בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 – חורף 2025

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 8 שאלות בארבעה פרקים: פרק ראשון – שאלות קצרות (שאלה 1, עונים בה על שניים מן הסעיפים א–ד); פרק שני – אינדוקציה, סדרות והסתברות (שאלות 2–3); פרק שלישי – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4–5); פרק רביעי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות (שאלות 6–8). עונים על 5 שאלות: לפחות שאלה אחת מן הפרק הראשון או השני, ולפחות שאלה אחת מכל אחד מן הפרקים השלישי והרביעי. 20 נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: ארבע שעות ורבע. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

השאלון שנפתר כאן: גרסה ג'

📄 השאלון המלא – חורף 2025

שאלון 571 חורף 2025 – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 7
שאלון 571 חורף 2025 – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 7
שאלון 571 חורף 2025 – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 7
שאלון 571 חורף 2025 – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 7
שאלון 571 חורף 2025 – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 7
שאלון 571 חורף 2025 – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 7
שאלון 571 חורף 2025 – עמוד 7
עמוד 7 מתוך 7

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – שאלות קצרות

📄 נוסח השאלה

בשאלה זו ענו על שניים מן הסעיפים א–ד (לכל סעיף 10 נקודות). בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. נתון השוויון:

8 + 24 + 48 + … + n(n + 2) = n(n + a)(n + 4)6

עבור n טבעי זוגי. a הוא פרמטר.

(1) מצאו את הערך של a.

(2) בעבור הערך של a שמצאתם, הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי השוויון הנתון מתקיים לכל n טבעי זוגי.

ב. כל המועמדים ללימודים באוניברסיטה נבחנים בשני מבחנים. נמצא כי מספר המועמדים שהצליחו רק במבחן הראשון קטן פי 4 ממספר המועמדים שהצליחו בשני המבחנים. 89 מן המועמדים שהצליחו במבחן השני, הצליחו גם במבחן הראשון. נסמן ב־p את ההסתברות לבחור באקראי מועמד שהצליח רק במבחן הראשון.

(1) הביעו באמצעות p את ההסתברות לבחור באקראי מועמד שהצליח לפחות במבחן אחד.

(2) ידוע שנבחר באקראי מועמד שהצליח לפחות במבחן אחד. מהי ההסתברות שהמועמד שנבחר הצליח בשני המבחנים?

ג. נתונות הפונקציות: f(x) = x√x2 − 1 , g(x) = √xx2 − 1 , h(x) = √xx2 − 1.

(1) מצאו את תחום ההגדרה של כל אחת מן הפונקציות f(x) , g(x) , h(x).

(2) לפניכם חמישה גרפים. שלושה מהם מתארים את הפונקציות. קבעו איזה גרף מתאר כל פונקציה. נמקו את קביעתכם.

גרפים 1 עד 3 מתוך השאלוןגרפים 4 ו־5 מתוך השאלון

ד. הפונקציה f(x) והפונקציה f′(x) מוגדרות לכל x. הפונקציה f(x) היא אי־זוגית, ויש לה נקודת מינימום אחת בלבד: (3 , −6). לגרף f(x) ולגרף f′(x) יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה y = 0. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x).

גרף הפונקציה f בסעיף ד מתוך השאלון

(1) סרטטו סקיצה אפשרית של גרף פונקציית הנגזרת f′(x).

נתונה הפונקציה g(x) = f2(x) · f′(x).

(2) מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x.

(3) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) ועל ידי ציר ה־x.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – אינדוקציה על המספרים הזוגיים

(1) הערך של a
השוויון מתקיים לכל n זוגי, ובפרט עבור n = 2. בצד שמאל יש אז רק האיבר הראשון, 2 · 4 = 8:
8 = 2(2 + a)(2 + 4)6
8 = 2(2 + a)
2 + a = 4 ⇐ a = 2
✅ פתרון סופי: a = 2
(2) ההוכחה
עם a = 2 השוויון הוא 8 + 24 + 48 + … + n(n + 2) =
= n(n + 2)(n + 4)6. כאן n רץ רק על המספרים הזוגיים, ולכן באינדוקציה עוברים מ־n = k ל־n = k + 2.
שלב 1 – בדיקה עבור n = 2:📐 שיטהשיטה: הוכחה באינדוקציה – בדיקה עבור הערך הראשון, הנחה עבור k, הוכחה עבור האיבר הבא (כאן k + 2)
אגף שמאל: 2 · 4 = 8
אגף ימין: 2 · 4 · 66 = 8
שלב 2 – הנחה: עבור k זוגי מסוים:
8 + 24 + … + k(k + 2)
= k(k + 2)(k + 4)6
שלב 3 – נוכיח עבור n = k + 2. האיבר הבא בסכום הוא (k + 2)(k + 4). צריך להוכיח:
8 + … + k(k + 2) + (k + 2)(k
+ 4) = (k + 2)(k + 4)(k + 6)6
נשתמש בהנחה:
אגף שמאל = k(k + 2)(k + 4)6 + (k
+ 2)(k + 4)
נוציא גורם משותף (k + 2)(k + 4):
= (k + 2)(k + 4) · (k6 + 1)
= (k + 2)(k + 4) · k + 66
= (k + 2)(k + 4)(k + 6)6 = אגף ימין
לפי עקרון האינדוקציה, השוויון נכון לכל n טבעי זוגי.
✅ פתרון סופי: השוויון הוכח לכל n טבעי זוגי.

סעיף ב – הסתברות

(1) לפחות מבחן אחד
נסמן: A – הצליח במבחן הראשון, B – הצליח במבחן השני.
P(A ∩ B′) = p
מספר המצליחים רק בראשון קטן פי 4 ממספר המצליחים בשניהם, ולכן:
P(A ∩ B) = 4p
P(A|B) = P(A ∩ B)P(B) = 89📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A|B) = P(A ∩ B)P(B)
4pP(B) = 89 ⇐ P(B) = 9 · 4p8 = 4.5p
P(A′ ∩ B) = P(B) − P(A ∩ B)
= 4.5p − 4p = 0.5p
הצליח בשנילא הצליח בשני
הצליח בראשון4pp
לא הצליח בראשון0.5p
"לפחות במבחן אחד" = רק בראשון, או רק בשני, או בשניהם:
P(A ∪ B) = p + 0.5p + 4p = 5.5p
✅ פתרון סופי: 5.5p
(2) בשני המבחנים, בידיעה שהצליח לפחות באחד
P(A ∩ B | A ∪ B) = P(A ∩ B)P(A ∪ B)📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A|B) = P(A ∩ B)P(B)
(המאורע "הצליח בשניהם" כלול במאורע "הצליח לפחות באחד", ולכן החיתוך שלהם הוא "בשניהם".)
= 4p5.5p = 811 ≈ 0.727
✅ פתרון סופי: 811

סעיף ג – תחומי הגדרה וזיהוי גרפים

(1) תחומי הגדרה
f(x): השורש במכנה – הביטוי בתוכו חייב להיות חיובי (גדול מ־0, כי במכנה אסור 0):
x2 − 1 > 0 ⇐ x < −1 או x > 1
g(x): השורש במונה – x ≥ 0; המכנה – x2 − 1 ≠ 0, כלומר x ≠ ±1:
x ≥ 0 , x ≠ 1
h(x): הביטוי בתוך השורש חייב להיות אי־שלילי, והמכנה שונה מ־0:
x(x − 1)(x + 1) ≥ 0
טבלת סימנים לפי הנקודות −1 , 0 , 1: בתחום x < −1 – שלילי; −1 < x < 0 – חיובי; 0 < x < 1 – שלילי; x > 1 – חיובי; ב־x = 0 הביטוי שווה ל־0.
−1 < x ≤ 0 או x > 1
✅ פתרון סופי: f: x < −1 , x > 1
g: x ≥ 0 , x ≠ 1
h: −1 < x ≤ 0 , x > 1
(2) התאמת הגרפים
f(x) מוגדרת רק ב־x < −1 וב־x > 1, ואין לה ערכים בין −1 ל־1. סימן f כסימן x: משמאל שלילית ומימין חיובית. רק בגרף 3 יש שני ענפים מחוץ לקטע [−1 , 1], אחד מתחת לציר ואחד מעליו. לכן f – גרף 3.
g(x) מוגדרת רק ב־x ≥ 0, עוברת בראשית (g(0) = 0), שלילית בתחום 0 < x < 1 (המכנה שלילי) וחיובית ב־x > 1. רק גרף 1 מתחיל בראשית, יורד מתחת לציר עד האסימפטוטה ונמצא מעל הציר מימין לה. לכן g – גרף 1.
h(x) היא שורש, ולכן תמיד h ≥ 0; היא מוגדרת ב־−1 < x ≤ 0 (עוברת בראשית) וב־x > 1. רק בגרף 5 שני הענפים מעל הציר: אחד בין −1 לראשית ואחד מימין ל־1. לכן h – גרף 5.
✅ פתרון סופי: f(x) – גרף 3
g(x) – גרף 1
h(x) – גרף 5

סעיף ד – הנגזרת והפונקציה g

(1) סקיצה של f′
f אי־זוגית עם מינימום יחיד (3 , −6), ולכן יש לה גם מקסימום יחיד (−3 , 6) (סימטרייה ביחס לראשית).
מהגרף: f עולה ב־x < −3, יורדת ב־−3 < x < 3 ועולה ב־x > 3. לכן f′ > 0 ב־x < −3 וב־x > 3, f′ < 0 ב־−3 < x < 3, ו־f′(±3) = 0.
f אי־זוגית, ולכן f′ זוגית – הגרף שלה סימטרי ביחס לציר ה־y.📐 משפטנגזרת של פונקציה אי־זוגית היא פונקציה זוגית
לגרף f′ אסימפטוטה y = 0: בקצוות הוא מתקרב לציר מלמעלה (כי שם f′ > 0).
xy(−3 , 0)(3 , 0)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
(2) נקודות החיתוך של g עם ציר ה־x
g(x) = f2(x) · f′(x) = 0
מכפלה שווה ל־0 כשאחד הגורמים שווה ל־0:
f(x) = 0: מהגרף, f חותכת את ציר ה־x רק בראשית: x = 0.
f′(x) = 0: בנקודות הקיצון בלבד: x = 3 ו־x = −3.
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (3 , 0) , (−3 , 0)
(3) השטח
נבדוק את סימן g: f2 ≥ 0 תמיד, ולכן סימן g כסימן f′. בתחום −3 < x < 3: f′ < 0, ולכן הגרף של g מתחת לציר. מחוץ לתחום הזה הגרף מעל הציר אבל לא סוגר שטח (הוא רק מתקרב לציר).
∫f2(x) · f′(x) dx = f3(x)3 + C📐 נוסחה: אינטגרל עם זיהוי הנגזרת הפנימית∫[f(x)]n · f′(x) dx =
= [f(x)]n+1n + 1 + C
השטח מתחת לציר שווה למינוס האינטגרל:
S = −∫−33 g(x) dx = −[f3(x)3]−33
נציב f(3) = −6 ו־f(−3) = 6:
S = −((−6)33 − 633)
= −(−2163 − 2163)
= −(−72 − 72) = 144
xy−33
✅ פתרון סופי: S = 144

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א (1)a = 2
סעיף א (2)הוכחה
סעיף ב (1)5.5p
סעיף ב (2)811
סעיף ג (1)f: x < −1 , x > 1
g: x ≥ 0 , x ≠ 1
h: −1 < x ≤ 0 , x > 1
סעיף ג (2)גרף 3 – f(x)
גרף 1 – g(x)
גרף 5 – h(x)
סעיף ד (1)סקיצה
סעיף ד (2)(0 , 0) , (±3 , 0)
סעיף ד (3)144
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – אינטגרל עם זיהוי הנגזרת הפנימית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סדרות הנדסיות

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם a1 , a2 , a3 , …, ובה m איברים (m הוא מספר טבעי גדול מ־4). נתון: כל איברי הסדרה A הם שליליים.

סכום m − 4 האיברים האחרונים בסדרה הוא פי 16 מסכום m − 4 האיברים הראשונים בסדרה.

א. (1) מצאו את מנת הסדרה A. (2) האם הסדרה A עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת? נמקו את תשובתכם.

המשיכו את הסדרה A כך שנוצרה סדרה הנדסית אין־סופית. נתונה סדרה אין־סופית B שאיבריה מקיימים bn = knan לכל n טבעי. k הוא פרמטר שונה מ־0.

ב. הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, והביעו את המנה שלה באמצעות k.

נתון כי סכום הסדרה B מתכנס. ג. מצאו את תחום הערכים האפשרי של k.

נתון: מנת הסדרה B היא 14. סכום הסדרה B הוא −3. ד. מצאו את הערך של k ואת הערך של b1.

בסדרה B מחקו כל איבר שלישי (b3 , b6 , b9 , …). ה. מצאו את סכום האיברים שנשארו בסדרה B.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הסדרה A

(1) המנה
נסמן את המנה ב־q. כל איבר מבין m − 4 האחרונים (a5 , … , am) נמצא 4 מקומות אחרי איבר מתאים מבין m − 4 הראשונים (a1 , … , am−4):
a5 = a1q4 , a6 = a2q4 , …📐 נוסחה: האיבר הכללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
לכן סכום האחרונים שווה לסכום הראשונים כפול q4:
q4 · Sm−4 = 16 · Sm−4
q4 = 16 ⇐ q = 2 או q = −2
כל האיברים שליליים, ולכן אין החלפת סימן בין איברים סמוכים: q > 0, כלומר q = 2.
✅ פתרון סופי: q = 2
(2) עולה או יורדת
an+1 − an = 2an − an = an < 0
כל איבר קטן מקודמו, ולכן הסדרה יורדת.
✅ פתרון סופי: הסדרה יורדת

סעיף ב – הסדרה B הנדסית

נראה שהמנה bn+1bn קבועה:
bn+1bn = kn+1an+1 · ankn = k · anan+1
= k · 12 = k2📐 נוסחה: מנה בסדרה הנדסיתan+1an = q = 2
המנה קבועה (לא תלויה ב־n), ולכן B סדרה הנדסית עם מנה k2.
✅ פתרון סופי: B הנדסית, המנה k2

סעיף ג – תחום הערכים של k

סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנס כאשר −1 < q < 1 (q ≠ 0).📐 משפטתנאי התכנסות – −1 < q < 1
−1 < k2 < 1 ⇐ −2 < k < 2
בנוסף k ≠ 0:
−2 < k < 0 או 0 < k < 2
✅ פתרון סופי: −2 < k < 0 או 0 < k < 2

סעיף ד – k ו־b1

k2 = 14 ⇐ k = 12
b11 − 14 = −3📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q
b1 = −3 · 34 = −94
✅ פתרון סופי: k = 12 , b1 = −94

סעיף ה – מחיקת כל איבר שלישי

האיברים שנמחקו, b3 , b6 , b9 , …, הם סדרה הנדסית אין־סופית: האיבר הראשון b3 והמנה (14)3 = 164 (כל איבר נמצא 3 מקומות אחרי קודמו).
b3 = b1 · q2 = −94 · 116 = −964📐 נוסחה: האיבר הכלליan = a1 · qn−1
Sנמחקו = −9641 − 164 = −964 · 6463 = −17📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q
סכום האיברים שנשארו = הסכום הכולל פחות סכום האיברים שנמחקו:
−3 − (−17) = −3 + 17 = −207 = −267
✅ פתרון סופי: −207 = −267

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א (1)q = 2
סעיף א (2)יורדת
סעיף בהוכחה; המנה k2
סעיף ג−2 < k < 0 , 0 < k < 2
סעיף דk = 12 , b1 = −94
סעיף ה−207 = −267
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות – שני כדים

📄 נוסח השאלה

בכד א׳ יש 10 כדורים אדומים ו־15 כדורים צהובים, ובכד ב׳ יש רק כדורים אדומים.

דנה בוחרת באקראי כד ומוציאה ממנו באקראי כדור.

אם הכדור צהוב, היא מוציאה באקראי כדור שני מאותו הכד (הוצאה ללא החזרה). אם הכדור הראשון אדום, היא מחזירה את הכדור לכד ושוב מוציאה באקראי כדור מאותו הכד.

א. ידוע שדנה הוציאה שני כדורים באותו הצבע. מהי ההסתברות ששניהם צהובים?

דנה מחזירה לכד את הכדורים שהוציאה. יעל מבצעת את התהליך הזה: היא בוחרת באקראי כד, מוציאה ממנו באקראי כדור אחד ומחזירה אותו לכד. יעל חוזרת על תהליך זה עד שהיא מוציאה כדור אדום, מחזירה אותו לכד ומפסיקה להוציא כדורים.

ב. מצאו את ההסתברות שיעל ביצעה תהליך זה 6 פעמים בדיוק.

העבירו חלק מן הכדורים מכד ב׳ לכד א׳. לאחר מכן בחרו באקראי כד והוציאו ממנו באקראי כדור אחד. נתון כי לאחר ההעברה ההסתברות שהכדור שהוציאו היה אדום היא 1316.

ג. האם ייתכן שלפני ההעברה היו בכד ב׳ 14 כדורים? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – שני כדורים באותו צבע

נסמן: R – כדור אדום, Y – כדור צהוב.
בכד א׳ יש 25 כדורים: P(R) = 1025 = 0.4, P(Y) = 1525 = 0.6. כל כד נבחר בהסתברות 0.5.
שני צהובים – רק מכד א׳, ללא החזרה (אחרי הוצאת צהוב נשארו 24 כדורים, מהם 14 צהובים):
0.5 · 1525 · 1424 = 0.5 · 0.35📐 נוסחה: מכפלת הסתברויות לאורך ענף בעץP(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)
= 0.175
שני אדומים – מכד א׳ (עם החזרה) או מכד ב׳ (שם בטוח אדום):
0.5 · 0.4 · 0.4 + 0.5 · 1 · 1
= 0.08 + 0.5 = 0.58
ההסתברות לשני כדורים באותו צבע:
0.175 + 0.58 = 0.755
P = 0.1750.755 = 175755 = 35151 ≈ 0.232📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A|B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 35151 ≈ 0.232

סעיף ב – בדיוק 6 פעמים

בכל ביצוע של התהליך ההסתברות להוציא כדור אדום זהה (הכדור מוחזר):
P(R) = 0.5 · 0.4 + 0.5 · 1 = 0.7
P(Y) = 1 − 0.7 = 0.3
"בדיוק 6 פעמים" – ב־5 הפעמים הראשונות צהוב, ובפעם השישית אדום:
0.35 · 0.7 = 0.00243 · 0.7📐 נוסחה: מכפלת הסתברויות של ניסויים בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)
= 0.001701
✅ פתרון סופי: 0.001701

סעיף ג – העברת כדורים

נניח שהועברו x כדורים אדומים מכד ב׳ לכד א׳, וכד ב׳ לא התרוקן (אחרת אי אפשר להוציא ממנו כדור). אז בכד א׳: 10 + x אדומים מתוך 25 + x, ובכד ב׳ עדיין רק אדומים:
0.5 · 10 + x25 + x + 0.5 · 1 = 1316
10 + x25 + x = 2 · 1316 − 1 = 58
8(10 + x) = 5(25 + x)
80 + 8x = 125 + 5x ⇐ x = 15
כלומר הועברו 15 כדורים, ובכד ב׳ נשארו עוד כדורים. לכן היו בו לפני ההעברה יותר מ־15 כדורים – לא ייתכן שהיו בו 14.
(גם אם מעבירים את כל 14 הכדורים, כד ב׳ ריק ואי אפשר להוציא ממנו כדור; ובכל מקרה 2439 ≠ 1316.)
✅ פתרון סופי: לא ייתכן (צריך להעביר 15 כדורים)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א35151 ≈ 0.232
סעיף ב0.001701
סעיף גלא ייתכן
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – עץ עם נעלמים והסתברות מותנית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גאומטרייה – משיק, מיתר ומשולשים דומים

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מרובע BKCD שבו KB ∥ CD. הצלע CD היא מיתר במעגל, והצלע KB משיקה למעגל בנקודה K. הצלע BD חותכת את המעגל בנקודה A. האלכסון BC חותך את המיתר AK בנקודה E.

סרטוט שאלה 4 מתוך השאלון

א. הוכיחו: △ABK ∼ △AKC.

ב. הוכיחו: ABAC = BECE.

נתון: BE = CE4. ג. מצאו את היחס AKAB.

נתון: שטח המרובע ABKC הוא 30. נסמן ב־S את שטח המשולש AEB. ד. הביעו באמצעות S את שטח המשולש KEC.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – דמיון משולשים

∢AKB = ∢ACK📐 משפטהזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני – המשיק KB והמיתר KA
∢ABK = ∢ADC (החותך BD, הישרים KB ∥ CD)📐 משפטזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
∢ADC = ∢AKC📐 משפטזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות – שתיהן נשענות על הקשת AC
∢ABK = ∢AKC
לכן △ABK ∼ △AKC, בהתאמה A ↔ A , B ↔ K , K ↔ C.📐 משפטמשפט דמיון ז.ז. – שתי זוויות שוות בהתאמה
✅ פתרון סופי: △ABK ∼ △AKC – הוכח

סעיף ב – יחס הקטעים

מהדמיון, הזווית השלישית שווה גם היא:
∢BAK = ∢KAC
כלומר AK (ולכן גם AE) חוצה את הזווית ∢BAC במשולש ABC.
ABAC = BECE📐 משפטמשפט חוצה הזווית – חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולה ביחס הצלעות הכולאות אותה
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ג – היחס AK : AB

ABAC = BECE = 14
ABAK = AKAC = k📐 נוסחה: יחס דמיוןבמשולשים דומים יחס הצלעות המתאימות שווה
ABAC = ABAK · AKAC = k2
k2 = 14 ⇐ k = 12
AKAB = 1k = 2
✅ פתרון סופי: AKAB = 2

סעיף ד – שטח המשולש KEC

SABKSAKC = k2 = 14📐 משפטיחס שטחים של משולשים דומים – יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון
האלכסון AK מחלק את המרובע ABKC לשני המשולשים:
SABK + SAKC = 30
SABK = 6 , SAKC = 24
למשולשים AEB ו־AEC אותו גובה מ־A לישר BC, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:
SAECSAEB = CEBE = 4 ⇐ SAEC = 4S📐 משפטמשולשים עם גובה משותף – יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים
SKEC = SAKC − SAEC = 24 − 4S
ABCDKE
✅ פתרון סופי: SKEC = 24 − 4S

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אהוכחה
סעיף בהוכחה
סעיף גAKAB = 2
סעיף דSKEC = 24 − 4S
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – טריגונומטרייה – משיקים למעגל

📄 נוסח השאלה

נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו R. מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו־AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, כמתואר בסרטוט.

סרטוט שאלה 5 מתוך השאלון

נתון: BO ⊥ AO , AE = CE. את הזווית BAC מסמנים בשאלון באות; כאן נסמן ∢BAC = 2 · ∢OAC (בהמשך נראה ש־AO חוצה את הזווית).

א. הביעו באמצעות R ו־∢OAC את האורך של AB.

נתון כי האורך של AB הוא 2.5R, והזווית BAC היא זווית חדה. ב. מצאו את הערך של ∢OAC.

ג. מצאו את היחס בין שטח המשולש ABC ובין שטח המשולש AOB.

נתון כי האורך של רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABC הוא 14. ד. מצאו את הערך של R.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – האורך AB

AO חוצה את הזווית BAC, ולכן ∢OAB = ∢OAC.📐 משפטמרכז מעגל החסום בזווית נמצא על חוצה הזווית – שני המשיקים מנקודה אחת יוצרים זוויות שוות עם הקטע למרכז
במשולש ישר הזווית AEO (OE ⊥ AC, רדיוס לנקודת ההשקה): OE = R הוא הניצב מול הזווית ∢OAC:
sin∢OAC = RAO ⇐ AO = Rsin∢OAC📐 נוסחה: sin במשולש ישר זוויתsin = ניצב מול הזוויתיתר
במשולש ישר הזווית ABO (∢AOB = 90 מעלות): AB היתר ו־AO הניצב ליד הזווית ∢OAB = ∢OAC:
cos∢OAC = AOAB ⇐ AB = AOcos∢OAC📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
AB = Rsin∢OAC · cos∢OAC
AB = 2Rsin(2 · ∢OAC) = 2Rsin∢BAC📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2sin x cos x
✅ פתרון סופי: AB = 2Rsin(2∢OAC)

סעיף ב – גודל הזווית

2Rsin∢BAC = 2.5R
sin∢BAC = 0.8
∢BAC חדה:
∢BAC ≈ 53.13 מעלות
∢OAC = 53.132 ≈ 26.565 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢OAC ≈ 26.565 מעלות

סעיף ג – יחס השטחים

נחשב צלעות באמצעות tan∢OAC: מ־sin∢BAC = 0.8 ו־cos∢BAC = 0.6 נקבל tan∢OAC = 0.5 (אפשר גם במחשבון: tan26.565 ≈ 0.5).
AE = OEtan∢OAC = R0.5 = 2R📐 נוסחה: tan במשולש ישר זוויתtan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית
AC = 2 · AE = 4R
SABC = ½ · AB · AC · sin∢BAC📐 נוסחה: שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהןS = ½ · a · b · sin∢C
= ½ · 2.5R · 4R · 0.8 = 4R2
במשולש AOB: הישר AB משיק למעגל, ולכן המרחק של O מ־AB הוא R – זה הגובה לצלע AB:
SAOB = ½ · AB · R = ½ · 2.5R · R📐 נוסחה: שטח משולשS = בסיס · גובה2
= 1.25R2
SABCSAOB = 4R21.25R2 = 3.2 = 165
✅ פתרון סופי: SABCSAOB = 165

סעיף ד – הרדיוס R

נמצא קודם את BC בלי משפט הקוסינוסים: נוריד גובה BH ל־AC (הזווית A חדה, ו־AH < AC):
BH = AB · sin∢BAC = 2.5R · 0.8
= 2R
AH = AB · cos∢BAC = 2.5R · 0.6
= 1.5R
HC = AC − AH = 4R − 1.5R = 2.5R
BC2 = BH2 + HC2 = 4R2 + 6.25R2📐 נוסחה: משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
= 10.25R2
BC = R√10.25
BCsin∢BAC = 2 · 14📐 נוסחה: משפט הסינוסים (עם רדיוס המעגל החוסם)asin∢A = 2Rחוסם
BC = 28 · 0.8 = 22.4
R√10.25 = 22.4 ⇐ R
= 22.4√10.25 ≈ 7.0
ABCEOTH
✅ פתרון סופי: R = 22.4√10.25 ≈ 7

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אAB = 2Rsin(2∢OAC)
סעיף ב∢OAC ≈ 26.565 מעלות
סעיף ג165 = 3.2
סעיף דR ≈ 7
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – משפט הסינוסים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית בהינתן הנגזרת

📄 נוסח השאלה

נתון כי f′(x) = −4x(x2 − a2)3 היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה f(x). a הוא פרמטר חיובי. הפונקציות f(x) ו־f′(x) מוגדרות באותו התחום. בסעיפים א–ג הביעו את תשובותיכם באמצעות a, אם יש צורך.

א. מצאו את תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת f′(x).

ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

נתון כי לפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה y = 0. ג. מצאו פונקציה f(x) המקיימת תנאים אלה.

נתונות הפונקציה g(x) = x − a(x2 − a2)2 והפונקציה h(x) = (x − a)2(x2 − a2)2. הפונקציות f(x) , g(x) , h(x) מוגדרות באותו התחום.

ד. התאימו לכל אחת מן הפונקציות f(x) , g(x) , h(x) גרף אפשרי המייצג אותה מבין הגרפים I–IV. נמקו את תשובותיכם.

הגרפים I עד IV בשאלה 6 מתוך השאלון

נתון כי לפונקציה h(x − 9) יש אסימפטוטה שמשוואתה x = 0.8a. ה. מצאו את הערך של a.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

המכנה לא יכול להיות 0:
(x2 − a2)3 ≠ 0 ⇐ x2 ≠ a2 ⇐ x ≠ ±a
✅ פתרון סופי: x ≠ ±a

סעיף ב – עלייה וירידה

המונה −4x: חיובי כש־x < 0, שלילי כש־x > 0. המכנה (x2 − a2)3 – אותו סימן כמו x2 − a2: חיובי כש־|x| > a, שלילי כש־−a < x < a.
x < −a: מונה חיובי, מכנה חיובי ⇐ f′ > 0 – עולה.
−a < x < 0: מונה חיובי, מכנה שלילי ⇐ f′ < 0 – יורדת.
0 < x < a: מונה שלילי, מכנה שלילי ⇐ f′ > 0 – עולה.
x > a: מונה שלילי, מכנה חיובי ⇐ f′ < 0 – יורדת.
✅ פתרון סופי: עלייה: x < −a , 0 < x < a
ירידה: −a < x < 0 , x > a

סעיף ג – מציאת f

נמצא פונקציה קדומה. הנגזרת של x2 − a2 היא 2x, ולכן נכתוב −4x = −2 · 2x:
f(x) = ∫−2 · 2x(x2 − a2)−3 dx📐 נוסחה: אינטגרל עם זיהוי הנגזרת הפנימית∫f′(x)[f(x)]n dx = [f(x)]n+1n + 1 + C
= −2 · (x2 − a2)−2−2 + C
f(x) = 1(x2 − a2)2 + C
כש־x → ∞ השבר שואף ל־0, ולכן האסימפטוטה האופקית היא y = C. נתון y = 0, ולכן C = 0:
f(x) = 1(x2 − a2)2
✅ פתרון סופי: f(x) = 1(x2 − a2)2

סעיף ד – התאמת גרפים

f(x) = 1(x2 − a2)2: תמיד חיובית, זוגית, עם אסימפטוטות אנכיות x = ±a. זה גרף II.
g(x): נצמצם ב־x − a (בתחום x ≠ a):
g(x) = x − a(x − a)2(x + a)2
= 1(x − a)(x + a)2
ליד x = −a הגורם (x + a)2 חיובי ו־x − a < 0, ולכן g → −∞ משני צדי האסימפטוטה; ליד x = a הסימן מתחלף (+∞ מימין, −∞ משמאל). זה גרף I.
h(x): נצמצם ב־(x − a)2:
h(x) = 1(x + a)2 , x ≠ ±a
חיובית, אסימפטוטה אנכית רק ב־x = −a (משמאל לציר ה־y), וב־x = a (מימין לציר) יש "חור" – הנקודה (a , 14a2) חסרה. זה גרף III. (בגרף IV האסימפטוטה מימין והחור משמאל – לא מתאים.)
✅ פתרון סופי: f(x) – גרף II
g(x) – גרף I
h(x) – גרף III

סעיף ה – מציאת a

h(x − 9) = 1(x − 9 + a)2
האסימפטוטה האנכית היא כשהמכנה מתאפס (ב־x − 9 = a יש רק חור):
x − 9 + a = 0 ⇐ x = 9 − a
9 − a = 0.8a
9 = 1.8a ⇐ a = 5
✅ פתרון סופי: a = 5

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף אx ≠ ±a
סעיף בעלייה: x < −a , 0 < x < a
ירידה: −a < x < 0 , x > a
סעיף גf(x) = 1(x2 − a2)2
סעיף דגרף II – f(x)
גרף I – g(x)
גרף III – h(x)
סעיף הa = 5
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 65 – חקירה בהינתן הנגזרת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = cos x + 4(cos x)2 + a, בתחום −3π2 ≤ x ≤ 3π2. a הוא פרמטר.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. האם הפונקציה f(x) היא זוגית או אי־זוגית? נמקו את תשובתכם.

נתון כי גרף הפונקציה f(x) משיק לישר y = 4 בשתי נקודות. ג. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 1 וענו על הסעיפים ד–ו.

ד. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונות הפונקציה g(x) = f(x) − k והפונקציה h(x) = 1g(x), שתיהן בתחום −3π2 ≤ x ≤ 3π2. k הוא פרמטר, k ≠ 6 , k ≠ 4.

ו. מצאו את הערך של k שבעבורו גרף הפונקציה g(x) וגרף הפונקציה h(x) נפגשים בכל אחת מנקודות הקיצון שלהן.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

המכנה (cos x)2 לא יכול להיות 0. בתחום הנתון cos x = 0 ב־x = ±π2 וב־x = ±3π2 (קצוות התחום).
תחום ההגדרה:
−3π2 < x < −π2
−π2 < x < π2
π2 < x < 3π2
✅ פתרון סופי: x ≠ ±π2 (בתוך התחום הפתוח −3π2 < x < 3π2)

סעיף ב – זוגיות

f(−x) = cos(−x) + 4(cos(−x))2 + a📐 נוסחה: זוגיות של coscos(−x) = cos x
= f(x)
התחום סימטרי סביב 0, ולכן f זוגית.
✅ פתרון סופי: f זוגית

סעיף ג – מציאת a

f′(x) = −sin x + 8sin xcos3x📐 נוסחה: נגזרת של פונקציה מורכבת(u−2)′ = −2u−3 · u′
(cos x)′ = −sin x
f′(x) = sin x · (8cos3x − 1)
נשווה ל־0:
sin x = 0 ⇐ x = 0 , x = ±π
8cos3x = 1 ⇐ cos3x = 8 ⇐ cos x = 2
cos x = 2 – אין פתרון. לכן הקיצון רק ב־x = 0 , ±π:
f(0) = 1 + 4 + a = 5 + a
f(±π) = −1 + 4 + a = 3 + a
הישר y = 4 אופקי, ולכן הוא משיק לגרף רק בנקודות קיצון. ב־x = 0 יש נקודה אחת בלבד, ואילו x = ±π הן שתי נקודות (סימטריות, כי f זוגית). לכן:
3 + a = 4 ⇐ a = 1
✅ פתרון סופי: a = 1

סעיף ד – נקודות קיצון

עבור a = 1: f(0) = 6, f(±π) = 4. נבדוק סימן f′ = sin x · 8 − cos3xcos3x; תמיד 8 − cos3x > 0:
0 < x < π2: sin x > 0, cos x > 0 ⇐ f′ > 0, עולה. מהזוגיות, ב־−π2 < x < 0 יורדת. לכן ב־x = 0 מינימום.
π2 < x < π: sin x > 0, cos x < 0 ⇐ f′ < 0, יורדת. π < x < 3π2: sin x < 0, cos x < 0 ⇐ f′ > 0, עולה. לכן ב־x = π מינימום, ומהזוגיות גם ב־x = −π.
✅ פתרון סופי: מינימום (0 , 6) ; מינימום (±π , 4)

סעיף ה – סקיצה

שלושה ענפים; בכל ענף הגרף עולה ל־+∞ ליד האסימפטוטות (x = ±π2, וליד קצוות התחום x = ±3π2), עם מינימום אחד בכל ענף.
xyx = −π/2x = π/2x = −3π/2x = 3π/2(0 , 6)(π , 4)(−π , 4)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ו – מפגש g ו־h

בלי לגזור – קוראים מהגרף של f (סעיף ה):
g = f − k היא הזזה של הגרף של f ב־k יחידות למטה, ולכן ל־g אותן נקודות קיצון כמו ל־f: x = 0 ו־x = ±π.
h = 1g: איפה ש־g עולה – h יורדת, ולהפך.📐 משפט: הגרף של 1 חלקי פונקציהu עולה ⇐ 1u יורדת (ולהפך)
לקיצון של u (כש־u ≠ 0) מתאים קיצון של 1u באותו x
לכן גם ל־h יש קיצון באותם x (בתנאי ש־g ≠ 0 שם, ולכן k ≠ 6 , k ≠ 4).
הגרפים נפגשים בנקודה כש־g = h:
g = 1g ⇐ g2 = 1 ⇐ g = 1 או g = −1
g(0) = 6 − k , g(±π) = 4 − k
צריך ש־6 − k וגם 4 − k יהיו ±1. ההפרש ביניהם הוא 2, ולכן האפשרות היחידה היא 6 − k = 1 ו־4 − k = −1:
k = 5
✅ פתרון סופי: k = 5

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א−3π2 < x < −π2
−π2 < x < π2
π2 < x < 3π2
סעיף בזוגית
סעיף גa = 1
סעיף דמינימום (0 , 6)
מינימום (±π , 4)
סעיף הסקיצה
סעיף וk = 5
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – פונקציה זוגית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – פונקציית שורש ובעיית קיצון

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x√8 − x.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה f(x).

ידוע כי לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון פנימית אחת ואין לה נקודות פיתול. ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

הנקודה A נמצאת ברביע הראשון על גרף הפונקציה f(x). הנקודה C היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם החלק החיובי של ציר ה־x. מן הנקודה A העבירו שני אנכים: אנך אחד לציר ה־x החותך אותו בנקודה B, ואנך נוסף לישר x = 8 החותך אותו בנקודה D.

ג. מצאו את שיעורי הנקודה A שבעבורה היקף המלבן ABCD הוא מקסימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – תחום הגדרה, חיוביות ושליליות

תחום ההגדרה – הביטוי בתוך השורש אי־שלילי:
8 − x ≥ 0 ⇐ x ≤ 8
השורש תמיד אי־שלילי (ושווה ל־0 רק ב־x = 8), ולכן הסימן של f כסימן x:
f(x) = 0 ⇐ x = 0 או x = 8
חיובית: 0 < x < 8. שלילית: x < 0.
✅ פתרון סופי: x ≤ 8; חיובית: 0 < x < 8; שלילית: x < 0

סעיף ב – סקיצה

כדי לסרטט נמצא את נקודת הקיצון:
f′(x) = √8 − x + x · −12√8 − x📐 נוסחה: נגזרת של מכפלה ושל שורש(uv)′ = u′v + uv′ , (√u)′ = u′2√u
= 2(8 − x) − x2√8 − x = 16 − 3x2√8 − x
16 − 3x = 0 ⇐ x = 163
f(163) = 163√83 ≈ 8.71
משמאל ל־163 הנגזרת חיובית (עולה) ומימין שלילית (יורדת) – מקסימום. הגרף מגיע מ־−∞ (כש־x → −∞), עובר בראשית, עולה למקסימום ויורד אל (8 , 0), נקודת קצה.
xyABCD
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – היקף מקסימלי

נסמן A = (t , t√8 − t), 0 < t < 8. אז C = (8 , 0), B = (t , 0), D = (8 , t√8 − t).
AB = t√8 − t , BC = 8 − t
P(t) = 2t√8 − t + 2(8 − t)📐 נוסחה: היקף מלבןP = 2a + 2b
את הנגזרת של t√8 − t חישבנו בסעיף ב:
P′(t) = 2 · 16 − 3t2√8 − t − 2
= 16 − 3t√8 − t − 2
16 − 3t√8 − t = 2
16 − 3t = 2√8 − t
אגף ימין חיובי, ולכן חייב להתקיים 16 − 3t > 0, כלומר t < 163. נעלה בריבוע:
256 − 96t + 9t2 = 4(8 − t)
9t2 − 92t + 224 = 0
t = 92 ± √8464 − 806418 = 92 ± 2018📐 נוסחה: נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
t = 11218 ≈ 6.22 (נפסל, גדול מ־163)
t = 4
בדיקה: ב־t = 1: P′ = 13√7 − 2 > 0; ב־t = 5: P′ = 1√3 − 2 < 0. הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית – מקסימום.
f(4) = 4√4 = 8 ⇐ A = (4 , 8)
✅ פתרון סופי: A(4 , 8)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א (1)x ≤ 8
סעיף א (2)חיובית: 0 < x < 8
שלילית: x < 0
סעיף בסקיצה
סעיף גA(4 , 8)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – בעיות קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות