בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · תוכנית חדשה
פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 – קיץ 2026 מועד ב'
פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.
בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטריה אנליטית, וקטורים, טריגונומטריה במרחב, מספרים מרוכבים (שאלות 1–3); פרק שני – גדילה ודעיכה, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות חזקה, מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). עונים על 3 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.
השאלון שנפתר כאן: גרסה א'
📄 השאלון המלא – קיץ 2026 מועד ב'
🧭 תוכן העניינים
- פרק ראשון – גאומטריה אנליטית, וקטורים, טריגונומטריה במרחב, מספרים מרוכבים
- שאלה 1 – פרבולה, משיק ומעגל: מקום גאומטרי
- שאלה 2 – וקטורים במרחב: פירמידה שבסיסה ריבוע
- שאלה 3 – מספרים מרוכבים: מכפלה, מנה ושורשים
- פרק שני – גדילה ודעיכה, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות חזקה, מעריכיות ולוגריתמיות
- שאלה 4 – חקירת פונקציית e עם פרמטר ושטח
- שאלה 5 – חקירת פונקציית ln ופונקציה מורכבת
שאלה 1 – פרבולה, משיק ומעגל: מקום גאומטרי
📄 נוסח השאלה
נתונים הישר y = x והפרבולה y2 = 2px, p > 0.
הנקודה A היא נקודת החיתוך של הישר והפרבולה ברביע הראשון.
א. מצאו את שיעורי הנקודה A. הביעו באמצעות p במידת הצורך.
הישר ℓ משיק לפרבולה בנקודה A. הנקודה F היא מוקד הפרבולה.
המעגל I, שמרכזו בנקודה F, משיק לישר ℓ בנקודה B.
ב. מצאו את משוואת המעגל I. הביעו באמצעות p במידת הצורך.
ג. הראו כי הנקודה B נמצאת על ציר ה־y.
נתון: AB = 4√5.
ד. מצאו את הערך של p.
ה. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של מרכזי כל המעגלים שרדיוסם 2√5 − 3 והמשיקים למעגל I מבפנים.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א – שיעורי הנקודה A
הנקודה A נמצאת גם על הישר וגם על הפרבולה, ולכן נפתור את מערכת המשוואות. נציב y = x במשוואת הפרבולה:
x2 = 2px
x2 − 2px = 0
x(x − 2p) = 0
x = 0
או
x = 2p
x = 0 נותן את ראשית הצירים, שאינה ברביע הראשון. לכן x = 2p, ומכיוון ש־y = x:
y = 2p
✅ פתרון סופי: A(2p , 2p)
סעיף ב – משוואת המעגל I
משוואת המשיק ℓ. נציב את A(2p , 2p) בנוסחת המשיק לפרבולה:
y · 2p = p(x + 2p)📐 משיק לפרבולה בנקודה (x1 , y1)y2 = 2pxy · y1 = p(x + x1)
נחלק את שני האגפים ב־p (נתון p > 0):
2y = x + 2p
y = 12x + p
המוקד.
F(p2 , 0)📐 מוקד הפרבולהy2 = 2px ⟸ F(p2 , 0)
הרדיוס. המעגל משיק לישר ℓ, ולכן הרדיוס שווה למרחק של המרכז F מן הישר ℓ. נעביר את משוואת ℓ לצורה Ax + By + C = 0:
2y = x + 2p
x − 2y + 2p = 0
כלומר A = 1, B = −2, C = 2p, והנקודה היא F(p2 , 0):
R = |1 · p2 − 2 · 0 + 2p|√12 + (−2)2📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
R = 5p2√5
R = 5p2√5
R = 5p · √52 · 5
R = √5 p2
R2 = 5p24
משוואת המעגל – מרכז F(p2 , 0), רדיוס בריבוע R2 = 5p24:
(x − p2)2 + y2 = 5p24📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
הסרטוט נעשה בקנה מידה עבור הערך שנמצא בסעיף ד, p = 4:
✅ פתרון סופי: (x − p2)2 + y2 = 5p24
סעיף ג – הנקודה B על ציר ה־y
B היא נקודת ההשקה, ולכן הרדיוס FB מאונך לישר ℓ.
הרדיוס מאונך למשיק:📐 משיק מאונך לרדיוסהרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק
שיפוע ℓ הוא m = 12. נמצא את שיפוע הישר FB:
12 · mFB = −1📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
mFB = −2
משוואת הישר FB – עובר דרך F(p2 , 0) בשיפוע −2:
y − 0 = −2(x − p2)📐 משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y1 = m(x − x1)
y = −2x + p
B היא נקודת החיתוך של FB עם ℓ. נשווה:
12x + p = −2x + p
12x + 2x = p − p
52x = 0
x = 0
נציב x = 0 ב־y = −2x + p:
y = −2 · 0 + p = p
B(0 , p)
שיעור ה־x של B הוא 0, ולכן B נמצאת על ציר ה־y.
✅ פתרון סופי: B(0 , p) – על ציר ה־y
סעיף ד – הערך של p
A(2p , 2p), B(0 , p). נחשב את AB:
AB📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
= √(2p − 0)2 + (2p − p)2
AB = √4p2 + p2
AB = √5p2
AB = √5 p
(כי p > 0). נתון AB = 4√5:
√5 p = 4√5
p = 4
בדיקה: A(8 , 8), B(0 , 4): AB = √(64 + 16) = √80 = 4√5 ✓
✅ פתרון סופי: p = 4
סעיף ה – המקום הגאומטרי
עבור p = 4: המרכז F(2 , 0), והרדיוס של מעגל I:
R = √5 · 42 = 2√5
מעגל שרדיוסו r = 2√5 − 3 משיק למעגל I מבפנים. אצל מעגלים המשיקים מבפנים, המרחק בין המרכזים שווה להפרש הרדיוסים:
d = 2√5 − (2√5 − 3)📐 מעגלים משיקים מבפניםd = R − r
d = 2√5 − 2√5 + 3
d = 3
כלומר כל מרכז כזה נמצא במרחק 3 מן הנקודה F(2 , 0). לכן המקום הגאומטרי הוא מעגל שמרכזו F(2 , 0) ורדיוסו 3:
(x − 2)2 + (y − 0)2 = 32📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
(x − 2)2 + y2 = 9
(הרדיוס 2√5 − 3 ≈ 1.47 חיובי וקטן מ־2√5 ≈ 4.47, ולכן מעגלים כאלה אכן קיימים.)
✅ פתרון סופי: (x − 2)2 + y2 = 9
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | A(2p , 2p) |
|---|---|
| סעיף ב | (x − p2)2 + y2 = 5p24 |
| סעיף ג | B(0 , p) על ציר ה־y |
| סעיף ד | p = 4 |
| סעיף ה | (x − 2)2 + y2 = 9 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 64 – משיק לפרבולה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 2 – וקטורים במרחב: פירמידה שבסיסה ריבוע
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע.
המקצוע AS הוא גובה הפירמידה. אורך המקצוע AS שווה לאורך צלע הריבוע ABCD.
הנקודה E נמצאת על המקצוע SD כך ש־SE = 34SD.
הנקודה N נמצאת על המקצוע SC כך ש־SN = kSC. k הוא פרמטר.
נסמן: AS = w, AB = v, AD = u.
א. הביעו באמצעות k ו־u , v , w את הווקטור EN.
נתון: |EN| = √64 · |w|.
ב. מצאו את הערך של k.
הציבו k = 12, וענו על הסעיפים ג–ד.
ממקמים את הפירמידה במערכת צירים כך ש־A(0 , 0 , 0), B(0 , 12 , 0). הקודקוד D נמצא על החלק החיובי של ציר ה־x, והקודקוד S נמצא על החלק החיובי של ציר ה־z.
ג. (1) מצאו את שיעורי הנקודות E ו־N.
(2) מצאו את משוואת המישור ENB.
ד. האם נפח הפירמידה SENB גדול מנפח הפירמידה CENB, קטן ממנו או שווה לו? נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – הבעת הווקטור EN
נלך מ־E ל־N דרך הקודקוד S:
EN = ES + SN📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ + QR = PR
הווקטור SD – נלך מ־S ל־A ומשם ל־D:
SD = SA + AD📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ + QR = PR
SD = −w + u📐 וקטור נגדיQP = −PQ
הווקטור SC – מ־S ל־A, ל־B, ל־C. בריבוע BC = AD = u:
SC = SA + AB + BC📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ + QR = PR
SC = −w + v + u
הווקטור ES – נתון SE = 34SD, ולכן:
ES = −34SD📐 וקטור נגדיQP = −PQ
ES = −34(−w + u)
ES = −34u + 34w
הווקטור SN:
SN = kSC = k(u + v − w)
SN = ku + kv − kw
נחבר:
EN
= −34u + 34w + ku + kv − kw
EN
= (k − 34)u + kv
+ (34 − k)w
הסרטוט בקנה מידה (בהמשך יתברר ש־k = 12, ולכן N היא אמצע SC). המשולש ENB מסומן בתכלת:
✅ פתרון סופי: EN = (k − 34)u + kv + (34 − k)w
סעיף ב – הערך של k
נסמן את אורך צלע הריבוע ב־a. נתון ש־AS שווה לצלע, ולכן:
|u| = |v| = |w| = a
u ו־v הן צלעות סמוכות בריבוע, ולכן מאונכות. AS הוא גובה הפירמידה, ולכן w מאונך לבסיס, כלומר ל־u ול־v:
u · v = 0 , u · w = 0 ,📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟸ a · b = 0
v · w = 0
נחשב את |EN|2. כשפותחים את המכפלה, כל המכפלות המעורבות מתאפסות, ונשארים רק הריבועים:
|EN|2📐 גודל וקטור בריבוע|a|2 = a · a
= (k − 34)2|u|2 + k2|v|2
+ (34 − k)2|w|2
מתקיים (34 − k)2 = (k − 34)2, ולכן:
|EN|2
= (k − 34)2a2 + k2a2
+ (k − 34)2a2
|EN|2
= [2(k − 34)2 + k2] a2
מצד שני, לפי הנתון:
|EN|2 = (√64)2 · |w|2
= 616a2
= 38a2
נשווה ונחלק ב־a2 (a > 0):
2(k − 34)2 + k2 = 38
2(k2 − 32k + 916) + k2 = 38
2k2 − 3k + 98 + k2 = 38
3k2 − 3k + 98 − 38 = 0
3k2 − 3k + 34 = 0
נחלק ב־3:
k2 − k + 14 = 0
(k − 12)2 = 0📐 נוסחת הכפל המקוצר(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
k = 12
כלומר N היא אמצע המקצוע SC.
✅ פתרון סופי: k = 12
סעיף ג (1) – שיעורי E ו־N
צלע הריבוע היא AB = 12, ולכן גם AD = 12 ו־AS = 12. לפי המיקום שבשאלה:
A(0 , 0 , 0) ,
B(0 , 12 , 0)
D(12 , 0 , 0)
C(12 , 12 , 0)
S(0 , 0 , 12)
הנקודה E. קודם הווקטור SD:
SD = D − S📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
= (12 − 0 , 0 − 0 , 0 − 12)
= (12 , 0 , −12)
SE = 34 · (12 , 0 , −12)
= (9 , 0 , −9)
E = S + SE📐 נקודה בעזרת וקטורP = S + SP
= (0 + 9 , 0 + 0 , 12 − 9)
E(9 , 0 , 3)
הנקודה N. עם k = 12:
SC = C − S📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
= (12 , 12 , −12)
SN = 12 · (12 , 12 , −12)
= (6 , 6 , −6)
N = S + SN📐 נקודה בעזרת וקטורP = S + SP
= (0 + 6 , 0 + 6 , 12 − 6)
N(6 , 6 , 6)
✅ פתרון סופי: E(9 , 0 , 3) , N(6 , 6 , 6)
סעיף ג (2) – משוואת המישור ENB
שני וקטורים במישור:
EN = N − E📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
= (6 − 9 , 6 − 0 , 6 − 3)
= (−3 , 6 , 3)
EB = B − E📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
= (0 − 9 , 12 − 0 , 0 − 3)
= (−9 , 12 , −3)
נחפש וקטור נורמל n = (a , b , c) המאונך לשניהם (מכפלה סקלרית 0):
−3a + 6b + 3c = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟸ a · b = 0
−9a + 12b − 3c = 0
נחבר את שתי המשוואות (c מתבטל):
−12a + 18b = 0
18b = 12a
b = 23a
נבחר a = 3, ואז b = 2. נציב במשוואה הראשונה:
−3 · 3 + 6 · 2 + 3c = 0
−9 + 12 + 3c = 0
3c = −3
c = −1
n = (3 , 2 , −1)
משוואת המישור, ונמצא את d בעזרת הנקודה B(0 , 12 , 0):
3x + 2y − z + d = 0📐 משוואת מישורax + by + cz + d = 0(a , b , c) – וקטור נורמל
3 · 0 + 2 · 12 − 0 + d
= 0
24 + d = 0
d = −24
3x + 2y − z − 24 = 0
בדיקה: E: 27 + 0 − 3 − 24 = 0 ✓ ; N: 18 + 12 − 6 − 24 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: 3x + 2y − z − 24 = 0
סעיף ד – השוואת הנפחים
לשתי הפירמידות SENB ו־CENB יש אותו בסיס – המשולש ENB. הגובה של כל אחת הוא המרחק של הקודקוד (S או C) מן המישור ENB.
ולכן, כשהבסיס משותף, משווים רק את הגבהים:📐 נפח פירמידהV = 13 · S · hS – שטח הבסיס, h – הגובה
מרחק S(0 , 0 , 12) מן המישור 3x + 2y − z − 24 = 0:
hS📐 מרחק נקודה ממישורd = |ax0 + by0 + cz0 + d|√a2 + b2 + c2
= |3 · 0 + 2 · 0 − 12 − 24|√32 + 22 + (−1)2
hS = |−36|√14 = 36√14
מרחק C(12 , 12 , 0) מן המישור:
hC📐 מרחק נקודה ממישורd = |ax0 + by0 + cz0 + d|√a2 + b2 + c2
= |3 · 12 + 2 · 12 − 0 − 24|√14
hC = |36 + 24 − 24|√14 = 36√14
hS = hC
הבסיס משותף והגבהים שווים, ולכן הנפחים שווים.
(אפשר לראות זאת גם בלי חישוב: הנקודה N, אמצע SC, נמצאת במישור, ולכן S ו־C נמצאות משני צדי המישור במרחקים שווים ממנו.)
✅ פתרון סופי: הנפחים שווים
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | EN = (k − 34)u + kv + (34 − k)w |
|---|---|
| סעיף ב | k = 12 |
| סעיף ג (1) | E(9 , 0 , 3) , N(6 , 6 , 6) |
| סעיף ג (2) | 3x + 2y − z − 24 = 0 |
| סעיף ד | שווים |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 3 – מספרים מרוכבים: מכפלה, מנה ושורשים
📄 נוסח השאלה
נתונים שלושה מספרים מרוכבים (כל הזוויות במעלות; את הזווית מסמנים כאן באות t):
z1 = r(cost + i sint)
z2 = 1r (cos(t + 90) + i sin(t + 90))
w = z1 · z2 + z1z2
0 < t < 90 (הזווית בין 0 ל־90 מעלות), r > 0.
הנקודה A מייצגת את המספר w במישור גאוס. נתון כי שיעור ה־x של הנקודה A הוא −1.
א. מצאו את הערך של t.
נתון כי הנקודה A נמצאת על הישר y = −1.
ב. מצאו את הערך של r.
נתונה המשוואה z4 = 128 · (z1 · w)2. z הוא משתנה מרוכב.
ג. מצאו את ארבעת הפתרונות של המשוואה.
הנקודה O היא ראשית הצירים. כל אחת מן הנקודות B ו־C מייצגת פתרון אחד מבין הפתרונות שמצאתם בסעיף ג. הנקודה B נמצאת ברביע הראשון, והנקודה C נמצאת ברביע השני.
המקום הגאומטרי של כל הנקודות z = x + iy במישור גאוס המקיימות |z| = b חותך את החלק החיובי של ציר ה־y בנקודה K. b הוא מספר ממשי חיובי.
נתון כי שטח המרובע CKBO הוא 7√2.
ד. מצאו את הערך של b.
✏️ פתרון שאלה 3
סעיף א – הערך של t
נשתמש בסימון:
📐 סימוןcis(a) = cos a + i sin a
z1 = r cis(t) , z2
= 1r cis(t + 90)
המכפלה:
z1 · z2📐 כפל בהצגה קוטביתr1cis(a) · r2cis(b)= r1r2 cis(a + b)
= r · 1r cis(t + t + 90)
z1 · z2 = cis(2t + 90)
המנה:
z1z2 = r1r cis(t − (t + 90))📐 חילוק בהצגה קוטביתr1cis(a)r2cis(b) = r1r2 cis(a − b)
z1z2 = r2 cis(−90)
z1z2
= r2(cos(−90) + i sin(−90))
= r2(0 − i) = −r2i
המספר w:
w
= cos(2t + 90)
+ i sin(2t + 90) − r2i
w
= cos(2t + 90)
+ i[sin(2t + 90) − r2]
החלק הממשי של w הוא שיעור ה־x של A, ונתון שהוא −1:📐 מספר מרוכב במישור גאוסz = x + iy ⟸ (x , y)
cos(2t + 90) = −1
מכיוון ש־0 < t < 90, מתקיים 90 < 2t + 90 < 270. בתחום הזה הקוסינוס שווה ל־−1 רק בזווית 180 מעלות:
2t + 90 = 180
2t = 90
t = 45
✅ פתרון סופי: t = 45 מעלות
סעיף ב – הערך של r
הנקודה A על הישר y = −1, כלומר החלק המדומה של w הוא −1. נציב t = 45:📐 מספר מרוכב במישור גאוסz = x + iy ⟸ (x , y)
sin(2 · 45 + 90) − r2
= −1
sin 180 − r2 = −1
0 − r2 = −1
r2 = 1
נתון r > 0, ולכן:
r = 1
כלומר w = −1 − i, והנקודה היא A(−1 , −1).
✅ פתרון סופי: r = 1
סעיף ג – ארבעת הפתרונות
עם t = 45 ו־r = 1: z1 = cis(45), w = −1 − i.
נעביר את w להצגה קוטבית. w ברביע השלישי:
|w| = √(−1)2 + (−1)2 = √2📐 גודל וזווית של מספר מרוכב|z| = √x2 + y2tan = yx (טנגנס הזווית)
טנגנס הזווית:
tan = −1−1 = 1
ברביע השלישי: הזווית היא 180 + 45 = 225 מעלות.
w = √2 cis(225)
המכפלה z1 · w:
z1 · w📐 כפל בהצגה קוטביתr1cis(a) · r2cis(b)= r1r2 cis(a + b)
= 1 · √2 cis(45 + 225)
= √2 cis(270)
בריבוע:
(z1 · w)2📐 משפט דה־מואבר[r cis(a)]n = rn cis(na)
= (√2)2 cis(2 · 270)
= 2 cis(540)
540 − 360 = 180
⟸ (z1 · w)2
= 2 cis(180)
אגף ימין של המשוואה:
128 · 2 cis(180)
= 256 cis(180)
z4 = 256 cis(180)
הוצאת שורש רביעי. 4√256 = 4:
zk = 4 cis(180 + 360k4)📐 שורשים מסדר nzn = R cis(a)zk = n√R cis(a + 360kn)k = 0 , 1 , … , n − 1
= 4 cis(45 + 90k)
k = 0 : z0 = 4 cis(45)
= 4(√22 + √22i)
= 2√2 + 2√2 i
k = 1 : z1 = 4 cis(135)
= 4(−√22 + √22i)
= −2√2 + 2√2 i
k = 2 : z2 = 4 cis(225)
= −2√2 − 2√2 i
k = 3 : z3 = 4 cis(315)
= 2√2 − 2√2 i
בדיקה: (2√2 + 2√2 i)2 = 8 + 16i − 8 = 16i , (16i)2 = −256 , ו־256 cis(180) = −256 ✓
✅ פתרון סופי: 4cis(45) , 4cis(135) , 4cis(225) , 4cis(315) כלומר ±2√2 ± 2√2 i
סעיף ד – הערך של b
הפתרון ברביע הראשון: B(2√2 , 2√2); הפתרון ברביע השני: C(−2√2 , 2√2).
המקום הגאומטרי |z| = b הוא מעגל שמרכזו בראשית O ורדיוסו b. הוא חותך את החלק החיובי של ציר ה־y בנקודה:
K(0 , b)
האלכסון OK (על ציר ה־y) מחלק את המרובע CKBO לשני משולשים: OKB ו־OKC. (בסרטוט, שנעשה עם הערך שיתקבל, רואים שהמרובע קמור.)
משולש OKB: הצלע OK = b מונחת על ציר ה־y, והגובה אליה הוא המרחק של B מציר ה־y, כלומר 2√2:
SOKB = b · 2√22 = √2 b📐 שטח משולשS = a · ha2
משולש OKC: אותה צלע OK = b, והמרחק של C מציר ה־y הוא גם 2√2:
SOKC = b · 2√22 = √2 b📐 שטח משולשS = a · ha2
SCKBO = √2 b + √2 b
= 2√2 b
נתון שהשטח 7√2:
2√2 b = 7√2
b = 72 = 3.5
בדיקה: b = 3.5 > 2√2 ≈ 2.83, ולכן K מעל הישר BC והמרובע אכן קמור.
✅ פתרון סופי: b = 3.5
📌 סיכום התשובות – שאלה 3
| סעיף א | t = 45 מעלות |
|---|---|
| סעיף ב | r = 1 |
| סעיף ג | ±2√2 ± 2√2 i (כלומר 4cis(45 + 90k)) |
| סעיף ד | b = 3.5 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 38 – שורשים מסדר n
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 4 – חקירת פונקציית e עם פרמטר ושטח
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 1ex − 1 + 5ex − 5 + a. a הוא פרמטר.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים. הביעו באמצעות a במידת הצורך.
ב. הראו כי הפונקציה f(x) יורדת בכל תחום הגדרתה.
נתון כי אחת האסימפטוטות של הפונקציה f(x) היא y = 2.
ג. מצאו את שני הערכים האפשריים של a.
הציבו a = 2, וענו על הסעיפים ד–ו.
ד. הראו כי f(x) = 2e2x − 6exe2x − 6ex + 5.
ה. (1) מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.
(2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ו. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = ln2.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
אסור שמכנה יתאפס:
ex − 1 ≠ 0 ⟸ ex ≠ 1
x ≠ ln1 = 0📐 מעבר לוגריתםex = c ⟸ x = ln c
ex − 5 ≠ 0 ⟸ ex ≠ 5
x ≠ ln5📐 מעבר לוגריתםex = c ⟸ x = ln c
✅ פתרון סופי: x ≠ 0 , x ≠ ln5
סעיף א (2) – האסימפטוטות
אסימפטוטות אנכיות – בנקודות שבהן המכנה מתאפס:
כש־x → 0: ex → 1, המכנה ex − 1 → 0 והמונה 1, ולכן 1ex − 1 שואף לאינסוף (שאר האיברים סופיים: 51 − 5 = −54).
x = 0
כש־x → ln5: ex → 5, המכנה ex − 5 → 0 והמונה 5, ולכן 5ex − 5 שואף לאינסוף.
x = ln5
אסימפטוטות אופקיות:
כש־x → ∞: המכנים שואפים לאינסוף, ולכן שני השברים שואפים ל־0:
f(x) → 0 + 0 + a = a📐 שאיפה של exx → ∞ : ex → ∞x → −∞ : ex → 0
y = a
כש־x → −∞: ex → 0:
f(x) → 10 − 1 + 50 − 5 + a📐 שאיפה של exx → ∞ : ex → ∞x → −∞ : ex → 0
f(x) → −1 − 1 + a = a − 2
y = a − 2
✅ פתרון סופי: x = 0 , x = ln5 , y = a (כש־x → ∞) , y = a − 2 (כש־x → −∞)
סעיף ב – הפונקציה יורדת
נגזור כל שבר בכלל המנה (הנגזרת של המונה הקבוע היא 0), והנגזרת של הקבוע a היא 0:
(1ex − 1)′📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2📐 נגזרת e בחזקת x(ex)′ = ex
= 0 · (ex − 1) − 1 · ex(ex − 1)2
= −ex(ex − 1)2
(5ex − 5)′📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2📐 נגזרת e בחזקת x(ex)′ = ex
= 0 · (ex − 5) − 5 · ex(ex − 5)2
= −5ex(ex − 5)2
f′(x)
= −ex(ex − 1)2 − 5ex(ex − 5)2
בכל תחום ההגדרה: ex > 0, והמכנים הם ריבועים חיוביים. לכן כל שבר חיובי, ועם סימן המינוס לפניו – שלילי:
f′(x) < 0
הנגזרת שלילית בכל תחום ההגדרה, ולכן הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה.
✅ פתרון סופי: f′(x) < 0 בכל תחום ההגדרה – הפונקציה יורדת
סעיף ג – שני הערכים של a
האסימפטוטות האופקיות הן y = a ו־y = a − 2. אחת מהן היא y = 2:
a = 2
או
a − 2 = 2 ⟸ a = 4
✅ פתרון סופי: a = 2 או a = 4
סעיף ד – הצגה כשבר אחד
עם a = 2. נכנס למכנה משותף (ex − 1)(ex − 5):
(ex − 1)(ex − 5)
= e2x − 5ex − ex + 5
= e2x − 6ex + 5
נכתוב הכול על המכנה המשותף. המונה:
1 · (ex − 5) + 5(ex − 1)
+ 2(e2x − 6ex + 5)
והמכנה: e2x − 6ex + 5.
נפתח סוגריים במונה:
ex − 5 + 5ex − 5 + 2e2x
− 12ex + 10
נכנס איברים דומים:
2e2x + (ex + 5ex − 12ex)
+ (−5 − 5 + 10)
2e2x − 6ex + 0
f(x) = 2e2x − 6exe2x − 6ex + 5 ✓
✅ פתרון סופי: הוכח: f(x) = 2e2x − 6exe2x − 6ex + 5
סעיף ה (1) – חיתוך עם ציר ה־x
נשווה את המונה ל־0 (y = 0):
2e2x − 6ex = 0
2ex(ex − 3) = 0
2ex תמיד חיובי, ולכן:
ex − 3 = 0
ex = 3
x = ln3📐 מעבר לוגריתםex = c ⟸ x = ln c
ln3 ≈ 1.10 נמצא בתחום ההגדרה (שונה מ־0 ומ־ln5 ≈ 1.61).
✅ פתרון סופי: (ln3 , 0) ≈ (1.10 , 0)
סעיף ה (2) – סקיצה
מה שמצאנו: אסימפטוטות אנכיות x = 0 ו־x = ln5 ≈ 1.61; אסימפטוטה אופקית y = 2 כש־x → ∞ ו־y = 2 − 2 = 0 (ציר ה־x) כש־x → −∞; הפונקציה יורדת בכל תחום; חיתוך עם ציר ה־x ב־(ln3 , 0); אין חיתוך עם ציר ה־y (כי x = 0 לא בתחום).
משמאל ל־0: הגרף יורד מציר ה־x (מתחתיו) אל −∞ ליד x = 0.
בין 0 ל־ln5: יורד מ־+∞ אל −∞ וחותך את ציר ה־x ב־ln3.
מימין ל־ln5: יורד מ־+∞ ומתקרב ל־y = 2 מלמעלה.
הגרף סורטט בקנה מידה מהפונקציה עצמה:
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ו – השטח
הגבולות: הישר x = ln2 ≈ 0.69 ונקודת החיתוך עם ציר ה־x, x = ln3 ≈ 1.10. הפונקציה יורדת ומתאפסת ב־ln3, ולכן בין ln2 ל־ln3 היא חיובית (למשל f(ln2) = 8 − 124 − 12 + 5 = 43 > 0) – השטח מעל ציר ה־x:
S📐 שטח מעל ציר ה־xS = ∫ba f(x) dx
= ∫ln3ln2 2e2x − 6exe2x − 6ex + 5 dx
נשים לב: הנגזרת של המכנה היא בדיוק המונה:
(e2x − 6ex + 5)′
= 2e2x − 6ex
S📐 אינטגרל מהצורה מנה∫ g′(x)g(x) dx = ln|g(x)| + C
= [ ln|e2x − 6ex + 5| ]ln3ln2
נציב (e2ln3 = 9, eln3 = 3, e2ln2 = 4, eln2 = 2):
S
= ln|9 − 18 + 5| − ln|4
− 12 + 5|
S = ln|−4| − ln|−3|
S = ln4 − ln3
S = ln43 ≈ 0.288📐 חוק לוגריתמיםln a − ln b = lnab
✅ פתרון סופי: S = ln43 ≈ 0.288
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א (1) | x ≠ 0 , x ≠ ln5 |
|---|---|
| סעיף א (2) | x = 0 , x = ln5 , y = a , y = a − 2 |
| סעיף ב | f′(x) < 0 |
| סעיף ג | a = 2 או a = 4 |
| סעיף ד | הוכחה |
| סעיף ה (1) | (ln3 , 0) |
| סעיף ה (2) | סקיצה |
| סעיף ו | ln43 ≈ 0.288 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – מציאת אסימפטוטה אופקית (שאיפה לאינסוף ולמינוס אינסוף)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 5 – חקירת פונקציית ln ופונקציה מורכבת
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 8ln(x2 + 7) − 2x.
תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) הוא כל x.
א. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.
ב. מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה ∪ וכלפי מטה ∩ של הפונקציה f(x).
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה g(x) = ln(f(x) − 18).
ד. (1) כמה אסימפטוטות אנכיות יש לפונקציה g(x)? נמקו.
(2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגה.
(3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – נקודות הקיצון
נגזור. את האיבר הראשון לפי נגזרת של ln מורכבת:
f′(x) = 8 · 2xx2 + 7 − 2📐 נגזרת של ln מורכבת[ln g(x)]′ = g′(x)g(x)
f′(x) = 16xx2 + 7 − 2
נכנס למכנה משותף:
f′(x) = 16x − 2(x2 + 7)x2 + 7
f′(x) = −2x2 + 16x − 14x2 + 7
המכנה תמיד חיובי. נשווה את המונה ל־0 ונחלק ב־−2:
−2x2 + 16x − 14 = 0
x2 − 8x + 7 = 0
x1,2 = 8 ± √64 − 282📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
= 8 ± 62
x1 = 1 , x2 = 7
נבדוק את סימן הנגזרת (לפי המונה) בכל תחום:
| x | x < 1 | 1 | 1 < x < 7 | 7 | x > 7 |
|---|---|---|---|---|---|
| f′(x) | − | 0 | + | 0 | − |
| f(x) | ↘ | מינימום | ↗ | מקסימום | ↘ |
f′(0) = −147 = −2 < 0 ,
f′(2)
= −8 + 32 − 1411 = 1011 > 0
f′(8)
= −128 + 128 − 1471 < 0
שיעורי ה־y:
f(1) = 8ln(1 + 7) − 2 · 1
= 8ln8 − 2 ≈ 14.64
f(7)
= 8ln(49 + 7) − 2 · 7
= 8ln56 − 14 ≈ 18.20
✅ פתרון סופי: מינימום (1 , 8ln8 − 2) ≈ (1 , 14.64) ; מקסימום (7 , 8ln56 − 14) ≈ (7 , 18.20)
סעיף ב – תחומי הקעירות
נגזור שוב את f′(x) = 16xx2 + 7 − 2:
f″(x)📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= 16 · (x2 + 7) − 16x · 2x(x2 + 7)2
f″(x) = 16x2 + 112 − 32x2(x2 + 7)2
f″(x) = 112 − 16x2(x2 + 7)2
= 16(7 − x2)(x2 + 7)2
המכנה חיובי, ולכן הסימן נקבע לפי 7 − x²:
7 − x2 = 0 ⟸ x = ±√7
≈ ±2.65
−√7 < x < √7 : f″(x) > 0📐 קעירותf″ > 0 ⟸ ∪ , f″ < 0 ⟸ ∩
שם הפונקציה קעורה כלפי מעלה ∪.
x < −√7 : f″(x) < 0
x > √7 : f″(x) < 0
שם הפונקציה קעורה כלפי מטה ∩.
✅ פתרון סופי: קעורה כלפי מעלה ∪ ב־−√7 < x < √7 ; קעורה כלפי מטה ∩ ב־x < −√7 או x > √7
סעיף ג – סקיצה
מה שמצאנו: יורדת עד x = 1 (מינימום (1 , 14.64)), עולה עד x = 7 (מקסימום (7 , 18.20)), ואחר כך יורדת. נקודות פיתול ב־x = ±√7.
חיתוך עם ציר ה־y: f(0) = 8ln7 ≈ 15.57, כלומר (0 , 15.57).
משמאל הגרף גבוה (המינימום 14.64 הוא הערך הקטן ביותר עד x = 7). מימין ל־7 הפונקציה יורדת בלי הגבלה (האיבר −2x גדל מהר יותר מ־8ln(x2 + 7)), ולכן הגרף חותך את ציר ה־x פעם אחת, רחוק ימינה (בערך ב־x ≈ 26.15).
הגרף סורטט בקנה מידה מהפונקציה עצמה (הקו הירוק y = 18 ישמש בסעיף ד):
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ד (1) – מספר האסימפטוטות האנכיות של g
g(x) = ln(f(x) − 18) מוגדרת רק כאשר:
f(x) − 18 > 0
⟸ f(x) > 18
אסימפטוטה אנכית של g מתקבלת בנקודה שבה f(x) − 18 → 0 מצד החיוביים, כי אז ln → −∞. כלומר בכל נקודה שבה הגרף של f חוצה את הישר y = 18.
לפי סעיפים א–ג: המינימום 14.64 < 18 והמקסימום 18.20 > 18. לכן:
• כש־x < 1: f יורדת מערכים גדולים מאוד עד 14.64 – חוצה את y = 18 פעם אחת (בערך ב־x ≈ −0.84).
• כש־1 < x < 7: f עולה מ־14.64 עד 18.20 – חוצה פעם אחת (בערך ב־x ≈ 5.67).
• כש־x > 7: f יורדת מ־18.20 בלי הגבלה – חוצה פעם אחת (בערך ב־x ≈ 8.43).
שלוש נקודות חיתוך, ובכל אחת מהן g → −∞.
✅ פתרון סופי: 3 אסימפטוטות אנכיות
סעיף ד (2) – נקודת הקיצון של g
לא גוזרים את g – קוראים אותה מתוך הגרף של f (סעיף ג).
g(x) = ln(f(x) − 18)📐 משפט: הגרף של ln(f)ln t פונקציה עולה, ולכן:
f עולה ⇐ ln(f − 18) עולה
f יורדת ⇐ ln(f − 18) יורדת
לקיצון של f (בתחום) מתאים קיצון מאותו סוג
f עולה ⇐ ln(f − 18) עולה
f יורדת ⇐ ln(f − 18) יורדת
לקיצון של f (בתחום) מתאים קיצון מאותו סוג
לפונקציה f יש שני קיצונים: מינימום ב־x = 1 ומקסימום ב־x = 7.
הנקודה x = 1 לא בתחום של g, כי f(1) ≈ 14.64 < 18.
הנקודה x = 7 בתחום של g, כי f(7) ≈ 18.20 > 18.
מקסימום של f ⇐ מקסימום של g ב־x = 7.
בענף x < −0.84 הפונקציה f רק יורדת, ולכן גם g רק יורדת – אין שם קיצון.
g(7) = ln(f(7) − 18)
= ln(8ln56 − 14 − 18)
g(7)
= ln(8ln56 − 32)
≈ ln(0.2028) ≈ −1.60
✅ פתרון סופי: מקסימום (7 , ln(8ln56 − 32)) ≈ (7 , −1.60)
סעיף ד (3) – סקיצה של g
תחום ההגדרה: x < −0.84 או 5.67 < x < 8.43 (בקירוב). שלוש אסימפטוטות אנכיות בקצוות.
הענף השמאלי: יורד, ושואף ל־−∞ ליד x ≈ −0.84. כש־x קטן מאוד, f גדלה ולכן גם g גדלה (לאט).
הענף האמצעי: עולה מ־−∞ עד המקסימום (7 , −1.60) ויורד שוב ל־−∞. כולו מתחת לציר ה־x (כי f − 18 < 1 שם).
הגרף סורטט בקנה מידה מהפונקציה עצמה:
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | מינימום: (1 , 8ln8 − 2) ≈ (1 , 14.64) מקסימום: (7 , 8ln56 − 14) ≈ (7 , 18.20) |
|---|---|
| סעיף ב | ∪ −√7 < x < √7 ; ∩ x < −√7 או x > √7 |
| סעיף ג | סקיצה |
| סעיף ד (1) | 3 |
| סעיף ד (2) | מקסימום (7 , ln(8ln56 − 32)) ≈ (7 , −1.60) |
| סעיף ד (3) | סקיצה |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 28 – בהינתן f(x), שרטוט ln(f(x))
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
בקורסים של מתמטריק לשאלון 572 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.
השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il