בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 471 – קיץ 2023 מועד מיוחד

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 8 שאלות בשלושה פרקים: סטטיסטיקה והסתברות, גאומטרייה, וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. עונים על 5 שאלות מתוך 8 (בלי חובה מכל פרק), 20 נקודות לכל שאלה. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2023 מועד מיוחד

שאלון 471 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 7
שאלון 471 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 7
שאלון 471 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 7
שאלון 471 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 7
שאלון 471 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 7
שאלון 471 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 7
שאלון 471 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 7
עמוד 7 מתוך 7

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – התפלגות נורמלית

📄 נוסח השאלה

בבית ספר מסוים נערכו שני מבחני מתכונת במתמטיקה. הציונים בכל אחד ממבחני המתכונת מתפלגים נורמלית. במתכונת הראשונה היה הציון הממוצע 65.05, וסטיית התקן של הציונים הייתה 15. הציון שקיבלה שירה במתכונת הראשונה היה 70.

א. מהו אחוז התלמידים שקיבלו ציון נמוך מן הציון שקיבלה שירה במתכונת הראשונה?

הציון שקיבלה שירה במתכונת השנייה היה 78. אחוז התלמידים שקיבלו ציון נמוך מן הציון שקיבלה שירה במתכונת השנייה זהה לאחוז התלמידים שקיבלו ציון נמוך מן הציון שלה במתכונת הראשונה. סטיית התקן של הציונים במתכונת השנייה הייתה 10.

ב. חשבו את הציון הממוצע במתכונת השנייה.

אריאל קיבל ציון זהה בשתי המתכונות. ידוע כי במתכונת הראשונה קיבלו 29.8% מן התלמידים ציון גבוה ממנו.

ג. (1) מהו הציון שקיבל אריאל בשתי המתכונות? (2) באיזו משתי המתכונות הצליח אריאל יותר יחסית לכל התלמידים שנבחנו? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – אחוז מתחת לשירה במתכונת הראשונה

z = 70 − 65.0515 = 4.9515 = 0.33📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 0.3 ובעמודה 0.03 רשום 0.629. כלומר כ־62.9% מהתלמידים קיבלו פחות משירה. בטבלה מפורטת יותר רשום 0.6293, כלומר 62.93%.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.3 עמודה 0.03
✅ פתרון סופי: 62.93%

סעיף ב – הממוצע במתכונת השנייה

אותו אחוז מתחת לציון ← אותו ציון תקן: z = 0.33.📐 ציון תקן ואחוזוןאותו אחוז מתחת ⟺ אותו z
0.33 = 78 − x̄10📐 ציון תקןz = x − x̄S
78 − x̄ = 3.3 → x̄ = 74.7
✅ פתרון סופי: x̄ = 74.7

סעיף ג (1) – הציון של אריאל

29.8% קיבלו יותר מאריאל, אז עושים 1 פחות: 1 − 0.298 = 0.702 קיבלו פחות ממנו.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.702: הוא נמצא בשורה 0.5 ובעמודה 0.03, כלומר z = 0.53. זה ציון התקן של אריאל במתכונת הראשונה.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.5 עמודה 0.03
0.53 = a − 65.0515📐 ציון תקןz = x − x̄S
a − 65.05 = 7.95 → a = 73
✅ פתרון סופי: 73

סעיף ג (2) – באיזו מתכונת הצליח יותר

z2 = 73 − 74.710 = −0.17📐 ציון תקןz = x − x̄S
במתכונת הראשונה z1 = 0.53 – מעל הממוצע. בשנייה z2 = −0.17 – מתחת לממוצע. ציון תקן גבוה יותר = הצלחה יחסית גבוהה יותר.
✅ פתרון סופי: במתכונת הראשונה

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א62.93%
סעיף ב74.7
סעיף ג (1)73
סעיף ג (2)במתכונת הראשונה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – ציון תקן 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – רגרסיה ומקדם מתאם

📄 נוסח השאלה

מורה למתמטיקה לתלמידי כיתה י"א רצתה לבדוק את הקשר הלינארי בין ציוני תלמידיה בבחינת הבגרות במתמטיקה (המשתנה x) ובין ציוני ההגשה שלהם (המשתנה y). בטבלה שלפניכם מוצגים הציונים של חמישה תלמידים שנבחנו בשנת 2022. ציון ההגשה של התלמיד החמישי אינו מוצג.

ציון בחינת הבגרות (x)ציון ההגשה (y)
5978
6081
6081
6081
61?

א. מצאו את ממוצע ציוני בחינת הבגרות של תלמידים אלה.

המורה חישבה את ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x. נתון כי בעבור x = 60 מנובא הערך y = 80. נתון גם כי שיפוע ישר הרגרסיה הוא 0.5.

ב. (1) מצאו את משוואת ישר הרגרסיה. (2) מצאו את ציון ההגשה של התלמיד החמישי. נמקו.

בעבור חמישה תלמידים שנבחנו בשנת 2021 חישבה המורה את מקדם המתאם בין שני המשתנים, ואז חישבה את ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x. היא גילתה שציון ההגשה של כל אחד מן התלמידים זהה בדיוק לציון ההגשה המנובא לו באמצעות ישר הרגרסיה.

ג. קבעו מה הן שתי הטענות האפשריות מבין הטענות (1)–(4) שלפניכם. נמקו. (1) 0 < r < 1 (2) r = 1 (3) −1 < r < 0 (4) r = −1

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – ממוצע ציוני הבגרות

x̄ = 59 + 60 + 60 + 60 + 615 = 3005 = 60📐 ממוצעx̄ = x1 + x2 + … + xnn
✅ פתרון סופי: x̄ = 60

סעיף ב (1) – משוואת ישר הרגרסיה

הישר עובר דרך (60 , 80) ושיפועו 0.5:
y − 80 = 0.5(x − 60)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y = 0.5x − 30 + 80 = 0.5x + 50
✅ פתרון סופי: y = 0.5x + 50

סעיף ב (2) – ציון ההגשה של החמישי

ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים (x̄ , ȳ). כש־x̄ = 60 הישר נותן 80, ולכן ȳ = 80.📐 נקודה על ישר הרגרסיה(x̄ , ȳ)
נסמן את הציון החסר ב־k:
78 + 81 + 81 + 81 + k5 = 80 → 321 + k = 400 → k = 79
בדיקה: שיפוע: (−1)(−2) + 0 + 0 + 0 + 1 · (−1)1 + 0 + 0 + 0 + 1 = 12 = 0.5 ✓
✅ פתרון סופי: 79

סעיף ג – שתי הטענות האפשריות

כל ציון שווה בדיוק לניבוי ← כל הנקודות על ישר הרגרסיה. זה קורה רק כש־r = 1 (ישר עולה) או r = −1 (ישר יורד).📐 מקדם המתאם|r| = 1 ⟺ כל הנקודות על ישר אחד
בטענות (1) ו־(3) הקשר לא מושלם – חלק מהנקודות מחוץ לישר.
✅ פתרון סופי: טענות (2) ו־(4)

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א60
סעיף ב (1)y = 0.5x + 50
סעיף ב (2)79
סעיף ג(2) ו־(4)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – מציאת קו הרגרסיה (קו הניבוי)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות

📄 נוסח השאלה

בקופסה יש 5 כפתורים אדומים ו־4 כפתורים כחולים. דנה משחקת בכפתורים: היא מוציאה באקראי כפתור אחד מן הקופסה. אם יצא כפתור כחול, היא מחזירה אותו לקופסה, ואם יצא כפתור אדום, היא לא מחזירה אותו לקופסה. לאחר מכן, היא מוציאה באקראי כפתור שני מן הקופסה.

א. מהי ההסתברות שדנה הוציאה שני כפתורים בצבעים השונים זה מזה?

ב. מהי ההסתברות שדנה הוציאה לכל היותר כפתור אחד אדום?

רותי ודנה משחקות יחד בכפתורים: הן מטילות מטבע מאוזן שעל צד אחד שלו כתובה האות A ועל הצד האחר כתובה האות B. אם מתקבלת האות A, דנה מוציאה באקראי שני כפתורים מן הקופסה באופן המתואר בפתיח. אם מתקבלת האות B, רותי מוציאה באקראי שני כפתורים מן הקופסה עם החזרה.

ג. מהי ההסתברות ששני הכפתורים שיצאו במשחק הזה היו בצבעים שונים זה מזה?

ד. ידוע ששני הכפתורים שיצאו במשחק הזה היו בצבעים שונים זה מזה. מהי ההסתברות שהכפתור הראשון שיצא היה אדום?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – צבעים שונים אצל דנה

אדום ראשון לא חוזר (נשארים 8 כפתורים). כחול ראשון חוזר (שוב 9):
P(א, כ) = 59 · 48 = 2072 = 518
P(כ, א) = 49 · 59 = 2081
P = 518 + 2081 = 45162 + 40162 = 85162 ≈ 0.525📐 עץ הסתברויותכופלים לאורך ענף, מחברים בין ענפים
✅ פתרון סופי: 85162 ≈ 0.525

סעיף ב – לכל היותר אדום אחד

P = 1 − P(א, א) = 1 − 59 · 48 = 1 − 518 = 1318 ≈ 0.722📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)
✅ פתרון סופי: 1318 ≈ 0.722

סעיף ג – צבעים שונים במשחק

אצל רותי (עם החזרה):
P = 2 · 59 · 49 = 4081
P = 12 · 85162 + 12 · 4081 = 12 · (85162 + 80162) = 165324 = 55108 ≈ 0.509📐 הסתברות שלמהמטבע: כל אות בהסתברות 12
✅ פתרון סופי: 55108 ≈ 0.509

סעיף ד – הראשון אדום, בידיעה שהצבעים שונים

צבעים שונים וגם הראשון אדום ← אדום ואז כחול:
P = 12 · 518 + 12 · 59 · 49 = 12 · (45162 + 40162) = 85324
P = 85324165324 = 85165 = 1733 ≈ 0.515📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 1733 ≈ 0.515

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א85162
סעיף ב1318
סעיף ג55108
סעיף ד1733
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 19 – הסתברות מותנת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – משולש, קטע אמצעים ומקבילית

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר משולש ABC. הקודקוד B נמצא על ציר ה־y, והצלע AC מקבילה לציר ה־y. נתון: A(6 , 6) , AB = √40. שיעור ה־y של הקודקוד B קטן מ־6.

א. מצאו את שיעורי הקודקוד B.

הנקודה E היא אמצע הצלע BC. נתון: הנקודה E נמצאת על ציר ה־x.

ב. מצאו את שיעורי הנקודות C ו־E.

הנקודה D היא אמצע הצלע AC. מן הנקודה E העבירו ישר המקביל לציר ה־y וחותך את הצלע AB בנקודה F.

ג. (1) הוכיחו כי המרובע FADE הוא מקבילית. (2) חשבו את שטח המקבילית FADE.

ד. מצאו את גודל הזווית DEF.

סרטוט לשאלה 4
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – שיעורי B

B(0 , b):
(6 − 0)2 + (6 − b)2 = (√40)2📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
36 + (6 − b)2 = 40 → (6 − b)2 = 4 → 6 − b = ±2
b = 4 או b = 8. נתון b < 6, ולכן b = 4.
✅ פתרון סופי: B(0 , 4)

סעיף ב – שיעורי C ו־E

AC מקבילה לציר ה־y, ולכן ל־C אותו x כמו ל־A: C(6 , c).
E אמצע BC ועל ציר ה־x (y = 0):📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
4 + c2 = 0 → c = −4
xE = 0 + 62 = 3
✅ פתרון סופי: C(6 , −4) , E(3 , 0)

סעיף ג (1) – FADE מקבילית

FE מקביל לציר ה־y (נתון), וגם AD (על AC). לכן FE ∥ AD.
D אמצע AC ו־E אמצע BC, ולכן DE קטע אמצעים במשולש ABC: DE ∥ AB, כלומר DE ∥ FA.📐 קטע אמצעים במשולשמקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה
שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות ← מקבילית.📐 מקביליתמרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילות
✅ פתרון סופי: FADE מקבילית ✓

סעיף ג (2) – שטח המקבילית

D = (6 , 6 + (−4)2) = (6 , 1)
AD = 6 − 1 = 5
הגובה לצלע AD הוא המרחק בין הישרים האנכיים x = 3 ו־x = 6: h = 6 − 3 = 3.
S = 5 · 3 = 15📐 שטח מקביליתS = צלע · הגובה אליה
✅ פתרון סופי: S = 15

סעיף ד – הזווית DEF

EF אנכי (כלפי מעלה מ־E(3 , 0)). מעבירים מ־D(6 , 1) אנך לישר EF – נוצר משולש ישר זווית עם ניצבים:
אופקי: 6 − 3 = 3 (מול הזווית) ; אנכי: 1 − 0 = 1 (ליד הזווית).
tan(∢DEF) = 31 = 3📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
∢DEF ≈ 71.57
✅ פתרון סופי: ∢DEF ≈ 71.57 מעלות

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אB(0 , 4)
סעיף בC(6 , −4) , E(3 , 0)
סעיף ג (2)15
סעיף ד71.57 מעלות
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 23 – נקודת אמצע קטע 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – מעגל ומשיק

📄 נוסח השאלה

נתון מעגל שמרכזו M(6 , 10). המעגל משיק לציר ה־x בנקודה A.

א. מצאו את משוואת המעגל.

הנקודה B היא אחת מנקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה־y, כמתואר בסרטוט. הישר BC משיק למעגל בנקודה B.

ב. (1) מצאו את שיעורי הנקודה B. (2) מצאו את משוואת המשיק למעגל, BC.

נתון: ∢BCA = 90 מעלות.

ג. (1) הוכיחו: AC מקביל ל־MB. (2) הוכיחו: AB חוצה את הזווית CAM.

ד. חשבו את אורך הקטע AC.

סרטוט לשאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – משוואת המעגל

המעגל משיק לציר ה־x ב־A, ולכן MA מאונך לציר: A(6 , 0) ו־R = 10.📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
(x − 6)2 + (y − 10)2 = 100📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
✅ פתרון סופי: (x − 6)2 + (y − 10)2 = 100

סעיף ב (1) – שיעורי B

(0 − 6)2 + (y − 10)2 = 100 → (y − 10)2 = 64 → y − 10 = ±8
y = 18 או y = 2. לפי הסרטוט B מעל M, ולכן B(0 , 18).
✅ פתרון סופי: B(0 , 18)

סעיף ב (2) – משוואת המשיק BC

mMB = 18 − 100 − 6 = −43📐 שיפועm = y2 − y1x2 − x1
המשיק מאונך לרדיוס MB: m · (−43) = −1 → m = 34.📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y − 18 = 34(x − 0) → y = 0.75x + 18📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
✅ פתרון סופי: y = 0.75x + 18

סעיף ג (1) – AC ∥ MB

AC ⊥ BC – נתון ∢BCA = 90.
MB ⊥ BC – רדיוס לנקודת ההשקה.📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה: AC ∥ MB.📐 ישרים מקביליםשני ישרים המאונכים לאותו ישר – מקבילים
✅ פתרון סופי: AC ∥ MB ✓

סעיף ג (2) – AB חוצה את ∢CAM

MA = MB (רדיוסים), ולכן המשולש MAB שווה שוקיים: ∢MAB = ∢MBA.📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות
∢MBA = ∢BAC – זוויות מתחלפות בין המקבילים MB ו־AC.📐 זוויות מתחלפותזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
לכן ∢MAB = ∢BAC, כלומר AB חוצה את ∢CAM.
✅ פתרון סופי: AB חוצה זווית ✓

סעיף ד – אורך AC

מוצאים את הנקודה C – החיתוך של הישר AC עם המשיק BC, ואז מחשבים את AC.
בסעיף ג (1) הוכחנו AC ∥ MB, ולכן לשני הישרים אותו שיפוע: mAC = mMB = −43.📐 ישרים מקביליםm1 = m2
y − 0 = −43(x − 6) → y = −43x + 8📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
החיתוך עם המשיק y = 0.75x + 18:
−43x + 8 = 0.75x + 18
כופלים ב־12:
−16x + 96 = 9x + 216 → −25x = 120 → x = −4.8
y = 0.75 · (−4.8) + 18 = −3.6 + 18 = 14.4, כלומר C(−4.8 , 14.4).
6 − (−4.8) = 10.8 , 0 − 14.4 = −14.4
AC = √10.82 + (−14.4)2 = √116.64 + 207.36 = √324 = 18📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
בדיקה: C על הישר AC: −43 · (−4.8) + 8 = 6.4 + 8 = 14.4 ✓
✅ פתרון סופי: AC = 18

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א(x − 6)2 + (y − 10)2 = 100
סעיף ב (1)B(0 , 18)
סעיף ב (2)y = 0.75x + 18
סעיף גהוכחות
סעיף דAC = 18
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 41 – משיק למעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – פונקציה רציונלית עם פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 2xx2 − a, a הוא פרמטר. נתון כי גרף הפונקצייה f(x) עובר דרך הנקודה (3 , 1.2).

א. מצאו את a.

הציבו a = 4 בפונקצייה f(x) וענו על הסעיפים ב–ו.

ב. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ג. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x).

ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x) (אם יש כאלה).

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = −f(x) + 1.

ו. (1) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה g(x). (2) כמה פתרונות יש למשוואה g(x) = 1? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – הערך של a

2 · 332 − a = 1.2 → 69 − a = 1.2📐 נקודה על גרףמציבים את שיעוריה במשוואה
9 − a = 61.2 = 5 → a = 4
✅ פתרון סופי: a = 4

סעיף ב – תחום הגדרה

x2 − 4 ≠ 0 → x ≠ ±2📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0
✅ פתרון סופי: x ≠ ±2

סעיף ג – אסימפטוטות

אנכיות: x = ±2 – המכנה מתאפס, והמונה שם ±4 ≠ 0.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0
אופקית: חזקה 1 במונה וחזקה 2 במכנה: y = 0.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במכנה גדולה מבמונה ← y = 0
✅ פתרון סופי: x = ±2 , y = 0

סעיף ד – עלייה וירידה

f′(x) = 2(x2 − 4) − 2x · 2x(x2 − 4)2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= 2x2 − 8 − 4x2(x2 − 4)2 = −2x2 − 8(x2 − 4)2
המונה −2x2 − 8 = −2(x2 + 4) שלילי תמיד, והמכנה ריבוע חיובי. לכן f′(x) < 0 בכל התחום – אין נקודות קיצון.
xf′(x)f(x)
x < −2−↘ יורדת
−2 < x < 2−↘ יורדת
x > 2−↘ יורדת
✅ פתרון סופי: יורדת: x < −2 , −2 < x < 2 , x > 2
✅ פתרון סופי: עלייה: אין

סעיף ה – סקיצה

הגרף עובר דרך הראשית (0 , 0) (היחידה שבה המונה 0), יורד בכל אחד משלושת התחומים, ומתקרב ל־y = 0 בקצוות. משמאל ל־−2 הוא מתחת לציר, מימין ל־2 מעליו.
xyx = −2x = 2(0, 0)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ו (1) – סקיצה של g(x)

−f(x) – שיקוף של הגרף ביחס לציר ה־x (עכשיו עולה בכל תחום), ו־+1 – הזזה של 1 למעלה. האסימפטוטות: x = ±2 ו־y = 1, והגרף עובר דרך (0 , 1).📐 שיקוף והזזה−f(x) ← שיקוף ; f(x) + c ← הזזה למעלה
xyx = −2x = 2y = 1(0, 1)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ו (2) – פתרונות של g(x) = 1

−f(x) + 1 = 1 → f(x) = 0
2xx2 − 4 = 0 → x = 0
פתרון אחד בלבד. בסקיצה: הישר y = 1 הוא האסימפטוטה, והגרף חוצה אותה רק ב־(0 , 1).
✅ פתרון סופי: פתרון אחד (x = 0)

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף אa = 4
סעיף בx ≠ ±2
סעיף גx = ±2 , y = 0
סעיף דיורדת בכל התחום
סעיף ו (2)פתרון אחד
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 49 – חקירת פונקציית מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – פונקציית שורש עם פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 6x · (√x − m), m > 0 הוא פרמטר.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

לפונקצייה f(x) יש נקודת קיצון פנימית אחת בנקודה שבה x = 4.

ב. (1) מצאו את m. (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים. (3) מצאו את שיעור ה־y של נקודת הקיצון הפנימית של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ד. (1) סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x) בתחום x ≥ 1. (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = 1 ועל ידי ציר ה־x.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

x ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי בתוך השורש ≥ 0
✅ פתרון סופי: x ≥ 0

סעיף ב (1) – הערך של m

פותחים סוגריים: f(x) = 6x√x − 6mx = 6x1.5 − 6mx.
f′(x) = 6 · 1.5x0.5 − 6m = 9√x − 6m📐 נגזרת של חזקה(xn)′ = n · xn − 1
f′(4) = 9 · 2 − 6m = 0 → 6m = 18 → m = 3📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
✅ פתרון סופי: m = 3

סעיף ב (2) – חיתוך עם הצירים

6x(√x − 3) = 0📐 מכפלה שווה לאפסA · B = 0 ⟺ A = 0 או B = 0
x = 0 או √x = 3 → x = 9
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (9 , 0)

סעיף ב (3) – נקודת הקיצון הפנימית

f(4) = 24 · (2 − 3) = −24
f′(1) = 9 − 18 < 0 ← יורדת ; f′(9) = 27 − 18 > 0 ← עולה
xf′(x)f(x)
0קצה התחוםמקסימום קצה
0 < x < 4−↘ יורדת
40מינימום
x > 4+↗ עולה
✅ פתרון סופי: מינימום (4 , −24)

סעיף ג – סקיצה

הגרף יוצא מ־(0 , 0), יורד עד המינימום (4 , −24), עולה, חוצה את ציר ה־x ב־(9 , 0) וממשיך לעלות.
xy(4, −24)(9, 0)(0, 0)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד (1) – סקיצה של f′(x) בתחום x ≥ 1

f′(x) = 9√x − 18: f′(1) = −9 , f′(4) = 0, ומשם חיובית וגדלה (כמו גרף של שורש).
xyx = 1(1, −9)(4, 0)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד (2) – השטח

בין x = 1 ל־x = 4 הנגזרת שלילית – השטח מתחת לציר. הפונקצייה הקדומה של f′ היא f:
S = −∫41 f′(x) dx = −[f(4) − f(1)]📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)
f(1) = 6 · (1 − 3) = −12
S = −[−24 − (−12)] = 12
✅ פתרון סופי: S = 12 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף אx ≥ 0
סעיף ב (1)m = 3
סעיף ב (2)(0 , 0) , (9 , 0)
סעיף ב (3)מינימום y = −24
סעיף ד (2)S = 12
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ונקודות קיצון בחקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון: מקבילית בין פרבולה לישר

📄 נוסח השאלה

נתונים הפונקצייה f(x) = −x2 + 16x והישר y = 4x. הנקודה A נמצאת על גרף הפונקצייה f(x) ברביע הראשון. הנקודה B נמצאת על הישר הנתון כך שהנקודה A נמצאת מעליה, כמתואר בסרטוט. O היא ראשית הצירים. הנקודה C נמצאת על החלק החיובי של ציר ה־y כך שהמרובע ABOC הוא מקבילית. נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה A.

א. הביעו באמצעות t את אורך הצלע AB ואת אורך הגובה לצלע AB במקבילית.

ב. מצאו את הערך של t שבעבורו שטח המקבילית ABOC הוא מקסימלי.

סרטוט לשאלה 8
✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – AB והגובה

A(t , −t2 + 16t) , B(t , 4t) – אותו x, ולכן AB אנכי.
AB = −t2 + 16t − 4t = −t2 + 12t
AB מקביל לציר ה־y, ו־OC על ציר ה־y. הגובה הוא המרחק בין שני הישרים האנכיים x = 0 ו־x = t: h = t.📐 גובה במקביליתהמרחק בין שתי הצלעות המקבילות
✅ פתרון סופי: AB = −t2 + 12t , h = t

סעיף ב – שטח מקסימלי

A מעל B: −t2 + 12t > 0 → 0 < t < 12.
S(t) = t(−t2 + 12t) = −t3 + 12t2📐 שטח מקביליתS = צלע · הגובה אליה
S′(t) = −3t2 + 24t📐 נגזרת של פולינום(xn)′ = n · xn − 1
−3t(t − 8) = 0 → t = 8 (ו־t = 0 נפסל)📐 נקודת קיצוןS′(t) = 0
S′(4) = −48 + 96 > 0 ← עולה ; S′(10) = −300 + 240 < 0 ← יורדת
S(8) = −512 + 768 = 256 – מקסימום.
✅ פתרון סופי: t = 8 (השטח המקסימלי 256)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אAB = −t2 + 12t , h = t
סעיף בt = 8 (S = 256)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות