בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 471 – חורף 2026

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 8 שאלות בשלושה פרקים: סטטיסטיקה והסתברות, גאומטרייה, וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. עונים על 5 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 20 נקודות לכל שאלה. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2026

שאלון 471 חורף 2026 – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 7
שאלון 471 חורף 2026 – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 7
שאלון 471 חורף 2026 – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 7
שאלון 471 חורף 2026 – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 7
שאלון 471 חורף 2026 – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 7
שאלון 471 חורף 2026 – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 7
שאלון 471 חורף 2026 – עמוד 7
עמוד 7 מתוך 7

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – התפלגות נורמלית

📄 נוסח השאלה

הציונים בבחינה הפסיכומטרית בשנה מסוימת התפלגו נורמלית, וממוצע הציונים היה 550. בשנה זו ניגשה לימור לבחינה הפסיכומטרית. הציון של לימור בבחינה היה 686, וציון התקן שלה היה 1.6.

א. מצאו את סטיית התקן של הציונים בבחינה.

ציון הסף הוא הציון הנמוך ביותר שצריך להשיג בבחינה כדי להתקבל לחוג מסוים. בטבלה מוצג ציון הסף הנדרש כדי להתקבל לחוג לספרות וציון הסף הנדרש כדי להתקבל לחוג לפסיכולוגיה באוניברסיטה מסוימת.

החוג לספרותהחוג לפסיכולוגיה
ציון הסף584669

גם יעל ניגשה לבחינה בשנה זו. נתון כי 57.9% מן הנבחנים קיבלו ציון נמוך מן הציון של יעל.

ב. האם יעל יכולה להתקבל לחוג לספרות? נמקו את תשובתכם.

ג. (1) מצאו את אחוז הנבחנים שיכולים להתקבל לחוג לפסיכולוגיה. (2) מצאו את אחוז הנבחנים שיכולים להתקבל לחוג לספרות אך אינם יכולים להתקבל לחוג לפסיכולוגיה.

נתון כי 8,448 נבחנים יכולים להתקבל לחוג לספרות אך אינם יכולים להתקבל לחוג לפסיכולוגיה.

ד. על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה נבחנים יכולים להתקבל לחוג לפסיכולוגיה?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – סטיית התקן

נתון: הממוצע x̄ = 550, הציון של לימור x = 686, ציון התקן שלה z = 1.6. סטיית התקן S לא ידועה.
1.6 = 686 − 550S = 136S📐 ציון תקןz = x − x̄S
כופלים את שני האגפים ב־S:
1.6S = 136
S = 1361.6 = 85
בדיקה: 686 − 55085 = 13685 = 1.6 ✓
✅ פתרון סופי: S = 85

סעיף ב – האם יעל יכולה להתקבל לחוג לספרות

57.9% מהנבחנים קיבלו פחות מיעל, כלומר בטבלה צריך למצוא את 0.579.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.579: הוא נמצא בשורה 0.2 ובעמודה 0.00, כלומר z = 0.2. זה ציון התקן של יעל.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.2 עמודה 0.00
0.2 = x − 55085📐 ציון תקןz = x − x̄S
כופלים ב־85:
x − 550 = 0.2 · 85 = 17
x = 550 + 17 = 567
ציון הסף לספרות הוא 584, והציון של יעל 567 < 584.
✅ פתרון סופי: לא. הציון של יעל הוא 567, נמוך מציון הסף 584.

סעיף ג (1) – אחוז שיכולים להתקבל לפסיכולוגיה

צריך ציון 669 ומעלה. מחשבים את ציון התקן של 669:
z = 669 − 55085 = 11985 = 1.4📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 1.4 ובעמודה 0.00 רשום 0.919. כלומר 91.9% מהנבחנים קיבלו פחות מ־669.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.4 עמודה 0.00
אנחנו רוצים את מי שקיבלו יותר מ־669, אז עושים 1 פחות:
1 − 0.919 = 0.081
✅ פתרון סופי: 8.1%

סעיף ג (2) – ספרות אבל לא פסיכולוגיה

אלה הנבחנים שהציון שלהם בין 584 ל־669. מחשבים את ציון התקן של 584:
z = 584 − 55085 = 3485 = 0.4📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 0.4 ובעמודה 0.00 רשום 0.655. כלומר 65.5% קיבלו פחות מ־584.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.4 עמודה 0.00
מסעיף ג (1): 91.9% קיבלו פחות מ־669. מי שבין שני הציונים – מחסרים:
0.919 − 0.655 = 0.264📐 שטח בין שני ציוניםהאחוז מתחת לציון הגבוה פחות האחוז מתחת לציון הנמוך
✅ פתרון סופי: 26.4%

סעיף ד – כמה נבחנים יכולים להתקבל לפסיכולוגיה

קודם מוצאים את מספר כל הנבחנים. 8,448 נבחנים הם 26.4% מכולם (סעיף ג (2)). נסמן את מספר הנבחנים ב־N:
0.264 · N = 8,448📐 חלק מתוך הכללמספר = N · אחוז
N = 8,4480.264 = 32,000
לפסיכולוגיה יכולים להתקבל 8.1% מהנבחנים (סעיף ג (1)):
0.081 · 32,000 = 2,592
✅ פתרון סופי: 2,592 נבחנים

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אS = 85
סעיף בלא (567 < 584)
סעיף ג (1)8.1%
סעיף ג (2)26.4%
סעיף ד2,592 נבחנים
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – ציון תקן 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סטטיסטיקה ורגרסיה

📄 נוסח השאלה

תזונאי בדק את הקשר בין הטמפרטורה המקסימלית בירושלים ביום מסוים (המשתנה x) ובין צריכת המים באותו היום (המשתנה y) של יוסי, תושב ירושלים. בטבלה מוצגים הנתונים שהתקבלו בבדיקה של התזונאי בעבור 6 ימים.

הטמפרטורה המקסימלית (מעלות צלזיוס) – xצריכת המים של יוסי (ליטרים) – y
201.6
221.7
242.4
262.7
282.9
303.1

א. (1) מצאו את הממוצע של הטמפרטורה המקסימלית ב־6 הימים שנבדקו. (2) מצאו את סטיית התקן של הטמפרטורה המקסימלית ב־6 הימים שנבדקו.

התזונאי חישב ומצא כי הממוצע של צריכת המים של יוסי ב־6 הימים שנבדקו הוא 2.4 ליטר, וסטיית התקן של צריכת המים שלו היא 7√630 ליטר.

ב. מצאו את מקדם המתאם r בין שני המשתנים.

ג. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x.

התזונאי הכפיל כל אחד מנתוני צריכת המים של יוסי (המשתנה y) פי 3, כדי לייצג את צריכת המים של המשפחה של יוסי.

ד. בעבור כל אחד מן המדדים I, II שלפניכם, קבעו אם הערך שלו גדל, קטן או לא השתנה לאחר ההכפלה. נמקו את קביעותיכם.
I. הממוצע של המשתנה y.
II. סטיית התקן של המשתנה y.

ה. מצאו את השיפוע של ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x לאחר ההכפלה. נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א (1) – ממוצע הטמפרטורה

x̄ = 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 306📐 ממוצעx̄ = x1 + x2 + … + xnn
= 1506 = 25
✅ פתרון סופי: x̄ = 25 מעלות

סעיף א (2) – סטיית התקן של הטמפרטורה

מחשבים לכל יום את המרחק מהממוצע 25 ומעלים בריבוע:
(20 − 25)2 = (−5)2 = 25
(22 − 25)2 = (−3)2 = 9
(24 − 25)2 = (−1)2 = 1
(26 − 25)2 = 12 = 1
(28 − 25)2 = 32 = 9
(30 − 25)2 = 52 = 25
מחברים ומחלקים במספר הימים:
Sx2 = 25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 256 = 706 ≈ 11.667📐 שונות וסטיית תקןS2 = (x1 − x̄)2 + … + (xn − x̄)2nS = √S2
Sx = √706 ≈ 3.416
✅ פתרון סופי: Sx ≈ 3.416 מעלות

סעיף ב – מקדם המתאם

מחשבים לכל יום את מכפלת המרחקים מהממוצעים (x̄ = 25 , ȳ = 2.4):
(20 − 25)(1.6 − 2.4) = (−5)(−0.8) = 4
(22 − 25)(1.7 − 2.4) = (−3)(−0.7) = 2.1
(24 − 25)(2.4 − 2.4) = (−1)(0) = 0
(26 − 25)(2.7 − 2.4) = (1)(0.3) = 0.3
(28 − 25)(2.9 − 2.4) = (3)(0.5) = 1.5
(30 − 25)(3.1 − 2.4) = (5)(0.7) = 3.5
סכום המכפלות: A = 4 + 2.1 + 0 + 0.3 + 1.5 + 3.5 = 11.4
סטיית התקן של y נתונה: Sy = 7√630 ≈ 0.5715. מציבים בנוסחת מקדם המתאם:
r = 11.46 · 3.416 · 0.5715📐 מקדם המתאםr = An · Sx · SyA – סכום המכפלות (x − x̄)(y − ȳ)
= 11.411.713 ≈ 0.973
הקשר חיובי וחזק מאוד: בימים חמים יותר יוסי שותה יותר מים.
✅ פתרון סופי: r ≈ 0.973

סעיף ג – ישר הרגרסיה

מחשבים את השיפוע:
m = r · SySx = 0.973 · 0.57153.416📐 שיפוע ישר הרגרסיהm = r · SySx
כשמציבים את r המלא, הנוסחה מצטמצמת ל־An · Sx2, ולכן:
m = 11.46 · 11.667 = 11.470 ≈ 0.16286
ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים (25 , 2.4):
y − 2.4 = 0.16286(x − 25)📐 ישר הרגרסיהy − ȳ = m(x − x̄)
פותחים סוגריים:
y − 2.4 = 0.16286x − 4.0715
y = 0.16286x − 4.0715 + 2.4
y ≈ 0.163x − 1.671
✅ פתרון סופי: y = 0.163x − 1.671

סעיף ד – מה קורה למדדים אחרי ההכפלה פי 3

כל נתון של y נכפל ב־3:
y′ = 3 · y📐 כפל כל הנתונים במספרy′ = k · y → ȳ′ = k · ȳS′ = k · S (כש־k > 0)
מדד I – הממוצע: כשכל הנתונים נכפלים ב־3, גם הממוצע נכפל ב־3:
ȳ′ = 3 · 2.4 = 7.2
מדד II – סטיית התקן: כל המרחקים מהממוצע גדלים פי 3, ולכן גם סטיית התקן:
Sy′ = 3 · 7√630 = 7√610 ≈ 1.715
✅ פתרון סופי: I. הממוצע גדל (מ־2.4 ל־7.2)
✅ פתרון סופי: II. סטיית התקן גדלה (פי 3, בערך 1.715)

סעיף ה – השיפוע אחרי ההכפלה

מקדם המתאם לא משתנה כשכופלים את כל הנתונים במספר חיובי (הנקודות רק "נמתחות" למעלה, הקשר נשאר אותו קשר): r′ = r.
Sx לא השתנה (הטמפרטורות לא השתנו), ו־Sy′ = 3Sy:
m′ = r · 3SySx = 3 · r · SySx = 3m📐 שיפוע ישר הרגרסיהm = r · SySx
m′ = 3 · 0.16286 ≈ 0.489
✅ פתרון סופי: m′ ≈ 0.489 (פי 3 מהשיפוע המקורי)

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א (1)x̄ = 25
סעיף א (2)Sx ≈ 3.416
סעיף בr ≈ 0.973
סעיף גy = 0.163x − 1.671
סעיף דI גדל, II גדלה
סעיף הm′ ≈ 0.489
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – מציאת קו הרגרסיה (קו הניבוי)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות

📄 נוסח השאלה

ביישוב מסוים מעודדים משפחות למחזר בקבוקי זכוכית, אריזות פלסטיק ועוד. ביישוב זה מעודדים משפחות גם להתנדב במוסדות היישוב. בסקר שנערך בקרב כל המשפחות ביישוב, נמצא כי חלק מן המשפחות ממחזרות, ושאר המשפחות אינן ממחזרות. כמו כן חלק מן המשפחות ביישוב מתנדבות, והשאר אינן מתנדבות.

בוחרים באקראי משפחה מן היישוב. ההסתברות שמשפחה זו ממחזרת גדולה ב־0.44 מן ההסתברות שמשפחה זו אינה ממחזרת. 59 מן המשפחות שממחזרות הן משפחות מתנדבות.

א. (1) מצאו את אחוז המשפחות ביישוב שממחזרות. (2) מצאו את אחוז המשפחות ביישוב שממחזרות וגם מתנדבות.

מספר המשפחות ביישוב שממחזרות וגם מתנדבות גדול פי 5 ממספר המשפחות ביישוב שאינן ממחזרות וגם אינן מתנדבות.

ב. בוחרים באקראי משפחה מן היישוב. מהי ההסתברות שמשפחה זו מתנדבת?

ג. בוחרים באקראי משפחה מן היישוב שמתנדבת. מהי ההסתברות שמשפחה זו אינה ממחזרת?

ביישוב זה יש 750 משפחות.

ד. מצאו כמה משפחות ביישוב ממחזרות או מתנדבות.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – אחוז המשפחות שממחזרות

נסמן: A – המשפחה ממחזרת, B – המשפחה מתנדבת. נסמן P(A) = p.
P(A) = 1 − p📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(A)
ההסתברות לממחזרת גדולה ב־0.44 מההסתברות ללא ממחזרת:
p = (1 − p) + 0.44
מעבירים אגפים:
p + p = 1 + 0.44
2p = 1.44
p = 1.442 = 0.72
✅ פתרון סופי: 72%

סעיף א (2) – ממחזרות וגם מתנדבות

59 מהממחזרות מתנדבות – זו הסתברות מותנית: P(B | A) = 59.
P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)📐 כפל הסתברויותP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
= 0.72 · 59 = 3.69 = 0.4
✅ פתרון סופי: 40%

סעיף ב – ההסתברות שמשפחה מתנדבת

מספר המשפחות שממחזרות וגם מתנדבות גדול פי 5 ממספר אלה שלא ממחזרות וגם לא מתנדבות:
P(A ∩ B) = P(A ∩ B)5 = 0.45 = 0.08
מי שלא ממחזרות: P(A) = 1 − 0.72 = 0.28. מתוכן חלק מתנדבות וחלק לא:
P(A ∩ B) = P(A) − P(A ∩ B)📐 פירוק לפי טבלהP(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B)
= 0.28 − 0.08 = 0.2
ממלאים טבלה דו־ממדית:
ממחזרת Aלא ממחזרת Aסה"כ
מתנדבת B0.40.20.6
לא מתנדבת B0.320.080.4
סה"כ0.720.281
ההסתברות שמשפחה מתנדבת היא סכום השורה הראשונה:
P(B) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) = 0.4 + 0.2 = 0.6
✅ פתרון סופי: P(B) = 0.6

סעיף ג – מתנדבת שאינה ממחזרת

יודעים שהמשפחה מתנדבת, ולכן זו הסתברות מותנית:
P(A | B) = P(A ∩ B)P(B)📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 0.20.6 = 13 ≈ 0.333
✅ פתרון סופי: 13

סעיף ד – כמה משפחות ממחזרות או מתנדבות

"ממחזרות או מתנדבות" – לפחות אחד מהשניים:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)📐 חיבור הסתברויותP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
= 0.72 + 0.6 − 0.4 = 0.92
בדיקה: 1 − P(A ∩ B) = 1 − 0.08 = 0.92 ✓
ביישוב 750 משפחות:
0.92 · 750 = 690
✅ פתרון סופי: 690 משפחות

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א (1)72%
סעיף א (2)40%
סעיף ב0.6
סעיף ג13
סעיף ד690 משפחות
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 14 – טבלה דו ממדית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – משולש חסום במעגל, דמיון ומשיק

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם משולש ABC החסום במעגל. AC הוא קוטר במעגל. הקודקוד A נמצא על ציר ה־y והקודקוד B נמצא על ציר ה־x. דרך הנקודה C העבירו אנך לציר ה־x החותך אותו בנקודה E. הנקודה O היא ראשית הצירים.

א. (1) הוכיחו כי ∢ABO = ∢BCE. (2) הוכיחו כי △AOB ∼ △BEC.

נתון כי יחס הדמיון בין המשולש BEC ובין המשולש AOB הוא 3, וכי A(0 , 12) , B(9 , 0).

ב. (1) מצאו את אורך הצלע BE. (2) מצאו את שיעורי הקודקוד C.

בנקודה C העבירו משיק למעגל.

ג. מצאו את משוואת המשיק.

הנקודה K היא נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה־x.

ד. חשבו את שטח המרובע ABKC.

סרטוט לשאלה 4
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א (1) – הוכחה ש־∢ABO = ∢BCE

∢ABC = 90 מעלות – זווית היקפית שנשענת על הקוטר AC.📐 זווית על קוטרזווית היקפית שנשענת על קוטר שווה ל־90 מעלות
הנקודות O , B , E על ציר ה־x, ולכן הזוויות ליד B יוצרות זווית שטוחה:
∢ABO + ∢ABC + ∢CBE = 180📐 זווית שטוחהזווית שטוחה = 180 מעלות
∢ABO = 180 − 90 − ∢CBE = 90 − ∢CBE
CE מאונך לציר ה־x, ולכן ∢BEC = 90. במשולש BEC:
∢BCE + ∢CBE + 90 = 180📐 סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש = 180 מעלות
∢BCE = 90 − ∢CBE
שתי הזוויות שוות ל־90 − ∢CBE, ולכן הן שוות זו לזו.
✅ פתרון סופי: ∢ABO = ∢BCE ✓

סעיף א (2) – הוכחת הדמיון

∢AOB = 90 – הצירים מאונכים זה לזה.
∢BEC = 90 – CE מאונך לציר ה־x.
∢ABO = ∢BCE – הוכחנו בסעיף א (1).
יש שתי זוויות שוות בשני המשולשים, ולכן הם דומים.📐 משפט דמיון ז.ז.אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש אחר – המשולשים דומים
התאמת הקודקודים: A ↔ B , O ↔ E , B ↔ C.
✅ פתרון סופי: △AOB ∼ △BEC ✓

סעיף ב (1) – אורך BE

מהנקודות הנתונות: AO = 12 (המרחק של A מהראשית), OB = 9.
לפי התאמת הקודקודים, BE מתאימה ל־AO. יחס הדמיון של BEC ל־AOB הוא 3:
BEAO = 3📐 יחס דמיוןהיחס בין צלעות מתאימות שווה ליחס הדמיון
BE = 3 · 12 = 36
✅ פתרון סופי: BE = 36

סעיף ב (2) – שיעורי C

EC מתאימה ל־OB:
ECOB = 3 → EC = 3 · 9 = 27📐 יחס דמיוןהיחס בין צלעות מתאימות שווה ליחס הדמיון
E על ציר ה־x, ימינה מ־B במרחק 36:
xE = 9 + 36 = 45 , E(45 , 0)
C נמצאת בדיוק מעל E, בגובה 27:
C(45 , 27)
בדיקה: ∢ABC = 90? שיפוע AB: 0 − 129 − 0 = −43, שיפוע BC: 27 − 045 − 9 = 34, מכפלה −1 ✓
✅ פתרון סופי: C(45 , 27)

סעיף ג – משוואת המשיק ב־C

מרכז המעגל M הוא אמצע הקוטר AC:
M = (0 + 452 , 12 + 272) = (22.5 , 19.5)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
שיפוע הרדיוס MC (הוא על הקוטר AC):
mAC = 27 − 1245 − 0 = 1545 = 13📐 שיפועm = y2 − y1x2 − x1
המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה:
m · 13 = −1 → m = −3📐 משיק מאונך לרדיוסm1 · m2 = −1
משוואת ישר דרך C(45 , 27) עם שיפוע −3:
y − 27 = −3(x − 45)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y − 27 = −3x + 135
y = −3x + 135 + 27 = −3x + 162
✅ פתרון סופי: y = −3x + 162

סעיף ד – שטח המרובע ABKC

נקודה K – חיתוך המשיק עם ציר ה־x, מציבים y = 0:
0 = −3x + 162 → 3x = 162 → x = 54 , K(54 , 0)
מחלקים את המרובע באלכסון BC לשני משולשים: ABC ו־BKC.
משולש ABC – ישר זווית ב־B, הניצבים AB ו־BC:
AB = √(9 − 0)2 + (0 − 12)2 = √81 + 144 = √225 = 15📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
BC = √(45 − 9)2 + (27 − 0)2 = √1296 + 729 = √2025 = 45
SABC = 15 · 452 = 337.5📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
משולש BKC – הבסיס BK על ציר ה־x, והגובה הוא ה־y של C:
BK = 54 − 9 = 45 , h = 27
SBKC = 45 · 272 = 607.5📐 שטח משולשS = בסיס · גובה2
SABKC = 337.5 + 607.5 = 945
✅ פתרון סופי: 945 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אהוכחות
סעיף ב (1)BE = 36
סעיף ב (2)C(45 , 27)
סעיף גy = −3x + 162
סעיף ד945
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 44 – משולש כלשהו חסום במעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – דלתון במערכת צירים

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD (AB = CB , AD = CD). הקודקוד C נמצא ברביע השני. הצלע BC מקבילה לציר ה־x. נתון: A(−3 , 2) , B(0 , 6).

א. (1) מצאו את אורך הצלע AB. (2) מצאו את שיעורי הקודקוד C.

ב. מצאו את משוואת האלכסון DB.

נתון: משוואת הצלע AD היא y = 13x + 3.

ג. מצאו את שיעורי הקודקוד D.

הנקודה M היא מפגש אלכסוני הדלתון.

ד. מצאו את גודל הזווית ADM.

הנקודה E היא אמצע הצלע DC.

ה. חשבו את שטח המשולש ADE.

סרטוט לשאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א (1) – אורך AB

AB = √(0 − (−3))2 + (6 − 2)2 = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
✅ פתרון סופי: AB = 5

סעיף א (2) – שיעורי C

BC מקבילה לציר ה־x, ולכן ל־C אותו y כמו ל־B: yC = 6.
בדלתון CB = AB = 5. C ברביע השני, כלומר משמאל ל־B:
xC = 0 − 5 = −5
✅ פתרון סופי: C(−5 , 6)

סעיף ב – משוואת האלכסון DB

בדלתון, האלכסון הראשי DB מאונך לאלכסון AC וחוצה אותו.📐 אלכסונים בדלתוןהאלכסון הראשי מאונך לאלכסון המשני וחוצה אותו
שיפוע AC:
mAC = 6 − 2−5 − (−3) = 4−2 = −2📐 שיפועm = y2 − y1x2 − x1
שיפוע DB – מאונך ל־AC:
m · (−2) = −1 → m = 12📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
הישר עובר דרך B(0 , 6):
y − 6 = 12(x − 0)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y = 12x + 6
בדיקה: אמצע AC הוא (−4 , 4), ומציבים: 12 · (−4) + 6 = 4 – הישר עובר דרכו ✓
✅ פתרון סופי: y = 12x + 6

סעיף ג – שיעורי D

D היא נקודת החיתוך של AD ושל DB. משווים את ה־y:
13x + 3 = 12x + 6
כופלים את שני האגפים ב־6 (מכנה משותף):
2x + 18 = 3x + 36📐 כפל במכנה משותףכופלים כל איבר במכנה המשותף
מעבירים אגפים:
18 − 36 = 3x − 2x
x = −18
מציבים במשוואת AD:
y = 13 · (−18) + 3 = −6 + 3 = −3
✅ פתרון סופי: D(−18 , −3)

סעיף ד – הזווית ADM

הזווית ADM היא הזווית בין הישר DA לישר DB (כי M על DB). מוצאים את הזווית של כל ישר עם הכיוון החיובי של ציר ה־x:
DB : tan(∢) = 12 → ∢ ≈ 26.57📐 זווית של ישר עם ציר ה־xtan(∢) = m
DA : tan(∢) = 13 → ∢ ≈ 18.43
שני הישרים עולים מ־D ימינה, ו־DB תלול יותר. לכן הזווית ביניהם היא ההפרש:
∢ADM = 26.57 − 18.43 ≈ 8.13
✅ פתרון סופי: ∢ADM ≈ 8.13 מעלות

סעיף ה – שטח המשולש ADE

AE הוא תיכון במשולש ADC (E אמצע DC), ולכן הוא מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח:
SADE = 12 · SADC📐 תיכון מחלק שטחתיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח
במשולש ADC הבסיס הוא AC, והגובה הוא DM (כי DB ⊥ AC). M אמצע AC:
M = (−3 + (−5)2 , 2 + 62) = (−4 , 4)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
AC = √(−5 + 3)2 + (6 − 2)2 = √4 + 16 = √20📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
DM = √(−4 + 18)2 + (4 + 3)2 = √196 + 49 = √245
SADC = √20 · √2452 = √49002 = 702 = 35📐 שטח משולשS = בסיס · גובה2
SADE = 352 = 17.5
✅ פתרון סופי: 17.5 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א (1)AB = 5
סעיף א (2)C(−5 , 6)
סעיף בy = 12x + 6
סעיף גD(−18 , −3)
סעיף ד∢ADM ≈ 8.13 מעלות
סעיף ה17.5
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 26 – מציאת קו ישר מקביל ומאונך 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית, גרף הנגזרת ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = a(x − 4)2, המוגדרת בתחום x ≠ 4. a הוא פרמטר חיובי. נתון כי בנקודה שבה x = 6, שיפוע המשיק לגרף הפונקצייה f(x) הוא −3.

א. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 12, וענו על הסעיפים ב–ה.

ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x). (3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת f′(x) זהה לתחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ד. (1) קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את גרף פונקציית הנגזרת f′(x). (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = 3, על ידי ציר ה־x ועל ידי ציר ה־y.

נתונה הפונקצייה g(x) = f′(x) + 2.

ה. בכמה גדול השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה g(x), על ידי הישר x = 3, על ידי ציר ה־x ועל ידי ציר ה־y, מן השטח שמצאתם בסעיף ד (2)? נמקו את תשובתכם.

הגרפים I–IV לשאלה 6
✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – הערך של a

גוזרים לפי נגזרת של מנה. u = a (קבוע), v = (x − 4)2:
u′ = 0
v′ = 2(x − 4)1 · 1 = 2(x − 4)📐 נגזרת של ביטוי בחזקה[(ax + b)n]′ = n(ax + b)n − 1 · a
f′(x) = 0 · (x − 4)2 − a · 2(x − 4)(x − 4)4📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
מצמצמים ב־(x − 4):
f′(x) = −2a(x − 4)(x − 4)4 = −2a(x − 4)3
שיפוע המשיק ב־x = 6 הוא −3:
f′(6) = −3📐 שיפוע המשיקm = f′(x0)
−2a(6 − 4)3 = −3 → −2a8 = −3
כופלים ב־8:
−2a = −24
מחלקים ב־−2:
a = 12
✅ פתרון סופי: a = 12

סעיף ב (1) – חיתוך עם הצירים

מעכשיו f(x) = 12(x − 4)2.
חיתוך עם ציר ה־x – מציבים y = 0:
12(x − 4)2 = 0
שבר שווה 0 רק כשהמונה 0, אבל המונה 12 ≠ 0 – אין פתרון.📐 שבר שווה לאפסab = 0 ⟺ a = 0 (ו־b ≠ 0)
חיתוך עם ציר ה־y – מציבים x = 0:
f(0) = 12(0 − 4)2 = 1216 = 34
✅ פתרון סופי: עם ציר ה־x: אין ; עם ציר ה־y: (0 , 34)

סעיף ב (2) – אסימפטוטות

אנכית: המכנה מתאפס כש־(x − 4)2 = 0, כלומר x = 4, והמונה שם 12 ≠ 0:
x = 4📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0
אופקית: במונה חזקה 0 (מספר), במכנה חזקה 2. החזקה במכנה גדולה יותר:
y = 0📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במכנה גדולה מבמונה ← y = 0
✅ פתרון סופי: x = 4 , y = 0

סעיף ב (3) – תחומי עלייה וירידה

מסעיף א: f′(x) = −24(x − 4)3. המונה −24 אף פעם לא 0, ולכן אין נקודות קיצון (f′(x) ≠ 0).
בודקים את סימן הנגזרת משני צידי x = 4 (נקודה שלא בתחום):📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת
f′(3) = −24(−1)3 = −24−1 = 24 > 0 ← עולה
f′(5) = −2413 = −24 < 0 ← יורדת
xf′(x)f(x)
x < 4+↗ עולה
x = 4לא מוגדרתלא מוגדרת
x > 4−↘ יורדת
✅ פתרון סופי: עלייה: x < 4
✅ פתרון סופי: ירידה: x > 4

סעיף ג – סקיצה

מסמנים: אסימפטוטה אנכית x = 4, אסימפטוטה אופקית y = 0 (ציר ה־x), חיתוך (0 , 34). הפונקצייה חיובית תמיד (מונה חיובי, מכנה בריבוע), עולה משמאל ל־4 ויורדת מימין ל־4. ליד x = 4 הגרף עולה לאינסוף משני הצדדים.
xyx = 4(0, ¾)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד (1) – איזה גרף מתאר את f′(x)

מסעיף ב (3) יודעים את סימן הנגזרת: f′(x) > 0 כש־x < 4 (הגרף מעל ציר ה־x), ו־f′(x) < 0 כש־x > 4 (הגרף מתחת לציר).
בנוסף f′(x) = −24(x − 4)3: ליד x = 4 המכנה קרוב ל־0, ולכן הנגזרת שואפת לאינסוף (משמאל) ולמינוס אינסוף (מימין). רחוק מ־4 הנגזרת מתקרבת ל־0.
רק בגרף III הענף השמאלי מעל ציר ה־x ועולה לאינסוף, והענף הימני מתחת לציר ה־x.
✅ פתרון סופי: גרף III

סעיף ד (2) – השטח מתחת לגרף הנגזרת

בתחום 0 ≤ x ≤ 3 הנגזרת חיובית (סעיף ב (3)), ולכן השטח שווה לאינטגרל. הפונקצייה הקדומה של f′(x) היא f(x) עצמה:
S = ∫30 f′(x) dx = f(3) − f(0)📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)
f(3) = 12(3 − 4)2 = 121 = 12
f(0) = 34 (סעיף ב (1))
S = 12 − 34 = 11.25
✅ פתרון סופי: S = 11.25 יחידות שטח

סעיף ה – בכמה גדול השטח של g(x)

g(x) = f′(x) + 2 – הגרף של f′(x) מוזז 2 יחידות למעלה. בתחום 0 ≤ x ≤ 3 גם g(x) חיובית, ולכן:
Sg = ∫30 (f′(x) + 2) dx📐 אינטגרל של סכום∫(f + g) = ∫f + ∫g
= ∫30 f′(x) dx + ∫30 2 dx
= 11.25 + [2x] = 11.25 + (2 · 3 − 2 · 0) = 11.25 + 6 = 17.25
ההפרש הוא מלבן ברוחב 3 (מ־0 עד 3) ובגובה 2 (ההזזה למעלה): 3 · 2 = 6.
✅ פתרון סופי: השטח גדול ב־6 יחידות שטח (17.25 − 11.25)

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף אa = 12
סעיף ב (1)אין חיתוך עם ציר ה־x ; (0 , 34)
סעיף ב (2)x = 4 , y = 0
סעיף ב (3)עולה x < 4 , יורדת x > 4
סעיף ד (1)גרף III
סעיף ד (2)11.25
סעיף הגדול ב־6
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 36 – קשר בין הפונקציה לנגזרת 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציית שורש והזזה

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = x2 · √7 − x.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x. (3) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = f(x + a), a הוא פרמטר. נתון כי לפונקצייה g(x) יש נקודת מקסימום פנימית בנקודה שבה x = 8.6.

ג. (1) מצאו את הערך של a. נמקו את תשובתכם. (2) מהו תחום ההגדרה של הפונקצייה g(x)?

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – תחום הגדרה

7 − x ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורש√A מוגדר רק כש־A ≥ 0
−x ≥ −7 → x ≤ 7 (בחילוק במספר שלילי הופכים את סימן אי־השוויון)
✅ פתרון סופי: x ≤ 7

סעיף א (2) – חיתוך עם ציר ה־x

מציבים y = 0:
x2 · √7 − x = 0
מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים שווה 0:📐 מכפלה שווה לאפסA · B = 0 ⟺ A = 0 או B = 0
x2 = 0 → x = 0
√7 − x = 0 → 7 − x = 0 → x = 7
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (7 , 0)

סעיף א (3) – נקודות קיצון

גוזרים לפי נגזרת של מכפלה: u = x2 , v = √7 − x.
u′ = 2x
v′ = −12√7 − x📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)
f′(x) = 2x · √7 − x + x2 · −12√7 − x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′
= 2x√7 − x − x22√7 − x
מכנה משותף 2√7 − x. את האיבר הראשון כופלים ב־2√7 − x2√7 − x:
2x√7 − x = 2x · 2 · (7 − x)2√7 − x📐 שורש כפול שורש√A · √A = A
f′(x) = 4x(7 − x) − x22√7 − x = 28x − 4x2 − x22√7 − x
= 28x − 5x22√7 − x = x(28 − 5x)2√7 − x
הנגזרת מוגדרת כש־x < 7. משווים ל־0 (המונה = 0):
x(28 − 5x) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
x = 0 או 28 − 5x = 0 → x = 285 = 5.6
בודקים את סימן הנגזרת בכל תחום:
f′(−1) = (−1)(28 + 5)2√8 = −332√8 < 0 ← יורדת
f′(1) = 1 · 232√6 > 0 ← עולה
f′(6) = 6 · (28 − 30)2√1 = −122 = −6 < 0 ← יורדת
xf′(x)f(x)
x < 0−↘ יורדת
00מינימום
0 < x < 5.6+↗ עולה
5.60מקסימום
5.6 < x < 7−↘ יורדת
7קצה התחוםמינימום קצה
מחשבים את ערכי הפונקצייה:
f(0) = 02 · √7 = 0
f(5.6) = 5.62 · √7 − 5.6 = 31.36 · √1.4 ≈ 37.11
f(7) = 72 · √0 = 0
בקצה התחום x = 7 הפונקצייה יורדת עד לנקודה (7 , 0), ולכן זו נקודת מינימום קצה.
✅ פתרון סופי: מינימום: (0 , 0)
✅ פתרון סופי: מקסימום: (5.6 , 37.11)
✅ פתרון סופי: מינימום קצה: (7 , 0)

סעיף ב – סקיצה

מסמנים: התחום x ≤ 7 (משמאל ל־7 בלבד), מינימום (0 , 0), מקסימום (5.6 , 37.11) ומינימום קצה (7 , 0). משמאל ל־0 הפונקצייה יורדת (בדרך מלמעלה אל הראשית), בין 0 ל־5.6 עולה, ומ־5.6 עד 7 יורדת. הפונקצייה אף פעם לא שלילית.
xy(0, 0)(5.6, 37.11)(7, 0)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג (1) – הערך של a

g(x) = f(x + a) – אותו גרף של f(x), מוזז אופקית. כל נקודה של f ב־x עוברת ל־x − a.📐 הזזה אופקיתf(x + a) ← הזזה של a יחידות שמאלה (כש־a > 0)
ל־f(x) יש נקודת מקסימום פנימית אחת בלבד, ב־x = 5.6 (בקצה x = 7 יש מינימום). ל־g(x) המקסימום ב־x = 8.6, ולכן:
8.6 + a = 5.6
a = 5.6 − 8.6 = −3
כלומר g(x) = f(x − 3) – הגרף זז 3 יחידות ימינה, והמקסימום עבר מ־5.6 ל־8.6.
✅ פתרון סופי: a = −3

סעיף ג (2) – תחום ההגדרה של g(x)

g(x) = (x − 3)2 · √7 − (x − 3) = (x − 3)2 · √10 − x. הביטוי בתוך השורש לא שלילי:
10 − x ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורש√A מוגדר רק כש־A ≥ 0
x ≤ 10
(גם התחום זז 3 ימינה: מ־7 ל־10.)
✅ פתרון סופי: x ≤ 10

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)x ≤ 7
סעיף א (2)(0 , 0) , (7 , 0)
סעיף א (3)מינ׳ (0 , 0) , מקס׳ (5.6 , 37.11) , מינ׳ קצה (7 , 0)
סעיף ג (1)a = −3
סעיף ג (2)x ≤ 10
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ונקודות קיצון בחקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון: מלבן מתחת לגרף פונקציה רציונלית

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה f(x) = 6x − 12x − 8.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x).

הנקודה A היא נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.

ב. מצאו את שיעורי הנקודה A.

הנקודה C נמצאת על גרף הפונקצייה f(x) בתחום x > 8. מן הנקודה C העבירו אנך לציר ה־x החותך אותו בנקודה B. הנקודה D נמצאת ברביע הראשון כך ש־ABCD הוא מלבן. נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה C.

ג. הביעו באמצעות t את היקף המלבן ABCD.

ד. מצאו את הערך של t שבעבורו היקף המלבן ABCD הוא מינימלי.

ה. האם ייתכן שהיקף המלבן ABCD הוא 50? נמקו את תשובתכם.

סרטוט לשאלה 8
✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – תחום הגדרה

x − 8 ≠ 0 → x ≠ 8📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0
✅ פתרון סופי: x ≠ 8

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אנכית: המכנה מתאפס ב־x = 8, והמונה שם 6 · 8 − 12 = 36 ≠ 0:
x = 8📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0
אופקית: החזקה הגבוהה במונה ובמכנה שווה (חזקה 1), ולכן מחלקים את המקדמים:
y = 61 = 6📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות ← y = מקדם במונהמקדם במכנה
✅ פתרון סופי: x = 8 , y = 6

סעיף ב – שיעורי A

מציבים y = 0. שבר שווה 0 כשהמונה 0:
6x − 12x − 8 = 0📐 שבר שווה לאפסab = 0 ⟺ a = 0
6x − 12 = 0 → 6x = 12 → x = 2
✅ פתרון סופי: A(2 , 0)

סעיף ג – היקף המלבן באמצעות t

שיעורי הקודקודים:
C(t , 6t − 12t − 8) – על הגרף
B(t , 0) – מתחת ל־C על ציר ה־x
D(2 , 6t − 12t − 8) – מעל A, באותו גובה של C
אורכי הצלעות:
AB = t − 2
BC = 6t − 12t − 8 (חיובי כש־t > 8)
P = 2(t − 2) + 2 · 6t − 12t − 8📐 היקף מלבןP = 2a + 2b
P(t) = 2t − 4 + 12t − 24t − 8
✅ פתרון סופי: P(t) = 2t − 4 + 12t − 24t − 8 , t > 8

סעיף ד – היקף מינימלי

גוזרים. הנגזרת של 2t − 4 היא 2. את השבר גוזרים לפי נגזרת של מנה:
(12t − 24t − 8)′ = 12(t − 8) − (12t − 24) · 1(t − 8)2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= 12t − 96 − 12t + 24(t − 8)2 = −72(t − 8)2
P′(t) = 2 − 72(t − 8)2
2 − 72(t − 8)2 = 0📐 נקודת קיצוןP′(t) = 0
מעבירים אגף וכופלים ב־(t − 8)2:
2(t − 8)2 = 72 → (t − 8)2 = 36
t − 8 = 6 → t = 14 או t − 8 = −6 → t = 2 (נפסל, כי t > 8)
בודקים שזה מינימום – סימן הנגזרת סביב 14:
P′(10) = 2 − 724 = −16 < 0 ← יורדת
P′(20) = 2 − 72144 = 1.5 > 0 ← עולה
יורדת ואז עולה – מינימום ב־t = 14. ההיקף המינימלי:
P(14) = 2 · 14 − 4 + 12 · 14 − 2414 − 8 = 24 + 1446 = 24 + 24 = 48
✅ פתרון סופי: t = 14 (ההיקף המינימלי 48)

סעיף ה – האם ההיקף יכול להיות 50

ההיקף המינימלי הוא 48, ו־50 > 48. כש־t מתקרב ל־8 או גדל מאוד, ההיקף גדל בלי גבול, ולכן ההיקף עובר דרך כל ערך מעל 48. מוודאים בחישוב:
2t − 4 + 12t − 24t − 8 = 50
כופלים ב־(t − 8):
(2t − 4)(t − 8) + 12t − 24 = 50(t − 8)
2t2 − 16t − 4t + 32 + 12t − 24 = 50t − 400📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
2t2 − 8t + 8 = 50t − 400
2t2 − 58t + 408 = 0
מחלקים ב־2:
t2 − 29t + 204 = 0
(t − 12)(t − 17) = 0📐 טרינוםp · q = c , p + q = b : 12 · 17 = 204 , 12 + 17 = 29
t = 12 או t = 17 – שניהם גדולים מ־8.
בדיקה: t = 12 : AB = 10 BC = 604 = 15 P = 2(10 + 15) = 50 ✓
✅ פתרון סופי: כן – למשל כש־t = 12 או t = 17

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א (1)x ≠ 8
סעיף א (2)x = 8 , y = 6
סעיף בA(2 , 0)
סעיף גP = 2t − 4 + 12t − 24t − 8
סעיף דt = 14 (היקף 48)
סעיף הכן, t = 12 או t = 17
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות