בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · תוכנית חדשה
פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 – קיץ 2026 מועד א'
פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.
בשאלון 8 שאלות בארבעה פרקים: פרק ראשון – שאלות קצרות (שאלה 1, עונים בה על שניים מן הסעיפים א–ד); פרק שני – אינדוקציה, סדרות והסתברות (שאלות 2–3); פרק שלישי – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4–5); פרק רביעי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות (שאלות 6–8). עונים על 5 שאלות: לפחות שאלה אחת מן הפרק הראשון או השני, ולפחות שאלה אחת מכל אחד מן הפרקים השלישי והרביעי. 20 נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שלוש שעות וארבעים וחמש דקות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.
השאלון שנפתר כאן: גרסה א'
📄 השאלון המלא – קיץ 2026 מועד א'
⬅️ החליקו לעמוד הבא
⬇️ להורדת השאלון המלא🧭 תוכן העניינים
- פרק ראשון – שאלות קצרות
- שאלה 1 – שאלות קצרות: אינדוקציה, הסתברות, הפונקציה 1 חלקי f בריבוע, פונקציה קדומה
- פרק שני – אינדוקציה, סדרות והסתברות
- שאלה 2 – סדרות הנדסיות: מכפלת שתי סדרות וסכום אין־סופי
- שאלה 3 – הסתברות: שני שקים, הוצאה עם החזרה וברנולי
- פרק שלישי – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור
- שאלה 4 – גאומטרייה: מעגל, קוטר ודלתון
- שאלה 5 – טריגונומטריה: טרפז, משולש שווה שוקיים ומעגל חסום
- פרק רביעי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
- שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר ושטח
- שאלה 7 – חקירת פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר
- שאלה 8 – חקירת פונקציית שורש ובעיית קיצון
שאלה 1 – שאלות קצרות: אינדוקציה, הסתברות, הפונקציה 1 חלקי f בריבוע, פונקציה קדומה
📄 נוסח השאלה
בשאלה זו ענו על שניים מן הסעיפים א–ד (לכל סעיף 10 נקודות). בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.
א. הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:
121 · 3 + 223 · 5 + … +
+ n2(2n − 1)(2n + 1) = n(n + 1)2(2n + 1)
+ n2(2n − 1)(2n + 1) = n(n + 1)2(2n + 1)
ב. בספרייה 60% מן הספרים הם ספרי קומיקס, ו־70% מן הספרים הם ספרים בעברית. לפניכם שתי טענות. קבעו עבור כל אחת מהן אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעתכם.
I. בספרייה אין ספרי קומיקס בעברית.
II. ההסתברות לבחור באקראי ספר בעברית מבין ספרי הקומיקס גדולה מן ההסתברות לבחור באקראי ספר קומיקס מבין הספרים בעברית.
ג. הפונקציה f(x) מוגדרת לכל x. בסרטוט שלפניכם מוצג הגרף של f(x). ידוע כי לגרף הפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אחת, והיא y = 0; לגרף יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה־x, והיא (12 , 0); הנקודות (6 , a) ו־(18 , −2a) הן נקודות הקיצון של הפונקציה, a > 1.
נתונה הפונקציה g(x) = 1f2(x).
(1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).
(2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
(3) ידוע כי הישר y = a27 חותך את גרף הפונקציה g(x) בשלוש נקודות בדיוק. מצאו את a.
ד. נתונה הפונקציה f(x) = −30x2(x3 − 8)2. בסרטוט שלפניכם מוצג הגרף של f(x).
g(x) היא פונקציה שהנגזרת שלה היא f(x). ידוע כי g(0) = 0.75.
(1) מצאו את הפונקציה g(x).
(2) איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם הוא הגרף של g(x)? נמקו את קביעתכם.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א – הוכחה באינדוקציה
מוכיחים באינדוקציה בשלושה שלבים: בדיקה עבור n = 1, הנחה עבור n = k, והוכחה עבור n = k + 1.
שלב 1 – בדיקה עבור n = 1. בצד שמאל יש רק את האיבר הראשון:📐 שיטהשיטה: הוכחה באינדוקציה – בודקים עבור n = 1, מניחים עבור n = k, מוכיחים עבור n = k + 1
אגף שמאל: 121 · 3 = 13
אגף ימין: 1 · (1 + 1)2 · (2 · 1 + 1) = 26 = 13
שני האגפים שווים, ולכן הטענה נכונה עבור n = 1.
שלב 2 – הנחת האינדוקציה. נניח שהטענה נכונה עבור n = k:
121 · 3 + 223 · 5 + …
+ k2(2k − 1)(2k + 1) = k(k + 1)2(2k + 1)
שלב 3 – נוכיח עבור n = k + 1. צריך להוכיח:
121 · 3 + … + k2(2k − 1)(2k + 1)
+ (k + 1)2(2k + 1)(2k + 3) = (k + 1)(k + 2)2(2k + 3)
האיבר האחרון מתקבל מהצבת k + 1 במקום n: 2(k + 1) − 1 = 2k + 1 וגם 2(k + 1) + 1 = 2k + 3.
לפי הנחת האינדוקציה, סכום k האיברים הראשונים שווה ל־k(k + 1)2(2k + 1). נציב באגף שמאל:
אגף שמאל
= k(k + 1)2(2k + 1) + (k + 1)2(2k + 1)(2k + 3)
מכנה משותף: 2(2k + 1)(2k + 3)
= k(k + 1)(2k + 3) + 2(k + 1)22(2k + 1)(2k + 3)
מוציאים גורם משותף (k + 1) מהמונה:
= (k + 1)[k(2k + 3) + 2(k + 1)]2(2k + 1)(2k + 3)
= (k + 1)(2k2 + 3k + 2k + 2)2(2k + 1)(2k + 3)
= (k + 1)(2k2 + 5k + 2)2(2k + 1)(2k + 3)
נפרק את הטרינום 2k2 + 5k + 2. נמצא את השורשים של 2k2 + 5k + 2 = 0:
k1,2 = −5 ± √25 − 4 · 2 · 22 · 2📐 נוסחה: שורשי משוואה ריבועיתx1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
= −5 ± 34
k1 = −24 = −12 , k2 = −84 = −2
2k2 + 5k + 2 = 2(k + 12)(k + 2)📐 נוסחה: פירוק טרינוםax2 + bx + c == a(x − x1)(x − x2)
= (2k + 1)(k + 2)
אגף שמאל = (k + 1)(2k + 1)(k + 2)2(2k + 1)(2k + 3)
מצמצמים ב־(2k + 1):
= (k + 1)(k + 2)2(2k + 3) = אגף ימין
קיבלנו בדיוק את הטענה עבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הטענה הוכחה לכל n טבעי.
סעיף ב – שתי טענות על ספרי הספרייה
נסמן: K – הספר הוא ספר קומיקס, H – הספר הוא בעברית. נתון:
P(K) = 0.6
P(H) = 0.7
טענה I. נמצא כמה ספרים לפחות הם גם קומיקס וגם בעברית.
P(K ∪ H) = 0.6 + 0.7 − P(K ∩ H)📐 נוסחה: הסתברות של איחודP(A ∪ B) == P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
נבודד את החיתוך:
P(K ∩ H) = 0.6 + 0.7 − P(K ∪ H)
P(K ∩ H) = 1.3 − P(K ∪ H)
הסתברות של כל מאורע היא לכל היותר 1, ולכן P(K ∪ H) ≤ 1:
P(K ∩ H) ≥ 1.3 − 1
P(K ∩ H) ≥ 0.3
כלומר לפחות 30% מן הספרים בספרייה הם ספרי קומיקס בעברית. לכן הטענה "אין ספרי קומיקס בעברית" לא נכונה.
טענה II. "בחירת ספר בעברית מבין ספרי הקומיקס" היא הסתברות מותנה:
P(H | K) = P(H ∩ K)P(K) = P(H ∩ K)0.6📐 נוסחה: הסתברות מותנהP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
P(K | H) = P(K ∩ H)P(H) = P(K ∩ H)0.7📐 נוסחה: הסתברות מותנהP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
בשני השברים המונה זהה (אותו חיתוך), והוא חיובי – לפי טענה I הוא לפחות 0.3.
כשהמונה זהה וחיובי, השבר עם המכנה הקטן יותר גדול יותר. המכנה 0.6 קטן מ־0.7, ולכן:
P(H | K) > P(K | H)
לכן הטענה נכונה.
✅ פתרון סופי: טענה I – לא נכונה (לפחות 30% מהספרים הם קומיקס בעברית); טענה II – נכונה.
סעיף ג – הפונקציה g(x) = 1f2(x)
(1) תחום ההגדרה
הפונקציה g(x) = 1f2(x) היא שבר, ולכן היא מוגדרת רק כשהמכנה שונה מאפס:
f2(x) ≠ 0
f(x) ≠ 0
הפונקציה f(x) מוגדרת לכל x, ולפי הנתון היא מתאפסת רק בנקודה אחת – נקודת החיתוך עם ציר ה־x, (12 , 0). לכן:
x ≠ 12
✅ פתרון סופי: תחום ההגדרה: x ≠ 12
(2) סקיצה של g
נאסוף את התכונות של g מתוך התכונות של f.
אסימפטוטה אנכית: כש־x מתקרב ל־12, f(x) מתקרב ל־0, ולכן f2(x) מתקרב ל־0 מצד החיובי ו־g(x) שואף ל־+∞. לכן x = 12 היא אסימפטוטה אנכית של g.
התנהגות בקצוות: לגרף f יש אסימפטוטה y = 0, כלומר כש־x → ±∞, f(x) → 0. לכן שם g(x) → +∞, ולגרף g אין אסימפטוטה אופקית.
סימן: f2(x) > 0 בכל תחום ההגדרה, ולכן g(x) > 0 – כל הגרף מעל ציר ה־x, ואין לו נקודות חיתוך עם ציר ה־x.
עלייה וירידה – בלי לגזור, בעזרת שתי סקיצות: קודם f2, ואחר כך g = 1f2.
סקיצה 1 – הגרף של f2 (מתוך הגרף הנתון של f; החלק שמתחת לציר ה־x עולה מעליו):
• ב־x < 6 הפונקציה f עולה מ־0 עד a, ולכן f2 עולה מ־0 עד a2.
• ב־6 < x < 12 הפונקציה f יורדת מ־a עד 0, ולכן f2 יורדת מ־a2 עד 0.
• ב־12 < x < 18 הפונקציה f יורדת מ־0 עד −2a, ולכן f2 עולה מ־0 עד 4a2.
• ב־x > 18 הפונקציה f עולה מ־−2a עד 0, ולכן f2 יורדת מ־4a2 עד 0.
▬ f2 (כחול) – לדוגמה עבור a = 3
סקיצה 2 – הגרף של g = 1f2 (נקרא מסקיצה 1):📐 משפט: הגרף של 1 חלקי פונקציהu עולה ⇐ 1u יורדת (ולהפך)
מקסימום של u ⇐ מינימום של 1u
כש־u → 0+ ⇐ 1u → +∞
מקסימום של u ⇐ מינימום של 1u
כש־u → 0+ ⇐ 1u → +∞
• ב־x < 6 הפונקציה f2 עולה, ולכן g יורדת מ־+∞ עד 1a2.
• ב־6 < x < 12 הפונקציה f2 יורדת אל 0, ולכן g עולה ל־+∞.
• ב־12 < x < 18 הפונקציה f2 עולה, ולכן g יורדת מ־+∞ עד 14a2.
• ב־x > 18 הפונקציה f2 יורדת אל 0, ולכן g עולה ל־+∞.
המקסימומים של f2 ב־x = 6 וב־x = 18 הופכים למינימומים של g:
g(6) = 1f2(6) = 1a2
g(18) = 1f2(18) = 1(−2a)2 = 14a2
מינימום (6 , 1a2)
מינימום (18 , 14a2)
הסקיצה (צוירה לדוגמה עבור a = 3, בקנה מידה):
✅ פתרון סופי: אסימפטוטה אנכית x = 12, אין אסימפטוטה אופקית; מינימום (6 , 1a2) ומינימום (18 , 14a2); הגרף כולו מעל ציר ה־x.
(3) מציאת a
נבדוק כמה פעמים ישר אופקי y = c (עם c > 0) חותך את גרף g. בכל אחד מארבעת התחומים g עולה או יורדת, ולכן בכל תחום יש לכל היותר נקודת חיתוך אחת. ערכי המינימום הם 1a2 ו־14a2, ו־14a2 < 1a2.
| גובה הישר | מספר נקודות החיתוך |
|---|---|
| c > 1a2 | 4 |
| c = 1a2 | 3 (אחת מהן נקודת המינימום השמאלית) |
| 14a2 < c < 1a2 | 2 |
| c = 14a2 | 1 |
| c < 14a2 | 0 |
שלוש נקודות חיתוך בדיוק מתקבלות רק כשהישר עובר דרך נקודת המינימום (6 , 1a2):
a27 = 1a2
a · a2 = 27
a3 = 27
a = 3
בדיקה: a = 3 > 1, כנדרש.
✅ פתרון סופי: a = 3
סעיף ד – הפונקציה הקדומה g
(1) מציאת g
g(x) היא פונקציה קדומה של f(x). הנגזרת של הביטוי שבתוך החזקה היא (x3 − 8)′ = 3x2, ובמונה יש −30x2 = −10 · 3x2. לכן זה אינטגרל עם זיהוי הנגזרת הפנימית:
g(x) = ∫ −30x2(x3 − 8)2 dx
= ∫ −10 · 3x2 · (x3 − 8)−2 dx
g(x) = −10 · (x3 − 8)−1−1 + C📐 נוסחה: אינטגרל עם הנגזרת הפנימית∫ u′(x) · [u(x)]n dx == [u(x)]n+1n + 1 + C
g(x) = 10x3 − 8 + C
בדיקה בגזירה: (10x3 − 8)′ = −10 · 3x2(x3 − 8)2 = −30x2(x3 − 8)2 ✓
נמצא את C לפי g(0) = 0.75:
1003 − 8 + C = 0.75
10−8 + C = 0.75
−1.25 + C = 0.75
C = 0.75 + 1.25
C = 2
✅ פתרון סופי: g(x) = 10x3 − 8 + 2
(2) איזה גרף הוא של g
נאסוף תכונות של g(x) = 10x3 − 8 + 2:
1. עלייה וירידה: g′(x) = f(x) = −30x2(x3 − 8)2. המכנה חיובי ו־−30x2 ≤ 0, ולכן g′(x) ≤ 0: הפונקציה g יורדת בכל תחום הגדרתה (רואים זאת גם בגרף של f, שאינו עולה מעל ציר ה־x).
בגרף III הפונקציה יורדת ואחר כך עולה (יש לה מינימום), ובגרף IV הפונקציה עולה – לכן III ו־IV נפסלים.
2. משיק אופקי: g′(0) = f(0) = 0, ולכן לגרף g יש משיק אופקי בנקודה שבה x = 0, כלומר על ציר ה־y, בנקודה (0 , 0.75). זו לא נקודת קיצון, כי משני צדדיה g′(x) < 0 (נקודת פיתול עם משיק אופקי).
בגרף I יש משיק אופקי בנקודה שעל ציר ה־y; בגרף II אין משיק אופקי כזה – לכן II נפסל.
3. בדיקה נוספת: אסימפטוטה אנכית x = 2 (שם x3 − 8 = 0), אסימפטוטה אופקית y = 2 (כש־x → ±∞ השבר שואף ל־0), ו־g(0) = 0.75 > 0. כל אלה מתאימים לגרף I.
הגרף של g בקנה מידה:
✅ פתרון סופי: הגרף של g הוא גרף I.
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | I – לא נכונה, II – נכונה |
| סעיף ג (1) | x ≠ 12 |
| סעיף ג (2) | מינימום (6 , 1a2), מינימום (18 , 14a2), אסימפטוטה x = 12 |
| סעיף ג (3) | a = 3 |
| סעיף ד (1) | g(x) = 10x3 − 8 + 2 |
| סעיף ד (2) | גרף I |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 36 – הפונקציה 1 חלקי f(x) בריבוע (בגרות 2026, שאלה קצרה)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 2 – סדרות הנדסיות: מכפלת שתי סדרות וסכום אין־סופי
📄 נוסח השאלה
an היא סדרה הנדסית אין־סופית עולה שמנתה היא q.
bn היא סדרה הנדסית אין־סופית עולה שמנתה היא 2q.
cn היא סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים cn = an · bn לכל n טבעי.
א. הוכיחו כי הסדרה cn היא הנדסית, והביעו באמצעות q את מנתה.
נתון: a1 = b1 , c2 = 18 · (a1)2.
ב. מצאו את הערך של q.
ג. (1) האם הערך של a1 הוא חיובי או שלילי? נמקו את תשובתכם.
(2) האם הסדרה cn עולה או יורדת? נמקו את תשובתכם.
נסמן ב־S1 את סכום הסדרה an, ב־S2 את סכום הסדרה bn וב־S3 את סכום הסדרה cn. נתון: S1 + S2 + S3 = 434.
ד. מצאו את הערך של a1.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הסדרה cn הנדסית
סדרה היא הנדסית אם המנה בין כל איבר לאיבר שלפניו קבועה (אינה תלויה ב־n). נחשב את המנה בסדרה cn:
cn+1cn = an+1 · bn+1an · bn = an+1an · bn+1bn📐 נוסחה: הגדרת סדרה הנדסיתan+1an = q (קבוע)
המנה בין איברים סמוכים בסדרה an היא q, ובסדרה bn היא 2q:
cn+1cn = q · 2q = 2q2
המנה 2q2 קבועה (אינה תלויה ב־n), ולכן cn היא סדרה הנדסית שמנתה 2q2.
✅ פתרון סופי: cn סדרה הנדסית, מנתה 2q2
סעיף ב – הערך של q
נבטא את c2 בעזרת האיבר הראשון והמנה:
a2 = a1 · q , b2 = b1 · 2q📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
c2 = a2 · b2 = a1q · b1 · 2q
נתון b1 = a1:
c2 = 2q2 · (a1)2
נשווה לנתון c2 = 18 · (a1)2 (ונחלק ב־(a1)2, שאינו אפס – בסדרה הנדסית אין איבר אפס):
2q2 · (a1)2 = 18 · (a1)2
2q2 = 18
q2 = 116
q = 14 או q = −14
בסדרה הנדסית עם מנה שלילית האיברים מחליפים סימן (חיובי, שלילי, חיובי…), ולכן היא אינה עולה. הסדרה an עולה, ולכן המנה חיובית:
q = 14
✅ פתרון סופי: q = 14
סעיף ג – הסימן של a1 והסדרה cn
(1) המנה היא q = 14, כלומר 0 < q < 1. נבדוק מתי הסדרה עולה:
an+1 − an = an · q − an
= an(q − 1) = an · (−34)
הסדרה עולה, ולכן an+1 − an > 0, כלומר an · (−34) > 0. מכפלה של מספר שלילי ב־an חיובית רק אם an שלילי. לכן כל איברי הסדרה שליליים, ובפרט a1 < 0.
דוגמה: אם a1 = −16 אז הסדרה היא −16 , −4 , −1 , … – עולה.
(2) לפי סעיף א, המנה של cn היא:
2q2 = 2 · (14)2 = 2 · 116 = 18
האיבר הראשון: c1 = a1 · b1 = (a1)2 > 0. כל האיברים חיוביים (מנה חיובית ואיבר ראשון חיובי).
cn+1 − cn = cn · 18 − cn
= cn · (−78) < 0
כי cn > 0. לכן כל איבר קטן מקודמו, והסדרה cn יורדת.
✅ פתרון סופי: (1) a1 שלילי; (2) הסדרה cn יורדת
סעיף ד – הערך של a1
שלוש הסדרות הנדסיות אין־סופיות עם מנה בין 1− ל־1 (14 , 12 , 18), ולכן לכל אחת יש סכום:
S1 = a11 − 14 = a134 = 4a13📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a11 − q , |q| < 1
בסדרה bn: b1 = a1 והמנה 2q = 12:
S2 = a11 − 12 = a112 = 2a1📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a11 − q , |q| < 1
בסדרה cn: c1 = (a1)2 והמנה 18:
S3 = (a1)21 − 18 = (a1)278 = 8(a1)27📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a11 − q , |q| < 1
נציב בנתון:
4a13 + 2a1 + 8(a1)27 = 434
נכפול את שני האגפים ב־21 (מכנה משותף):
28a1 + 42a1 + 24(a1)2 = 9114
24(a1)2 + 70a1 − 9114 = 0
12(a1)2 + 35a1 − 4557 = 0
a1 = −35 ± √352 + 4 · 12 · 45572 · 12📐 נוסחה: שורשי משוואה ריבועיתx1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
= −35 ± √21996124 = −35 ± 46924
a1 = 43424 = 21712 ≈ 18.08 או a1
= −50424 = −21
לפי סעיף ג (1) a1 < 0, ולכן הפתרון החיובי נפסל.
בדיקה: S1 = −28, S2 = −42, S3 = 8 · 4417 = 504, ו־−28 − 42 + 504 = 434 ✓
✅ פתרון סופי: a1 = −21
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | המנה 2q2 |
|---|---|
| סעיף ב | q = 14 |
| סעיף ג (1) | שלילי |
| סעיף ג (2) | יורדת |
| סעיף ד | a1 = −21 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 3 – הסתברות: שני שקים, הוצאה עם החזרה וברנולי
📄 נוסח השאלה
בשק א׳ ובשק ב׳ יש כדורים משני סוגים: כדורים רכים וכדורים קשים.
בשק א׳ יש 10 כדורים, מתוכם 4 כדורים רכים והשאר קשים.
בשק ב׳ יש 12 כדורים, מתוכם x כדורים רכים והשאר קשים.
גלית בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו באקראי כדור אחד. לאחר מכן היא מחזירה את הכדור לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק (הוצאה עם החזרה).
נתון כי ההסתברות שגלית הוציאה שני כדורים רכים היא 41200.
א. מצאו את הערך של x.
ב. ידוע שגלית הוציאה שני כדורים מאותו הסוג. מהי ההסתברות שהיא הוציאה שני כדורים משק א׳?
גלית מבצעת את התהליך המתואר לפניכם 4 פעמים: היא בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו באקראי כדור אחד. לאחר מכן היא מחזירה את הכדור לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק (הוצאה עם החזרה).
ג. מהי ההסתברות שגלית הוציאה בדיוק בשתיים מן הפעמים רק כדורים קשים?
ד. מהי ההסתברות שגלית הוציאה בשתיים מן הפעמים רק כדורים קשים ובשתיים מן הפעמים רק כדורים רכים?
✏️ פתרון שאלה 3
סעיף א – הערך של x
בוחרים שק באקראי, ולכן לכל שק הסתברות 12. בכל שק ההוצאות הן עם החזרה, כלומר שתי ההוצאות בלתי תלויות וההסתברות לא משתנה.
שק א׳: P(רך) = 410 = 0.4 , P(קשה) = 610 = 0.6
שק ב׳: P(רך) = x12 , P(קשה) = 12 − x12
לפי עץ ההסתברויות, יש שני ענפים שבהם יוצאים שני כדורים רכים – אחד דרך כל שק. כופלים לאורך כל ענף ומחברים את הענפים:
P(שני רכים)📐 כלל: עץ הסתברויותכופלים לאורך ענף, מחברים בין ענפים
= 12 · 0.42 + 12 · (x12)2
12 · 0.16 + 12 · x2144 = 41200
0.08 + x2288 = 0.205
x2288 = 0.205 − 0.08
x2288 = 0.125
x2 = 0.125 · 288
x2 = 36
x = 6 או x = −6
מספר הכדורים לא יכול להיות שלילי, ולכן x = 6. בשק ב׳ יש 6 כדורים רכים ו־6 קשים.
✅ פתרון סופי: x = 6
סעיף ב – הסתברות מותנה: משק א׳
זו הסתברות מותנה: יודעים שהכדורים מאותו הסוג, ושואלים מה ההסתברות שזה היה שק א׳.
בשק ב׳: P(רך) = 612 = 0.5 , P(קשה) = 0.5.
שני כדורים מאותו הסוג משק א׳ (שני רכים או שני קשים):
P(א׳ ∩ אותו סוג)
= 12 · (0.4 · 0.4 + 0.6 · 0.6)
= 12 · (0.16 + 0.36) = 12 · 0.52
= 0.26
שני כדורים מאותו הסוג משק ב׳:
P(ב׳ ∩ אותו סוג)
= 12 · (0.5 · 0.5 + 0.5 · 0.5)
= 12 · 0.5 = 0.25
P(אותו סוג) = 0.26 + 0.25 = 0.51
P(א׳ | אותו סוג)📐 נוסחה: הסתברות מותנהP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= P(א׳ ∩ אותו סוג)P(אותו סוג) = 0.260.51 = 2651
2651 ≈ 0.51
✅ פתרון סופי: 2651 ≈ 0.51
סעיף ג – בדיוק פעמיים רק קשים
קודם נחשב את ההסתברות שבתהליך אחד יוצאים רק כדורים קשים (שני קשים):
P(שני קשים)📐 כלל: עץ הסתברויותכופלים לאורך ענף, מחברים בין ענפים
= 12 · 0.62 + 12 · 0.52
= 12 · 0.36 + 12 · 0.25
= 0.18 + 0.125 = 0.305
התהליך חוזר 4 פעמים באופן זהה ובלתי תלוי. "הצלחה" = שני קשים, p = 0.305. מחפשים בדיוק 2 הצלחות מתוך 4 – נוסחת ברנולי:
P4(2) = 4!2! · 2! · 0.3052 · 0.6952📐 נוסחה: נוסחת ברנוליPn(k) = n!k!(n − k)! ·· pk · (1 − p)n−k
= 6 · 0.3052 · 0.6952
= 6 · 0.093025 · 0.483025
≈ 0.2696
✅ פתרון סופי: ≈ 0.27 (בדיוק: 0.2696)
סעיף ד – פעמיים קשים ופעמיים רכים
כאן בכל אחת מארבע הפעמים יש שלוש אפשרויות: שני קשים, שני רכים, או כדור אחד מכל סוג. מחפשים: פעמיים "שני קשים" ופעמיים "שני רכים".
P(שני קשים) = 0.305
P(שני רכים) = 41200 = 0.205
הסתברות של סדר מסוים אחד, למשל קשים, קשים, רכים, רכים:
0.305 · 0.305 · 0.205 · 0.205
= 0.3052 · 0.2052
מספר הסדרים: בוחרים אילו 2 מתוך 4 הפעמים הן "שני קשים" (השאר "שני רכים"):
4!2! · 2! = 244 = 6📐 נוסחה: מספר סידוריםn!k!(n − k)!
P = 6 · 0.3052 · 0.2052
= 6 · 0.093025 · 0.042025
≈ 0.0235
✅ פתרון סופי: ≈ 0.023 (בדיוק: 0.02346)
📌 סיכום התשובות – שאלה 3
| סעיף א | x = 6 |
|---|---|
| סעיף ב | 2651 ≈ 0.51 |
| סעיף ג | ≈ 0.27 |
| סעיף ד | ≈ 0.023 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – עץ עם נעלמים והסתברות מותנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 4 – גאומטרייה: מעגל, קוטר ודלתון
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו O. AB הוא קוטר במעגל. הנקודה C נמצאת על המעגל.
הנקודה M נמצאת מחוץ למעגל כך שהקטע AM חותך את הקטע CO בנקודה K. הנקודה E נמצאת על הקטע BO כך שהמרובע EMKO הוא דלתון (MK = ME , OK = OE).
א. הוכיחו כי BC ∥ EK.
ב. הוכיחו כי OM ∥ AC.
נתון: BCEK = 53.
ג. מצאו את הערך של OMAC.
נסמן ב־S את שטח הדלתון EMKO.
ד. הביעו באמצעות S את שטח המשולש AOC.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – הוכחה ש־BC ∥ EK
נסתכל על שני משולשים שווי שוקיים שיש להם אותה זווית ראש ∢BOC:
OK = OE (נתון – צלעות הדלתון), ולכן המשולש OEK שווה שוקיים.📐 משפטמשולש שווה שוקיים – זוויות הבסיס שוות
∢OKE = ∢OEK = 180 − ∢BOC2
OC = OB (רדיוסים במעגל), ולכן גם המשולש OBC שווה שוקיים:
∢OCB = ∢OBC = 180 − ∢BOC2
∢OKE = ∢OCB
הזוויות ∢OKE ו־∢OCB הן זוויות מתאימות בין הישרים EK ו־BC עם החותך OC, והן שוות.📐 משפטזוויות מתאימות שוות ⇐ הישרים מקבילים
✅ פתרון סופי: הוכח: BC ∥ EK
סעיף ב – הוכחה ש־OM ∥ AC
במרובע EMKO, שהוא דלתון, OM הוא האלכסון הראשי (מחבר את שני הקודקודים שבין זוגות הצלעות השוות) ו־EK הוא האלכסון המשני.📐 משפטבדלתון האלכסון הראשי מאונך לאלכסון המשני
OM ⊥ EK
לפי סעיף א EK ∥ BC, וישר המאונך לאחד משני ישרים מקבילים מאונך גם לשני:
OM ⊥ BC
AB קוטר, ולכן הזווית ההיקפית ∢ACB נשענת על קוטר:📐 משפטזווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
∢ACB = 90 מעלות ⇐ AC ⊥ BC
גם OM וגם AC מאונכים לישר BC.📐 משפטשני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה
✅ פתרון סופי: הוכח: OM ∥ AC
סעיף ג – היחס OMAC
לפי סעיף א EK ∥ BC, ולכן המשולשים OEK ו־OBC דומים (זווית O משותפת, וזוויות מתאימות שוות).📐 משפטמשולשים דומים – יחס הצלעות המתאימות שווה
OKOC = EKBC = 35
נסמן את רדיוס המעגל ב־R. אז OC = R:
OK = 35R
KC = OC − OK = R − 35R = 25R
לפי סעיף ב OM ∥ AC. במשולשים OKM ו־CKA:
∢OKM = ∢CKA (זוויות קודקודיות)
∢KOM
= ∢KCA (זוויות מתחלפות, OM ∥ AC)
לכן המשולשים OKM ו־CKA דומים (ז.ז.).📐 משפטמשפט דמיון ז.ז. – שתי זוויות שוות ⇐ המשולשים דומים
OMAC = OKKC = 35R25R = 32
✅ פתרון סופי: OMAC = 32
סעיף ד – שטח המשולש AOC
האלכסון הראשי OM מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים, OKM ו־OEM (צ.צ.צ.: OK = OE, MK = ME, OM משותפת).📐 משפטמשולשים חופפים שטחם שווה
SOKM = S2
לפי סעיף ג המשולשים OKM ו־CKA דומים ביחס OKKC = 32:
SCKASOKM = (23)2 = 49📐 נוסחה: יחס שטחים במשולשים דומיםS1S2 = k2 (k – יחס הדמיון)
SCKA = 49 · S2 = 2S9
למשולשים AOK ו־AKC אותו גובה מהקודקוד A לישר OC, והבסיסים שלהם OK ו־KC נמצאים על אותו ישר:
SAOKSAKC = OKKC = 32📐 משפט: משולשים עם גובה משותףיחס השטחים = יחס הבסיסים
SAOK = 32 · 2S9 = S3
SAOC = SAOK + SAKC = S3 + 2S9
= 3S9 + 2S9 = 5S9
✅ פתרון סופי: SAOC = 5S9
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | 32 |
| סעיף ד | 5S9 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 5 – טריגונומטריה: טרפז, משולש שווה שוקיים ומעגל חסום
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם טרפז ABCD (AB ∥ DC).
נתון כי אורך הבסיס AB שווה לאורך הצלע BC.
נסמן: AB = BC = k; הזווית ∢ACB היא זווית חדה (בשאלון היא מסומנת באות; כאן נקרא לה פשוט ∢ACB).
א. הראו כי AC = 2k · cos∢ACB.
נתון: DC = 2k , AD = 1.2k.
ב. מצאו את גודל הזווית ∢ACB.
ג. מצאו את גודל הזווית ADC.
המשכי הצלעות DA ו־CB נחתכים בנקודה E.
נתון כי האורך של רדיוס המעגל החסום במשולש EDC הוא 14.
ד. מצאו את הערך של k.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – הראו כי AC = 2k · cos∢ACB
במשולש ABC: AB = BC = k, ולכן הוא שווה שוקיים עם בסיס AC.📐 משפטבמשולש שווה שוקיים, הגובה לבסיס הוא גם תיכון
נוריד גובה BN לבסיס AC. הנקודה N היא אמצע AC, כלומר AC = 2 · NC.
במשולש ישר הזווית BNC (∢BNC = 90 מעלות), BC = k הוא היתר ו־NC הוא הניצב ליד הזווית ∢ACB:
cos∢ACB = NCBC = NCk📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
NC = k · cos∢ACB
AC = 2 · NC = 2k · cos∢ACB
✅ פתרון סופי: הוכח: AC = 2k · cos∢ACB
סעיף ב – גודל הזווית ∢ACB
AB ∥ DC, ולכן:📐 משפטזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
∢ACD = ∢BAC = ∢ACB
(השוויון ∢BAC = ∢ACB – זוויות הבסיס במשולש שווה השוקיים ABC.)
נוריד גובה AH מ־A לצלע DC. במשולש ישר הזווית AHC, היתר הוא AC = 2k · cos∢ACB והזווית ליד C היא ∢ACB:
AH = AC · sin∢ACB📐 נוסחה: sin במשולש ישר זוויתsin = ניצב מול הזוויתיתר
= 2k · cos∢ACB · sin∢ACB
HC = AC · cos∢ACB📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
= 2k · cos2∢ACB
DH = DC − HC
= 2k − 2k · cos2∢ACB
= 2k(1 − cos2∢ACB)
DH = 2k · sin2∢ACB📐 נוסחה: זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
במשולש ישר הזווית AHD נשתמש במשפט פיתגורס:
AD2 = AH2 + DH2📐 משפט: משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
AD2 = 4k2 · cos2∢ACB · sin2∢ACB
+ 4k2 · sin4∢ACB
AD2 = 4k2 · sin2∢ACB · (cos2∢ACB
+ sin2∢ACB)
AD2 = 4k2 · sin2∢ACB📐 נוסחה: זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
AD = 2k · sin∢ACB
נציב AD = 1.2k:
1.2k = 2k · sin∢ACB
sin∢ACB = 1.2k2k = 0.6
הזווית חדה, ולכן:
∢ACB ≈ 36.87 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢ACB ≈ 36.87 מעלות
סעיף ג – גודל הזווית ADC
לפי סעיף ב sin∢ACB = 0.6, ולכן:
cos∢ACB = √1 − 0.62 = √0.64📐 נוסחה: זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
= 0.8
AC = 2k · 0.8 = 1.6k
נבדוק את צלעות המשולש ACD: AC = 1.6k , AD = 1.2k , DC = 2k.
AC2 + AD2 = 2.56k2 + 1.44k2 = 4k2
DC2 = (2k)2 = 4k2
AC2 + AD2 = DC2, ולכן הזווית שמול DC ישרה:📐 משפטהמשפט ההפוך למשפט פיתגורס
∢DAC = 90 מעלות
סכום הזוויות במשולש ACD:📐 משפטסכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢ADC = 180 − 90 − 36.87
= 53.13 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢ADC ≈ 53.13 מעלות
סעיף ד – הערך של k
נמצא את הזוויות במשולש EDC:
∢EDC = ∢ADC = 53.13 מעלות
∢ECD = ∢BCA + ∢ACD
= 36.87 + 36.87 = 73.74 מעלות
📐 משפטסכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢DEC = 180 − 53.13 − 73.74
= 53.13 מעלות
∢DEC = ∢EDC, ולכן המשולש EDC שווה שוקיים: CE = CD = 2k.📐 משפטמול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
לפי סעיף ג CA ⊥ ED, כלומר CA הוא הגובה לבסיס ED.📐 משפטבמשולש שווה שוקיים, הגובה לבסיס הוא גם תיכון וגם חוצה זווית הראש
AE = AD = 1.2k
מרכז המעגל החסום, I, הוא נקודת המפגש של חוצי הזוויות. CA חוצה את ∢ECD, ולכן I נמצא על CA.📐 משפטמרכז המעגל החסום במשולש – מפגש חוצי הזוויות
המעגל משיק ל־ED, והרדיוס לנקודת ההשקה מאונך ל־ED. הקטע IA מאונך ל־ED, ולכן נקודת ההשקה היא A ו־IA = 14.📐 משפטרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק
DI חוצה את הזווית ∢ADC:
∢IDA = 53.132 ≈ 26.57 מעלות
במשולש ישר הזווית IAD (∢IAD = 90 מעלות):
tan∢IDA = IAAD📐 נוסחה: tan במשולש ישר זוויתtan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית
tan(26.57) = 141.2k
0.5 = 141.2k
1.2k · 0.5 = 14
0.6k = 14
k = 140.6 = 703 ≈ 23.33
בדיקה בדרך אחרת – בעזרת השטח וחצי ההיקף של המשולש EDC (הבסיס ED = 2 · 1.2k = 2.4k, הגובה CA = 1.6k):
S = 12 · ED · CA
= 12 · 2.4k · 1.6k = 1.92k2
p = 2k + 2k + 2.4k2 = 3.2k
r = Sp = 1.92k23.2k = 0.6k📐 נוסחה: רדיוס המעגל החסוםr = Sp (p – חצי היקף)
אותה משוואה 0.6k = 14 ✓
✅ פתרון סופי: k = 703 ≈ 23.33
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | ≈ 36.87 מעלות |
| סעיף ג | ≈ 53.13 מעלות |
| סעיף ד | k = 703 ≈ 23.33 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – cos במשולש ישר זווית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר ושטח
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = ax(x − 3)2, המוגדרת בתחום x ≠ 3. a הוא פרמטר חיובי.
א. ענו על התת־סעיפים (1)–(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות a, אם יש צורך.
(1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x).
(2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.
ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה g(x) = f(x) + 0.5, המוגדרת בתחום x ≠ 3. נתון כי לגרף הפונקציה g(x) יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר ה־x.
ג. מצאו את הערך של a.
הציבו בפונקציה g(x) את הערך של a שמצאתם, וענו על סעיף ד. נתונה הפונקציה h(x) = g(x) · g′(x), המוגדרת בתחום x ≠ 3.
ד. (1) רשמו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה h(x).
(2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה h(x) ועל ידי ציר ה־x בתחום −9 ≤ x ≤ 0.
✏️ פתרון שאלה 6
סעיף א – אסימפטוטות ונקודת קיצון
(1) אסימפטוטות
אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס כש־x − 3 = 0, כלומר x = 3. שם המונה הוא 3a ≠ 0 (כי a > 0), ולכן זו אסימפטוטה אנכית:
x = 3
אסימפטוטה אופקית: במונה חזקה ראשונה (ax) ובמכנה חזקה שנייה ((x − 3)2 = x2 − 6x + 9).📐 כללמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה ⇐ אסימפטוטה אופקית y = 0
y = 0
✅ פתרון סופי: x = 3 , y = 0
(2) נקודת קיצון
נגזור לפי נגזרת של מנה:
f′(x) = a · (x − 3)2 − ax · 2(x − 3)(x − 3)4📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
נוציא גורם משותף a(x − 3) מהמונה ונצמצם:
f′(x) = a(x − 3)[(x − 3) − 2x](x − 3)4
f′(x) = a(−x − 3)(x − 3)3 = −a(x + 3)(x − 3)3
נשווה את הנגזרת לאפס (מונה = 0):
−a(x + 3) = 0
x + 3 = 0
x = −3
f(−3) = a · (−3)(−3 − 3)2 = −3a36 = −a12
טבלת סימן הנגזרת (נזכור ש־a > 0; גם x = 3 נכנס לטבלה כי שם הפונקציה לא מוגדרת):
f′(−4) = −a(−4 + 3)(−4 − 3)3 = a−343 < 0
f′(0) = −a(0 + 3)(0 − 3)3 = −3a−27 = a9 > 0
f′(4) = −a(4 + 3)(4 − 3)3 = −7a < 0
| תחום | נקודת בדיקה | f′ | f |
|---|---|---|---|
| x < −3 | x = −4 | − | יורדת |
| −3 < x < 3 | x = 0 | + | עולה |
| x > 3 | x = 4 | − | יורדת |
ב־x = −3 הפונקציה עוברת מירידה לעלייה:📐 משפטנקודת קיצון לפי הנגזרת – f′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימום
✅ פתרון סופי: מינימום (−3 , −a12)
סעיף ב – סקיצה של גרף f
נאסוף את מה שמצאנו: אסימפטוטות x = 3 ו־y = 0; מינימום (−3 , −a12); יורדת עד x = −3, עולה עד x = 3, ויורדת אחרי x = 3.
חיתוך עם הצירים: f(x) = 0 רק כש־ax = 0, כלומר x = 0 – הגרף עובר בראשית (0 , 0).
סימן: המכנה (x − 3)2 חיובי, ולכן הסימן של f הוא הסימן של ax: שלילית עבור x < 0 וחיובית עבור x > 0. ליד x = 3 הפונקציה שואפת ל־+∞ משני הצדדים.
הסקיצה (צוירה בקנה מידה עבור a = 6):
✅ פתרון סופי: סקיצה: מינימום (−3 , −a12), עובר בראשית, אסימפטוטות x = 3 ו־y = 0
סעיף ג – הערך של a
נקודה משותפת עם ציר ה־x היא פתרון של g(x) = 0:
f(x) + 0.5 = 0
f(x) = −0.5
כלומר מספר הנקודות המשותפות של גרף g עם ציר ה־x שווה למספר נקודות החיתוך של גרף f עם הישר y = −0.5.
לפי הסקיצה, f שלילית רק עבור x < 0: שם היא יורדת מ־0 (מכיוון האסימפטוטה y = 0) עד ערך המינימום −a12, ואחר כך עולה חזרה ל־0 בראשית. לכן:
| מצב | מספר נקודות חיתוך עם y = −0.5 |
|---|---|
| −0.5 < −a12 | 0 |
| −0.5 = −a12 | 1 (בנקודת המינימום) |
| −a12 < −0.5 < 0 | 2 |
נקודה אחת בדיוק – כשהישר עובר דרך נקודת המינימום:
−a12 = −0.5
a = 0.5 · 12
a = 6
✅ פתרון סופי: a = 6
סעיף ד – הפונקציה h(x) = g(x) · g′(x)
(1) תחומי חיוביות ושליליות
נציב a = 6 ונכתוב את g כשבר אחד:
g(x) = 6x(x − 3)2 + 12
= 12x + (x − 3)22(x − 3)2 = x2 + 6x + 92(x − 3)2
g(x) = (x + 3)22(x − 3)2📐 נוסחה: נוסחת כפל מקוצרa2 + 2ab + b2 = (a + b)2
לכן g(x) ≥ 0 בכל התחום, והיא מתאפסת רק ב־x = −3.
הנגזרת של g שווה לנגזרת של f (הקבוע 0.5 נגזר ל־0). לפי סעיף א (2) עם a = 6:
g′(x) = f′(x) = −6(x + 3)(x − 3)3
הסימן של h(x) = g(x) · g′(x): הגורם g(x) חיובי (חוץ מ־x = −3, שבה h = 0), ולכן הסימן של h הוא הסימן של g′(x), שמצאנו בסעיף א:
ב־x < −3 מתקיים g′ < 0, ולכן h < 0.
ב־−3 < x < 3 מתקיים g′ > 0, ולכן h > 0.
ב־x > 3 מתקיים g′ < 0, ולכן h < 0.
✅ פתרון סופי: חיובית: −3 < x < 3; שלילית: x < −3 או x > 3
(2) השטח
בתחום −9 ≤ x ≤ 0 הפונקציה h שלילית עבור −9 < x < −3 וחיובית עבור −3 < x < 0. לכן מחלקים את השטח לשני חלקים: את החלק שמתחת לציר מחשבים עם מינוס.
פונקציה קדומה של h(x) = g(x) · g′(x) – אינטגרל עם זיהוי הנגזרת הפנימית (n = 1):
∫ g(x) · g′(x) dx = g2(x)2 + C📐 נוסחה: אינטגרל עם הנגזרת הפנימית∫ u′(x) · [u(x)]n dx == [u(x)]n+1n + 1 + C
נחשב את ערכי g בגבולות:
g(−9) = (−9 + 3)22(−9 − 3)2 = 36288 = 18
g(−3) = 02 · 36 = 0
g(0) = 92 · 9 = 12
∫−9−3 h(x) dx = g2(−3)2 − g2(−9)2📐 נוסחה: אינטגרל מסוים∫ab h(x) dx = H(b) − H(a)
= 0 − 12 · (18)2 = −1128
∫−30 h(x) dx = g2(0)2 − g2(−3)2
= 12 · (12)2 − 0 = 18
S = −(−1128) + 18📐 נוסחה: שטח בין גרף לציר xמתחת לציר – לוקחים את האינטגרל עם מינוס
S = 1128 + 16128 = 17128
S ≈ 0.133
✅ פתרון סופי: S = 17128 ≈ 0.133
📌 סיכום התשובות – שאלה 6
| סעיף א (1) | x = 3 , y = 0 |
|---|---|
| סעיף א (2) | מינימום (−3 , −a12) |
| סעיף ב | סקיצה |
| סעיף ג | a = 6 |
| סעיף ד (1) | חיובית −3 < x < 3; שלילית x < −3, x > 3 |
| סעיף ד (2) | 17128 ≈ 0.133 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 84 – חקירה עם פרמטר (בגרות 2026, 571)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 7 – חקירת פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = (1 + cos x) · (−1 + b cos x), המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π. b הוא פרמטר.
נתון: 0 < b < 1.
א. האם הפונקציה f(x) היא זוגית או אי־זוגית? נמקו את תשובתכם.
ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.
נתון כי לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x = π3.
ג. מצאו את הערך של b.
הציבו b = 12 בפונקציה f(x), וענו על הסעיפים ד–ה.
ד. (1) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.
(2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה h(x) = f(x) + |f(x)|, המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π. נקודה A היא נקודה כלשהי הנמצאת על גרף הפונקציה h(x).
ה. האם שיעור ה־y של נקודה A הוא חיובי, שלילי, שווה אפס או שאי אפשר לקבוע? נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 7
סעיף א – זוגית או אי־זוגית
התחום −π ≤ x ≤ π סימטרי סביב 0. נבדוק את f(−x):📐 הגדרהפונקציה זוגית – f(−x) = f(x) לכל x בתחום
f(−x) = (1 + cos(−x)) · (−1📐 נוסחה: cos היא פונקציה זוגיתcos(−x) = cos x
+ b cos(−x))
f(−x) = (1 + cos x) · (−1
+ b cos x) = f(x)
לכן הפונקציה זוגית (הגרף שלה סימטרי ביחס לציר ה־y).
✅ פתרון סופי: הפונקציה זוגית
סעיף ב – נקודות חיתוך עם ציר ה־x
נקודות חיתוך עם ציר ה־x: f(x) = 0. מכפלה שווה לאפס כשאחד הגורמים שווה לאפס:
גורם ראשון:
1 + cos x = 0
cos x = −1
x = π + 2πk📐 נוסחה: פתרון המשוואה cos x = −1x = π + 2πk
בתחום −π ≤ x ≤ π: x = π (k = 0) ו־x = −π (k = −1).
גורם שני:
−1 + b cos x = 0
cos x = 1b
0 < b < 1, ולכן 1b > 1. אבל −1 ≤ cos x ≤ 1, ולכן לגורם השני אין פתרון.
✅ פתרון סופי: (−π , 0) ו־(π , 0)
סעיף ג – הערך של b
נגזור לפי נגזרת של מכפלה:
f′(x) = (1 + cos x)′ · (−1📐 נוסחה: נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′
+ b cos x) + (1 + cos x) · (−1
+ b cos x)′
f′(x) = −sin x · (−1 + b cos x)📐 נוסחה: נגזרת של cos(cos x)′ = −sin x
+ (1 + cos x) · (−b sin x)
f′(x) = sin x − b sin x cos x
− b sin x − b sin x cos x
f′(x) = sin x − b sin x
− 2b sin x cos x
f′(x)
= sin x · (1 − b − 2b cos x)
בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת: f′(π3) = 0.
sinπ3 · (1 − b − 2b cosπ3) = 0
sinπ3 = √32 ≠ 0, ולכן הסוגריים מתאפסים. נציב cosπ3 = 12:
1 − b − 2b · 12 = 0
1 − b − b = 0
1 − 2b = 0
b = 12
בסעיף ד נראה שהנגזרת אכן מחליפה סימן ב־x = π3 (מינימום), כלומר זו באמת נקודת קיצון ✓
✅ פתרון סופי: b = 12
סעיף ד – נקודות קיצון וסקיצה
(1) נקודות קיצון
נציב b = 12 בנגזרת מסעיף ג:
f′(x) = sin x · (1 − 12 − 2
· 12 cos x)
f′(x) = sin x · (12 − cos x)
נשווה לאפס:
אפשרות 1: sin x = 0 ⇐ בתחום: x = −π , x = 0 , x = π.
אפשרות 2: 12 − cos x = 0 ⇐ cos x = 12
x = ±π3 + 2πk📐 נוסחה: פתרון משוואה טריגונומטריתcos x = cos t ⇐ x = ±t + 2πk
בתחום: x = π3 ו־x = −π3.
נחשב ערכי y (עם b = 12):
f(0) = (1 + 1) · (−1 + 12)
= 2 · (−12) = −1
f(±π3) = (1 + 12) · (−1 + 12 · 12)
= 32 · (−34) = −98
f(±π) = (1 − 1) · (−1 − 12) = 0
טבלת סימן הנגזרת:
בכל תחום בודקים נקודה אחת: x = −π2, x = −π6, x = π6, x = π2.
| תחום | sin x | 12 − cos x | f′ | f |
|---|---|---|---|---|
| −π < x < −π3 | − | + | − | יורדת |
| −π3 < x < 0 | − | − | + | עולה |
| 0 < x < π3 | + | − | − | יורדת |
| π3 < x < π | + | + | + | עולה |
לפי שינוי הסימן של הנגזרת (ובקצוות התחום – לפי אם הפונקציה עולה או יורדת לידם):📐 משפטנקודת קיצון לפי הנגזרת – f′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימום; מפלוס למינוס ← מקסימום
מקסימום בקצה התחום (אחריו הפונקציה יורדת): (−π , 0)
מינימום: (−π3 , −98)
מקסימום: (0 , −1)
מינימום: (π3 , −98)
מקסימום בקצה התחום (לפניו הפונקציה עולה): (π , 0)
התוצאה מתאימה לכך שהפונקציה זוגית (סעיף א): הנקודות סימטריות ביחס לציר ה־y.
✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , −1); מינימום (±π3 , −98); מקסימום בקצוות (±π , 0)
(2) סקיצה
לפי טבלת העלייה והירידה ונקודות הקיצון, הגרף בקנה מידה:
✅ פתרון סופי: סקיצה – הגרף כולו מתחת לציר ה־x, נוגע בו רק ב־x = ±π
סעיף ה – שיעור ה־y של נקודה A
נבדוק את הסימן של הפונקציה (עם b = 12):
f(x)
= (1 + cos x) · (−1 + 12cos x)
הגורם הראשון: cos x ≥ −1, ולכן 1 + cos x ≥ 0.
הגורם השני: cos x ≤ 1, ולכן −1 + 12cos x ≤ −1 + 12 = −12 < 0.
מכפלה של מספר אי־שלילי במספר שלילי היא אפס או שלילית, ולכן f(x) ≤ 0 לכל x בתחום (רואים זאת גם בסקיצה – הגרף כולו מתחת לציר ה־x או עליו).
|f(x)| = −f(x)📐 נוסחה: ערך מוחלט של מספר שלילי או אפס|t| = −t כאשר t ≤ 0
h(x) = f(x) + |f(x)|
= f(x) − f(x) = 0
כלומר h(x) = 0 לכל x בתחום, והגרף של h הוא קטע על ציר ה־x. לכן לכל נקודה A על הגרף שיעור ה־y הוא אפס.
✅ פתרון סופי: שיעור ה־y של A שווה אפס
📌 סיכום התשובות – שאלה 7
| סעיף א | זוגית |
|---|---|
| סעיף ב | (±π , 0) |
| סעיף ג | b = 12 |
| סעיף ד (1) | מקסימום (0 , −1), (±π , 0); מינימום (±π3 , −98) |
| סעיף ד (2) | סקיצה |
| סעיף ה | אפס |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – הגדרת פונקציה זוגית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 8 – חקירת פונקציית שורש ובעיית קיצון
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x) = 2√x2 − 1.
נתון הישר y = 3x − 3.
א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
ב. מצאו את שיעורי שתי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הישר הנתון.
הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה f(x) בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה A העבירו שני ישרים:
ישר המקביל לציר ה־y וחותך את הישר הנתון בנקודה B.
ישר המקביל לציר ה־x וחותך את הישר הנתון בנקודה C.
נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה A.
ג. (1) הביעו באמצעות t את אורך הקטע AB.
(2) הביעו באמצעות t את אורך הקטע AC.
ד. מצאו את הערך של t שעבורו סכום אורכי הקטעים AB ו־AC הוא מקסימלי.
✏️ פתרון שאלה 8
סעיף א – תחום ההגדרה
ביטוי בתוך שורש ריבועי חייב להיות אי־שלילי:📐 כללתחום הגדרה של שורש – √u מוגדר כאשר u ≥ 0
x2 − 1 ≥ 0
x2 ≥ 1
אי־שוויון ריבועי: הפרבולה x2 − 1 מתאפסת ב־x = ±1 ופתוחה כלפי מעלה, ולכן היא אי־שלילית מחוץ לשורשים:
x ≤ −1 או x ≥ 1
✅ פתרון סופי: x ≤ −1 או x ≥ 1
סעיף ב – נקודות החיתוך עם הישר
נשווה בין הפונקציה לישר:
2√x2 − 1 = 3x − 3
אגף שמאל (שורש) אי־שלילי, ולכן גם אגף ימין חייב להיות אי־שלילי: 3x − 3 ≥ 0, כלומר x ≥ 1. עכשיו נעלה בריבוע:
4(x2 − 1) = (3x − 3)2
4x2 − 4 = 9x2 − 18x + 9📐 נוסחה: נוסחת כפל מקוצר(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
0 = 9x2 − 4x2 − 18x + 9 + 4
5x2 − 18x + 13 = 0
x1,2 = 18 ± √324 − 4 · 5 · 132 · 5📐 נוסחה: שורשי משוואה ריבועיתx1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
= 18 ± √6410 = 18 ± 810
x1 = 2610 = 2.6 , x2 = 1010 = 1
שני הפתרונות מקיימים x ≥ 1. בדיקה בהצבה במשוואה המקורית (חובה אחרי העלאה בריבוע):
x = 1: 2√1 − 1 = 0 , 3 · 1 − 3
= 0 ✓
x = 2.6: 2√6.76 − 1 = 2√5.76
= 2 · 2.4 = 4.8 , 3 · 2.6 − 3
= 4.8 ✓
✅ פתרון סופי: (1 , 0) ו־(2.6 , 4.8)
סעיף ג – אורכי הקטעים AB ו־AC
(1) האורך AB
הנקודה A על גרף f, ושיעור ה־x שלה t, כאשר 1 < t < 2.6:
A(t , 2√t2 − 1)
B נמצאת על אותו ישר אנכי (אותו שיעור x), על הישר y = 3x − 3:
B(t , 3t − 3)
בין נקודות החיתוך גרף f נמצא מעל הישר (למשל ב־x = 2: f(2) = 2√3 ≈ 3.46, ועל הישר y = 3). לכן A מעל B, והאורך הוא ההפרש בין שיעורי ה־y:
AB = yA − yB📐 כלל: אורך קטע אנכיהפרש שיעורי ה־y (העליון פחות התחתון)
AB = 2√t2 − 1 − (3t − 3)
AB = 2√t2 − 1 − 3t + 3
✅ פתרון סופי: AB = 2√t2 − 1 − 3t + 3
(2) האורך AC
C נמצאת על אותו ישר אופקי כמו A (אותו שיעור y), על הישר y = 3x − 3. נמצא את שיעור ה־x שלה:
3x − 3 = 2√t2 − 1
3x = 2√t2 − 1 + 3
xC = 2√t2 − 13 + 1
A נמצאת מעל הישר, והישר עולה, ולכן הישר מגיע לגובה של A רק מימין ל־A: C מימין ל־A.
AC = xC − xA📐 כלל: אורך קטע אופקיהפרש שיעורי ה־x (הימני פחות השמאלי)
AC = 2√t2 − 13 + 1 − t
✅ פתרון סופי: AC = 2√t2 − 13 − t + 1
סעיף ד – הסכום AB + AC המקסימלי
נבנה את פונקציית הסכום:
S(t) = AB + AC = 2√t2 − 1 − 3t
+ 3 + 23√t2 − 1 + 1 − t
S(t) = 83√t2 − 1 − 4t
+ 4 , 1 < t < 2.6
נגזור:
S′(t) = 83 · 2t2√t2 − 1 − 4📐 נוסחה: נגזרת של שורש(√u)′ = u′2√u
= 8t3√t2 − 1 − 4
נשווה לאפס:
8t3√t2 − 1 = 4
8t = 12√t2 − 1
2t = 3√t2 − 1
שני האגפים חיוביים (t > 1), ולכן מותר להעלות בריבוע:
4t2 = 9(t2 − 1)
4t2 = 9t2 − 9
9 = 5t2
t2 = 95 = 1.8
t = 3√5 = √1.8 ≈ 1.342
(הפתרון השלילי t = −√1.8 לא בתחום 1 < t < 2.6.)
נבדוק שזה מקסימום – סימן הנגזרת משני הצדדים:
S′(1.2) = 9.63√0.44 − 4 ≈ 4.82 − 4
= 0.82 > 0 (עולה)
S′(2) = 163√3 − 4 ≈ 3.08 − 4
= −0.92 < 0 (יורדת)
הפונקציה עולה ואחר כך יורדת:📐 משפטנקודת קיצון לפי הנגזרת – S′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
✅ פתרון סופי: t = 3√5 = √1.8 ≈ 1.34
📌 סיכום התשובות – שאלה 8
| סעיף א | x ≤ −1 או x ≥ 1 |
|---|---|
| סעיף ב | (1 , 0), (2.6 , 4.8) |
| סעיף ג (1) | AB = 2√t2 − 1 − 3t + 3 |
| סעיף ג (2) | AC = 2√t2 − 13 − t + 1 |
| סעיף ד | t = √1.8 ≈ 1.34 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – בעיית קיצון עם גרפים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.
השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il