בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · תוכנית חדשה
פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 – קיץ 2026 מועד ב'
פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.
בשאלון 8 שאלות בארבעה פרקים: פרק ראשון – שאלות קצרות (שאלה 1, ובה עונים על שניים מארבעת הסעיפים א–ד); פרק שני – אינדוקציה, סדרות והסתברות (שאלות 2–3); פרק שלישי – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4–5); פרק רביעי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, פונקציות שורש, פונקציות רציונליות ופונקציות טריגונומטריות (שאלות 6–8). עונים על 5 שאלות לבחירה, 22 נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: ארבע שעות ועשרים דקות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.
השאלון שנפתר כאן: גרסה א'
📄 השאלון המלא – קיץ 2026 מועד ב'
⬅️ החליקו לעמוד הבא
⬇️ להורדת השאלון המלא🧭 תוכן העניינים
- פרק ראשון – שאלות קצרות
- שאלה 1 – שאלות קצרות: אינדוקציה, חקירת שורש ושטח, אסימפטוטות, סדרה הנדסית במשולש
- פרק שני – אינדוקציה, סדרות והסתברות
- שאלה 2 – סדרה הנדסית אין־סופית יורדת
- שאלה 3 – הסתברות: שלבי קבלה לעבודה (עץ, הסתברות מותנית וברנולי)
- פרק שלישי – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור
- שאלה 4 – גאומטרייה: משולש שווה צלעות חסום במעגל ומשולשים דומים
- שאלה 5 – טריגונומטרייה: משולש שווה שוקיים, אנכים ומעגל חוסם
- פרק רביעי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
- שאלה 6 – חקירת פונקציית מנה עם פרמטר, ושטח בעזרת 1 חלקי f
- שאלה 7 – חקירת פונקציה טריגונומטרית, ושורש של הנגזרת
- שאלה 8 – בעיית קיצון: קטע אופקי בין גרף פולינום לישר
שאלה 1 – שאלות קצרות: אינדוקציה, חקירת שורש ושטח, אסימפטוטות, סדרה הנדסית במשולש
📄 נוסח השאלה
ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.
א. נתון כי השוויון 13 + 23 + 33 + … + n3 = n2(n + 1)2b מתקיים בעבור n = 2. b הוא פרמטר שונה מ־0.
(1) מצאו את הערך של b.
(2) הציבו b = 4 והוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי השוויון הנתון מתקיים לכל n טבעי.
ב. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x) המוגדרת בתחום x ≤ 6. אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקציה f(x):
I. f(x) = x√6 − x II. f(x) = −x√6 − x III. f(x) = x√x − 6 IV. f(x) = −x√x − 6
(1) קבעו איזה מן הביטויים מייצג את הפונקציה f(x). נמקו את קביעתכם.
נתונה הפונקציה g(x) = (f(x))2 המוגדרת בתחום x ≤ 6.
(2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) ועל ידי ציר ה־x.
ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x) המוגדרת לכל x. לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון אחת בלבד ואסימפטוטה אופקית אחת בלבד שמשוואתה היא y = 0. שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה ושיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה־y מוצגים בסרטוט.
נתונה הפונקציה g(x) = 1f(x) − 2.
(1) כמה אסימפטוטות המאונכות לציר ה־x יש לפונקציה g(x)? נמקו את תשובתכם.
(2) מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־y של הפונקציה g(x).
(3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
ד. בסרטוט שבשאלון מתואר משולש ישר זווית ABC (הזווית CAB היא בת 90 מעלות). נתון כי אורכי צלעות המשולש הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית. האיבר הראשון בסדרה שווה לאורך הצלע AB. נתון: AB = 1.
(1) האם ייתכן שהאיבר השני בסדרה שווה לאורך הצלע BC? נמקו את תשובתכם.
(2) מצאו את אורך הצלע BC (בתשובתכם תוכלו להשאיר שורש).
✏️ פתרון שאלה 1
בבחינה עונים על שניים מארבעת הסעיפים בלבד. כאן פתרנו את כל הארבעה, כדי שתוכלו לבחור.
סעיף א (1) – מציאת b
נציב n = 2 בשני האגפים של השוויון.
אגף שמאל: סכום החזקות השלישיות עד 23:
13 + 23 = 1 + 8 = 9
אגף ימין:
22 · (2 + 1)2b = 4 · 9b
= 36b
השוויון מתקיים, ולכן:
36b = 9
9b = 36
b = 369 = 4
✅ פתרון סופי: b = 4
סעיף א (2) – הוכחה באינדוקציה
צריך להוכיח שלכל n טבעי:
13 + 23 + … + n3 = n2(n + 1)24📐 אינדוקציה מתמטית1. בדיקה: הטענה נכונה ל־n = 12. הנחה: נניח שהטענה נכונה ל־n = k3. צעד: מוכיחים שהיא נכונה ל־n = k + 1
שלב 1 – בדיקה ל־n = 1:
אגף שמאל: 13 = 1
אגף ימין: 12 · (1 + 1)24 = 1 · 44 = 1
שני האגפים שווים, ולכן הטענה נכונה ל־n = 1.
שלב 2 – הנחת האינדוקציה: נניח שהטענה נכונה ל־n = k, כלומר:
13 + 23 + … + k3
= k2(k + 1)24
שלב 3 – צריך להוכיח ל־n = k + 1:
13 + 23 + … + k3 + (k + 1)3
= (k + 1)2(k + 2)24
נתחיל מאגף שמאל. לפי ההנחה, הסכום עד k3 שווה ל־k2(k + 1)24, ולכן:
13 + … + k3 + (k + 1)3
= k2(k + 1)24 + (k + 1)3
נוציא גורם משותף (k + 1)2:
= (k + 1)2 · [k24 + (k + 1)]
נכתוב את הסוגריים עם מכנה משותף 4:
= (k + 1)2 · k2 + 4k + 44
בסוגריים יש ריבוע של סכום:📐 נוסחת כפל מקוצר(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
k2 + 4k + 4 = (k + 2)2
= (k + 1)2(k + 2)24
קיבלנו בדיוק את אגף ימין שרצינו להוכיח (ל־n = k + 1).
לפי עקרון האינדוקציה המתמטית, השוויון מתקיים לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: השוויון 13 + … + n3 = n2(n + 1)24 מתקיים לכל n טבעי ∎
סעיף ב (1) – איזה ביטוי מייצג את f(x)
שורש ריבועי מוגדר רק כאשר הביטוי שבתוכו אינו שלילי.📐 תחום הגדרה של שורש√A מוגדר כאשר A ≥ 0
בביטויים I ו־II:
6 − x ≥ 0
x ≤ 6
בביטויים III ו־IV:
x − 6 ≥ 0
x ≥ 6
הפונקציה בסרטוט מוגדרת בתחום x ≤ 6, ולכן הביטוי הוא I או II.
נבדוק את הסימן. בסרטוט, בתחום 0 < x < 6 הגרף נמצא מתחת לציר ה־x (שלילי).
בתחום הזה x > 0 וגם √6 − x > 0. נציב למשל x = 2:
ביטוי I: 2 · √6 − 2 = 2 · 2 = 4 > 0 – חיובי, לא מתאים.
ביטוי II: −2 · √6 − 2 = −2 · 2 = −4 < 0 – שלילי, מתאים.
בדיקה נוספת: בסרטוט, בתחום x < 0 הגרף מעל ציר ה־x. בביטוי II, למשל x = −3: −(−3) · √9 = 3 · 3 = 9 > 0 ✓
✅ פתרון סופי: הביטוי II: f(x) = −x√6 − x – תחום ההגדרה x ≤ 6, שלילי ב־0 < x < 6 וחיובי ב־x < 0
סעיף ב (2) – השטח בין g(x) לציר ה־x
נמצא את g(x):
g(x) = (−x√6 − x)2
g(x) = x2 · (√6 − x)2📐 ריבוע של שורש(√A)2 = A RAW:(כאשר A ≥ 0)
g(x) = x2(6 − x)
g(x) = 6x2 − x3
נמצא את נקודות החיתוך של g(x) עם ציר ה־x:
x2(6 − x) = 0
x = 0 או x = 6
בתחום x < 0 הגרף של g(x) לא חוזר לציר ה־x: שם x2 > 0 ו־6 − x > 0, ולכן g(x) > 0, וכש־x יורד g(x) רק גדל. לכן השטח המוגבל על ידי הגרף וציר ה־x הוא בין x = 0 ל־x = 6.
בתחום 0 ≤ x ≤ 6 מתקיים g(x) ≥ 0 (ריבוע), ולכן השטח הוא האינטגרל:
S = ∫60(6x2 − x3) dx📐 שטח בין גרף לציר xS = ∫bag(x) dx(כאשר g(x) ≥ 0 בתחום)
S = [6 · x33 − x44]06📐 אינטגרל של חזקה∫xn dx = xn+1n + 1 + C
S = [2x3 − x44]06
S
= (2 · 63 − 644) − (0 − 0)
S = 2 · 216 − 12964
S = 432 − 324
S = 108
✅ פתרון סופי: השטח הוא 108 יחידות שטח
סעיף ג (1) – כמה אסימפטוטות אנכיות יש ל־g(x)
לפונקציה g(x) יש אסימפטוטה אנכית (מאונכת לציר ה־x) בכל נקודה שבה המכנה מתאפס (והמונה 1 לא מתאפס):📐 אסימפטוטה אנכית של מנההמכנה = 0 והמונה ≠ 0
f(x) − 2 = 0
f(x) = 2
לכן צריך לספור כמה פעמים הגרף של f(x) מגיע לגובה y = 2.
מהנתונים ומהסרטוט: ל־f(x) יש נקודת קיצון אחת בלבד, המקסימום (3 , 4), והאסימפטוטה האופקית היחידה היא y = 0.
• משמאל ל־x = 3: הפונקציה עולה מגובה שמתקרב ל־0 (האסימפטוטה) עד לגובה 4. בדרך היא עוברת פעם אחת בדיוק בגובה 2 (למשל f(0) = 1 < 2 ו־f(3) = 4 > 2).
• מימין ל־x = 3: הפונקציה יורדת מגובה 4 ומתקרבת ל־0. גם כאן היא עוברת פעם אחת בדיוק בגובה 2.
נסמן את שתי הנקודות: x1 (בין 0 ל־3) ו־x2 (גדול מ־3).
✅ פתרון סופי: ל־g(x) יש 2 אסימפטוטות מאונכות לציר ה־x – הישר y = 2 חותך את גרף f(x) בשתי נקודות
סעיף ג (2) – האסימפטוטה האופקית של g(x)
האסימפטוטה האופקית של f(x) היא y = 0, כלומר כאשר x → ∞ או x → −∞:
f(x) → 0
לכן:
g(x) = 1f(x) − 2 → 10 − 2
= −12
✅ פתרון סופי: משוואת האסימפטוטה: y = −12
סעיף ג (3) – סקיצה של g(x)
נאסוף את מה שידוע על g(x):
נקודת חיתוך עם ציר ה־y: f(0) = 1, ולכן:
g(0) = 11 − 2 = −1
חיתוך עם ציר ה־x: אין – המונה הוא 1 ואף פעם לא מתאפס.
סימן: בין x1 ל־x2 מתקיים f(x) > 2, ולכן g(x) > 0. משמאל ל־x1 ומימין ל־x2 מתקיים f(x) < 2, ולכן g(x) < 0.
עלייה וירידה – בלי לגזור, קוראים מהסקיצות:
סקיצה 1 – הגרף של f (כחול) והישר y = 2 (תכלת, מקווקו). f(x) − 2 היא אותו גרף מוזז 2 יחידות למטה, ולכן היא עולה ויורדת באותם תחומים כמו f:
בכל קטע שבו f(x) − 2 לא מחליפה סימן: כש־f עולה, g יורדת, וכש־f יורדת, g עולה.📐 הפונקציה 1 חלקי fבקטע שבו f לא מחליפה סימן: f עולה ⇐ 1f יורדת; f יורדת ⇐ 1f עולה
• x < 3 (f עולה): g יורדת.
• x > 3 (f יורדת): g עולה.
לכן ב־x = 3 יש ל־g נקודת מינימום:
g(3) = 14 − 2 = 12
אסימפטוטות: x = x1, x = x2 ו־y = −12.
סקיצה 2 – הגרף של g (המיקום המדויק של x1 ו־x2 לא ידוע, כי הנוסחה של f(x) לא נתונה – ידוע רק ש־0 < x1 < 3 < x2):
✅ פתרון סופי: סקיצה: (0 , −1), מינימום (3 , 12) בין האסימפטוטות, אסימפטוטות x = x1, x = x2, y = −½
סעיף ד (1) – האם האיבר השני יכול להיות BC
במשולש ישר זווית היתר הוא הצלע הארוכה ביותר. הזווית הישרה היא A, ולכן היתר הוא BC, והוא ארוך מ־AB ומ־AC.
האיברים: a1 = AB = 1, a2, a3 (כולם אורכים, ולכן חיוביים, והמנה q > 0).
נניח שהאיבר השני הוא BC:📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
a2 = BC = 1 · q = q
a3 = AC = 1 · q2 = q2
כי BC הוא היתר, הוא ארוך מ־AB: q > 1.
אבל אז גם AC ארוך מ־BC:
q > 1 ⇒ q2 > q
⇒ AC > BC
כלומר הניצב AC ארוך מהיתר – זה בלתי אפשרי.
✅ פתרון סופי: לא ייתכן – אם BC = q אז היתר חייב להיות גדול מ־1, ואז AC = q2 > q = BC, והניצב ארוך מהיתר
סעיף ד (2) – אורך הצלע BC
לפי סעיף ד(1), האיבר השני הוא AC והשלישי הוא BC:
AC = q , BC = q2📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
(היתר BC הארוך ביותר, ולכן q > 1 – הסדרה עולה.)
AB2 + AC2 = BC2📐 משפט פיתגורסניצב2 + ניצב2 = יתר2
12 + q2 = (q2)2
1 + q2 = q4
q4 − q2 − 1 = 0
נסמן t = q2 (וזה בדיוק BC):
t2 − t − 1 = 0
t = 1 ± √1 + 42 = 1 ± √52📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
t = q2 חיובי, ולכן הפתרון 1 − √52 < 0 נפסל.
BC = t = 1 + √52 ≈ 1.618
בדיקה: AC2 = q2 ≈ 1.618, 1 + 1.618 = 2.618, BC2 ≈ 1.6182 ≈ 2.618 ✓
✅ פתרון סופי: BC = 1 + √52 ≈ 1.618
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א (1) | b = 4 |
|---|---|
| סעיף א (2) | הוכחה באינדוקציה |
| סעיף ב (1) | ביטוי II |
| סעיף ב (2) | 108 |
| סעיף ג (1) | 2 אסימפטוטות |
| סעיף ג (2) | y = −½ |
| סעיף ג (3) | סקיצה |
| סעיף ד (1) | לא |
| סעיף ד (2) | BC = 1 + √52 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 49 – שאלה קצרה מבגרות 2026 מועד ב (חקירת שורש)
שיעור 93 – שאלה קצרה מבגרות 2026 מועד ב: הפונקציה 1 חלקי f(x) − 2
שיעור 93 – שאלה קצרה מבגרות 2026 מועד ב: הפונקציה 1 חלקי f(x) − 2
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת שורש 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 2 – סדרה הנדסית אין־סופית יורדת
📄 נוסח השאלה
an היא סדרה הנדסית אין־סופית יורדת שכל איבריה חיוביים ומנתה היא q.
א. לפניכם שלוש טענות I–III. קבעו איזו מן הטענות נכונה ונמקו את קביעתכם.
I. −1 < q < 0 II. 0 < q < 1 III. 1 < q
bn היא סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים bn = an + an+1 + an+2 לכל n טבעי.
ב. הוכיחו כי הסדרה bn היא הנדסית ומנתה היא q.
נתון כי סכום הסדרה bn גדול פי 1.96 מסכום הסדרה an.
ג. מצאו את הערך של q.
cn היא סדרה שאיבריה מקיימים cn = bn4 · an לכל n טבעי. נתון כי סכום k האיברים הראשונים בסדרה הוא 34.79.
ד. (1) הוכיחו כי הסדרה cn היא קבועה. (2) מצאו את הערך של k.
החליפו את הסימן של כל אחד מן האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה cn.
ה. מצאו את סכום k האיברים הראשונים בסדרה cn לאחר החלפת הסימנים. נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 2
סעיף א – איזו טענה נכונה
כל האיברים חיוביים. כדי שהסימן לא יתחלף, המנה חייבת להיות חיובית: אם q < 0, האיברים מתחלפים בין חיובי לשלילי. לכן טענה I נפסלת.
הסדרה יורדת, כלומר כל איבר קטן מקודמו:📐 הגדרת סדרה הנדסיתan+1an = q
an+1 < an
נחלק ב־an > 0 (חיובי, ולכן כיוון אי־השוויון נשמר):
an+1an < 1
q < 1
יחד עם q > 0: 0 < q < 1. לכן גם טענה III נפסלת (q > 1 נותן סדרה עולה).
✅ פתרון סופי: טענה II: 0 < q < 1 נכונה
סעיף ב – הוכחה ש־bn הנדסית עם מנה q
סדרה היא הנדסית אם המנה בין כל איבר לאיבר שלפניו קבועה. נחשב את bn+1bn:📐 הגדרת סדרה הנדסיתהמנה bn+1bn קבועה
לפי הגדרת bn (מציבים n + 1 במקום n):
bn+1 = an+1 + an+2 + an+3
בסדרה ההנדסית an כל איבר שווה לקודמו כפול q:📐 איבר עוקב בסדרה הנדסיתan+1 = an · q
an+1 = anq , an+2 = an+1q
an+3 = an+2q
bn+1 = anq + an+1q + an+2q
bn+1 = q(an + an+1 + an+2)
bn+1 = q · bn
ולכן (bn > 0 כי סכום של איברים חיוביים):
bn+1bn = q
המנה קבועה ושווה ל־q לכל n.
✅ פתרון סופי: הסדרה bn הנדסית ומנתה q ∎
סעיף ג – מציאת q
האיבר הראשון של bn (מציבים n = 1):
b1 = a1 + a2 + a3📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
= a1 + a1q + a1q2
b1 = a1(1 + q + q2)
לשתי הסדרות אותה מנה q, ו־0 < q < 1, ולכן לשתיהן יש סכום אין־סופי:
Sa = a11 − q📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q(כאשר −1 < q < 1, q ≠ 0)
Sb = a1(1 + q + q2)1 − q
נתון: Sb = 1.96 · Sa
a1(1 + q + q2)1 − q
= 1.96 · a11 − q
נכפול ב־(1 − q) ונחלק ב־a1 (שניהם חיוביים):
1 + q + q2 = 1.96
q2 + q − 0.96 = 0
q = −1 ± √1 + 3.842📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
= −1 ± √4.842 = −1 ± 2.22
q = 1.22 = 0.6
או
q = −3.22 = −1.6
לפי סעיף א 0 < q < 1, ולכן q = −1.6 נפסל.
✅ פתרון סופי: q = 0.6
סעיף ד (1) – הוכחה ש־cn קבועה
לפי ההגדרה של bn:
cn = bn4an = an + an+1 + an+24an
cn = an + anq + anq24an📐 איבר עוקב בסדרה הנדסיתan+1 = an · q
cn = an(1 + q + q2)4an
= 1 + q + q24
מסעיף ג: 1 + q + q2 = 1.96:
cn = 1.964 = 0.49
הערך לא תלוי ב־n, ולכן כל איברי הסדרה שווים ל־0.49.
✅ פתרון סופי: הסדרה קבועה: cn = 0.49 לכל n ∎
סעיף ד (2) – מציאת k
כל האיברים שווים ל־0.49, ולכן סכום k האיברים הראשונים הוא k פעמים 0.49:
Sk = 0.49 · k
0.49k = 34.79
k = 34.790.49 = 71
✅ פתרון סופי: k = 71
סעיף ה – הסכום אחרי החלפת הסימנים
אחרי החלפת הסימן במקומות הזוגיים הסדרה היא:
0.49 , −0.49 , 0.49 , −0.49 , …
מחפשים את סכום k = 71 האיברים הראשונים.
נחבר בזוגות: כל זוג (מקום אי־זוגי + המקום הזוגי שאחריו) נותן 0.49 + (−0.49) = 0.
ב־71 איברים יש 35 זוגות שלמים (האיברים 1 עד 70) ועוד איבר אחד – האיבר ה־71, שנמצא במקום אי־זוגי ולכן נשאר חיובי:
S = 35 · 0 + 0.49
S = 0.49
✅ פתרון סופי: 0.49 – 35 זוגות שסכום כל אחד 0, ועוד האיבר ה־71 (חיובי)
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | טענה II |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | q = 0.6 |
| סעיף ד (1) | cn = 0.49 |
| סעיף ד (2) | k = 71 |
| סעיף ה | 0.49 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 3 – הסתברות: שלבי קבלה לעבודה (עץ, הסתברות מותנית וברנולי)
📄 נוסח השאלה
כדי להתקבל לעבודה בחברה מסוימת על המועמדים לעבור שלושה שלבי קבלה זה אחר זה: מבחן א', מבחן ב' וריאיון אישי. רק מועמד שעובר את מבחן א' ניגש למבחן ב', ורק מועמד שעובר את מבחן ב' ניגש לריאיון. מועמד שעובר את כל שלושת השלבים מתקבל לעבודה.
ההסתברות שמועמד יעבור את מבחן א' היא p (0 < p < 1).
ההסתברות שמועמד שעבר את מבחן א' יעבור את מבחן ב' גדולה פי 2 מן ההסתברות שמועמד יעבור את מבחן א'.
ההסתברות שמועמד יתקבל לעבודה גדולה פי 3 מן ההסתברות שמועמד יעבור את שני המבחנים ולא יעבור את הריאיון.
א. מצאו את ההסתברות שמועמד שעבר את שני המבחנים יעבור את הריאיון.
94% מן המועמדים לא מתקבלים לעבודה.
ב. מצאו את הערך של p.
ג. ידוע כי מועמד לא התקבל לעבודה. מהי ההסתברות שמועמד זה עבר את מבחן א'?
מבין כל המועמדים שלא התקבלו לעבודה בוחרים באקראי 5 מועמדים.
ד. מהי ההסתברות שלפחות שניים מהם עברו את מבחן א'?
✏️ פתרון שאלה 3
סעיף א – ההסתברות לעבור את הריאיון אחרי שני המבחנים
נבנה עץ הסתברויות. ההסתברות לעבור את מבחן ב' (אחרי שעבר את א') היא פי 2 מ־p, כלומר 2p. נסמן ב־r את ההסתברות שמועמד שעבר את שני המבחנים יעבור את הריאיון.
נסמן: A – המועמד עבר את מבחן א'; K – המועמד התקבל לעבודה; K – המועמד לא התקבל.
P(K) = p · 2p · r = 2p2r📐 הסתברות לאורך ענף בעץמכפילים את ההסתברויות שעל הענפים
ההסתברות לעבור את שני המבחנים ולא לעבור את הריאיון:
P = p · 2p · (1 − r)📐 הסתברות לאורך ענף בעץמכפילים את ההסתברויות שעל הענפים
= 2p2(1 − r)
נתון: ההסתברות להתקבל גדולה פי 3:
2p2r = 3 · 2p2(1 − r)
נחלק את שני האגפים ב־2p2 (שונה מ־0):
r = 3(1 − r)
r = 3 − 3r
4r = 3
r = 34 = 0.75
✅ פתרון סופי: 0.75
סעיף ב – מציאת p
94% לא מתקבלים, ולכן ההסתברות להתקבל:📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(A)
P(K) = 1 − 0.94 = 0.06
2p2 · 0.75 = 0.06📐 הסתברות לאורך ענף בעץמכפילים את ההסתברויות שעל הענפים
1.5p2 = 0.06
p2 = 0.061.5 = 0.04
p = 0.2 או p = −0.2
הסתברות לא יכולה להיות שלילית, ולכן p = −0.2 נפסל.
בדיקה: ההסתברות לעבור את מבחן ב' היא 2p = 0.4 – קטנה מ־1, תקין.
✅ פתרון סופי: p = 0.2
סעיף ג – הסתברות שעבר את מבחן א' בתנאי שלא התקבל
זו הסתברות מותנית:📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
P(A | K)
= P(A ∩ K)P(K)
מי שעבר את מבחן א' – או שהתקבל (עבר הכול), או שלא התקבל. לכן:
P(A ∩ K)
= P(A) − P(K)
= 0.2 − 0.06 = 0.14
נציב (P(K) = 0.94):
P = 0.140.94 = 1494 = 747
≈ 0.149
✅ פתרון סופי: 747 ≈ 0.149
סעיף ד – לפחות שניים מתוך 5 עברו את מבחן א'
בוחרים 5 מועמדים מבין אלה שלא התקבלו. לכל אחד מהם ההסתברות שעבר את מבחן א' היא 747 (סעיף ג), וההסתברות שלא עבר היא 1 − 747 = 4047. זו התפלגות ברנולי עם n = 5.
"לפחות שניים" = כל המקרים פחות "אף אחד" ופחות "בדיוק אחד":
נסמן ב־X את מספר המועמדים (מתוך 5) שעברו את מבחן א'.
P(X ≥ 2)
= 1 − P5(0) − P5(1)
P5(0)📐 נוסחת ברנוליPn(k) = C(n,k) · pk · (1 − p)n−kC(n,k) – מספר הדרכים לבחור k מתוך n
= C(5,0) · (747)0 · (4047)5
= (4047)5 ≈ 0.4465
P5(1)📐 נוסחת ברנוליPn(k) = C(n,k) · pk · (1 − p)n−kC(n,k) – מספר הדרכים לבחור k מתוך n
= C(5,1) · 747 · (4047)4
= 5 · 747 · (4047)4 ≈ 0.3907
P(X ≥ 2)
≈ 1 − 0.4465 − 0.3907
P(X ≥ 2) ≈ 0.163
✅ פתרון סופי: ≈ 0.163
📌 סיכום התשובות – שאלה 3
| סעיף א | 0.75 |
|---|---|
| סעיף ב | p = 0.2 |
| סעיף ג | 747 ≈ 0.149 |
| סעיף ד | ≈ 0.163 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 40 – פתרון שאלת הסתברות מבגרות 2026 מועד ב
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 4 – גאומטרייה: משולש שווה צלעות חסום במעגל ומשולשים דומים
📄 נוסח השאלה
ABC הוא משולש שווה צלעות החסום במעגל. הנקודה D נמצאת על המשך הצלע BC, כמתואר בסרטוט. הקטע AD חותך את המעגל בנקודה E.
א. הוכיחו: ∢AEB = ∢BEC = ∢CED = 60 מעלות.
ב. הוכיחו: △AEB ∼ △CED.
ג. הוכיחו: AECE = BCCD.
נתון כי שטח המשולש AEB גדול פי 2.25 משטח המשולש CED.
ד. מצאו פי כמה גדול שטח המשולש ABD משטח המשולש CED.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – שלוש זוויות של 60 מעלות
∢ACB = ∢BAC = 60 מעלות (המשולש ABC שווה צלעות).📐 משולש שווה צלעותכל זווית במשולש שווה צלעות היא 60 מעלות
∢AEB: הזוויות ∢AEB ו־∢ACB הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת AB, ולכן:📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
∢AEB = ∢ACB = 60
∢BEC: הזוויות ∢BEC ו־∢BAC הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת BC, ולכן:📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
∢BEC = ∢BAC = 60
∢CED: הנקודות A, E, D על ישר אחד, ולכן הזוויות ∢AEB, ∢BEC, ∢CED יחד יוצרות זווית שטוחה:
∢AEB + ∢BEC + ∢CED = 180📐 זווית שטוחהזווית שטוחה היא 180 מעלות
60 + 60 + ∢CED = 180
∢CED = 180 − 120 = 60
✅ פתרון סופי: ∢AEB = ∢BEC = ∢CED = 60 מעלות ∎
סעיף ב – הוכחת הדמיון △AEB ∼ △CED
זווית ראשונה: לפי סעיף א:
∢AEB = ∢CED = 60
זווית שנייה: הנקודות A, B, C, E כולן על המעגל, ולכן ABCE הוא מרובע חסום במעגל. הזוויות ∢BAE ו־∢BCE נגדיות בו:📐 מרובע חסום במעגלסכום שתי זוויות נגדיות הוא 180 מעלות
∢BAE + ∢BCE = 180
הנקודה D על המשך BC, ולכן ∢BCE ו־∢ECD צמודות:📐 זוויות צמודותסכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות
∢ECD + ∢BCE = 180
משתי המשוואות:
∢ECD = ∢BAE
שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן המשולשים דומים. ההתאמה: A ↔ C , E ↔ E , B ↔ D.📐 משפט דמיון ז.ז.שתי זוויות שוות בהתאמה ⇐ המשולשים דומים
✅ פתרון סופי: △AEB ∼ △CED (ז.ז.) ∎
סעיף ג – הוכחת היחס
מהדמיון בסעיף ב (ההתאמה A ↔ C , E ↔ E , B ↔ D):📐 יחס צלעות במשולשים דומיםצלעות מתאימות (מול זוויות שוות) נמצאות באותו יחס – יחס הדמיון
AECE = EBED = ABCD
המשולש ABC שווה צלעות, ולכן AB = BC. נציב:📐 משולש שווה צלעותכל הצלעות שוות
AECE = BCCD
✅ פתרון סופי: AECE = BCCD ∎
סעיף ד – פי כמה שטח ABD גדול משטח CED
שלב 1 – יחס הדמיון. נתון: SAEB = 2.25 · SCED.
SAEBSCED = 2.25 = 1.52📐 יחס שטחים במשולשים דומיםיחס השטחים = (יחס הדמיון)²
יחס הדמיון הוא 1.5, ולפי סעיף ג:
AECE = BCCD = 1.5
נסמן CD = 2x. אז:
BC = 1.5 · 2x = 3x
AB = 3x
BD = BC + CD = 5x
AE = 1.5 · CE
שלב 2 – זוג משולשים דומים נוסף: △DCE ∼ △DAB.
• ∢D משותפת לשני המשולשים.
• ∢DCE = ∢ECD = ∢BAE = ∢DAB (הוכחנו בסעיף ב).
לכן המשולשים דומים, בהתאמה D ↔ D , C ↔ A , E ↔ B:📐 משפט דמיון ז.ז.שתי זוויות שוות בהתאמה ⇐ המשולשים דומים
DCDA = CEAB = DEDB📐 יחס צלעות במשולשים דומיםצלעות מתאימות (מול זוויות שוות) נמצאות באותו יחס – יחס הדמיון
שלב 3 – נבטא את DE ואת DA באמצעות CE.
מהשוויון CEAB = DEDB:
CE3x = DE5x
DE = 5x · CE3x = 53CE
הנקודה E על הקטע AD:
DA = AE + ED
= 1.5CE + 53CE
DA = 32CE + 53CE
= 96CE + 106CE = 196CE
שלב 4 – נמצא את CE. מהשוויון DCDA = CEAB (כפל בהצלבה):
DC · AB = CE · DA
2x · 3x = CE · 196CE
6x2 = 196CE2
CE2 = 36x219
שלב 5 – יחס השטחים. המשולשים DAB ו־DCE דומים, ויחס הדמיון הוא ABCE:
SABDSCED = (ABCE)2 = AB2CE2📐 יחס שטחים במשולשים דומיםיחס השטחים = (יחס הדמיון)²
SABDSCED = 9x236x219
SABDSCED = 9x2 · 1936x2 = 17136
= 194 = 4.75
בדיקה: הסרטוט למעלה בנוי בקנה מידה בדיוק לפי הנתון (BC = 3, CD = 2); חישוב השטחים מהקואורדינטות שלו נותן יחס 2.25 בין AEB ל־CED, ויחס 4.75 בין ABD ל־CED ✓
✅ פתרון סופי: שטח המשולש ABD גדול פי 194 = 4.75 משטח המשולש CED
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה – כל זווית 60 מעלות |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה (ז.ז.) |
| סעיף ג | הוכחה |
| סעיף ד | פי 4.75 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 5 – טריגונומטרייה: משולש שווה שוקיים, אנכים ומעגל חוסם
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם משולש שווה שוקיים ABC (AB = AC).
הנקודה E נמצאת על הבסיס BC כך ש־BE = 3 · EC. הנקודה D נמצאת על הצלע AC כך ש־ED מאונך ל־AC. הנקודה M נמצאת על הצלע AB כך ש־EM מאונך ל־AB.
נסמן: EC = k, ואת הזווית ∢ABC (בשאלון היא מסומנת באות) – נתון שהיא בין 30 מעלות ל־90 מעלות. כאן נכתוב אותה ∢B.
א. הביעו באמצעות k ו־∢B את אורכי הקטעים DE ו־ME.
נתון כי סכום שטחי המשולשים CED ו־BEM הוא 1.6k2.
ב. מצאו את הגודל של הזווית ∢B.
נתון כי אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש AED הוא 29.
ג. מצאו את הערך של k.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – DE ו־ME באמצעות k והזווית
המשולש שווה שוקיים, ולכן זוויות הבסיס שוות:📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות
∢ACB = ∢ABC = ∢B
הקטעים: EC = k, BE = 3k.
DE: במשולש EDC הזווית D ישרה, EC יתר, ו־DE ניצב מול הזווית C:
sin∢C = DEEC📐 סינוס במשולש ישר זוויתsin = ניצב מול הזוויתיתר
sin∢B = DEk
DE = k · sin∢B
ME: במשולש EMB הזווית M ישרה, BE יתר, ו־ME ניצב מול הזווית B:
sin∢B = MEBE = ME3k📐 סינוס במשולש ישר זוויתsin = ניצב מול הזוויתיתר
ME = 3k · sin∢B
✅ פתרון סופי: DE = k · sin∢B , ME = 3k · sin∢B
סעיף ב – גודל הזווית
נמצא גם את הניצבים השניים.
cos∢C = DCEC📐 קוסינוס במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
⇒ DC = k · cos∢B
cos∢B = BMBE📐 קוסינוס במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
⇒ BM = 3k · cos∢B
שטחי שני המשולשים ישרי הזווית:
SCED = DE · DC2📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
= k sin∢B · k cos∢B2
= k2 sin∢B cos∢B2
SBEM = ME · BM2📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
= 3k sin∢B · 3k cos∢B2
= 9k2 sin∢B cos∢B2
הסכום נתון: 1.6k2
k2 sin∢B cos∢B2
+ 9k2 sin∢B cos∢B2
= 1.6k2
10k2 sin∢B cos∢B2 = 1.6k2
5k2 sin∢B cos∢B = 1.6k2
נחלק ב־5k2:
sin∢B cos∢B = 0.32
נכפול ב־2:
2 sin∢B cos∢B = 0.64📐 סינוס של זווית כפולהsin(2x) = 2 sinx cosx
sin(2∢B) = 0.64
יש שני פתרונות לזווית 2∢B בין 0 ל־180 מעלות:📐 זוויות עם אותו סינוסsin x = sin(180 − x)
2∢B ≈ 39.79
או
2∢B ≈ 180 − 39.79
= 140.21
∢B ≈ 19.9 או ∢B ≈ 70.1
נתון שהזווית בין 30 ל־90 מעלות, ולכן ∢B ≈ 19.9 נפסל.
✅ פתרון סופי: ∢ABC ≈ 70.1 מעלות
סעיף ג – מציאת k
שלב 1 – אורך AE. במשולש AED הזווית ∢ADE ישרה (ED ⊥ AC). לפי משפט הסינוסים במשולש AED:
AEsin∢ADE = 2R📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R
AEsin 90 = 2 · 29
AE1 = 58
AE = 58
שלב 2 – נבטא את AE באמצעות k. נוריד את הגובה AH לבסיס. במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן H אמצע BC:
BC = 3k + k = 4k📐 משולש שווה שוקייםהגובה לבסיס הוא גם תיכון
BH = HC = 2k
HE = BE − BH = 3k − 2k = k
במשולש AHB (ישר זווית ב־H):
tan∢B = AHBH📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית
⇒ AH = 2k · tan∢B
AH ≈ 2k · tan 70.1
≈ 2k · 2.7625 ≈ 5.525k
במשולש AHE (ישר זווית ב־H):
AE2 = AH2 + HE2📐 משפט פיתגורסניצב2 + ניצב2 = יתר2
582 = (2k · tan∢B)2 + k2
3364 = 4k2tan2∢B + k2
3364 = k2(4tan2∢B + 1)
3364 ≈ k2(4 · 7.6312 + 1)
3364 ≈ 31.525k2
k2 ≈ 336431.525 ≈ 106.71
k ≈ 10.33
(אם מחשבים בלי לעגל את הזווית, יוצא k ≈ 10.328.)
✅ פתרון סופי: k ≈ 10.33
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | DE = k sin∢B ME = 3k sin∢B |
|---|---|
| סעיף ב | ≈ 70.1 מעלות |
| סעיף ג | k ≈ 10.33 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 17 – שטח משולש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 6 – חקירת פונקציית מנה עם פרמטר, ושטח בעזרת 1 חלקי f
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 6(x − 1)2x2 + a. a הוא פרמטר חיובי.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).
ב. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן. הביעו את תשובותיכם באמצעות a אם יש צורך.
נתון כי שיעור ה־y של נקודת המקסימום של הפונקציה f(x) הוא 7.5.
ג. מצאו את הערך של a.
בעבור הערך של a שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ה.
ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
f'(x) היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה f(x). g(x) היא פונקציה המקיימת g(x) = −f'(x)(f(x))2.
ה. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x). (2) מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה g(x). (3) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) ועל ידי ציר ה־x בתחום −a ≤ x ≤ 0.
✏️ פתרון שאלה 6
סעיף א (1) – תחום הגדרה
פונקציה רציונלית מוגדרת כאשר המכנה שונה מ־0:📐 תחום הגדרה של מנההמכנה ≠ 0
x2 + a = 0
x2 = −a
a > 0, ולכן −a < 0. ריבוע לא יכול להיות שלילי – למשוואה אין פתרון, והמכנה אף פעם לא מתאפס.
✅ פתרון סופי: כל x
סעיף א (2) – אסימפטוטות
אסימפטוטה אנכית: אין – המכנה אף פעם לא מתאפס (סעיף א(1)).
אסימפטוטה אופקית: נפתח את המונה:
6(x − 1)2 = 6(x2 − 2x + 1)📐 נוסחת כפל מקוצר(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
= 6x2 − 12x + 6
f(x) = 6x2 − 12x + 6x2 + a
החזקה הגבוהה במונה ובמכנה שווה (2), ולכן האסימפטוטה היא היחס בין המקדמים של x2:📐 אסימפטוטה אופקית של מנהחזקות שוות ⇐ y = יחס המקדמים המובילים
y = 61 = 6
✅ פתרון סופי: אין אסימפטוטה אנכית; אסימפטוטה אופקית y = 6
סעיף ב – נקודות קיצון
נגזור לפי נגזרת של מנה:
u = 6(x − 1)2
⇒ u' = 6 · 2(x − 1) · 1
= 12(x − 1)
v = x2 + a ⇒ v' = 2x📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[(h(x))n]' = n(h(x))n−1 · h'(x)
f'(x)📐 נגזרת של מנה(uv)' = u'v − uv'v2
= 12(x − 1)(x2 + a) − 6(x − 1)2 · 2x(x2 + a)2
נוציא גורם משותף 12(x − 1):
f'(x)
= 12(x − 1)[(x2 + a) − x(x − 1)](x2 + a)2
f'(x)
= 12(x − 1)[x2 + a − x2 + x](x2 + a)2
f'(x) = 12(x − 1)(x + a)(x2 + a)2
נשווה את הנגזרת ל־0 (המכנה חיובי, לכן רק המונה):
12(x − 1)(x + a) = 0
x = 1 או x = −a
כי a > 0: −a < 0 < 1. טבלת סימן הנגזרת (המכנה תמיד חיובי):
| x | x < −a | −a | −a < x < 1 | 1 | x > 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| x − 1 | − | − | − | 0 | + |
| x + a | − | 0 | + | + | + |
| f'(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| f(x) | עולה ↗ | מקס. | יורדת ↘ | מינ. | עולה ↗ |
שיעורי ה־y:
f(−a) = 6(−a − 1)2(−a)2 + a
= 6(a + 1)2a2 + a = 6(a + 1)2a(a + 1)
= 6(a + 1)a
f(1) = 6 · 021 + a = 0
✅ פתרון סופי: מקסימום (−a , 6(a + 1)a) , מינימום (1 , 0)
סעיף ג – מציאת a
שיעור ה־y של המקסימום הוא 7.5:
6(a + 1)a = 7.5
6(a + 1) = 7.5a
6a + 6 = 7.5a
6 = 1.5a
a = 4
(a = 4 > 0 – מתאים לנתון.)
✅ פתרון סופי: a = 4
סעיף ד – סקיצה של f(x) כאשר a = 4
f(x) = 6(x − 1)2x2 + 4
• מקסימום: (−4 , 7.5) • מינימום: (1 , 0) – זו גם נקודת החיתוך עם ציר ה־x.
• חיתוך עם ציר ה־y: f(0) = 6 · 14 = 1.5 – הנקודה (0 , 1.5).
• אסימפטוטה אופקית y = 6. משמאל הגרף מגיע אליה מלמעלה (עולה עד 7.5), ומימין מתקרב אליה מלמטה.
• עלייה: x < −4 וגם x > 1; ירידה: −4 < x < 1.
✅ פתרון סופי: סקיצה עם מקסימום (−4 , 7.5), מינימום (1 , 0), חיתוך (0 , 1.5) ואסימפטוטה y = 6
סעיף ה (1) – תחום ההגדרה של g(x)
f'(x) מוגדרת לכל x. צריך רק שהמכנה (f(x))2 לא יתאפס:📐 תחום הגדרה של מנההמכנה ≠ 0
(f(x))2 = 0 ⇒ f(x) = 0
⇒ 6(x − 1)2 = 0 ⇒ x = 1
✅ פתרון סופי: x ≠ 1
סעיף ה (2) – תחומי חיוביות ושליליות של g(x)
המכנה (f(x))2 חיובי לכל x ≠ 1. לכן הסימן של g(x) הפוך לסימן של f'(x) (בגלל המינוס במונה).
מסעיף ב עם a = 4: f'(x) > 0 כאשר x < −4 או x > 1; f'(x) < 0 כאשר −4 < x < 1.
| x | x < −4 | −4 | −4 < x < 1 | 1 | x > 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| g(x) | − | 0 | + | לא מוגדרת | − |
✅ פתרון סופי: חיוביות: −4 < x < 1 ; שליליות: x < −4 וגם x > 1
סעיף ה (3) – השטח בתחום −4 ≤ x ≤ 0
לפי סעיף ה(2), בתחום −4 ≤ x ≤ 0 מתקיים g(x) ≥ 0, ולכן השטח הוא האינטגרל של g(x).
נשים לב: g(x) היא בדיוק הנגזרת של 1f(x):
(1f(x))' = ((f(x))−1)'📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[(h(x))n]' = n(h(x))n−1 · h'(x)
= −1 · (f(x))−2 · f'(x)
= −f'(x)(f(x))2 = g(x)
לכן 1f(x) היא פונקציה קדומה של g(x):
1f(x) = x2 + 46(x − 1)2
S = ∫0−4g(x) dx📐 שטח בין גרף לציר xS = ∫bag(x) dx = G(b) − G(a)(G פונקציה קדומה, g ≥ 0 בתחום)
= [x2 + 46(x − 1)2]−40
S
= 0 + 46(0 − 1)2 − 16 + 46(−4 − 1)2
S = 46 − 206 · 25
S = 23 − 20150 = 23 − 215
S = 1015 − 215 = 815 ≈ 0.533
✅ פתרון סופי: השטח הוא 815 ≈ 0.533
📌 סיכום התשובות – שאלה 6
| סעיף א (1) | כל x |
|---|---|
| סעיף א (2) | y = 6; אין אנכית |
| סעיף ב | מקס. (−a , 6(a + 1)a) מינ. (1 , 0) |
| סעיף ג | a = 4 |
| סעיף ד | סקיצה |
| סעיף ה (1) | x ≠ 1 |
| סעיף ה (2) | חיובית −4 < x < 1 שלילית x < −4, x > 1 |
| סעיף ה (3) | 815 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 57 – מציאת פרמטר בהינתן נקודת קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 7 – חקירת פונקציה טריגונומטרית, ושורש של הנגזרת
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = (sin x)2 · cos(2x), המוגדרת בתחום −π4 ≤ x ≤ π4.
א. הוכיחו כי הפונקציה f(x) היא זוגית.
ב. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
פונקציית הנגזרת f'(x) מוגדרת בתחום −π4 ≤ x ≤ π4. נתונה הפונקציה g(x) = √a · f'(x). a הוא פרמטר שלילי.
ד. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x). (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x.
נתון כי לפונקציה f(x) יש נקודת פיתול אחת בלבד בתחום ההגדרה של הפונקציה g(x).
ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
✏️ פתרון שאלה 7
סעיף א – הוכחה ש־f(x) זוגית
התחום −π4 ≤ x ≤ π4 סימטרי סביב 0. צריך להראות ש־f(−x) = f(x):📐 פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)לכל x בתחום (תחום סימטרי)
f(−x)📐 זהויות של זווית נגדיתsin(−x) = −sin xcos(−x) = cos x
= (sin(−x))2 · cos(−2x)
f(−x)
= (−sin x)2 · cos(2x)
f(−x) = (sin x)2 · cos(2x)
f(−x) = f(x)
✅ פתרון סופי: הפונקציה זוגית ∎
סעיף ב – נקודות קיצון
נגזור לפי כלל המכפלה, עם u = (sin x)2 ו־v = cos(2x):
u' = 2 sin x · cos x📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[(h(x))2]' = 2h(x) · h'(x)sin(2x) = 2 sinx cosx
= sin(2x)
v' = −sin(2x) · 2📐 נגזרת של cos[cos(kx)]' = −k sin(kx)
= −2sin(2x)
f'(x)📐 נגזרת של מכפלה(u · v)' = u'v + uv'
= sin(2x) · cos(2x)
+ (sin x)2 · (−2sin(2x))
נוציא גורם משותף sin(2x):
f'(x)
= sin(2x) · [cos(2x)
− 2sin2x]
f'(x)📐 קוסינוס של זווית כפולהcos(2x) = 1 − 2sin2x
= sin(2x) · [1 − 2sin2x
− 2sin2x]
f'(x)
= sin(2x) · (1 − 4sin2x)
נשווה ל־0:
אפשרות 1: sin(2x) = 0. בתחום שלנו −π2 ≤ 2x ≤ π2, ולכן רק 2x = 0, כלומר x = 0.
אפשרות 2:
1 − 4sin2x = 0
sin2x = 14
sin x = 12
או
sin x = −12
x = π6 או x = −π6
(בתחום −π4 ≤ x ≤ π4 אלה הפתרונות היחידים.)
טבלת סימן הנגזרת. נציב נקודות בדיקה, למשל x = π12: sinπ6 > 0, sin2π12 ≈ 0.067 < 14 ⇐ f' > 0. ו־x = 0.7: sin 1.4 > 0, sin20.7 ≈ 0.415 > 14 ⇐ f' < 0. בצד השלילי הסימנים הפוכים (הנגזרת של פונקציה זוגית היא אי־זוגית):
| x | −π/4 | (−π/4 , −π/6) | −π/6 | (−π/6 , 0) | 0 | (0 , π/6) | π/6 | (π/6 , π/4) | π/4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | − | 0 | + | 0 | − | ||
| f(x) | קצה | ↗ | מקס. | ↘ | מינ. | ↗ | מקס. | ↘ | קצה |
שיעורי ה־y:
f(0) = 0 · cos 0 = 0
f(π6) = (sinπ6)2 · cosπ3
= (12)2 · 12 = 18
הפונקציה זוגית, ולכן:
f(−π6) = f(π6) = 18
f(π4) = (sinπ4)2 · cosπ2
= 12 · 0 = 0 = f(−π4)
בקצות התחום הפונקציה יורדת אל הקצה הימני ועולה מהקצה השמאלי, ולכן שתי נקודות הקצה הן נקודות מינימום (קצה).
✅ פתרון סופי: מקסימום: (−π6 , 18), (π6 , 18); מינימום: (0 , 0); מינימום בקצוות: (−π4 , 0), (π4 , 0)
סעיף ג – סקיצה של f(x)
הגרף סימטרי סביב ציר ה־y (זוגית). מתחיל ב־(−π4 , 0), עולה למקסימום (−π6 , 18), יורד למינימום (0 , 0), עולה למקסימום (π6 , 18) ויורד ל־(π4 , 0).
✅ פתרון סופי: סקיצה בצורת M – שני מקסימומים בגובה ⅛ ומינימום בראשית
סעיף ד (1) – תחום ההגדרה של g(x)
שורש מוגדר כאשר הביטוי שבתוכו אינו שלילי:📐 תחום הגדרה של שורש√A מוגדר כאשר A ≥ 0
a · f'(x) ≥ 0
a < 0, ולכן נחלק ב־a ונהפוך את כיוון אי־השוויון:
f'(x) ≤ 0
מטבלת הסימן בסעיף ב: f'(x) ≤ 0 בתחום −π6 ≤ x ≤ 0 ובתחום π6 ≤ x ≤ π4.
✅ פתרון סופי: −π6 ≤ x ≤ 0 או π6 ≤ x ≤ π4
סעיף ד (2) – חיתוך של g(x) עם ציר ה־x
g(x) = 0
⇒ a · f'(x) = 0
⇒ f'(x) = 0
מסעיף ב: f'(x) = 0 ב־x = −π6, x = 0, x = π6 – כולן בתחום של g.
בקצה x = π4:
f'(π4)
= sinπ2 · (1 − 4 · 12)
= 1 · (−1) = −1 ≠ 0
ולכן שם אין חיתוך.
✅ פתרון סופי: (−π6 , 0) , (0 , 0) , (π6 , 0)
סעיף ה – סקיצה של g(x)
נקודת פיתול של f היא נקודה שבה ל־f' יש נקודת קיצון.
בתחום −π6 ≤ x ≤ 0: f' שווה ל־0 בשני הקצוות ושלילית בפנים, ולכן יש לה שם נקודת מינימום – זו נקודת פיתול של f.
נתון שיש רק נקודת פיתול אחת בתחום של g, ולכן בתחום π6 ≤ x ≤ π4 אין ל־f' קיצון: היא יורדת בהתמדה מ־f'(π6) = 0 עד f'(π4) = −1.
כש־a < 0, הביטוי a · f'(x) מתנהג הפוך ל־f'(x), והשורש שומר על כיוון העלייה/הירידה:
• ב־−π6 ≤ x ≤ 0: g עולה מ־0 למקסימום (בנקודת הפיתול של f) ויורדת חזרה ל־0.
• ב־π6 ≤ x ≤ π4: g עולה מ־0 עד הקצה:
g(π4) = √a · (−1) = √−a
(השרטוט בקנה מידה בעבור a = −1; לכל a שלילי הצורה זהה, רק הגובה משתנה.)
✅ פתרון סופי: "גבעה" בין (−π6 , 0) ל־(0 , 0), ועלייה מ־(π6 , 0) עד (π4 , √−a)
📌 סיכום התשובות – שאלה 7
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | מקס. (±π6 , 18) מינ. (0 , 0), (±π4 , 0) (קצה) |
| סעיף ג | סקיצה |
| סעיף ד (1) | −π6 ≤ x ≤ 0 π6 ≤ x ≤ π4 |
| סעיף ד (2) | (−π6 , 0), (0 , 0), (π6 , 0) |
| סעיף ה | סקיצה |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 39 – סעיף חשיבה עם שורש ותחום הגדרה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
שאלה 8 – בעיית קיצון: קטע אופקי בין גרף פולינום לישר
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מתוארים גרף הפונקציה f(x) = (4x − 2)3 והישר y = 3x + b. b הוא פרמטר חיובי.
הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה f(x) כך ששיעור ה־x שלה קטן משיעור ה־x של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הישר הנתון. הנקודה B נמצאת על הישר הנתון כך שהקטע AB מקביל לציר ה־x.
נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה A. נתון: 0 ≤ t ≤ 0.7.
א. הביעו באמצעות b ו־t את שיעור ה־x של הנקודה B.
ב. (1) מצאו את הערך של t שבעבורו אורך הקטע AB הוא מינימלי. (2) מצאו את הערך של t שבעבורו אורך הקטע AB הוא מקסימלי.
✏️ פתרון שאלה 8
סעיף א – שיעור ה־x של B
הנקודה A על גרף f, ושיעור ה־x שלה t:
A(t , (4t − 2)3)
AB מקביל לציר ה־x, ולכן ל־B אותו שיעור y כמו ל־A. B על הישר y = 3x + b:
3xB + b = (4t − 2)3
3xB = (4t − 2)3 − b
xB = (4t − 2)3 − b3
✅ פתרון סופי: xB = (4t − 2)3 − b3
סעיף ב – אורך מינימלי ומקסימלי של AB
בניית הפונקציה. כמו בסרטוט, B משמאל ל־A, ולכן האורך הוא ההפרש בין שיעורי ה־x:
AB = xA − xB
= t − (4t − 2)3 − b3
AB(t)
= t − (4t − 2)33
+ b3 , 0 ≤ t ≤ 0.7
גזירה (b קבוע, ולכן b3 נגזר ל־0):
AB'(t)📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[(h(x))n]' = n(h(x))n−1 · h'(x)
= 1 − 3(4t − 2)2 · 43
AB'(t) = 1 − 4(4t − 2)2
נשווה ל־0:
4(4t − 2)2 = 1
(4t − 2)2 = 14
4t − 2 = 12
או
4t − 2 = −12
4t = 2.5 או 4t = 1.5
t = 0.625 או t = 0.375
שתיהן בתחום 0 ≤ t ≤ 0.7. נקודות בדיקה לסימן הנגזרת:
AB'(0) = 1 − 4 · 4
= −15 < 0
AB'(0.5) = 1 − 4 · 0
= 1 > 0
AB'(0.7) = 1 − 4 · 0.82
= 1 − 2.56 = −1.56 < 0
| t | 0 | (0 , 0.375) | 0.375 | (0.375 , 0.625) | 0.625 | (0.625 , 0.7) | 0.7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| AB' | − | 0 | + | 0 | − | ||
| AB | קצה | ↘ | מינ. | ↗ | מקס. | ↘ | קצה |
יש שני מועמדים למינימום (0.375 והקצה 0.7) ושני מועמדים למקסימום (הקצה 0 ו־0.625). נחשב את AB בכל אחד (בלי b3, שמשותף לכולם):📐 קיצון בתחום סגורמשווים את ערכי הפונקציה בנקודות הקיצון הפנימיות ובקצוות התחום
t = 0: 0 − (−2)33 = 83
≈ 2.667
t
= 0.375: 0.375 − (−0.5)33
= 0.375 + 0.1253 ≈ 0.417
t = 0.625: 0.625 − 0.533
= 0.625 − 0.1253 ≈ 0.583
t = 0.7: 0.7 − 0.833
= 0.7 − 0.5123 ≈ 0.529
(1) מינימום: הערך הקטן ביותר הוא ב־t = 0.375 (0.417 קטן מ־0.529 שבקצה).
(2) מקסימום: הערך הגדול ביותר הוא ב־t = 0 (2.667 גדול מ־0.583 שבמקסימום המקומי).
(גם הערך הקטן ביותר 0.417 + b3 חיובי, ולכן אכן B משמאל ל־A לכל t בתחום.)
✅ פתרון סופי: (1) מינימלי כאשר t = 0.375 ; (2) מקסימלי כאשר t = 0
📌 סיכום התשובות – שאלה 8
| סעיף א | xB = (4t − 2)3 − b3 |
|---|---|
| סעיף ב (1) | t = 0.375 |
| סעיף ב (2) | t = 0 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.
השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il