בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 – חורף 2026

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה או המשפט שמשתמשים בהם – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 8 שאלות בארבעה פרקים: פרק ראשון – שאלות קצרות (שאלה 1 – ארבעה סעיפים, עונים על שניים מהם); פרק שני – אינדוקצייה, סדרות והסתברות (שאלות 2–3); פרק שלישי – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4–5); פרק רביעי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, פונקציות שורש, פונקציות רציונליות ופונקציות טריגונומטריות (שאלות 6–8). עונים על 5 שאלות: לפחות אחת מפרק ראשון או מפרק שני, לפחות אחת מפרק שלישי ולפחות אחת מפרק רביעי; 20 נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שלוש שעות ושלושה רבעים. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

השאלון שנפתר כאן: גרסה א'

📄 השאלון המלא – חורף 2026

שאלון 571 חורף 2026 – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 7
שאלון 571 חורף 2026 – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 7
שאלון 571 חורף 2026 – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 7
שאלון 571 חורף 2026 – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 7
שאלון 571 חורף 2026 – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 7
שאלון 571 חורף 2026 – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 7
שאלון 571 חורף 2026 – עמוד 7
עמוד 7 מתוך 7

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – שאלות קצרות: גאומטרייה, הסתברות, חקירת שורש וסדרה

📄 נוסח השאלה

שימו לב: בשאלה 1 עונים על שניים מן הסעיפים א–ד בלבד. כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו O ורדיוסו R.

דרך הנקודות A ו־E שעל המעגל העבירו שני משיקים המאונכים זה לזה.

המשיקים נחתכים בנקודה K.

הקטע KO חותך את המעגל בנקודה B.

מעגל שמרכזו O, שני משיקים מאונכים בנקודות A ו־E הנחתכים ב־K – הסרטוט מהשאלון

(1) מצאו פי כמה גדול שטח המשולש AOB משטח המשולש AKB.

נתון כי שטח המשולש AOB הוא 16.

(2) מצאו את אורך הגובה לצלע AK במשולש AKB.

ב. בתחרות שחמט, שני שחקנים – יאיר ונדב – מתחרים זה נגד זה.

כל משחק יכול להסתיים באחת מ־3 התוצאות האלה: ניצחון של יאיר, ניצחון של נדב או תיקו.

בכל משחק ההסתברות שיאיר ינצח היא קבועה וגדולה פי 2 מן ההסתברות שנדב ינצח.

נסמן ב־p את ההסתברות שנדב ינצח במשחק אחד.

יאיר ונדב משחקים שני משחקים.

(1) הביעו באמצעות p את ההסתברות שאחד מן השחקנים ישיג שני ניצחונות.

ידוע שאם שום שחקן לא השיג שני ניצחונות, ההסתברות שכל אחד מן המשחקים יסתיים בתיקו היא 931.

(2) קבעו איזו מן האפשרויות I–III שלפניכם מתאימה לערך של p. נמקו את קביעתכם.

I. 110 II. 1127 III. 16

ג. נתונה הפונקציה f(x) = √x2 − 1 + 2√16 − x2.

(1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) אחד מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה f(x). קבעו איזה מהם ונמקו את קביעתכם.

ארבעה גרפים I–IV – מהשאלון

ד. נתונה סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים an = cos(π · 2n)5 · 2n לכל n טבעי.

(1) מצאו את שלושת האיברים הראשונים בסדרה an.

(2) הוכיחו כי הסדרה an היא הנדסית, ומצאו את המנה שלה.

(3) מצאו את סכום הסדרה an.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – יחס השטחים

הרדיוסים OA ו־OE מאונכים למשיקים, והמשיקים מאונכים זה לזה:
∢OAK = ∢OEK = 90 , ∢AKE = 90📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
מרובע עם שלוש זוויות ישרות הוא מלבן, ויש בו שתי צלעות סמוכות שוות (OA = OE = R), ולכן OAKE הוא ריבוע שצלעו R.
האלכסון OK:
OK2 = R2 + R2 = 2R2📐 משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
OK = R√2
OB = R (רדיוס), ולכן:
BK = OK − OB = R√2 − R
= R(√2 − 1)
למשולשים AOB ו־AKB יש אותו גובה מ־A לישר OK, והבסיסים שלהם הם OB ו־BK:
📐 משולשים עם גובה משותףיחס השטחים שווה ליחס הבסיסים
SAOBSAKB = OBBK = RR(√2 − 1)
= 1√2 − 1
= √2 + 1(√2 − 1)(√2 + 1)
= √2 + 12 − 1 = √2 + 1 ≈ 2.41
בסרטוט (בקנה מידה): משולש AOB בתכלת ומשולש AKB בירוק.
OAEKB
✅ פתרון סופי: פי √2 + 1 ≈ 2.41

סעיף א (2) – הגובה לצלע AK

האלכסון בריבוע חוצה את הזווית, ולכן ∢AOB = 45 מעלות. נחשב את שטח AOB:
SAOB = 12 · R · R · sin45📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢∢ – הזווית שבין a ו־b
16 = 12 · R2 · √22
16 = √24R2
R2 = 64√2 = 32√2
R = √32√2 ≈ 6.727
לפי סעיף א(1):
SAKB = 16√2 + 1
= 16(√2 − 1) ≈ 6.627
נסמן ב־h את הגובה לצלע AK. צלע הריבוע AK = R:
SAKB = AK · h2📐 שטח משולשS = a · h2
16(√2 − 1) = 6.727 · h2
h = 32(√2 − 1)6.727
h ≈ 1.97
✅ פתרון סופי: h ≈ 1.97

סעיף ב (1) – שני ניצחונות לאחד השחקנים

בכל משחק: נדב מנצח – p, יאיר מנצח – 2p, ולכן תיקו – 1 − 3p.
המשחקים בלתי תלויים, ולכן מכפילים לאורך הענף. "אחד השחקנים ישיג שני ניצחונות" = יאיר ניצח פעמיים או נדב ניצח פעמיים:
P = 2p · 2p + p · p📐 מאורעות בלתי תלויים / זריםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)מאורעות זרים – מחברים
P = 4p2 + p2 = 5p2
✅ פתרון סופי: 5p2

סעיף ב (2) – איזה ערך מתאים ל־p

ההסתברות המותנית: "שני תיקו" בתנאי ש"אף שחקן לא השיג שני ניצחונות". המאורע "שני תיקו" כלול בתנאי:
P = (1 − 3p)21 − 5p2 = 931📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
נבדוק כל אפשרות:
I. p = 110:
(1 − 0.3)21 − 5 · 0.01 = 0.490.95
= 4995 ≠ 931
II. p = 1127: אז 3p = 3327 > 1, וההסתברות לתיקו 1 − 3p שלילית – לא ייתכן.
III. p = 16:
1 − 3 · 16 = 12 ,
1 − 5 · 136 = 3136
(12)23136 = 14 · 3631 = 931 ✓
✅ פתרון סופי: אפשרות III , p = 16

סעיף ג (1) – תחום ההגדרה

ביטוי בתוך שורש ריבועי חייב להיות אי־שלילי – בשני השורשים:
x2 − 1 ≥ 0📐 תנאי לשורש√g ⟸ g ≥ 0
⟸ x ≤ −1 , x ≥ 1
16 − x2 ≥ 0
⟸ −4 ≤ x ≤ 4
החיתוך של שני התנאים:
✅ פתרון סופי: −4 ≤ x ≤ −1 או 1 ≤ x ≤ 4

סעיף ג (2) – איזה גרף

לפי סעיף ג(1) הפונקציה אינה מוגדרת בין −1 ל־1, ולכן הגרף בנוי משני חלקים נפרדים. גרפים I ו־II עוברים באזור x = 0 – הם נפסלים.
נשאר להחליט בין III ל־IV. נחשב כמה ערכים (הפונקציה זוגית, כי x מופיע רק בריבוע, ולכן די לבדוק x חיוביים):
f(1) = √0 + 2√15 = 2√15
≈ 7.75
f(2) = √3 + 2√12
= √3 + 4√3 = 5√3 ≈ 8.66
f(4) = √15 + 2√0 = √15
≈ 3.87
מ־x = 1 הגרף עולה (7.75 ← 8.66) ואחר כך יורד עד 3.87 בקצה x = 4. כלומר בכל חלק יש נקודה גבוהה באמצע, והקצה הפנימי גבוה בהרבה מהקצה החיצוני – זו הצורה של גרף IV (בגרף III יש "שקע", צורת ∪).
הגרף בקנה מידה, מהפונקציה עצמה:
-4-2-11242468xy(2 , 5√3)2√15√15
✅ פתרון סופי: גרף IV

סעיף ד (1) – שלושת האיברים הראשונים

לכל n טבעי, 2n הוא מספר זוגי, ולכן π · 2n הוא כפולה זוגית של π – והקוסינוס שם שווה 1:
cos(π · 2n) = 1📐 מחזוריות הקוסינוסcos(2πm) = 1
an = 15 · 2n
a1 = 15 · 2 = 110
a2 = 15 · 4 = 120
a3 = 15 · 8 = 140
✅ פתרון סופי: a1 = 110 , a2 = 120 , a3 = 140

סעיף ד (2) – הסדרה הנדסית

נחשב את המנה בין איבר לאיבר שלפניו:
an+1an = 15 · 2n+115 · 2n📐 סדרה הנדסיתהמנה an+1an קבועה
= 5 · 2n5 · 2n+1 = 12
המנה קבועה (לא תלויה ב־n), ולכן הסדרה הנדסית.
✅ פתרון סופי: הנדסית, q = 12

סעיף ד (3) – סכום הסדרה

|q| = 12 < 1, ולכן הסכום מתכנס:
S = a11 − q = 1101 − 12📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q , |q| < 1
S = 110 · 2 = 15
✅ פתרון סופי: S = 15

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

א (1)פי √2 + 1 ≈ 2.41
א (2)h ≈ 1.97
ב (1)5p2
ב (2)III , p = 16
ג (1)−4 ≤ x ≤ −1 או 1 ≤ x ≤ 4
ג (2)גרף IV
ד (1)110 , 120 , 140
ד (2)הנדסית, q = 12
ד (3)S = 15
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סדרה הנדסית אין־סופית וסדרה נוספת

📄 נוסח השאלה

an היא סדרה הנדסית אין־סופית יורדת שסכומה מתכנס.

המנה של הסדרה היא q.

נסמן ב־T את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי־זוגיים בסדרה, ונסמן ב־R את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה.

נתון: T2R2 = 16.

א. מצאו את הערך של q.

נתונה סדרה bn שאיבריה מקיימים bn = 1 + qan · an+1 לכל n טבעי.

נתון: b1 = 1.

ב. מצאו את הערך של a1.

ג. הביעו את bn באמצעות n.

ד. הוכיחו באינדוקצייה או בכל דרך אחרת כי לכל n טבעי מתקיים:

b1 + b2 + … + bn = 16n − 115

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – המנה q

האיברים במקומות האי־זוגיים a1 , a3 , a5 , … הם סדרה הנדסית עם איבר ראשון a1 ומנה q2 (מדלגים כל פעם שני צעדים):
T = a11 − q2📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q , |q| < 1
האיברים במקומות הזוגיים a2 , a4 , …: איבר ראשון a2 = a1q, מנה q2:
R = a1q1 − q2📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q , |q| < 1
TR = a1a1q = 1q
T2R2 = 1q2 = 16
q2 = 116
q = 14
או
q = −14
אם q שלילי, סימני האיברים מתחלפים (חיובי, שלילי, חיובי…) והסדרה אינה יורדת. לכן:
q = 14
✅ פתרון סופי: q = 14

סעיף ב – הערך של a1

נציב n = 1. לפי סעיף א, a2 = a1q = 14a1:
b1 = 1 + qa1 · a2 = 1 + 14a1 · 14a1📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
1 = 5414a12
1 = 5a12
a12 = 5
a1 = √5
או
a1 = −√5
עם q = 14 חיובית: אם a1 שלילי, האיברים שליליים ומתקרבים ל־0 – כלומר עולים. הסדרה יורדת, ולכן a1 חיובי:
a1 = √5
✅ פתרון סופי: a1 = √5

סעיף ג – bn באמצעות n

an = √5 · (14)n−1📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
an+1 = √5 · (14)n
an · an+1 = 5 · (14)n−1+n📐 כפל חזקותam · ak = am+k
= 5 · (14)2n−1
bn = 545 · (14)2n−1
bn = 14 · 42n−1
bn = 42n−1−1 = 42n−2📐 חילוק חזקותamak = am−k
bn = (42)n−1 = 16n−1
בדיקה: n = 1: 160 = 1 = b1 ✓
✅ פתרון סופי: bn = 16n−1

סעיף ד – הוכחת הסכום

לפי סעיף ג, bn = 16n−1. זו סדרה הנדסית: איבר ראשון b1 = 1 ומנה 16, כי:
bn+1bn = 16n16n−1 = 16
נשתמש בנוסחת הסכום של n איברים ראשונים בסדרה הנדסית:
b1 + … + bn📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
= 1 · (16n − 1)16 − 1
= 16n − 115 ✓
✅ פתרון סופי: הוכח: b1 + … + bn = 16n − 115

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אq = 14
סעיף בa1 = √5
סעיף גbn = 16n−1
סעיף דהוכחה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות: מדריכים ורישיון נהיגה

📄 נוסח השאלה

בשכבה י"א של תיכון עירוני גדול חלק מן התלמידים הם מדריכים בתנועת נוער והשאר אינם מדריכים.

בשכבה זו לחלק מן התלמידים יש רישיון נהיגה ולשאר אין רישיון נהיגה.

חצי מן התלמידים שיש להם רישיון נהיגה הם מדריכים בתנועת נוער.

אחוז התלמידים המדריכים מבין התלמידים שיש להם רישיון שווה לאחוז התלמידים שאין להם רישיון מבין התלמידים המדריכים.

בוחרים באקראי תלמיד מבין תלמידי השכבה.

ההסתברות שהתלמיד שנבחר הוא מדריך או שיש לו רישיון היא 0.45.

א. מצאו כמה אחוזים מן התלמידים בשכבה זו הם מדריכים.

ב. בוחרים באקראי תלמיד מבין התלמידים שאין להם רישיון. מהי ההסתברות שתלמיד זה הוא מדריך?

בוחרים באקראי 5 תלמידים מבין התלמידים שאין להם רישיון.

ג. (1) מהי ההסתברות שנבחר יותר ממדריך אחד?

(2) ידוע שנבחר יותר ממדריך אחד. מהי ההסתברות כי מספר המדריכים שנבחרו הוא זוגי?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – אחוז המדריכים

נסמן: M – התלמיד מדריך; L – יש לו רישיון; L̄ – אין לו רישיון.
"חצי מבעלי הרישיון הם מדריכים":
P(M | L) = 12📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
"אחוז המדריכים מבין בעלי הרישיון שווה לאחוז חסרי הרישיון מבין המדריכים":
P(L̄ | M) = P(M | L) = 12
P(L | M) = 1 − 12 = 12
נסמן P(M ∩ L) = x. מן ההגדרה של הסתברות מותנית:
xP(L) = 12 ⟸ P(L) = 2x📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
xP(M) = 12 ⟸ P(M) = 2x
"מדריך או בעל רישיון" – איחוד:
P(M ∪ L) = 2x + 2x − x📐 הסתברות של איחודP(A ∪ B) =P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
= 3x
3x = 0.45
x = 0.15
P(M) = 2 · 0.15 = 0.3
✅ פתרון סופי: 30% מן התלמידים מדריכים

סעיף ב – מדריך מבין חסרי הרישיון

P(L) = 2x = 0.3
P(L̄) = 1 − 0.3 = 0.7📐 מאורע משליםP(Ā) = 1 − P(A)
P(M ∩ L̄)
= P(M) − P(M ∩ L)
= 0.3 − 0.15 = 0.15
P(M | L̄) = P(M ∩ L̄)P(L̄)📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 0.150.7
P(M | L̄) = 1570 = 314
≈ 0.214
✅ פתרון סופי: 314 ≈ 0.214

סעיף ג (1) – יותר ממדריך אחד

בוחרים 5 תלמידים מבין חסרי הרישיון (השכבה גדולה, ולכן הבחירות בלתי תלויות). כל אחד מדריך בהסתברות 314. X – מספר המדריכים שנבחרו: התפלגות ברנולי עם n = 5, p = 314.
"יותר ממדריך אחד" = כל המקרים חוץ מ־0 או 1 מדריכים:
P(X > 1) = 1 − P(X📐 מאורע משליםP(Ā) = 1 − P(A)
= 0) − P(X = 1)
P(X = 0) = (1114)5📐 נוסחת ברנוליP(X = k) =(nk) · pk · (1 − p)n − k
≈ 0.29945
P(X = 1) = 5 · 314 · (1114)4📐 נוסחת ברנוליP(X = k) =(nk) · pk · (1 − p)n − k
≈ 0.40834
P(X > 1)
≈ 1 − 0.29945 − 0.40834
P(X > 1) ≈ 0.2922
✅ פתרון סופי: ≈ 0.292

סעיף ג (2) – מספר זוגי של מדריכים

ידוע ש־X > 1, כלומר X הוא 2, 3, 4 או 5. מספר זוגי מבין אלה: 2 או 4.
P(X = 2)📐 נוסחת ברנוליP(X = k) =(nk) · pk · (1 − p)n − k
= 10 · (314)2 · (1114)3
≈ 0.22273
P(X = 4) = 5 · (314)4 · 1114📐 נוסחת ברנוליP(X = k) =(nk) · pk · (1 − p)n − k
≈ 0.00828
P(X = 2 , 4 | X > 1)📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= P(X = 2) + P(X = 4)P(X > 1)
= 0.22273 + 0.008280.29221
= 0.231010.29221 ≈ 0.791
✅ פתרון סופי: ≈ 0.791

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א30%
סעיף ב314 ≈ 0.214
סעיף ג (1)≈ 0.292
סעיף ג (2)≈ 0.791
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 43 – בגרות חורף 2026 (הסתברות)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גאומטרייה: מעגל, קוטר ומרובע בר חסימה

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם משולש קהה זווית ABC החסום במעגל.

הנקודה K נמצאת על המשך הצלע AB כך ש־AB = BK.

המשך הקטע KC חותך את המעגל בנקודה נוספת, בנקודה F.

נתון: ∢BAC = ∢BCA.

משולש ABC חסום במעגל, K על המשך AB, F על המשך KC – הסרטוט מהשאלון

א. הוכיחו כי AF הוא קוטר במעגל.

המיתרים BF ו־AC נחתכים בנקודה D.

ב. הוכיחו כי המשולש ADK הוא שווה שוקיים.

ג. (1) הוכיחו כי המרובע BDCK הוא בר חסימה במעגל.

(2) הוכיחו כי ∢DKC = ∢FAC.

ד. הוכיחו כי AC · AD = KC · AF.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – AF קוטר

נסמן ∢BAC = ∢BCA = x.
במשולש ABC: ∢BAC = ∢BCA, ולכן BA = BC.📐 משולש שווה שוקייםמול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
נתון AB = BK, ולכן BC = BK.
במשולש BCK: BC = BK, ולכן ∢BCK = ∢BKC. נסמן אותן y.📐 משולש שווה שוקייםמול צלעות שוות מונחות זוויות שוות
במשולש AKC: הזווית ב־A היא x, הזווית ב־K היא y, והזווית ב־C היא ∢ACK = ∢ACB + ∢BCK = x + y:
x + y + (x + y) = 180📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות
2x + 2y = 180
x + y = 90
∢ACK = 90
F על המשך KC, ולכן ∢ACF = 180 − 90 = 90.📐 זוויות צמודותסכומן 180 מעלות
∢ACF היא זווית היקפית של 90 מעלות הנשענת על AF, ולכן AF קוטר.📐 זווית היקפיתזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר
ABCKFD
✅ פתרון סופי: ∢ACF = 90 ולכן AF קוטר

סעיף ב – ADK שווה שוקיים

AF קוטר (סעיף א), ולכן הזווית ההיקפית ∢ABF = 90.📐 זווית היקפיתזווית היקפית הנשענת על קוטר היא 90 מעלות
D על BF, ולכן DB ⊥ AK: ∢ABD = ∢KBD = 90.
נשווה את המשולשים ABD ו־KBD:
• AB = KB (נתון)
• ∢ABD = ∢KBD = 90
• BD צלע משותפת
לכן △ABD ≅ △KBD, ומכאן AD = KD.📐 חפיפת משולשיםצלע, זווית, צלע (צ.ז.צ)
למשולש ADK שתי צלעות שוות, ולכן הוא שווה שוקיים.
✅ פתרון סופי: AD = KD – המשולש ADK שווה שוקיים

סעיף ג (1) – BDCK בר חסימה

מסעיף ב: ∢DBK = 90.
מסעיף א: ∢ACK = 90, ו־D על AC, ולכן ∢DCK = 90.
במרובע BDCK הזוויות ∢DBK ו־∢DCK נגדיות:
∢DBK + ∢DCK = 90 + 90📐 מרובע בר חסימהאם סכום זוויות נגדיות 180 מעלות – המרובע בר חסימה
= 180
✅ פתרון סופי: BDCK בר חסימה

סעיף ג (2) – ∢DKC = ∢FAC

במעגל החוסם את BDCK: הזוויות ∢DKC ו־∢DBC נשענות על הקשת DC, ולכן ∢DKC = ∢DBC.📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
D על BF, ולכן ∢DBC = ∢FBC.
במעגל המקורי: הזוויות ∢FBC ו־∢FAC נשענות על הקשת FC, ולכן ∢FBC = ∢FAC.📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
∢DKC = ∢DBC = ∢FBC = ∢FAC
✅ פתרון סופי: ∢DKC = ∢FAC

סעיף ד – AC · AD = KC · AF

נשווה את המשולשים DCK (בתכלת) ו־FCA (בירוק):
• ∢DCK = ∢FCA = 90 (סעיף א)
• ∢DKC = ∢FAC (סעיף ג(2))
לכן △DCK ∼ △FCA.📐 דמיון משולשיםזווית, זווית (ז.ז)
מהדמיון – יחס הצלעות המתאימות (מול הזוויות השוות):
KCAC = DKFA
KC · AF = AC · DK
מסעיף ב, DK = AD:
KC · AF = AC · AD
✅ פתרון סופי: AC · AD = KC · AF

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אהוכחה
סעיף בהוכחה
סעיף גהוכחות
סעיף דהוכחה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – טריגונומטרייה: דלתון ומעגלים חוסמים

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD (AB = AD , CB = CD).

נתון: ∢BAD = ∢CDB = 2t , 0 < t < 45 (במעלות; בשאלון הזווית מסומנת באות אחרת).

נסמן: AB = k.

דלתון ABCD והנקודה E – הסרטוט מהשאלון

א. הביעו באמצעות k ו־t את רדיוס המעגל החוסם את המשולש CDB.

נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABD גדול פי 43 מרדיוס המעגל החוסם את המשולש CDB.

ב. מצאו את גודל הזווית BAD.

הנקודה O היא מרכז המעגל החוסם את המשולש ABD.

דרך הנקודה A העבירו ישר המקביל ל־BD וחותך את המשך הצלע CD בנקודה E.

נתון כי שטח המשולש AOE הוא 70.

ג. מצאו את הערך של k.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – רדיוס המעגל החוסם את CDB

האלכסון BD. במשולש שווה השוקיים ABD (AB = AD = k) נוריד גובה מ־A לבסיס BD. בדלתון הגובה הזה הוא האלכסון AC; הוא חוצה את זווית הראש ואת הבסיס: הזווית ליד A היא t, וחצי הבסיס מול זווית זו.
BD2 = k · sin t📐 סינוס במשולש ישר זוויתsin∢ = aca – ניצב מול הזווית, c – היתר
BD = 2k sin t
הזווית BCD. במשולש CDB (CB = CD) זוויות הבסיס שוות: ∢CDB = ∢CBD = 2t:
∢BCD = 180 − 2t − 2t📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות
= 180 − 4t
משפט הסינוסים במשולש CDB (הצלע BD מול הזווית C):
BDsin(180 − 4t) = 2RCDB📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = 2R
2k sin tsin 4t = 2RCDB📐 זוויות משלימותsin(180 − x) = sin x
RCDB = k sin tsin 4t
✅ פתרון סופי: R = k sin tsin 4t

סעיף ב – הזווית BAD

רדיוס המעגל החוסם את ABD – משפט הסינוסים (BD מול הזווית A = 2t):
2k sin tsin 2t = 2RABD📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = 2R
RABD = k sin tsin 2t📐 סינוס של זווית כפולהsin 2t = 2 sin t · cos t
= k sin t2 sin t cos t = k2cos t
לפי הנתון:
RABD = 43 · RCDB
k sin tsin 2t = 43 · k sin tsin 4t
נחלק ב־k sin t (חיובי) ונהפוך:
sin 4tsin 2t = 43
2 sin 2t cos 2tsin 2t = 43📐 סינוס של זווית כפולהsin 4t = 2 sin 2t · cos 2t
2cos 2t = 43
cos 2t = 23
0 < 2t < 90, ולכן:
2t ≈ 48.19
∢BAD = 2t ≈ 48.19
✅ פתרון סופי: ∢BAD ≈ 48.19 מעלות

סעיף ג – הערך של k

הקטע AO. O הוא מרכז המעגל החוסם את ABD, ולכן AO = RABD = k2cos t. המרכז נמצא על האנך האמצעי של BD, כלומר על האלכסון AC.
הזווית OAE. AC ⊥ BD (אלכסוני דלתון מאונכים), ו־AE ∥ BD, ולכן AE ⊥ AC: ∢OAE = 90.
המשולש ADE. ∢DAC = t (האלכסון חוצה את ∢BAD), ולכן:
∢DAE = 90 − t
AE ∥ BD והישר CE חותך אותם, ולכן זוויות מתאימות שוות:
∢AED = ∢CDB = 2t📐 זוויות מתאימותבין ישרים מקבילים זוויות מתאימות שוות
∢ADE📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות
= 180 − (90 − t) − 2t
= 90 − t
משפט הסינוסים במשולש ADE (AE מול ∢ADE, ו־AD = k מול ∢AED):
AEsin(90 − t) = ksin 2t📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = 2R
AE = k cos t2 sin t cos t📐 סינוס של זווית כפולהsin 2t = 2 sin t · cos t
= k2 sin t
השטח (משולש ישר זווית, הניצבים AO ו־AE):
SAOE = AO · AE2📐 שטח משולשS = a · h2
= 12 · k2cos t · k2 sin t
SAOE = k28 sin t cos t
= k24 sin 2t
מ־cos 2t = 23:
sin 2t = √1 − 49 = √53📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
SAOE = k24 · √53 = 3k24√5
3k24√5 = 70
k2 = 280√53 ≈ 208.70
k ≈ 14.45
בסרטוט (בקנה מידה): המשולש AOE בתכלת והמעגל החוסם את ABD בירוק מקווקו.
ABCDOE
✅ פתרון סופי: k ≈ 14.45

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אR = k sin tsin 4t
סעיף ב∢BAD ≈ 48.19 מעלות
סעיף גk ≈ 14.45
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – טריגונומטריה עם מעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציית שורש, ריבוע הפונקציה ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = √5x2 − kxx3, k הוא פרמטר חיובי.

א. הביעו באמצעות k את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה h(x) = −f(x).

שיעור ה־x של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם גרף הפונקציה h(x) הוא 1.6.

ב. מצאו את הערך של k.

הציבו k = 8 בפונקציה f(x), וענו על הסעיפים ג–ו.

ג. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x).

(2) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

(3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = (f(x))2 שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

a הוא פרמטר גדול מ־2.

ה. האם ערך הביטוי ∫a + 1a g(x) dx שווה, גדול או קטן בהשוואה לערך הביטוי ∫a + 1a f(x) dx? נמקו את תשובתכם.

ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = 2 ו־x = 6.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום ההגדרה

שני תנאים: הביטוי בשורש אי־שלילי, והמכנה שונה מ־0.
5x2 − kx ≥ 0📐 תנאי לשורש√g ⟸ g ≥ 0
x(5x − k) ≥ 0
שורשי הביטוי: x = 0 ו־x = k5 (k > 0). זו פרבולה "מחייכת", ולכן היא אי־שלילית מחוץ לשורשים:
x ≤ 0
או
x ≥ k5
בנוסף x3 ≠ 0, כלומר x ≠ 0:
✅ פתרון סופי: x < 0 או x ≥ k5

סעיף ב – הערך של k

בנקודת החיתוך f(x) = h(x) = −f(x):
f(x) = −f(x)
2f(x) = 0
f(x) = 0
שבר שווה 0 כשהמונה 0:
√5x2 − kx = 0
x(5x − k) = 0
x = 0 לא בתחום, ולכן x = k5. נתון שזה 1.6:
k5 = 1.6
k = 8
✅ פתרון סופי: k = 8

סעיף ג (1) – האסימפטוטות

עם k = 8: f(x) = √5x2 − 8xx3, התחום x < 0 או x ≥ 1.6.
אנכית: המכנה מתאפס ב־x = 0. מתקרבים אליה רק משמאל. גם המונה מתאפס שם, אבל לאט יותר. נבדוק בהצבה:
f(−0.01) = √0.0005 + 0.08−0.000001
≈ −283,700
הערכים שואפים ל־−∞, ולכן x = 0 אסימפטוטה אנכית.
אופקית: כש־x → ±∞, המונה גדל בערך כמו √5 · |x| (חזקה ראשונה) והמכנה כמו x3, ולכן השבר שואף ל־0:
f(x) → 0
y = 0
✅ פתרון סופי: x = 0 , y = 0

סעיף ג (2) – נקודות הקיצון

נגזור בכלל המנה, ואת המונה בכלל נגזרת של שורש:
f′(x)📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2📐 נגזרת של שורש(√g)′ = g′2√g
= 10x − 82√5x2 − 8x · x3 − √5x2 − 8x · 3x2x6
נכפול את המונה והמכנה ב־2√5x2 − 8x:
f′(x)
= (10x − 8)x3 − 6x2(5x2 − 8x)2x6√5x2 − 8x
נפתח את המונה:
10x4 − 8x3 − 30x4 + 48x3
= −20x4 + 40x3
= −20x3(x − 2)
f′(x) = −20x3(x − 2)2x6√5x2 − 8x
= −10(x − 2)x3√5x2 − 8x
f′(x) = 0 כאשר x = 2 (בתחום). השורש במכנה חיובי, ולכן הסימן נקבע לפי −10(x − 2) ו־x3:
xx < 01.61.6 < x < 22x > 2
f′(x)−+0−
f(x)↘קצה↗מקסימום↘
f(2) = √20 − 168 = 28 = 14
בקצה התחום x = 1.6: f(1.6) = 0, ומיד אחריו הפונקציה עולה – זו נקודת קיצון קצה (מינימום).
בתחום x < 0 הפונקציה יורדת כל הזמן – אין שם קיצון.
✅ פתרון סופי: מקסימום (2 , 14) ; מינימום (קצה) (1.6 , 0)

סעיף ג (3) – סקיצה של f

משמאל ל־0: x3 < 0, ולכן f < 0. הגרף יורד מ־y = 0 (אסימפטוטה כש־x → −∞) אל −∞ ליד x = 0.
מימין: מתחיל ב־(1.6 , 0), עולה עד המקסימום (2 , 14), ויורד ומתקרב ל־y = 0 מלמעלה.
הגרף בקנה מידה (בציר y הוגדלה הסקלה ליד 0 כדי לראות את המקסימום הקטן):
-4-2246-2-1¼xy(2 , ¼)1.6
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ד – סקיצה של g

g(x) = (f(x))2 תמיד אי־שלילית. היא מתאפסת היכן ש־f מתאפסת (x = 1.6).
בתחום x < 0: f שלילית ויורדת אל −∞, ולכן הריבוע חיובי ועולה אל +∞ ליד x = 0; ומשמאל שואף ל־0.
בתחום x ≥ 1.6: f חיובית, ולכן g עולה ויורדת יחד איתה: מינימום (1.6 , 0), מקסימום (2 , 116), ושואפת ל־0.
אותן אסימפטוטות: x = 0 ו־y = 0. הגרף בקנה מידה:
-4-22460.51xy(2 , 1/16)
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ה – השוואת האינטגרלים

a > 2, ולכן כל התחום a ≤ x ≤ a + 1 נמצא מימין ל־2.
שם, לפי סעיף ג, f חיובית וקטנה מן המקסימום 14:
0 < f(x) < 14 < 1
מספר חיובי שקטן מ־1 קטן יותר כשמעלים אותו בריבוע:
g(x) = (f(x))2 < f(x)
כלומר בכל התחום הגרף של g מתחת לגרף של f, ושניהם מעל ציר ה־x – לכן השטח מתחת ל־g קטן יותר:
∫a + 1a g(x) dx < ∫a + 1a f(x) dx
✅ פתרון סופי: קטן

סעיף ו – השטח

בין 2 ל־6 הפונקציה g חיובית (מעל ציר ה־x). נפשט:
g(x) = 5x2 − 8xx6 = 5x4 − 8x5
= 5x−4 − 8x−5
S = ∫62 (5x−4 − 8x−5) dx📐 שטח מעל ציר ה־xS = ∫ba g(x) dx
= [ 5x−3−3 − 8x−4−4 ]62📐 אינטגרל של חזקה∫ xn dx = xn+1n + 1 + C
= [ −53x3 + 2x4 ]62
ב־x = 6:
−5648 + 21296
= −101296 + 21296 = −1162
ב־x = 2:
−524 + 216 = −524 + 324 = −112
S = −1162 − (−112)
S = 112 − 1162 = 27324 − 2324
S = 25324 ≈ 0.077
✅ פתרון סופי: S = 25324 ≈ 0.077

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף אx < 0 או x ≥ k5
סעיף בk = 8
סעיף ג (1)x = 0 , y = 0
סעיף ג (2)מקס׳ (2 , 14)
מינ׳ קצה (1.6 , 0)
סעיף הקטן
סעיף ו25324 ≈ 0.077
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ונקודות קיצון בחקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת שורש 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציה טריגונומטרית

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = (sin x)2 + cos x − 1, המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π.

א. הוכיחו כי הפונקציה f(x) היא זוגית.

ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.

(2) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = 1f(x) + b, b הוא פרמטר.

נתון כי לפונקציה g(x) יש בדיוק שתי אסימפטוטות אנכיות.

ד. כתבו שני ערכים אפשריים של b, שאחד מהם חיובי והאחר שלילי.

הציבו בפונקציה g(x) את הערך השלילי של b שמצאתם, וענו על הסעיפים ה–ו.

ה. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).

(2) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגן.

ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – הפונקציה זוגית

התחום −π ≤ x ≤ π סימטרי סביב 0. נציב −x:
f(−x)📐 זוגיות ואי־זוגיותsin(−x) = −sin xcos(−x) = cos x
= (sin(−x))2 + cos(−x)
− 1
= (−sin x)2 + cos x − 1
= (sin x)2 + cos x − 1
= f(x)
📐 פונקציה זוגיתf(−x) = f(x) לכל x בתחום
✅ פתרון סופי: f(−x) = f(x) – הפונקציה זוגית

סעיף ב (1) – חיתוך עם ציר ה־x

נחליף (sin x)2 בעזרת הזהות היסודית:
f(x)📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
= 1 − cos2x + cos x − 1
f(x) = cos x − cos2x
= cos x(1 − cos x)
cos x(1 − cos x) = 0
cos x = 0 ⟸ x = ±π2
cos x = 1 ⟸ x = 0
(בתחום −π ≤ x ≤ π אלה כל הפתרונות.)
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (−π2 , 0) , (π2 , 0)

סעיף ב (2) – נקודות הקיצון

f′(x)📐 נגזרת של חזקה של פונקציה[(g(x))2]′ = 2g(x) · g′(x)📐 נגזרות(sin x)′ = cos x(cos x)′ = −sin x
= 2 sin x · cos x − sin x
f′(x) = sin x(2cos x − 1)
sin x = 0 ⟸ x
= −π , 0 , π
2cos x − 1 = 0 ⟸ cos x
= 12 ⟸ x = ±π3
הפונקציה זוגית, ולכן מספיק לבדוק 0 ≤ x ≤ π (ואז לשקף):
x00 < x < π3π3π3 < x < ππ
sin x0+++0
2cos x − 1++0−
f′(x)0+0−0
f(x)מינימום↗מקסימום↘קצה
שיעורי y:
f(0) = 0 + 1 − 1 = 0
f(π3) = (√32)2 + 12 − 1
= 34 − 12 = 14
f(π) = 0 + (−1) − 1 = −2
בקצה x = π הפונקציה מגיעה בירידה, ולכן זה מינימום קצה. לפי הזוגיות – אותו דבר ב־−π3 וב־−π.
✅ פתרון סופי: מינימום (0 , 0) ; מקסימום (±π3 , 14) ; מינימום (קצה) (±π , −2)

סעיף ג – סקיצה של f

מ־(−π , −2) עולה עד (−π3 , 14), יורדת עד (0 , 0), עולה עד (π3 , 14) ויורדת עד (π , −2). חותכת את ציר ה־x ב־±π2 ונוגעת בו ב־0. הגרף בקנה מידה:
-π-π/2π/2π-2-1¼xy
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ד – ערכים של b

אסימפטוטה אנכית של g היא נקודה שבה המכנה מתאפס:
f(x) + b = 0 ⟸ f(x)
= −b
צריך שהישר האופקי y = −b יחתוך את הגרף של f (סעיף ג) בדיוק בשתי נקודות. לפי הסקיצה:
• −b = 14: הישר נוגע בשתי נקודות המקסימום – שתי נקודות. כלומר b = −14 (שלילי).
• −2 ≤ −b < 0: הישר חותך כל "צד" של הגרף פעם אחת – שתי נקודות. כלומר 0 < b ≤ 2 (חיובי), למשל b = 1.
• 0 < −b < 14: ארבע נקודות; −b = 0: שלוש נקודות – לא מתאים.
✅ פתרון סופי: שלילי: b = −14 ; חיובי: למשל b = 1 (כל 0 < b ≤ 2)

סעיף ה (1) – תחום ההגדרה של g

עם b = −14: g(x) = 1f(x) − 14. המכנה מתאפס כש־f(x) = 14, כלומר בנקודות המקסימום:
x ≠ ±π3
✅ פתרון סופי: −π ≤ x < −π3 , −π3 < x < π3 , π3 < x ≤ π

סעיף ה (2) – נקודות הקיצון של g

קוראים מהסקיצה של f (סעיף ג). נסמן את המכנה:
u(x) = f(x) − 14📐 הזזה אנכיתf(x) − c : הגרף זז c יחידות למטה
הגרף של u הוא הגרף של f מוזז ב־14 למטה: המקסימום 14 הופך ל־0, ולכן u ≤ 0, ו־u = 0 רק ב־x = ±π3 (שם g לא מוגדרת).
ל־g = 1u: כש־u עולה – g יורדת, וכש־u יורדת – g עולה.📐 הפונקציה 1 חלקי uבתחום שבו u לא מחליפה סימן: עלייה וירידה מתחלפות, ומינימום של u הופך למקסימום של 1u
בתחום 0 ≤ x ≤ π (ואחר כך לפי הזוגיות):
• 0 < x < π3: f עולה, ולכן g יורדת (אל −∞).
• π3 < x < π: f יורדת, ולכן g עולה (מ־−∞) עד הקצה.
ב־x = 0 יש ל־f מינימום, ולכן ל־g מקסימום:
g(0) = 10 − 14 = −4
ב־x = π g מגיעה בעלייה לקצה – מקסימום קצה:
g(π) = 1−2 − 14 = −49
לפי הזוגיות, גם (−π , −49) מקסימום קצה.
✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , −4) ; מקסימום (קצה) (±π , −49)

סעיף ו – סקיצה של g

הגרף כולו מתחת לציר ה־x (כי f(x) − 14 ≤ 0). אסימפטוטות אנכיות x = ±π3, שם g → −∞.
מ־(−π , −49) יורדת אל −∞; בין ±π3 עולה מ־−∞ עד (0 , −4) ויורדת שוב; מימין עולה מ־−∞ עד (π , −49). הגרף בקנה מידה:
-π-π/2π/2π-8-4xy(0 , −4)
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף ב (1)(0 , 0) , (±π2 , 0)
סעיף ב (2)מקס׳ (±π3 , 14)
מינ׳ (0 , 0)
מינ׳ קצה (±π , −2)
סעיף דb = −14 ; 0 < b ≤ 2
סעיף ה (1)x ≠ ±π3
סעיף ה (2)מקס׳ (0 , −4)
מקס׳ קצה (±π , −49)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – נקודת פיתול ובעיית קיצון עם פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = kx3 − 3x2 + 8kx, המוגדרת לכל x.

k הוא פרמטר שונה מ־0.

הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקציה f(x).

א. הביעו באמצעות k את שיעורי הנקודה A.

נתון כי הנקודה A נמצאת ברביע הראשון.

ב. מצאו את תחום הערכים האפשרי של k.

דרך הנקודה A העבירו אנך לציר ה־x החותך אותו בנקודה B, ואנך לציר ה־y החותך אותו בנקודה C.

נתון ריבוע I שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע AB, וריבוע II שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע AC.

ג. מצאו את הערך של k שבעבורו סכום שטחי הריבועים I ו־II הוא מינימלי (תוכלו להשאיר שורש בתשובתכם).

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – נקודת הפיתול A

f′(x) = 3kx2 − 6x + 8k
f″(x) = 6kx − 6
6kx − 6 = 0📐 נקודת פיתולf″(x) = 0 ו־f″ מחליפה סימן
x = 1k
f″ היא פונקציה קווית (k ≠ 0), ולכן מחליפה סימן ב־x = 1k – זו נקודת פיתול.
f(1k)
= k · 1k3 − 3 · 1k2
+ 8k · 1k
= 1k2 − 3k2 + 8 = 8 − 2k2
✅ פתרון סופי: A(1k , 8 − 2k2)

סעיף ב – תחום הערכים של k

ברביע הראשון שני השיעורים חיוביים:
1k > 0 ⟸ k > 0
8 − 2k2 > 0
נכפול ב־k2 > 0:
8k2 − 2 > 0
k2 > 14
k > 12
או
k < −12
יחד עם k > 0:
✅ פתרון סופי: k > 12

סעיף ג – סכום שטחי הריבועים מינימלי

B מתחת ל־A על ציר ה־x, ו־C משמאל ל־A על ציר ה־y. לכן:
AB = 8 − 2k2 , AC = 1k
סכום השטחים (פונקציה של k, בתחום k > 12):
S(k) = (8 − 2k−2)2 + k−2
S′(k)📐 נגזרת של חזקה של פונקציה[(g)2]′ = 2g · g′📐 נגזרת של חזקה(xn)′ = nxn−1
= 2(8 − 2k−2) · 4k−3 − 2k−3
S′(k)
= k−3[8(8 − 2k−2) − 2]
S′(k) = k−3(62 − 16k−2)
k−3 > 0, ולכן:
62 − 16k2 = 0
k2 = 1662 = 831
k = √831 ≈ 0.508
0.508 > 0.5 – בתחום. בדיקת סוג: עבור k קטן יותר (למשל 0.505) 16k2 > 62 ו־S′ < 0; עבור k גדול יותר (למשל 1) S′ = 62 − 16 > 0. יורדת ואחר כך עולה – מינימום.
הגרף בקנה מידה עבור הערך שנמצא:
123412xyABC
✅ פתרון סופי: k = √831 ≈ 0.508

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אA(1k , 8 − 2k2)
סעיף בk > 12
סעיף גk = √831 ≈ 0.508
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 571 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות