בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 – קיץ 2024 מועד ב'

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב ומספרים מרוכבים (שאלות 1–3); פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). עונים על 3 שאלות לבחירה, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שלוש שעות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

לשאלון זה גרסה אחת.

📄 השאלון המלא – קיץ 2024 מועד ב'

שאלון 572 קיץ 2024 מועד ב' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 5
שאלון 572 קיץ 2024 מועד ב' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 5
שאלון 572 קיץ 2024 מועד ב' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 5
שאלון 572 קיץ 2024 מועד ב' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 5
שאלון 572 קיץ 2024 מועד ב' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 5

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – גאומטרייה אנליטית: מעוין, מעגל חסום, פרבולה ומעגלים משיקים

📄 נוסח השאלה

נתון מעוין ABCD. אלכסוני המעוין מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט. נתון: אורך האלכסון AC הוא 10. המרחק של כל אחת מצלעות המעוין מראשית הצירים הוא √5.

סרטוט המעוין ABCD משאלה 1

א. מצאו את משוואת הצלע AB.

בתוך המעוין חסום מעגל.

ב. מצאו את משוואת המעגל.

הנקודה M היא נקודת ההשקה של המעגל והמעוין ברביע הראשון.

ג. מצאו את שיעורי הנקודה M.

מן הנקודה M מורידים אנך לציר ה־x, החותך אותו בנקודה K(a , 0). על הישר x = −a מסמנים נקודה E ומעבירים דרכה ישר המקביל לציר ה־x. הישר המקביל חותך את האנך האמצעי לקטע EK בנקודה G.

ד. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות G נמצא על פרבולה, ומצאו את משוואתה.

הנקודה N נמצאת ברביע הראשון על הפרבולה. שיעור ה־x של N הוא 5.

ה. מצאו את משוואות שני המעגלים שמרכזם בנקודה N והם משיקים למעגל החסום במעוין.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – משוואת הצלע AB

האלכסונים על הצירים ומתחלקים בראשית: AC = 10, ולכן A(5 , 0), C(−5 , 0). נסמן B(0 , b), b > 0.
המשולש AOB ישר־זווית בראשית, והמרחק מ־O לצלע AB הוא הגובה ליתר. נחשב את שטח המשולש בשתי דרכים:
OA · OB2 = AB · h2📐 שטח משולש ישר־זוויתS = a · b2 = c · h2
AB = √25 + b2📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
5b = √25 + b2 · √5
נעלה בריבוע:
25b2 = 5(25 + b2)
25b2 = 125 + 5b2
20b2 = 125
b2 = 6.25  ⇒  b = 2.5
B(0 , 2.5)
הישר AB עובר דרך A(5 , 0) ו־B(0 , 2.5):📐 שיפוע ישרm = y2 − y1x2 − x1
m = 2.5 − 00 − 5 = −0.5
y = −0.5x + 2.5
בדיקה: מרחק הראשית מהישר x + 2y − 5 = 0: |−5|√1 + 4 = √5 ✓
✅ פתרון סופי: y = −0.5x + 2.5

סעיף ב – משוואת המעגל החסום

במעוין, מפגש האלכסונים (הראשית) נמצא במרחק שווה מכל הצלעות – זה מרכז המעגל החסום. הרדיוס הוא המרחק לצלע, √5:
(x − 0)2 + (y − 0)2📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
= (√5)2
✅ פתרון סופי: x2 + y2 = 5

סעיף ג – נקודת ההשקה M

הרדיוס לנקודת ההשקה מאונך לצלע. לכן M היא חיתוך הצלע AB עם הישר דרך הראשית המאונך לה.
שיפוע AB הוא −0.5, ולכן שיפוע המאונך הוא 2:📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y = 2x
נשווה:
2x = −0.5x + 2.5
2.5x = 2.5  ⇒  x = 1
y = 2 · 1 = 2
בדיקה: 12 + 22 = 5 ✓ (על המעגל)
-5-115-2.52.5xyABCDM(1 , 2)K
✅ פתרון סופי: M(1 , 2)

סעיף ד – המקום הגאומטרי של G

האנך מ־M(1 , 2) לציר ה־x פוגש אותו ב־K(1 , 0), ולכן a = 1. הישר x = −a הוא x = −1.
נסמן E(−1 , t). הישר דרך E המקביל לציר ה־x: y = t.
כל נקודה על האנך האמצעי לקטע EK נמצאת במרחק שווה מ־E ומ־K. לכן G(x , t) מקיימת GE = GK:
√(x + 1)2 + (t − t)2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
= √(x − 1)2 + t2
נעלה בריבוע:
(x + 1)2 = (x − 1)2 + t2
x2 + 2x + 1
= x2 − 2x + 1 + t2
4x = t2
שיעור ה־y של G הוא t, ולכן:
y2 = 4x
זו פרבולה (המוקד K(1 , 0) והמדריך x = −1).
✅ פתרון סופי: y2 = 4x

סעיף ה – שני המעגלים שמרכזם N

x = 5:   y2 = 20
ברביע הראשון y > 0:
y = 2√5
N(5 , 2√5)
ON = √25 + 20 = √45 = 3√5📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
מעגל שמרכזו N משיק למעגל החסום (מרכז O, רדיוס √5) בשתי אפשרויות:📐 מעגלים משיקיםמבחוץ: d = R + rמבפנים: d = R − r
• משיקות מבחוץ:
R = 3√5 − √5 = 2√5
R2 = 20
• משיקות מבפנים (המעגל החסום בתוך המעגל החדש):
R = 3√5 + √5 = 4√5
R2 = 80
-11510-44812xyN(5 , 2√5)K(1 , 0)y² = 4xx = −1
✅ פתרון סופי: (x − 5)2 + (y − 2√5)2 = 20
(x − 5)2 + (y − 2√5)2 = 80

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אy = −0.5x + 2.5
סעיף בx2 + y2 = 5
סעיף גM(1 , 2)
סעיף דy2 = 4x
סעיף ה(x − 5)2 + (y − 2√5)2
= 20 או = 80
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 58 – הגדרת הפרבולה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – וקטורים: פירמידה ריבועית, זווית ומישור הבסיס

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע. הנקודה E היא מפגש אלכסוני הבסיס, והנקודה F היא אמצע המקצוע BC. נסמן: SE = u , SF = v , SB = w.

סרטוט הפירמידה SABCD משאלה 2

א. הביעו באמצעות u , v , w את הווקטורים BC ו־DC.

הקטע SE הוא גובה הפירמידה. נתון: |u| = 7.

ב. מצאו את הערך של u · w.

נתון: BA = (−3 , 4 , 5).

ג. מצאו את גודל הזווית שבין SB ובין בסיס הפירמידה.

נתון: E(0 , 4 , 5). מישור הבסיס ABCD מקביל לציר ה־z.

ד. מצאו את משוואת המישור שעליו מונח בסיס הפירמידה.

נתון: שיעור ה־x של הקודקוד B הוא 3.

ה. מצאו את שיעורי הקודקוד B.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הווקטורים BC ו־DC

DCBAEFS
F אמצע BC, ולכן BC = 2BF:📐 חיבור וקטוריםXY = SY − SX
BF = SF − SB = v − w
BC = 2v − 2w
בריבוע, הקטע EF (ממרכז הריבוע לאמצע הצלע BC) מקביל ל־DC, באותו כיוון, ושווה לחצי ממנו:
EF = SF − SE = v − u
DC = 2EF = 2v − 2u
✅ פתרון סופי: BC = 2v − 2w , DC = 2v − 2u

סעיף ב – המכפלה u · w

w = SB = SE + EB = u + EB
u · w = u · u + u · EB
SE גובה – מאונך לבסיס, ולכן מאונך ל־EB שבבסיס:📐 מכפלה סקלריתa · a = |a|2וקטורים מאונכים: המכפלה = 0
u · EB = 0
u · w = |u|2 + 0 = 49
✅ פתרון סופי: u · w = 49

סעיף ג – הזווית בין SB לבסיס

|BA| = √9 + 16 + 25 = √50📐 אורך וקטור|u| = √x2 + y2 + z2
= 5√2
צלע הריבוע 5√2, ולכן האלכסון 5√2 · √2 = 10 ו־EB = 5 (חצי אלכסון).
ההיטל של SB על הבסיס הוא EB, ולכן הזווית המבוקשת היא ∢SBE. במשולש ישר הזווית SEB:
tan(∢SBE) = SEEB = 75 = 1.4📐 טריגונומטרייה במשולש ישר זוויתtan = נגדי חלקי ליד
∢SBE ≈ 54.46
✅ פתרון סופי: ∢SBE ≈ 54.46 מעלות

סעיף ד – משוואת מישור הבסיס

המישור מקביל לציר ה־z, ולכן הנורמל שלו מאונך לכיוון (0 , 0 , 1): נורמל מהצורה n = (a , b , 0).
המישור מכיל את הכיוון BA = (−3 , 4 , 5):📐 מכפלה סקלרית(a1, a2, a3) · (b1, b2, b3)= a1b1 + a2b2 + a3b3וקטורים מאונכים ⇐ המכפלה = 0
(a , b , 0) · (−3 , 4 , 5)
= 0
−3a + 4b = 0
נבחר a = 4 , b = 3:
n = (4 , 3 , 0)
4x + 3y + D = 0📐 משוואת מישורAx + By + Cz + D = 0
המישור עובר דרך E(0 , 4 , 5):
0 + 12 + D = 0  ⇒  D = −12
✅ פתרון סופי: 4x + 3y − 12 = 0

סעיף ה – שיעורי B

B(3 , y , z) נמצאת במישור הבסיס:
4 · 3 + 3y − 12 = 0
⇒ y = 0
לפי סעיף ג, EB = 5:
√(3 − 0)2 + (0 − 4)2 + (z − 5)2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
= 5
9 + 16 + (z − 5)2 = 25
(z − 5)2 = 0  ⇒  z = 5
בדיקה: הזווית בין האלכסון BE = (−3 , 4 , 0) לצלע BA: cos = 9 + 165 · 5√2 = 1√2 – 45 מעלות, כמו בריבוע ✓
✅ פתרון סופי: B(3 , 0 , 5)

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אBC = 2v − 2w
DC = 2v − 2u
סעיף ב49
סעיף ג≈ 54.46 מעלות
סעיף ד4x + 3y − 12 = 0
סעיף הB(3 , 0 , 5)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – מספרים מרוכבים: שורשים, מרובע וסיבוב

📄 נוסח השאלה

א. (1) מצאו את פתרונות המשוואה z6 + 64i = 0 (z מספר מרוכב). (2) מצאו את ארבעת הפתרונות של המשוואה z6 + 64iz2 − 4i = 0.

הפתרונות שמצאתם בתת־סעיף א (2) מייצגים קודקודים של מרובע במישור גאוס.

ב. מצאו את שטח המרובע.

מסובבים את המרובע (סביב הראשית) בזווית t נגד כיוון השעון, 0 < t < 90 (מעלות). (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה t.)

ג. מהו הערך של מכפלת כל המספרים המייצגים את קודקודי המרובע בעבור t = 45? נמקו.

ד. (1) מצאו את שני הערכים של t כך שמכפלת כל המספרים המייצגים את קודקודי המרובע לאחר הסיבוב תהיה מספר מדומה טהור. (2) מהו הערך של המכפלה בעבור כל אחד מהערכים שמצאתם?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – פתרונות z⁶ + 64i = 0

z6 = −64i
−64i נמצא על החלק השלילי של הציר המדומה:📐 הצגה קוטביתr = |z| ,   z = r · cis(a)
−64i = 64 · cis(270)
z📐 שורשים מסדר n (דה־מואבר)zn = R · cis(a)⇒ z = ⁿ√R · cis(a + 360kn)
= ⁶√64 · cis(270 + 360k6)
z = 2 · cis(45 + 60k)
k = 0 , … , 5
✅ פתרון סופי: 2cis45 , 2cis105 , 2cis165
2cis225 , 2cis285 , 2cis345

סעיף א (2) – ארבעת הפתרונות

שבר שווה 0 כאשר המונה 0 והמכנה שונה מ־0. המונה מתאפס בששת הפתרונות מתת־סעיף (1). נוציא את אלה שמאפסים את המכנה:
z2 = 4i = 4 · cis(90)
z = 2 · cis(45 + 180k)
z = 2cis45
או
z = 2cis225
נשארים ארבעה פתרונות:
✅ פתרון סופי: 2cis105 , 2cis165 , 2cis285 , 2cis345

סעיף ב – שטח המרובע

-22-22xy10516528534545 ✗225 ✗
כל הקודקודים על מעגל ברדיוס 2. הזוויות 105 ו־285 נבדלות ב־180 – אלה נקודות נגדיות, והקטע ביניהן קוטר. כך גם 165 ו־345.
האלכסונים הם שני קטרים שווים (באורך 4) שחוצים זה את זה – המרובע הוא מלבן. הזווית בין האלכסונים: 165 − 105 = 60.
S = 12 · 4 · 4 · sin 60📐 שטח מרובע לפי אלכסוניםS = 12 · d1 · d2 · sin של הזווית בין האלכסונים
S = 8 · √32 = 4√3 ≈ 6.93
✅ פתרון סופי: 4√3

סעיף ג – המכפלה בעבור t = 45

סיבוב בזווית t נגד כיוון השעון = כפל כל קודקוד ב־cis(t). נחשב קודם את מכפלת הקודקודים המקוריים:📐 כפל בהצגה קוטביתr1cis(a) · r2cis(b)= r1r2 · cis(a + b)
24 · cis(105 + 165 + 285
+ 345)
= 16 · cis(900)
= 16 · cis(180) = −16
אחרי הסיבוב כל אחד מארבעת הקודקודים הוכפל ב־cis(t):
P = −16 · cis(4t)
= 16 · cis(180 + 4t)
t = 45:   P
= 16 · cis(360) = 16
✅ פתרון סופי: 16

סעיף ד (1) – מתי המכפלה מדומה טהור

מספר מדומה טהור נמצא על הציר המדומה – הזווית שלו 90 או 270 (ועוד כפולות של 360):
180 + 4t = 90 + 180k
4t = −90 + 180k
t = −22.5 + 45k
בתחום 0 < t < 90:
✅ פתרון סופי: t = 22.5 או t = 67.5 מעלות

סעיף ד (2) – ערך המכפלה

t = 22.5:   P
= 16 · cis(270) = −16i
t = 67.5:   P
= 16 · cis(450)
= 16 · cis(90) = 16i
✅ פתרון סופי: בעבור 22.5: −16i ; בעבור 67.5: 16i

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

א (1)2cis(45 + 60k), k = 0..5
א (2)2cis105, 2cis165
2cis285, 2cis345
סעיף ב4√3
סעיף ג16
ד (1)22.5 או 67.5
ד (2)−16i , 16i
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 40 – תרגול שורשים מסדר n
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – פונקציות מעריכיות: xeˣ, 2eˣ − 1 ו־f שנגזרתה תלויה בחיתוך שלהן

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה k(x) = xex ונתונה הפונקצייה m(x) = 2ex − 1, המוגדרות לכל x.

א. (1) מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־y בעבור כל אחת מהפונקציות. (2) מצאו את תחומי העלייה והירידה של כל אחת מהפונקציות (אם יש כאלה). (3) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של כל אחד מהגרפים עם ציר ה־y.

הגרפים של k(x) ו־m(x) נחתכים בשתי נקודות בדיוק: נקודה שבה x = a ונקודה שבה x = b, b > a.

ב. סרטטו באותה מערכת צירים סקיצה של גרף k(x) ושל גרף m(x).

נתונה הפונקצייה f(x) = ex − 1x − 1, המוגדרת לכל x ≠ 1.

ג. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של f(x). (2) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף f(x) עם ציר ה־x.

ד. הסבירו מדוע למשוואה f'(x) = 0 יש בדיוק שני פתרונות.

ה. (1) הסבירו מדוע 1 < b. (2) הביעו באמצעות a ו־b את תחומי העלייה והירידה של f(x).

ו. סרטטו סקיצה של גרף f(x).

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א (1) – אסימפטוטות אופקיות

k(x) = xex: כאשר x → −∞, ex שואפת ל־0 מהר יותר מכל חזקה של x, ולכן xex → 0. כאשר x → ∞, k → ∞.
k:   y = 0   (x → −∞)
m(x) = 2ex − 1: כאשר x → −∞, ex → 0:
m:   y = 2 · 0 − 1
= −1   (x → −∞)
✅ פתרון סופי: k: y = 0 ; m: y = −1 (שתיהן כאשר x → −∞)

סעיף א (2) – עלייה וירידה

k'(x) = 1 · ex + x · ex📐 נגזרת של מכפלה(u · v)' = u'v + uv'
= ex(1 + x)
ex > 0, ולכן הסימן של k' הוא הסימן של 1 + x:
x < −1:   k' < 0
x > −1:   k' > 0
m'(x) = 2ex > 0📐 נגזרת של e בחזקת x(ex)' = ex
✅ פתרון סופי: k: יורדת x < −1, עולה x > −1 ; m: עולה לכל x

סעיף א (3) – חיתוך עם ציר ה־y

k(0) = 0 · e0 = 0
m(0) = 2e0 − 1 = 2 − 1 = 1
✅ פתרון סופי: k: (0 , 0) ; m: (0 , 1)

סעיף ב – סקיצה של k ו־m

• k: מתקרבת ל־0 מלמטה משמאל, יורדת עד המינימום (−1 , −1e), עולה דרך הראשית ומטפסת מהר.
• m: עולה כל הזמן מ־y = −1 (משמאל) דרך (0 , 1).
• שתי נקודות חיתוך: x = a (שלילי) ו־x = b (חיובי). בין a ל־b הגרף של m מעל זה של k (למשל ב־x = 0: 1 > 0).
-4-2-112-1148xyy = −1(0 , 0)(0 , 1)x = ax = b
✅ פתרון סופי: סקיצה

סעיף ג (1) – אסימפטוטות של f

אנכית: ב־x = 1 המכנה מתאפס והמונה e − 1 ≠ 0.
אופקית: כאשר x → −∞: המונה שואף ל־−1 והמכנה ל־−∞, ולכן f → 0. כאשר x → ∞, ex גדלה מהר יותר מ־x, ולכן f → ∞.
✅ פתרון סופי: x = 1 , y = 0 (כאשר x → −∞)

סעיף ג (2) – חיתוך עם ציר ה־x

ex − 1 = 0
ex = 1  ⇒  x = 0
✅ פתרון סופי: (0 , 0)

סעיף ד – למה לנגזרת של f יש בדיוק שני אפסים

f'(x)📐 נגזרת של מנה(uv)' = u'v − uv'v2
= ex(x − 1) − (ex − 1) · 1(x − 1)2
f'(x) = xex − 2ex + 1(x − 1)2
f'(x) = k(x) − m(x)(x − 1)2
f'(x) = 0 בדיוק כאשר k(x) = m(x) – כלומר בנקודות החיתוך של שני הגרפים. נתון שיש בדיוק שתיים (x = a, x = b), ושתיהן שונות מ־1 (ב־x = 1: k = e, m = 2e − 1).
✅ פתרון סופי: שני פתרונות: x = a , x = b

סעיף ה (1) – למה 1 < b

נבדוק את ההפרש k − m בשתי נקודות:
x = 1:   k − m
= e − (2e − 1) = 1 − e < 0
x = 2:   k − m
= 2e2 − 2e2 + 1 = 1 > 0
ההפרש עובר משלילי לחיובי בין 1 ל־2, ולכן אחת מנקודות החיתוך נמצאת בין 1 ל־2. נקודת החיתוך השנייה שלילית (ב־x = 0: k − m = −1 < 0, וב־x = −2: k − m = 1 − 4e−2 > 0). b היא הגדולה מביניהן:
1 < b < 2
✅ פתרון סופי: הוסבר ✓ (b ≈ 1.84, a ≈ −1.15)

סעיף ה (2) – עלייה וירידה של f

המכנה (x − 1)2 חיובי, ולכן הסימן של f' הוא הסימן של k − m. לפי הסקיצה בסעיף ב: k > m משמאל ל־a ומימין ל־b, ו־k < m בין a ל־b.
xx < aaa < x < 111 < x < bbx > b
f'(x)+0−לא מוגדרת−0+
f(x)עולה ↗מקס.יורדת ↘יורדת ↘מינ.עולה ↗
✅ פתרון סופי: עולה: x < a , x > b ; יורדת: a < x < 1 , 1 < x < b

סעיף ו – סקיצה של f

• משמאל: מתקרבת ל־y = 0 (מלמעלה, כי המונה והמכנה שליליים), עולה עד מקסימום ב־x = a.
• יורדת דרך (0 , 0) אל −∞ כאשר x → 1−.
• מימין ל־1: יורדת מ־+∞ עד מינימום ב־x = b, ואז עולה לאין־סוף.
-6-4-212-44812xyx = 1מקס׳מינ׳(0 , 0)
✅ פתרון סופי: סקיצה

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

א (1)k: y = 0, m: y = −1
א (2)k: יורדת x < −1, עולה x > −1
m: עולה לכל x
א (3)(0 , 0), (0 , 1)
ג (1)x = 1, y = 0
ג (2)(0 , 0)
ה (2)עולה x < a, x > b
יורדת a < x < 1, 1 < x < b
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 14 – נגזרת פונקציית e
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – פונקציית ln: פונקציה קדומה ו־1 + b חלקי g

📄 נוסח השאלה

בסרטוט מתואר גרף הפונקצייה f(x) = 2ln(x) − 1x, המוגדרת בתחום x > 0.

גרף הפונקצייה f משאלה 5

א. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף f(x) עם ציר ה־x.

נתונה הפונקצייה g(x) המוגדרת בתחום x > 0 ומקיימת g'(x) = f(x). שיעור ה־y של נקודת הקיצון של g(x) הוא −14.

ב. (1) מצאו את הפונקצייה g(x). (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף g(x) עם ציר ה־x. (3) סרטטו סקיצה של גרף g(x).

נתונה הפונקצייה h(x) = 1 + bg(x). b הוא פרמטר גדול מ־14.

ג. (1) מצאו את תחום ההגדרה של h(x). (2) קבעו אם גרף h(x) חותך את ציר ה־x. נמקו.

ד. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של h(x) וקבעו את סוגה (הביעו באמצעות b אם יש צורך).

ה. קבעו איזה מן הגרפים I–IV מתאר את h(x).

ארבעת הגרפים I–IV משאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – חיתוך f עם ציר ה־x

2ln x − 1 = 0
ln x = 12
x = e1/2 = √e ≈ 1.65📐 הגדרת lnln x = c ⇐ x = ec
✅ פתרון סופי: (√e , 0)

סעיף ב (1) – מציאת g

g(x) = ∫2ln x − 1x dx
= ∫(2ln x − 1) · 1x dx
1x היא הנגזרת של ln x – נגזרת פנימית:📐 אינטגרל עם נגזרת פנימית∫un · u' dx = un+1n + 1 + C
∫2ln x · 1x dx = (ln x)2
∫1x dx = ln x📐 נגזרת של ln(ln x)' = 1x
g(x) = (ln x)2 − ln x + C
נקודת הקיצון של g – שם g' = f = 0, כלומר ב־x = √e (סעיף א), ושם f מחליפה סימן (רואים בגרף):
g(√e) = (12)2 − 12 + C
= −14 + C
−14 + C = −14  ⇒  C = 0
✅ פתרון סופי: g(x) = (ln x)2 − ln x

סעיף ב (2) – חיתוך g עם ציר ה־x

ln x · (ln x − 1) = 0
ln x = 0  ⇒  x = 1
ln x = 1  ⇒  x = e
✅ פתרון סופי: (1 , 0) , (e , 0)

סעיף ב (3) – סקיצה של g

• כאשר x → 0+: ln x → −∞, ולכן (ln x)2 − ln x → +∞.
• יורדת עד המינימום (√e , −14) (שם f עוברת משלילי לחיובי), ואז עולה לאין־סוף.
1√ee4-0.25123xy(1 , 0)(e , 0)(√e , −¼)
✅ פתרון סופי: סקיצה – מינימום (√e , −¼)

סעיף ג (1) – תחום ההגדרה של h

צריך x > 0 (תחום של g) ו־g(x) ≠ 0 (מכנה):
x ≠ 1 , x ≠ e
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ 1 , x ≠ e

סעיף ג (2) – האם h חותכת את ציר ה־x

1 + bg(x) = 0
⇒ g(x) = −b
הערך הקטן ביותר של g הוא −14. נתון b > 14, ולכן −b < −14 – הפונקצייה g לא מגיעה לערך −b.
✅ פתרון סופי: לא – אין חיתוך עם ציר ה־x

סעיף ד – נקודת הקיצון של h

קוראים מהסקיצה של g (סעיף ב (3)):
בתחום 1 < x < e: g שלילית, יורדת עד המינימום (√e , −14) ועולה אחריו חזרה ל־0.
מחוץ לתחום הזה g חיובית ואין לה קיצון בתוך התחום של h.
h = 1 + bg עם b > 0: כש־g יורדת – h עולה, וכש־g עולה – h יורדת.📐 הפונקציה b חלקי gבתחום שבו g לא מחליפה סימן ו־b > 0: עלייה וירידה מתחלפות, ומינימום של g הופך למקסימום של bg
לכן ב־x = √e, שם ל־g מינימום, ל־h יש מקסימום:
h(√e) = 1 + b−14 = 1 − 4b
✅ פתרון סופי: מקסימום (√e , 1 − 4b)

סעיף ה – איזה גרף מתאר את h

• כאשר x → 0+: g → ∞, ולכן h → 1 (עיגול ריק ב־(0 , 1), מעל ציר ה־x).
• ב־0 < x < 1 ו־x > e: g > 0, ולכן h > 1; ליד x = 1 (משמאל) וליד x = e (מימין) h → +∞.
• ב־1 < x < e: g < 0; h יוצאת מ־−∞, עולה עד המקסימום 1 − 4b < 0 וחוזרת ל־−∞ – כל הקטע מתחת לציר ה־x.
• כאשר x → ∞: h → 1 מלמעלה.
רק בגרף II העיגול הריק על ציר ה־y נמצא מעל הראשית, והקטע האמצעי כולו מתחת לציר.
✅ פתרון סופי: גרף II

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א(√e , 0)
ב (1)g = (ln x)2 − ln x
ב (2)(1 , 0), (e , 0)
ג (1)x > 0 , x ≠ 1 , e
ג (2)לא
סעיף דמקס. (√e , 1 − 4b)
סעיף הגרף II
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 21 – פונקציה קדומה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות