −115
✅ פתרון סופי: c1 = −115

סעיף ד – הערך של qB

נסמן qA = −115 ונכתוב כל סכום לפי נוסחת הסכום האין־סופי:
a1b11 − qAqB = a11 − qAb11 − qB📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q
11 − qAqB = 1 − qB1 − qA
1 − qA = (1 − qB)(1 − qAqB)
1 − qA = 1 − qAqB − qB + qA
נכפול ב־qB ונסדר:
qB2 − 2qAqB + qA = 0
qB2 + 215qB − 115 = 0
15qB2 + 2qB − 1 = 0
qB = −2 ± √(4 + 60)30 = −2 ± 830📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
qB = 15 או qB = −13
לפי סעיף ב, qB > 0:
✅ פתרון סופי: qB = 15

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אq = qAqB
סעיף ב(1) לא נכון ; (2) נכון
סעיף גc1 = −115
סעיף דqB = 15
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות

📄 נוסח השאלה

במכללה גדולה, הועלתה הצעה לקצר את הפסקת הצוהריים כדי לסיים מוקדם יותר את יום הלימודים.

בעקבות זאת ערכו משאל ובו השתתפו כל תלמידי שנה א׳ וכל תלמידי שנה ב׳.

על פי תוצאות המשאל התברר כי 80% מן המשתתפים שבעד ההצעה הם תלמידי שנה א׳. עוד התברר כי מספר תלמידי שנה א׳ שבעד ההצעה שווה למספר תלמידי שנה ב׳ שנגד ההצעה. מבין המשתתפים במשאל לא היו נמנעים.

נסמן ב־p את ההסתברות לבחור באקראי תלמיד שבעד ההצעה מבין כל התלמידים שהשתתפו במשאל.

א. בחרו באקראי אחד מתלמידי שנה ב׳. מהי ההסתברות שהוא נגד ההצעה?

ידוע כי ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי מבין תלמידי שנה א׳ הוא בעד ההצעה, גדולה ב־1335 מן ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי מבין תלמידי שנה ב׳ הוא בעד ההצעה.

ב. חשבו את הערך של p.

ג. בחרו באקראי אחד מן המשתתפים במשאל. חשבו את ההסתברות שמתקיים לפחות אחד משני התנאים האלה: I. המשתתף שנבחר הוא תלמיד שנה ב׳. II. המשתתף שנבחר בעד ההצעה.

ד. בחרו באקראי 5 מן המשתתפים במשאל. ידוע כי כל החמישה שנבחרו הם תלמידי שנה ב׳. מהי ההסתברות שלפחות שניים מהם בעד ההצעה וגם לפחות שניים מהם נגד ההצעה?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – תלמיד שנה ב׳ שנגד ההצעה

נסמן: S – בעד ההצעה, A – שנה א׳, B – שנה ב׳. נתון P(S) = p.
P(A ∩ S) = 0.8p📐 הסתברות של חיתוךP(A ∩ S) = P(S) · P(A | S)
P(B ∩ S) = 0.2p
מספר תלמידי שנה א׳ שבעד שווה למספר תלמידי שנה ב׳ שנגד:
P(B ∩ S̄) = P(A ∩ S) = 0.8p
P(B) = P(B ∩ S) + P(B ∩ S̄)
P(B) = 0.2p + 0.8p = p
P(S̄ | B) = 0.8pp = 0.8📐 הסתברות מותניתP(X | Y) = P(X ∩ Y)P(Y)
✅ פתרון סופי: 0.8

סעיף ב – הערך של p

P(S | B) = 1 − 0.8 = 0.2
P(A) = 1 − p
P(S | A) = 0.8p1 − p📐 הסתברות מותניתP(X | Y) = P(X ∩ Y)P(Y)
0.8p1 − p = 0.2 + 1335
0.8p1 − p = 2035 = 47
5.6p = 4 − 4p
9.6p = 4
p = 49.6 = 512
✅ פתרון סופי: p = 512

סעיף ג – שנה ב׳ או בעד

P(B ∪ S) = P(B) + P(S) − P(B ∩ S)📐 הסתברות של איחודP(X ∪ Y) =
P(X) + P(Y) − P(X ∩ Y)
= p + p − 0.2p = 1.8p
= 1.8 · 512 = 34
✅ פתרון סופי: 34 = 0.75

סעיף ד – לפחות 2 בעד ולפחות 2 נגד

בין תלמידי שנה ב׳ ההסתברות שתלמיד בעד היא 0.2 (סעיף ב). מתוך 5 – לפחות 2 בעד ולפחות 2 נגד פירושו 2 או 3 בעד:
P(2) = C(5,2) · 0.22 · 0.83📐 נוסחת ברנוליP(k) = C(n,k) · pk · (1 − p)n−k
P(2) = 10 · 0.04 · 0.512 = 0.2048
P(3) = C(5,3) · 0.23 · 0.82
P(3) = 10 · 0.008 · 0.64 = 0.0512
P = 0.2048 + 0.0512 = 0.256 = 32125
✅ פתרון סופי: 0.256 = 32125

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.8
סעיף בp = 512
סעיף ג34 = 0.75
סעיף ד0.256 = 32125
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – עץ עם נעלמים והסתברות מותנית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גאומטרייה

📄 נוסח השאלה

הנקודות A , B ו־C נמצאות על מעגל.

הנקודה E היא אמצע הקשת BC, כמתואר בסרטוט שלפניכם.

בנקודה E מעבירים משיק למעגל.

המשיק חותך את המשך המיתר AB בנקודה G.

המיתרים AE ו־BC נחתכים בנקודה F.

המעגל והמשיק בנקודה E – סרטוט מתוך השאלון

א. הוכיחו: △ACE ∼ △AEG.

נתון: AE = 3√6 , AG = 6.

ב. חשבו את אורך המיתר AC.

ג. הוכיחו: BC ∥ GE.

נתון: שטח המשולש ABF גדול פי 2 משטח המשולש BFE.

ד. חשבו את אורך המיתר AB.

ה. מהו היחס בין שטח המשולש ABF ובין שטח המשולש AFC? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – דמיון המשולשים

E אמצע הקשת BC, ולכן הקשתות BE ו־EC שוות, והזוויות ההיקפיות הנשענות עליהן שוות:📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות – שוות
∢CAE = ∢EAG
הזווית בין המשיק EG למיתר EA שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת:📐 זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
∢AEG = ∢ACE
לכן לפי משפט דמיון ז.ז.:
ABCEFG
✅ פתרון סופי: הוכח: △ACE ∼ △AEG

סעיף ב – אורך AC

מהדמיון בסעיף א:📐 דמיון משולשיםיחס הצלעות המתאימות שווה
ACAE = AEAG
AC = AE2AG = (3√6)26 = 546 = 9
✅ פתרון סופי: AC = 9

סעיף ג – BC ∥ GE

קשתות שוות נשענות על מיתרים שווים: BE = EC, ולכן המשולש BEC שווה שוקיים:📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות
∢EBC = ∢ECB
הזווית בין המשיק EG למיתר EB:📐 זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
∢GEB = ∢ECB
∢GEB = ∢EBC
אלה זוויות מתחלפות שוות בין הישרים GE ו־BC:📐 זוויות מתחלפותזוויות מתחלפות שוות – הישרים מקבילים
✅ פתרון סופי: הוכח: BC ∥ GE

סעיף ד – אורך AB

למשולשים ABF ו־BFE יש גובה משותף מ־B לישר AE, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:📐 שטחי משולשים עם גובה משותףיחס השטחים = יחס הבסיסים
AFFE = 2
AFAE = 23
במשולש AGE: BF ∥ GE (סעיף ג):📐 משפט תאלס המורחבישר המקביל לצלע מקצה על שתי הצלעות קטעים פרופורציוניים
ABAG = AFAE = 23
AB = 23 · 6 = 4
✅ פתרון סופי: AB = 4

סעיף ה – יחס השטחים ABF ו־AFC

למשולשים ABF ו־AFC יש גובה משותף מ־A לישר BC:📐 שטחי משולשים עם גובה משותףיחס השטחים = יחס הבסיסים
SABFSAFC = BFFC
AF חוצה את הזווית BAC (סעיף א):📐 משפט חוצה הזוויתחוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולה ביחס הצלעות הכולאות אותה
BFFC = ABAC = 49
✅ פתרון סופי: 49

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אהוכח: △ACE ∼ △AEG
סעיף בAC = 9
סעיף גהוכח: BC ∥ GE
סעיף דAB = 4
סעיף ה49
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – טריגונומטרייה במישור

📄 נוסח השאלה

דלתון ABCD חסום במעגל שרדיוסו R.

המיתר AC הוא האלכסון הראשי של הדלתון.

הנקודה O היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC (ראו סרטוט).

הדלתון ABCD במעגל – סרטוט מתוך השאלון

נסמן: ∢CAB = t (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה t. כל הזוויות במעלות).

א. (1) מצאו את זוויות המשולש AOC (הביעו באמצעות t במידת הצורך).

(2) הביעו את אורך הקטע AO באמצעות t ו־R.

נתון כי אורך הקטע AO הוא R√2.

ב. מצאו את גודל הזווית t.

נתון כי שטח הדלתון הוא 25√3.

ג. מצאו את R.

ד. חשבו את המרחק בין מרכז המעגל החוסם את הדלתון לבין מרכז המעגל החסום במשולש ABC.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א (1) – זוויות המשולש AOC

בדלתון AB = AD , CB = CD, ולכן △ABC ≅ △ADC (צ.צ.צ.) ו־∢B = ∢D. הדלתון חסום במעגל:📐 מרובע חסום במעגלסכום זוויות נגדיות 180
∢B + ∢D = 180
∢ABC = 90
לכן AC הוא קוטר המעגל, ובמשולש ABC:
∢ACB = 90 − t
O מרכז המעגל החסום, ולכן AO ו־CO חוצי זוויות:📐 מרכז מעגל חסוםנקודת המפגש של חוצי הזוויות
∢OAC = t2 , ∢OCA = 90 − t2 = 45 − t2
∢AOC = 180 − t2 − (45 − t2) = 135
ABCDOMH
✅ פתרון סופי: ∢OAC = t2 , ∢OCA = 45 − t2 , ∢AOC = 135

סעיף א (2) – אורך AO

AC = 2R
AOsin(45 − t2) = ACsin 135📐 משפט הסינוסיםasin A = bsin B
sin 135 = √22
AO = 2R · sin(45 − t2)√22
AO = 2√2 R · sin(45 − t2)
✅ פתרון סופי: AO = 2√2 R · sin(45 − t2)

סעיף ב – גודל הזווית t

2√2 R · sin(45 − t2) = √2 R
sin(45 − t2) = 12
כי 0 < t < 90, הזווית 45 − t2 בין 0 ל־45:
45 − t2 = 30
t = 30
✅ פתרון סופי: t = 30

סעיף ג – הרדיוס R

במשולש ישר הזווית ABC (היתר AC = 2R):📐 טריגונומטרייה במשולש ישר זוויתsin = ניצב מוליתר
cos = ניצב לידיתר
AB = 2R · cos 30 = R√3
BC = 2R · sin 30 = R
הדלתון מורכב משני משולשים חופפים ABC ו־ADC:
S = 2 · 12 · AB · BC
S = R√3 · R = √3 R2
√3 R2 = 25√3
R2 = 25
R = 5
✅ פתרון סופי: R = 5

סעיף ד – המרחק בין שני המרכזים

מרכז המעגל החוסם הוא M, אמצע הקוטר AC: AM = R = 5. נוריד אנך OH אל AC.
AO = R√2 = 5√2
∢OAH = t2 = 15
במשולש ישר הזווית AOH:📐 טריגונומטרייה במשולש ישר זוויתsin = ניצב מוליתר
cos = ניצב לידיתר
OH = 5√2 · sin 15 ≈ 1.830
AH = 5√2 · cos 15 ≈ 6.830
MH = AH − AM ≈ 6.830 − 5 = 1.830
MO = √(OH2 + MH2)📐 משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
MO ≈ √(1.8302 + 1.8302)
MO ≈ 2.59
✅ פתרון סופי: MO ≈ 2.59

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א (1)∢OAC = t2 , ∢OCA = 45 − t2 , ∢AOC = 135
סעיף א (2)AO = 2√2 R · sin(45 − t2)
סעיף בt = 30
סעיף גR = 5
סעיף דMO ≈ 2.59
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – טריגונומטריה עם מעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציית מנה עם פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 2a − x2x, המוגדרת עבור x ≠ 0. a הוא פרמטר חיובי.

א. הביעו את תשובותיכם באמצעות a, אם יש צורך.

(1) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים, אם יש כאלה.

(2) הראו שהפונקציה f(x) היא פונקציה אי־זוגית.

(3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים, אם יש כאלה.

(4) מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה f(x), אם יש כאלה.

(5) מצאו את תחום הקעירות כלפי מעלה (∪) ואת תחום הקעירות כלפי מטה (∩) של הפונקציה f(x).

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה גם הפונקציה g(x) = |f(x)| − b, b הוא פרמטר חיובי. הפונקציה g(x) מוגדרת באותו התחום כמו הפונקציה f(x).

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

ידוע כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה g(x) היא (2 , −3).

ד. מצאו את הערכים של a ו־b.

נתונה גם הפונקציה s(x) = ∫x1 g(t) dt, המוגדרת בתחום 1 < x.

ה. מהו סוג נקודת הקיצון של s(x)? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – אסימפטוטות

המכנה מתאפס ב־x = 0 והמונה שם 2a ≠ 0:📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה לא
x = 0
נחלק כל איבר במכנה:
f(x) = 2ax − x
כאשר x → ±∞, f(x) → ∓∞ – אין אסימפטוטה אופקית.
✅ פתרון סופי: x = 0 ; אין אסימפטוטה אופקית

סעיף א (2) – f אי־זוגית

f(−x) = 2a − (−x)2−x = 2a − x2−x📐 פונקציה אי־זוגיתf(−x) = −f(x)
f(−x) = −2a − x2x = −f(x)
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף א (3) – נקודות חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: x = 0 לא בתחום – אין נקודת חיתוך.
ציר ה־x:
2a − x2 = 0
x2 = 2a
x = ±√(2a)
✅ פתרון סופי: (−√(2a) , 0) , (√(2a) , 0)

סעיף א (4) – עלייה וירידה

f(x) = 2ax − x
f′(x) = −2ax2 − 1📐 נגזרת של חזקה(xn)′ = nxn−1
a > 0 ו־x2 > 0, ולכן לכל x ≠ 0:
f′(x) < 0
אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד שלילית ב־x < 0 וב־x > 0, ולכן f יורדת בכל אחד מהענפים.
✅ פתרון סופי: ירידה: x < 0 , x > 0 ; עלייה: אין

סעיף א (5) – קעירות

f″(x) = 4ax3📐 נגזרת של חזקה(xn)′ = nxn−1
הסימן של f″ כסימן של x3:
x > 0 : f″(x) > 0
x < 0 : f″(x) < 0
✅ פתרון סופי: קעורה כלפי מעלה: x > 0 ; קעורה כלפי מטה: x < 0

סעיף ב – סקיצה של f

לפי סעיף א: אסימפטוטה x = 0, יורדת בכל ענף, חותכת את ציר ה־x ב־±√(2a), קעורה כלפי מעלה מימין ל־0 וכלפי מטה משמאל. הגרף סימטרי ביחס לראשית (פונקציה אי־זוגית).
xy(−√(2a) , 0)(√(2a) , 0)f(x)
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ג – סקיצה של g

את |f(x)| מקבלים משיקוף החלקים של f שמתחת לציר ה־x אל מעליו. אחר כך מורידים את כל הגרף ב־b יחידות.
בנקודות x = ±√(2a) נוצרות נקודות מינימום (חודים), ושם g = −b.
xy(−2 , −3)(2 , −3)g(x)
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ד – הערכים של a ו־b

הנקודות היחידות שבהן ל־g יש קיצון הן נקודות המינימום (±√(2a) , −b). לכן:
√(2a) = 2
2a = 4 , a = 2
−b = −3 , b = 3
✅ פתרון סופי: a = 2 , b = 3

סעיף ה – סוג נקודת הקיצון של s

s′(x) = g(x)📐 נגזרת של פונקציה צוברת(∫xa g(t) dt)′ = g(x)
f(x) = 4 − x2x , g(x) = |f(x)| − 3
בתחום x > 1 הפונקציה f יורדת מ־f(1) = 3, ולכן f(x) < 3. נמצא מתי g(x) = 0, כלומר f(x) = −3:
4 − x2x = −3
x2 − 3x − 4 = 0
(x − 4)(x + 1) = 0
x = 4
הפתרון x = −1 לא בתחום. בדיקת סימן:
x = 2 : g(2) = |0| − 3 = −3 < 0
x = 5 : g(5) = 4.2 − 3 = 1.2 > 0
s′ עוברת משלילית לחיובית ב־x = 4:
✅ פתרון סופי: נקודת מינימום ב־x = 4

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)x = 0 ; אין אסימפטוטה אופקית
סעיף א (2)הוכח
סעיף א (3)(−√(2a) , 0) , (√(2a) , 0)
סעיף א (4)ירידה: x < 0 , x > 0 ; עלייה: אין
סעיף א (5)קעורה כלפי מעלה: x > 0 ; קעורה כלפי מטה: x < 0
סעיף בראו סקיצה
סעיף גראו סקיצה
סעיף דa = 2 , b = 3
סעיף הנקודת מינימום ב־x = 4
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 63 – חקירת פונקציית מנה עם פרמטר
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציית שורש לפי גרף הנגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) המוגדרת בתחום x ≤ a , x ≠ 0. a הוא פרמטר חיובי.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x).

גרף פונקציית הנגזרת מתוך השאלון

פונקציית הנגזרת f′(x) מוגדרת בתחום: x < a , x ≠ 0.

לפונקציית הנגזרת f′(x) יש שלוש אסימפטוטות המאונכות לצירים שמשוואותיהן: x = 0 , x = a , y = 0.

בתחום x < 0 פונקציית הנגזרת f′(x) עולה.

הישר x = 0 הוא אסימפטוטה גם לגרף הפונקציה f(x). f(a) = 0.

א. (1) מצאו את תחום העלייה ואת תחום הירידה של הפונקציה f(x) (הביעו באמצעות a, אם יש צורך). נמקו.

(2) כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)? נמקו.

נתון כי הישר y = 0 הוא אסימפטוטה של גרף הפונקציה f(x).

ב. סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f(x), בהתאם לתשובתכם בתת־סעיף א(2).

נתון כי אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקציה f(x).

I. √(a − x)x2   II. √(x − a)x2   III. √(a − x)x   IV. √(x − a)x

ג. איזה מן הביטויים I–IV מייצג את הפונקציה f(x)? נמקו.

ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודה שבה x = (−2), הוא: 716.

ד. מצאו את הערך של a.

ה. הציבו a = 2 וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה (f(x))2, על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = 1.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – עלייה וירידה

לפי גרף הנגזרת: f′ > 0 כאשר x < 0, ו־f′ < 0 כאשר 0 < x < a.📐 קשר פונקציה–נגזרתf′ > 0 – f עולה
f′ < 0 – f יורדת
✅ פתרון סופי: עלייה: x < 0 ; ירידה: 0 < x < a

סעיף א (2) – מספר נקודות הפיתול

בנקודת פיתול f″ מחליפה סימן, כלומר f′ עוברת מעלייה לירידה או להפך – נקודת קיצון של f′.📐 נקודת פיתולנקודת קיצון של f′
בתחום x < 0 f′ עולה כל הזמן. בתחום 0 < x < a יש לגרף של f′ נקודת מקסימום אחת.
✅ פתרון סופי: 1 נקודת פיתול

סעיף ב – סקיצה של f

משמאל: אסימפטוטה y = 0, הפונקציה עולה וקעורה כלפי מעלה עד האסימפטוטה x = 0. מימין ל־0: יורדת עד הנקודה (a , 0), עם נקודת פיתול אחת.
בסקיצה – הגרף עבור a = 2, לדוגמה.
xy(a , 0)f(x)
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ג – איזה ביטוי

התחום x ≤ a: בביטויים II ו־IV צריך x − a ≥ 0, כלומר x ≥ a – נפסלים.
בתחום x < 0 הפונקציה עולה מ־0 (אסימפטוטה y = 0), ולכן חיובית. בביטוי III: √(a − x)x < 0 כאשר x < 0 – נפסל.
בביטוי I המכנה x2 > 0, ולכן הפונקציה חיובית, ו־f(a) = 0.
✅ פתרון סופי: ביטוי I

סעיף ד – הערך של a

f(x) = √(a − x)x2
f′(x) = −12√(a − x) · x2 − √(a − x) · 2xx4📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
נציב x = −2 ונסמן s = √(a + 2):
f′(−2) = −42s + 4s16 = 716
−2s + 4s = 7
4s2 − 7s − 2 = 0
s = 7 ± √(49 + 32)8 = 7 ± 98📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
s = 2
s = −14 נפסל, כי שורש לא שלילי.
√(a + 2) = 2
a + 2 = 4 , a = 2
✅ פתרון סופי: a = 2

סעיף ה – השטח

(f(x))2 = 2 − xx4 = 2x−4 − x−3
הגרף חותך את ציר ה־x ב־x = 2, ובתחום 1 ≤ x ≤ 2 הוא מעל הציר:
S = ∫21 (2x−4 − x−3) dx📐 אינטגרל של חזקה∫ xn dx = xn+1n + 1 + C
= [ −23x3 + 12x2 ]12
= (−224 + 18) − (−23 + 12)
= 124 + 16
= 524
✅ פתרון סופי: S = 524

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)עלייה: x < 0 ; ירידה: 0 < x < a
סעיף א (2)1 נקודת פיתול
סעיף בראו סקיצה
סעיף גביטוי I
סעיף דa = 2
סעיף הS = 524
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 36 – חקירת שורש: פונקציית מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת שורש 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון

📄 נוסח השאלה

נתון מעוין ABCD. נקודה E היא אמצע הצלע BC.

נסמן: ∢ECD = x.

נתון: שטח המשולש ECD הוא 18.

א. הביעו באמצעות x את אורך צלע המעוין.

ב. חשבו את האורך המינימלי של הקטע DE.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – צלע המעוין

נסמן את צלע המעוין k. CD = k ו־CE = k2 (E אמצע BC).
SECD = 12 · k2 · k · sin x📐 שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
k2 sin x4 = 18
k2 = 72sin x
k = √(72sin x)
ABCDEH
✅ פתרון סופי: k = √(72sin x)

סעיף ב – האורך המינימלי של DE

נוריד אנך DH לישר BC:
DH = k sin x , CH = k cos x📐 טריגונומטרייה במשולש ישר זוויתsin = ניצב מוליתר
cos = ניצב לידיתר
EH = |k2 − k cos x|
DE2 = DH2 + EH2📐 משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
DE2 = k2 sin2 x + k2(12 − cos x)2
= k2(sin2 x + cos2 x − cos x + 14)
= k2(54 − cos x)
= 72sin x · (54 − cos x)
DE2 = 90 − 72 cos xsin x
נמצא מינימום של h(x) = 90 − 72 cos xsin x בתחום 0 < x < 180:
u = 90 − 72 cos x📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
u′ = 72 sin x
v = sin x
v′ = cos x
h′(x) =
72 sin2 x − (90 − 72 cos x) cos xsin2 x
h′(x) =
72(sin2 x + cos2 x) − 90 cos xsin2 x
h′(x) = 72 − 90 cos xsin2 x
72 − 90 cos x = 0
cos x = 0.8
בדיקת סימן (המכנה חיובי):
cos x > 0.8 : h′(x) < 0
cos x < 0.8 : h′(x) > 0
לכן ב־cos x = 0.8 יש מינימום. שם sin x = 0.6:
DE2 = 90 − 72 · 0.80.6 = 32.40.6 = 54
DE = √54 = 3√6 ≈ 7.35
✅ פתרון סופי: DEmin = √54 = 3√6 ≈ 7.35

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אk = √(72sin x)
סעיף בDEmin = √54 = 3√6 ≈ 7.35
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות