בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 – קיץ 2025 מועד ב'

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 8 שאלות בארבעה פרקים: פרק ראשון – שאלות קצרות (שאלה 1, עונים בה על שניים מן הסעיפים א–ד); פרק שני – אינדוקציה, סדרות והסתברות (שאלות 2–3); פרק שלישי – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4–5); פרק רביעי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות (שאלות 6–8). עונים על 5 שאלות: לפחות שאלה אחת מן הפרק הראשון או השני, ולפחות שאלה אחת מכל אחד מן הפרקים השלישי והרביעי. 20 נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: ארבע שעות ורבע. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

השאלון שנפתר כאן: גרסה ב'

📄 השאלון המלא – קיץ 2025 מועד ב'

שאלון 571 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 7
שאלון 571 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 7
עמוד 7 מתוך 7

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – שאלות קצרות

📄 נוסח השאלה

בשאלה זו ענו על שניים מן הסעיפים א–ד (לכל סעיף 10 נקודות). בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:

23 + 69 + 1027 + … +
+ 4n − 23n = 2 − 2n + 23n

ב. בסרטוט שלפניכם הטרפז ABCD (BC ∥ AD) והטרפז BCDE (CD ∥ BE). M היא נקודת החיתוך של AD ו־BE. נתון: AB ⊥ BM, ED ⊥ AD, EM = BM, AM = 2.5DM.

סרטוט שאלה 1 ב מתוך השאלון

(1) מצאו את גודל הזווית ∢EMD (בשאלון היא מסומנת באות; כאן נקרא לה ∢EMD).

נתון: DM = 6. (2) מצאו את שטח הטרפז ABCD.

ג. נתונות הפונקציות f(x) = xn(x − 1) ו־g(x) = xn(x + 1), המוגדרות לכל x. n הוא פרמטר טבעי הגדול מ־1. כל אחד מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את אחת הפונקציות f(x) או g(x), עבור n זוגי או עבור n אי־זוגי.

הגרפים I עד IV מתוך השאלון

(1) קבעו איזה גרף מתאר את f(x) ואיזה מתאר את g(x), ועבור כל גרף קבעו אם n זוגי או אי־זוגי. נמקו.

(2) נתון: n = 2. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) ועל ידי ציר ה־x.

ד. בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה f(x), המוגדרת לכל x. נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה־x הן (0 , 0) , (1 , 0) , (2.7 , 0) , (4.5 , 0).

גרף הפונקציה f בסעיף ד מתוך השאלון

נתונה הפונקציה g(x) = ∫0x f(t) dt, המוגדרת לכל x ≥ 0.

(1) מצאו את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגן.

נסמן ב־S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי ציר ה־x בתחום 1 ≤ x ≤ 2.7. נתון: g(4.5) = 3S , g(2.7) = 0.

(2) הביעו באמצעות S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי ציר ה־x בתחום 0 ≤ x ≤ 4.5.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הוכחה באינדוקציה

מוכיחים באינדוקציה בשלושה שלבים: בדיקה עבור n = 1, הנחה עבור n = k, והוכחה עבור n = k + 1.
שלב 1 – בדיקה עבור n = 1. בצד שמאל יש רק את האיבר הראשון:📐 שיטהשיטה: הוכחה באינדוקציה – בודקים עבור n = 1, מניחים עבור n = k, מוכיחים עבור n = k + 1
אגף שמאל: 4 · 1 − 231 = 23
אגף ימין: 2 − 2 · 1 + 231 = 2 − 43
= 23
שני האגפים שווים, ולכן הטענה נכונה עבור n = 1.
שלב 2 – הנחת האינדוקציה. נניח שהטענה נכונה עבור n = k:
23 + 69 + … + 4k − 23k = 2 − 2k + 23k
שלב 3 – נוכיח עבור n = k + 1. צריך להוכיח:
23 + … + 4k − 23k + 4(k + 1) − 23k+1
= 2 − 2(k + 1) + 23k+1
נפשט: 4(k + 1) − 2 = 4k + 2 ו־2(k + 1) + 2 = 2k + 4. כלומר צריך להוכיח שאגף שמאל שווה ל־2 − 2k + 43k+1.
לפי הנחת האינדוקציה, נחליף את סכום k האיברים הראשונים:
אגף שמאל = 2 − 2k + 23k + 4k + 23k+1
מכנה משותף 3k+1 (נכפול את השבר הראשון ב־33):
= 2 − 3(2k + 2)3k+1 + 4k + 23k+1📐 נוסחה: חוקי חזקות3 · 3k = 3k+1
= 2 − 3(2k + 2) − (4k + 2)3k+1
= 2 − 6k + 6 − 4k − 23k+1
= 2 − 2k + 43k+1 = אגף ימין
קיבלנו בדיוק את הטענה עבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הטענה הוכחה לכל n טבעי.

סעיף ב – שני טרפזים

(1) גודל הזווית ∢EMD
נסמן DM = x. לפי הנתון AM = 2.5x.
∢AMB = ∢EMD📐 משפטזוויות קודקודיות שוות
במשולש ישר הזווית EDM (∢EDM = 90 מעלות), EM הוא היתר ו־DM הוא הניצב ליד הזווית ∢EMD:
cos∢EMD = DMEM ⇐ EM = xcos∢EMD📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
במשולש ישר הזווית ABM (∢ABM = 90 מעלות), AM הוא היתר ו־BM הוא הניצב ליד הזווית ∢AMB = ∢EMD:
cos∢EMD = BMAM ⇐ BM📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
= 2.5x · cos∢EMD
נתון EM = BM:
xcos∢EMD = 2.5x · cos∢EMD
x = 2.5x · cos2∢EMD
cos2∢EMD = 12.5 = 0.4
cos∢EMD = √0.4 ≈ 0.6325
(הזווית חדה, ולכן לוקחים את השורש החיובי.)
∢EMD ≈ 50.77 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢EMD ≈ 50.77 מעלות
(2) שטח הטרפז ABCD
DM = 6, ולכן AM = 2.5 · 6 = 15 ו־AD = AM + DM = 15 + 6 = 21.
במרובע BCDM: BC ∥ DM (כי BC ∥ AD) וגם CD ∥ BM (כי CD ∥ BE). לכן BCDM מקבילית:📐 משפטבמקבילית הצלעות הנגדיות שוות
BC = DM = 6
גובה הטרפז (h) הוא המרחק של B מהבסיס AD. נמצא קודם את BM במשולש ABM:
BM = AM · cos∢EMD📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
= 15 · √0.4 ≈ 9.487
נוריד גובה מ־B ל־AD. במשולש ישר הזווית שנוצר, BM הוא היתר והגובה הוא הניצב מול הזווית ∢EMD:
h = BM · sin∢EMD📐 נוסחה: sin במשולש ישר זוויתsin = ניצב מול הזוויתיתר
sin2∢EMD = 1 − 0.4 = 0.6 📐 נוסחה: זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
⇐ sin∢EMD = √0.6
h = 15 · √0.4 · √0.6 = 15√0.24
= 3√6 ≈ 7.348
S = AD + BC2 · h = 21 + 62 · 3√6📐 נוסחה: שטח טרפזS = a + b2 · h
S = 13.5 · 3√6 = 40.5√6 ≈ 99.2
ABCDEMh
✅ פתרון סופי: S = 40.5√6 ≈ 99.2

סעיף ג – זיהוי גרפים ושטח

(1) התאמת הגרפים
שתי הפונקציות הן פולינומים ממעלה n + 1. נבדוק שלושה דברים: איפה הגרף חותך את ציר ה־x, מה קורה ב־x = 0, ומה קורה בקצוות.
נקודות חיתוך עם ציר ה־x:
f(x) = 0 ⇐ x = 0 או x = 1
g(x) = 0 ⇐ x = 0 או x = −1
לכן הגרף שחותך את ציר ה־x בנקודה חיובית (x = 1) הוא של f, והגרף שחותך בנקודה שלילית (x = −1) הוא של g.
הקצוות: הפולינום ממעלה n + 1 והמקדם המוביל הוא 1.
אם n אי־זוגי, המעלה n + 1 זוגית: הגרף עולה ל־+∞ בשני הקצוות (צורת "קערה"). אם n זוגי, המעלה אי־זוגית: משמאל הגרף יורד ל־−∞ ומימין עולה ל־+∞.
ב־x = 0: אם n זוגי, xn ≥ 0 ולכן הגרף רק משיק לציר ב־x = 0 ולא מחליף סימן. אם n אי־זוגי, הסימן מתחלף ב־x = 0.
גרף I: שני הקצוות עולים, ויש "שקע" מתחת לציר מימין לראשית (בין 0 ל־1). זו f(x) עם n אי־זוגי.
גרף II: שני הקצוות עולים, ויש שקע מתחת לציר משמאל לראשית (בין −1 ל־0). זו g(x) עם n אי־זוגי.
גרף III: משמאל יורד ל־−∞, יש "גבעה" מעל הציר בין −1 ל־0, ובראשית הגרף משיק לציר. זו g(x) עם n זוגי.
גרף IV: משמאל יורד ל־−∞, משיק לציר בראשית מלמטה, וחותך את הציר ב־x = 1. זו f(x) עם n זוגי.
✅ פתרון סופי:
גרף I – f(x) כאשר n אי־זוגי
גרף II – g(x) כאשר n אי־זוגי
גרף III – g(x) כאשר n זוגי
גרף IV – f(x) כאשר n זוגי
(2) השטח עבור n = 2
עבור n = 2: g(x) = x2(x + 1) = x3 + x2. נקודות החיתוך עם ציר ה־x: x = −1 ו־x = 0.
בתחום −1 ≤ x ≤ 0 מתקיים x2 ≥ 0 וגם x + 1 ≥ 0, לכן הגרף מעל ציר ה־x. זה התחום היחיד שבו השטח סגור.
S = ∫−10 (x3 + x2) dx📐 נוסחה: שטח מעל ציר ה־xS = ∫ab f(x) dx
= [x44 + x33]−10📐 נוסחה: אינטגרל של חזקה∫xn dx = xn+1n + 1 + C
= 0 − (14 − 13)
= −(−112) = 112
xy(−1 , 0)(0 , 0)
✅ פתרון סופי: S = 112

סעיף ד – פונקציה צוברת שטח

(1) נקודות הקיצון של g
לפי המשפט היסודי: g′(x) = f(x). לכן נקודות הקיצון של g הן איפה ש־f מחליפה סימן.📐 משפטהמשפט היסודי של החשבון האינטגרלי – אם g(x) = ∫ax f(t) dt אז g′(x) = f(x)
נקרא את סימן f מהגרף (בתחום x ≥ 0):
0 < x < 1: הגרף מתחת לציר, f < 0, ולכן g יורדת.
1 < x < 2.7: f > 0, g עולה.
2.7 < x < 4.5: f > 0 (ב־x = 2.7 הגרף רק משיק לציר), g ממשיכה לעלות.
x > 4.5: f < 0, g יורדת.
מסקנה: ב־x = 0 (קצה התחום) g מתחילה לרדת, לכן זו נקודת מקסימום קצה. ב־x = 1 מינימום (ירידה ואז עלייה). ב־x = 2.7 אין קיצון (g עולה משני הצדדים). ב־x = 4.5 מקסימום (עלייה ואז ירידה).
✅ פתרון סופי: מקסימום קצה ב־x = 0, מינימום ב־x = 1, מקסימום ב־x = 4.5
(2) השטח בתחום 0 ≤ x ≤ 4.5
נסמן ב־S1 את השטח בתחום 0 ≤ x ≤ 1 (מתחת לציר) וב־S3 את השטח בתחום 2.7 ≤ x ≤ 4.5 (מעל הציר).
כשהגרף מתחת לציר ה־x, האינטגרל שווה למינוס השטח. כשהגרף מעל הציר, האינטגרל שווה לשטח.📐 משפטאינטגרל ושטח
g(2.7) = ∫02.7 f(t) dt = −S1 + S
−S1 + S = 0 ⇐ S1 = S
g(4.5) = ∫04.5 f(t) dt
= −S1 + S + S3
−S + S + S3 = 3S ⇐ S3 = 3S
השטח הכולל בתחום 0 ≤ x ≤ 4.5 הוא סכום כל השטחים (כולם חיוביים):
S1 + S + S3 = S + S + 3S = 5S
✅ פתרון סופי: 5S

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אהוכחה
סעיף ב (1)∢EMD ≈ 50.77 מעלות
סעיף ב (2)S = 40.5√6 ≈ 99.2
סעיף ג (1)גרף I: f(x) כאשר n אי־זוגי
גרף II: g(x) כאשר n אי־זוגי
גרף III: g(x) כאשר n זוגי
גרף IV: f(x) כאשר n זוגי
סעיף ג (2)112
סעיף ד (1)מקסימום קצה: x = 0
מינימום: x = 1
מקסימום: x = 4.5
סעיף ד (2)5S
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 91 – חקירה עם n זוגי ואי־זוגי (שאלה קצרה, בגרות 2025 מועד ב)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סדרות הנדסיות

📄 נוסח השאלה

an היא סדרה הנדסית אין־סופית עולה, שהמנה שלה היא q, ו־0 < q < 1.

א. קבעו אם איברי הסדרה an חיוביים או שליליים. נמקו.

bn היא סדרה הנדסית אין־סופית שהמנה שלה היא גם כן q. cn היא סדרה אין־סופית, ולכל n מתקיים cn = 2bn − an (cn ≠ 0).

ב. הוכיחו כי cn היא סדרה הנדסית, והביעו באמצעות q את המנה שלה.

נתון: c1 = 623, וסכום כל איברי הסדרה cn גדול פי 8 מסכום כל איברי הסדרה bn.

ג. מצאו את a1.

ד. נתון: סכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים בסדרה an גדול ב־4 מסכום האיברים העומדים במקומות האי־זוגיים בסדרה זו. מצאו את q.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – סימן האיברים

an+1 − an = an · q − an📐 נוסחה: האיבר הכללי בסדרה הנדסיתan+1 = an · q
= an(q − 1)
הסדרה עולה, ולכן an+1 − an > 0, כלומר an(q − 1) > 0.
נתון 0 < q < 1, ולכן q − 1 < 0. מכפלה של שני גורמים חיובית רק כששניהם באותו סימן, ולכן an < 0.
✅ פתרון סופי: איברי הסדרה שליליים

סעיף ב – הסדרה cn

כדי להוכיח שסדרה הנדסית, נראה שהמנה cn+1cn קבועה (לא תלויה ב־n).
an+1 = q · an , bn+1 = q · bn📐 נוסחה: האיבר הבא בסדרה הנדסיתan+1 = an · q
cn+1cn = 2bn+1 − an+12bn − an
= 2q · bn − q · an2bn − an
= q(2bn − an)2bn − an = q
המנה קבועה ושווה ל־q, ולכן cn סדרה הנדסית עם מנה q.
✅ פתרון סופי: cn הנדסית, והמנה שלה היא q

סעיף ג – מציאת a1

לשלוש הסדרות אותה מנה q, ו־0 < q < 1, לכן לכולן יש סכום אין־סופי.
Sc = c11 − q , Sb = b11 − q📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a11 − q
c11 − q = 8 · b11 − q
c1 = 8b1
203 = 8b1 ⇐ b1 = 2024 = 56
עכשיו נציב n = 1 בקשר cn = 2bn − an:
203 = 2 · 56 − a1
203 = 53 − a1
a1 = 53 − 203 = −5
בהתאם לסעיף א, a1 שלילי.
✅ פתרון סופי: a1 = −5

סעיף ד – מציאת q

האיברים במקומות הזוגיים: a2 , a4 , a6 , … – סדרה הנדסית עם איבר ראשון a1q ומנה q2. האיברים במקומות האי־זוגיים: a1 , a3 , … – איבר ראשון a1 ומנה q2.
Sזוגיים = a1q1 − q2 , Sאי־זוגיים📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a11 − q
= a11 − q2
a1q1 − q2 − a11 − q2 = 4
a1(q − 1)(1 − q)(1 + q) = 4📐 נוסחה: הפרש ריבועים1 − q2 = (1 − q)(1 + q)
נצמצם: q − 1 = −(1 − q):
−a11 + q = 4
51 + q = 4
1 + q = 54 ⇐ q = 14
q = 14 מקיים 0 < q < 1.
✅ פתרון סופי: q = 14

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהאיברים שליליים
סעיף בהוכחה; המנה היא q
סעיף גa1 = −5
סעיף דq = 14
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות – בית אריזה

📄 נוסח השאלה

בבית אריזה גדול אורזים שני סוגי פירות בלבד: לימונים ותפוזים. חלק מן הפירות מיועדים לייצוא והשאר אינם מיועדים לייצוא.

ההסתברות לבחור באקראי שני תפוזים מבין כל הפירות בבית האריזה היא 0.4096. בוחרים באקראי פרי אחד מבין כל הפירות בבית האריזה.

א. מהי ההסתברות שנבחר לימון?

ההסתברות לבחור באקראי תפוז מבין הפירות שמיועדים לייצוא היא 35. ההסתברות לבחור באקראי לימון מבין הפירות שאינם מיועדים לייצוא היא 15. בוחרים באקראי פרי אחד מבין כל הפירות בבית האריזה.

ב. מהי ההסתברות שנבחר פרי המיועד לייצוא?

בוחרים באקראי שני פירות מבין כל הפירות בבית האריזה.

ג. ידוע שנבחרו שני לימונים. מהי ההסתברות שאחד מהם מיועד לייצוא והאחר אינו מיועד לייצוא?

בוחרים באקראי 4 פירות מבין כל הפירות בבית האריזה. ידוע שלפחות אחד מהם מיועד לייצוא.

ד. מהי ההסתברות שלכל היותר 3 מבין הפירות שנבחרו מיועדים לייצוא?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הסתברות ללימון

נסמן: T – תפוז, L – לימון, E – פרי המיועד לייצוא, Ē – פרי שאינו מיועד לייצוא.
בית האריזה גדול, ולכן כל בחירה של פרי לא משנה את ההסתברויות בבחירה הבאה (בחירות בלתי תלויות). נסמן P(T) = p.
p · p = 0.4096📐 נוסחה: מכפלת הסתברויות של מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)
p2 = 0.4096 ⇐ p = √0.4096 = 0.64
P(L) = 1 − 0.64 = 0.36📐 נוסחה: מאורע משליםP(A') = 1 − P(A)
✅ פתרון סופי: P(L) = 0.36

סעיף ב – הסתברות לפרי לייצוא

נסמן P(E) = x. אז P(Ē) = 1 − x.
נתון P(T|E) = 35 ו־P(L|Ē) = 15, ולכן P(T|Ē) = 1 − 15 = 45.
P(T) = P(E) · P(T|E) + P(Ē)📐 נוסחה: נוסחת ההסתברות השלמה (סכום ענפים בעץ)P(A) = P(B) · P(A|B) +
+ P(B′) · P(A|B′)
· P(T|Ē)
0.64 = x · 35 + (1 − x) · 45
0.6x + 0.8 − 0.8x = 0.64
−0.2x = −0.16 ⇐ x = 0.8
נחשב את ההסתברויות של כל צירוף (מכפלת ענפים בעץ):
P(T ∩ E) = 0.8 · 0.6 = 0.48
P(L ∩ E) = 0.8 · 0.4 = 0.32
P(T ∩ Ē) = 0.2 · 0.8 = 0.16
P(L ∩ Ē) = 0.2 · 0.2 = 0.04
ונסכם בטבלה דו־ממדית:
תפוזלימוןסה״כ
לייצוא0.480.320.8
לא לייצוא0.160.040.2
סה״כ0.640.361
✅ פתרון סופי: P(E) = 0.8

סעיף ג – שני לימונים

בכל אחד משני הפירות שנבחרו (מהטבלה):
P(L ∩ E) = 0.32
P(L ∩ Ē) = 0.04
P(L) = 0.36
המאורע "אחד לייצוא והאחר לא" יכול לקרות בשני סדרים (הראשון לייצוא והשני לא, או להפך).
ההסתברות לשני לימונים שאחד מהם לייצוא והאחר לא:
2 · 0.32 · 0.04 = 0.0256
ההסתברות לשני לימונים:
0.36 · 0.36 = 0.1296
P = 0.02560.1296 = 2561296 = 1681 ≈ 0.198📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A|B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 1681 ≈ 0.198

סעיף ד – ארבעה פירות

כל פרי מיועד לייצוא בהסתברות 0.8, באופן בלתי תלוי. נסמן ב־X את מספר הפירות המיועדים לייצוא מבין 4 – זה ניסוי ברנולי עם n = 4 , p = 0.8.
P(X = 0) = 0.24 = 0.0016📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP(X = k) = (n מעל k) ·
· pk · (1 − p)n − k
P(X = 4) = 0.84 = 0.4096
P(X ≥ 1) = 1 − 0.0016 = 0.9984📐 נוסחה: מאורע משליםP(A') = 1 − P(A)
"לכל היותר 3 לייצוא" וגם "לפחות אחד לייצוא" זה 1 ≤ X ≤ 3:
P(1 ≤ X ≤ 3) = 1 − P(X
= 0) − P(X = 4)
= 1 − 0.0016 − 0.4096 = 0.5888
P(X ≤ 3 | X ≥ 1) = 0.58880.9984📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A|B) = P(A ∩ B)P(B)
= 58889984 = 2339 ≈ 0.590
✅ פתרון סופי: 2339 ≈ 0.590

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.36
סעיף ב0.8
סעיף ג1681 ≈ 0.198
סעיף ד2339 ≈ 0.590
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – עץ עם נעלמים והסתברות מותנית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גאומטרייה – מעגל ומשולשים דומים

📄 נוסח השאלה

AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O. המיתר CK חותך את הרדיוס AO בנקודה E (ראו סרטוט). נתון: ∢EKO = ∢ABK.

סרטוט שאלה 4 מתוך השאלון

א. הוכיחו כי △ACE ∼ △OKE.

המשך הקטע KO חותך את המיתר CB בנקודה P. נתון כי PO = 7, וכי רדיוס המעגל הוא 8.4.

ב. (1) הוכיחו כי PO הוא קטע אמצעים במשולש ABC. (2) מצאו את אורך הקטע EO.

ג. מצאו את היחס בין שטח המשולש ACE ובין שטח המשולש AOK.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – דמיון משולשים

∢ACK = ∢ABK📐 משפטזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות – שתיהן נשענות על הקשת AK
∢ACE = ∢ABK = ∢EKO
(השוויון השני נתון; ∢ACE היא אותה זווית כמו ∢ACK.)
∢AEC = ∢OEK📐 משפטזוויות קודקודיות שוות
לכן △ACE ∼ △OKE, בהתאמה A ↔ O , C ↔ K , E ↔ E.📐 משפטמשפט דמיון ז.ז. – שתי זוויות שוות בהתאמה
✅ פתרון סופי: △ACE ∼ △OKE – הוכח

סעיף ב – קטע אמצעים ואורך EO

(1) PO קטע אמצעים
מהדמיון בסעיף א, הזוויות המתאימות שוות:
∢CAE = ∢KOE
∢KOE = ∢POB (הנקודות K , O , P על ישר אחד, וגם A , O , B)📐 משפטזוויות קודקודיות שוות
∢CAB = ∢POB
אלה זוויות מתאימות בין הישרים AC ו־OP עם החותך AB, ולכן OP ∥ AC.📐 משפטזוויות מתאימות שוות ⇐ הישרים מקבילים
O אמצע AB (מרכז המעגל על הקוטר), ו־OP ∥ AC. לכן P אמצע CB, ו־PO קטע אמצעים במשולש ABC.📐 משפטקטע היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע שנייה חוצה את הצלע השלישית
✅ פתרון סופי: הוכח
(2) אורך EO
AC = 2 · PO = 2 · 7 = 14📐 נוסחה: קטע אמצעים במשולשקטע האמצעים שווה למחצית הצלע השלישית
OK רדיוס, ולכן OK = 8.4. מהדמיון (יחס הצלעות המתאימות):
AEOE = ACOK = 148.4 = 53📐 נוסחה: יחס דמיוןבמשולשים דומים יחס הצלעות המתאימות שווה
נסמן EO = x. אז AE = AO − EO = 8.4 − x:
8.4 − xx = 53
3(8.4 − x) = 5x
25.2 − 3x = 5x
8x = 25.2 ⇐ x = 3.15
ABCKOEP
✅ פתרון סופי: EO = 3.15

סעיף ג – יחס שטחים

SACESOKE = (53)2 = 259📐 נוסחה: יחס שטחים של משולשים דומיםיחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון
למשולשים AOK ו־EOK יש אותו קודקוד K, והבסיסים AO ו־EO על אותו ישר – לכן אותו גובה מ־K.
SAOKSEOK = AOEO = 8.43.15 = 83📐 נוסחה: שטח משולשS = בסיס · גובה2
נבטא את שני השטחים באמצעות SOKE:
SACE = 259 SOKE
SAOK = 83 SOKE = 249 SOKE
SACESAOK = 2524
✅ פתרון סופי: SACESAOK = 2524

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אהוכחה
סעיף ב (1)הוכחה
סעיף ב (2)EO = 3.15
סעיף ג2524
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – טריגונומטרייה – משולש ישר זווית וחוצה זווית

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABC (∢ABC = 90 מעלות). על הצלע AC בנו משולש נוסף ACD כך ש־AC הוא חוצה זווית BAD.

סרטוט שאלה 5 מתוך השאלון

נסמן: AB = k, ואת הזווית ∢CAB (בשאלון היא מסומנת באות; כאן נכתוב ∢CAB).

א. הביעו באמצעות k ו־∢CAB את האורך של AC.

נתון: CD = √3.25 · k , AD = 1.5 · k.

ב. חשבו את הערך של ∢CAB.

הציבו ∢CAB = 60 מעלות וענו על סעיפים ג–ד. הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC.

ג. הביעו באמצעות k את רדיוס המעגל החסום במשולש ABC.

הנקודה E היא מרכז המעגל החוסם את המשולש ABC. נתון: ME = 4.

ד. מצאו את k.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – האורך AC

במשולש ישר הזווית ABC: AC היתר, ו־AB = k הניצב ליד הזווית ∢CAB.
cos∢CAB = ABAC = kAC📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
AC = kcos∢CAB
✅ פתרון סופי: AC = kcos∢CAB

סעיף ב – גודל הזווית

AC חוצה את ∢BAD, ולכן ∢CAD = ∢CAB.
נוריד גובה CH מ־C לצלע AD. נקבל משולש ישר זווית ACH שבו AC היתר:
AH = AC · cos∢CAB📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
= kcos∢CAB · cos∢CAB = k
CH = AC · sin∢CAB = k · sin∢CABcos∢CAB📐 נוסחה: tantan = sincos
= k · tan∢CAB
AH = k < 1.5k = AD, לכן H בין A ל־D:
HD = AD − AH = 1.5k − k = 0.5k
CD2 = CH2 + HD2📐 נוסחה: משפט פיתגורס במשולש CHDa2 + b2 = c2
3.25k2 = k2 tan2∢CAB + 0.25k2
tan2∢CAB = 3.25 − 0.25 = 3
tan∢CAB = √3 (זווית חדה)
∢CAB = 60 מעלות
ABCDH
✅ פתרון סופי: ∢CAB = 60 מעלות

סעיף ג – רדיוס המעגל החסום

עבור ∢CAB = 60 מעלות: AC = kcos60 = 2k ו־BC = AB · tan60 = √3k.
נסמן ב־r את רדיוס המעגל החסום. נקודות ההשקה על הניצבים יוצרות עם B ו־M ריבוע (כי ∢B = 90 מעלות והרדיוסים מאונכים למשיקים), ולכן קטעי המשיקים מ־B שווים ל־r.
קטעי המשיקים: מ־A – k − r, מ־C – √3k − r.📐 משפטשני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה
היתר AC מורכב משני קטעי משיקים (מ־A ומ־C):
(k − r) + (√3k − r) = 2k
2r = √3k − k
r = (√3 − 1)k2 ≈ 0.366k
✅ פתרון סופי: r = (√3 − 1)k2

סעיף ד – מציאת k

המשולש ישר זווית, ולכן מרכז המעגל החוסם E הוא אמצע היתר AC: AE = AC2 = k.📐 משפטבמשולש ישר זווית מרכז המעגל החוסם הוא אמצע היתר
נסמן ב־T את נקודת ההשקה של המעגל החסום על AC. קטע המשיק מ־A הוא AT = k − r, ולכן:
TE = AE − AT = k − (k − r) = r
MT ⊥ AC (רדיוס לנקודת השקה), ולכן המשולש MTE ישר זווית עם ניצבים MT = r ו־TE = r:
ME2 = r2 + r2 = 2r2📐 נוסחה: משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
ME = r√2 = 4 ⇐ r = 4√2 = 2√2
נציב את r מסעיף ג:
(√3 − 1)k2 = 2√2
k = 4√2√3 − 1
נכפול מונה ומכנה ב־(√3 + 1):
k = 4√2(√3 + 1)2
= 2√6 + 2√2 ≈ 7.73
ABCMET
✅ פתרון סופי: k = 2√6 + 2√2 ≈ 7.73

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אAC = kcos∢CAB
סעיף ב∢CAB = 60 מעלות
סעיף גr = (√3 − 1)k2
סעיף דk = 2√6 + 2√2 ≈ 7.73
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3 – tan במשולש ישר זווית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציית מנה עם פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 2ax(x2 − 9)2. a הוא פרמטר חיובי.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המקבילות לצירים. (3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה). (4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x), ונתון כי g′(x) = f(x) + 1. תחום ההגדרה של g(x) ושל g′(x) זהה לתחום ההגדרה של f(x). לפונקציה g(x) יש נקודת קיצון שבה x = −1.

ב. מצאו את a.

נתון כי גרף הפונקציה g(x) עובר דרך הנקודה (1 , 7).

ג. כתבו ביטוי אלגברי אפשרי לפונקציה g(x).

ד. איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם יכול לתאר את גרף הפונקציה g(x)? נמקו.

הגרפים I עד IV בשאלה 6 מתוך השאלון
✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – חקירת f

(1) תחום הגדרה
המכנה לא יכול להיות 0:
(x2 − 9)2 ≠ 0 ⇐ x2 ≠ 9 ⇐ x ≠ ±3
✅ פתרון סופי: x ≠ ±3
(2) אסימפטוטות
אסימפטוטות אנכיות: x = 3 ו־x = −3 – שם המכנה מתאפס והמונה לא (2a · 3 ≠ 0).📐 משפטאסימפטוטה אנכית – המכנה מתאפס והמונה שונה מ־0
אסימפטוטה אופקית: במונה מעלה 1 ובמכנה מעלה 4, ולכן y = 0.📐 משפטאסימפטוטה אופקית של פונקציית מנה – מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה ⇐ y = 0
✅ פתרון סופי: x = 3 , x = −3 , y = 0
(3) עלייה וירידה
נסמן u = 2ax ו־v = (x2 − 9)2. אז u′ = 2a, ולפי כלל השרשרת v′ = 2(x2 − 9) · 2x = 4x(x2 − 9).
f′(x)📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= 2a(x2 − 9)2 − 2ax · 4x(x2 − 9)(x2 − 9)4
נוציא גורם משותף 2a(x2 − 9) במונה ונצמצם:
f′(x) = 2a[(x2 − 9) − 4x2](x2 − 9)3
= 2a(−3x2 − 9)(x2 − 9)3
= −6a(x2 + 3)(x2 − 9)3
המונה −6a(x2 + 3) תמיד שלילי, כי a > 0 וגם x2 + 3 > 0.
לכן f′ אף פעם לא מתאפסת.
אין נקודות קיצון; הסימן של f′ נקבע רק לפי המכנה (x2 − 9)3:
ב־−3 < x < 3 המכנה שלילי, ולכן הנגזרת תמיד חיובית – f עולה.
ב־x < −3 וב־x > 3 המכנה חיובי, ולכן הנגזרת תמיד שלילית – f יורדת.
✅ פתרון סופי: עלייה: −3 < x < 3; ירידה: x < −3 , x > 3
(4) סקיצה
f(−x) = −f(x) – הפונקציה אי־זוגית, הגרף סימטרי ביחס לראשית ועובר בנקודה (0 , 0). משמאל ל־x = −3 הגרף מתחת לציר ויורד ל־−∞; בין −3 ל־3 הוא עולה מ־−∞ ל־+∞; מימין ל־x = 3 הוא מעל הציר ויורד מ־+∞ אל 0.
xyx = −3x = 3(0 , 0)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ב – מציאת a

ב־x = −1 יש קיצון ל־g, ולכן g′(−1) = 0:
f(−1) + 1 = 0 ⇐ f(−1) = −1
2a · (−1)((−1)2 − 9)2 = −1
−2a64 = −1 ⇐ a = 32
בדיקה: f עולה בתחום −3 < x < 3, ולכן f + 1 עובר מסימן שלילי לחיובי ב־x = −1 – יש שם באמת קיצון (מינימום).
✅ פתרון סופי: a = 32

סעיף ג – ביטוי ל־g

g′(x) = 64x(x2 − 9)2 + 1
∫64x(x2 − 9)2 dx📐 נוסחה: אינטגרל של פונקציה מורכבת (שרשרת הפוכה)∫f′(x) · [f(x)]n dx =
= [f(x)]n+1n + 1 + C
= 32 · ∫2x(x2 − 9)−2 dx
= −32(x2 − 9)
g(x) = −32(x2 − 9) + x + C
נציב את הנקודה (1 , 7):
7 = −321 − 9 + 1 + C
7 = 4 + 1 + C ⇐ C = 2
g(x) = −32(x2 − 9) + x + 2
הערה: תחום ההגדרה בנוי משלושה קטעים נפרדים, ובכל קטע הקבוע יכול להיות שונה. לכן השאלה מבקשת ביטוי אפשרי; זה שמצאנו מתאים.
✅ פתרון סופי: g(x) = −32(x2 − 9) + x + 2

סעיף ד – זיהוי הגרף

−32(x2 − 9) שואף ל־0 כש־x → ±∞, ולכן לגרף של g יש אסימפטוטה משופעת y = x + 2 – הגרף עולה ל־+∞ מימין ויורד ל־−∞ משמאל. בגרפים III ו־IV יש אסימפטוטות אופקיות, ולכן הם נפסלים.
ליד האסימפטוטות האנכיות: כש־x → 3+ ו־x → −3− המכנה x2 − 9 שואף ל־0 מהצד החיובי, ולכן g → −∞. כש־x שואף ל־±3 מתוך הקטע −3 < x < 3, g → +∞.
לכן בקטע האמצעי צורת "קערה" עם מינימום ב־x = −1 (g(−1) = 5), ומשמאל ל־x = −3 הגרף יורד ל־−∞ כשמתקרבים לאסימפטוטה. גרף I עולה ל־+∞ משמאל ל־x = −3 – לא מתאים. גרף II מתאים לכל התכונות.
xyx = −3x = 3(−1 , 5)(1 , 7)
✅ פתרון סופי: גרף II

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)x ≠ ±3
סעיף א (2)x = 3 , x = −3 , y = 0
סעיף א (3)עלייה: −3 < x < 3
ירידה: x < −3 , x > 3
סעיף א (4)סקיצה
סעיף בa = 32
סעיף גg(x) = −32(x2 − 9) + x + 2
סעיף דגרף II
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 63 – חקירת מנה עם פרמטר
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – פונקציה טריגונומטרית

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 2cos x + 1cos x, בתחום −π2 ≤ x ≤ π2.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לציר ה־x של הפונקציה f(x).

ב. קבעו אם הפונקציה f(x) היא זוגית או אי־זוגית. נמקו את קביעתכם.

ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = 2cos x + 2sin xsin(2x), בתחום −π2 ≤ x ≤ π2.

ה. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x). (2) הראו כי g(x) = 2cos x + 1cos x בעבור כל x בתחום הגדרתה.

ו. האם קיים ערך של k שבעבורו הישר y = k חותך את גרף הפונקציה g(x) ב־3 נקודות בדיוק? אם כן – מצאו אותו. אם לא – נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה ואסימפטוטות

המכנה cos x לא יכול להיות 0. בתחום הנתון cos x = 0 רק ב־x = ±π2.
תחום ההגדרה:
−π2 < x < π2
ב־x = ±π2 המכנה מתאפס והמונה 1, ולכן אלה אסימפטוטות אנכיות.📐 משפטאסימפטוטה אנכית – המכנה מתאפס והמונה שונה מ־0
x = π2 , x = −π2
✅ פתרון סופי: תחום: −π2 < x < π2; אסימפטוטות: x = ±π2

סעיף ב – זוגיות

f(−x) = 2cos(−x) + 1cos(−x)📐 נוסחה: זוגיות של coscos(−x) = cos x
= 2cos x + 1cos x = f(x)
גם התחום סימטרי סביב 0, ולכן f זוגית.
✅ פתרון סופי: f זוגית

סעיף ג – נקודות קיצון

f′(x) = −2sin x + sin xcos2x📐 נוסחה: נגזרת של מנה / שרשרת(1u)′ = −u′u2 , (cos x)′ = −sin x
f′(x) = sin x · (1cos2x − 2)
= sin x (1 − 2cos2x)cos2x
נשווה ל־0:
sin x = 0 ⇐ x = 0
1 − 2cos2x = 0 ⇐ cos2x = 12
cos x = 1√2 (בתחום cos x > 0)
⇐ x = ±π4
f(0) = 2 · 1 + 1 = 3
f(π4) = 2 · √22 + 1(√2/2)
= √2 + √2 = 2√2
טבלת סימנים ל־x > 0: בין 0 ל־π4: sin x > 0, cos2x > 12 ולכן 1 − 2cos2x < 0, f′ < 0 – יורדת. בין π4 ל־π2: 1 − 2cos2x > 0, f′ > 0 – עולה.
לכן ב־x = π4 מינימום, וב־x = 0 (מעבר מעלייה לירידה, לפי הסימטרייה) מקסימום. מהזוגיות, גם ב־x = −π4 מינימום.
✅ פתרון סופי: מינימום (±π4 , 2√2), מקסימום (0 , 3)

סעיף ד – סקיצה

גרף סימטרי ביחס לציר ה־y: עולה ל־+∞ ליד שתי האסימפטוטות (cos x → 0+), שתי נקודות מינימום ב־(±π4 , 2√2) ומקסימום ב־(0 , 3).
xyx = −π/2x = π/2(0 , 3)(π/4 , 2√2)(−π/4 , 2√2)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה – הפונקציה g

גם כאן התחום הוא −π2 ≤ x ≤ π2, והמכנה sin(2x) לא יכול להיות 0:
sin(2x) = 0 ⇐ 2x = πk ⇐ x = πk2
בתחום: x = 0 , x = ±π2
תחום ההגדרה:
−π2 < x < 0 או 0 < x < π2
2sin xsin(2x) = 2sin x2sin x cos x = 1cos x📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2sin x cos x
הצמצום מותר כי בתחום ההגדרה sin x ≠ 0. לכן g(x) = 2cos x + 1cos x בכל תחום ההגדרה של g.
✅ פתרון סופי: תחום: −π2 < x < 0 או 0 < x < π2; הוכח ש־g(x) = 2cos x + 1cos x

סעיף ו – ישר החותך ב־3 נקודות

g שווה ל־f בכל התחום, חוץ מ־x = 0 שבו g לא מוגדרת. כלומר גרף g הוא גרף f בלי הנקודה (0 , 3) ("חור").
נבדוק כמה פעמים הישר y = k חותך את גרף g:
k < 2√2: אין חיתוך. k = 2√2: שתי נקודות (המינימומים).
2√2 < k < 3: ארבע נקודות (בכל צד שתיים).
k = 3: לגרף f היו 3 נקודות, אבל הנקודה (0 , 3) חסרה בגרף g – נשארות 2.
k > 3: שתי נקודות.
לכן אין ערך של k שבעבורו יש בדיוק 3 נקודות חיתוך.
✅ פתרון סופי: לא קיים ערך כזה של k

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)−π2 < x < π2
סעיף א (2)x = ±π2
סעיף בזוגית
סעיף גמינימום (±π4 , 2√2), מקסימום (0 , 3)
סעיף דסקיצה
סעיף ה (1)−π2 < x < 0 , 0 < x < π2
סעיף ה (2)הוכחה
סעיף ולא קיים
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – פונקציה זוגית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון – חצי מעגל, מלבן וריבוע

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x) = √R2 − x2. R הוא פרמטר חיובי. הפונקציה f(x) מוגדרת בתחום −R ≤ x ≤ R.

הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה f(x) ברביע הראשון. דרך הנקודה A העבירו ישר המקביל לציר ה־x, וחותך את גרף הפונקציה f(x) בנקודה נוספת B. הנקודות C ו־D נמצאות על ציר ה־x, כך שנוצר מלבן ABCD.

הנקודה F היא נקודת החיתוך של AB עם ציר ה־y, והנקודה E היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה־y. בונים ריבוע שאורך צלעו שווה ל־EF. נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה A.

סרטוט שאלה 8 מתוך השאלון

א. הביעו באמצעות R ו־t: (1) את אורך הקטע EF. (2) את היקף המלבן ABCD.

ב. מצאו את t (הביעו באמצעות R) שבעבורו ההפרש בין היקף המלבן ABCD ובין היקף הריבוע הוא מקסימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – EF והיקף המלבן

A = (t , √R2 − t2), ו־0 < t < R. מהסימטרייה של הגרף ביחס לציר ה־y: B = (−t , √R2 − t2).
E = (0 , R) , F = (0 , √R2 − t2)
EF = R − √R2 − t2
AB = t − (−t) = 2t
AD = √R2 − t2
Pמלבן = 2 · 2t + 2√R2 − t2📐 נוסחה: היקף מלבןP = 2a + 2b
= 4t + 2√R2 − t2
✅ פתרון סופי: EF = R − √R2 − t2 , P = 4t + 2√R2 − t2

סעיף ב – הפרש היקפים מקסימלי

Pריבוע = 4(R − √R2 − t2)📐 נוסחה: היקף ריבועP = 4a
h(t) = 4t + 2√R2 − t2 − 4R
+ 4√R2 − t2
h(t) = 4t + 6√R2 − t2 − 4R
h′(t) = 4 + 6 · −2t2√R2 − t2📐 נוסחה: נגזרת של שורש(√u)′ = u′2√u
= 4 − 6t√R2 − t2
4 − 6t√R2 − t2 = 0
6t = 4√R2 − t2
3t = 2√R2 − t2
9t2 = 4(R2 − t2)
13t2 = 4R2
t = 2R√13 (t > 0)
בדיקת סוג הקיצון: כש־t → 0: h′ → 4 > 0; כש־t → R: 6t√R2 − t2 → ∞ ולכן h′ < 0. הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית – מקסימום.
xyABCDEF
✅ פתרון סופי: t = 2R√13

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א (1)EF = R − √R2 − t2
סעיף א (2)P = 4t + 2√R2 − t2
סעיף בt = 2R√13
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – בעיות קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות