בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 472 – קיץ 2023 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטרייה במרחב (וקטורים) וסטטיסטיקה; פרק שני – גדילה ודעיכה וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות. עונים על 3 שאלות, לפחות שאלה אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה שעה וארבעים וחמש דקות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2023 מועד א'

שאלון 472 קיץ 2023 מועד א' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 5
שאלון 472 קיץ 2023 מועד א' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 5
שאלון 472 קיץ 2023 מועד א' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 5
שאלון 472 קיץ 2023 מועד א' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 5
שאלון 472 קיץ 2023 מועד א' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 5

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – וקטורים בפירמידה משולשת ABCD

📄 נוסח השאלה

בפירמידה המשולשת ABCD המקצועות AD, BD ו־CD מאונכים זה לזה (ראו סרטוט). הנקודה E נמצאת על המישור ABC, ומתקיים: BE = 19BA + 49BC.

נסמן: DA = u , DB = v , DC = w.

הפירמידה ABCD מהשאלון

א. הביעו את הווקטורים BA , BC , DE באמצעות u , v ו־w.

נתון: |u| = 2 , |v| = |w| = 1.

ב. (1) חשבו את אורכי המקצועות BA ו־BC. (2) חשבו את גודל הזווית ABC. (3) חשבו את שטח המשולש ABC.

ג. הוכיחו כי הווקטור DE מאונך למישור ABC.

ד. חשבו את נפח הפירמידה ABCD.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הבעת הווקטורים

BA = BD + DA📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
BD = −DB = −v📐 וקטור נגדיYX = −XY
BA = −v + u = u − v
BC = BD + DC = w − v
עכשיו BE לפי הנתון:
BE = 19(u − v) + 49(w − v)📐 כפל וקטור במספרk(a + b) = ka + kb
= 19u − 19v + 49w − 49v = 19u − 59v + 49w
DE = DB + BE📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
= v + 19u − 59v + 49w
= 19u + 49v + 49w
✅ פתרון סופי: BA = u − v
BC = w − v
DE = 19u + 49v + 49w

סעיף ב (1) – אורכי BA ו־BC

המקצועות AD , BD , CD מאונכים זה לזה, ולכן כל מכפלה סקלרית בין שני וקטורים שונים מבין u , v , w שווה 0.
📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
|BA|2 = (u − v)2 = u2 − 2u·v + v2📐 אורך וקטור|a|2 = a · a = a2
= 4 − 0 + 1 = 5 |BA| = √5 ≈ 2.236
|BC|2 = (w − v)2 = 1 − 0 + 1 = 2 |BC| = √2 ≈ 1.414
✅ פתרון סופי: BA = √5 , BC = √2

סעיף ב (2) – הזווית ABC

הזווית ABC היא הזווית בין BA ל־BC:
BA · BC = (u − v) · (w − v)
= u·w − u·v − v·w + v2 = 0 − 0 − 0 + 1 = 1
cos(∡ABC) = 1√5 · √2 = 1√10 ≈ 0.3162📐 זווית בין וקטוריםcos(∡) = a · b|a| · |b|
∡ABC ≈ 71.57 מעלות
✅ פתרון סופי: ∡ABC ≈ 71.57 מעלות

סעיף ב (3) – שטח המשולש ABC

sin(71.57) ≈ 0.9487
S = 12 · √5 · √2 · sin(71.57)📐 שטח משולש (טריגונומטרי)S = 12 · a · b · sin(∡)
≈ 12 · 3.1623 · 0.9487 ≈ 1.5
בדיקה: בדיוק: sin = 3√10, ולכן S = 12 · √10 · 3√10 = 1.5 ✓
✅ פתרון סופי: S = 1.5 יחידות שטח

סעיף ג – DE מאונך למישור ABC

מספיק להראות ש־DE מאונך לשני וקטורים לא מקבילים במישור, למשל BA ו־BC.
📐 ישר מאונך למישורישר המאונך לשני ישרים נחתכים במישור – מאונך למישור
DE · BA = (19u + 49v + 49w) · (u − v)
= 19u2 − 49v2 = 19 · 4 − 49 · 1 = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
DE · BC = (19u + 49v + 49w) · (w − v)
= 49w2 − 49v2 = 49 − 49 = 0
(כל המכפלות המעורבות, כמו u·w, שוות 0.) שתי המכפלות שוות 0 – DE מאונך למישור ABC. ✓
ABCDE
DE – מ־D אל הנקודה E במישור ABC
✅ פתרון סופי: הוכח: DE ⊥ ABC

סעיף ד – נפח הפירמידה

נבחר את המשולש BCD כבסיס: הוא ישר זווית ב־D, עם ניצבים DB = DC = 1. המקצוע AD מאונך ל־DB ול־DC, ולכן הוא הגובה לבסיס זה.
SBCD = 1 · 12 = 12📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
V = 12 · 23 = 13📐 נפח פירמידהV = Sבסיס · h3
בדיקה: דרך הבסיס ABC והגובה DE: |DE|2 = 181 · 4 + 1681 + 1681 = 3681, |DE| = 23, V = 1.5 · 233 = 13 ✓
uvwABCDE
הפירמידה ABCD והווקטורים u , v , w – בקנה מידה
✅ פתרון סופי: V = 13 ≈ 0.333 יחידות נפח

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אBA = u − v
BC = w − v
DE = 19u + 49v + 49w
סעיף ב (1)√5 , √2
סעיף ב (2)≈ 71.57 מעלות
סעיף ב (3)1.5
סעיף גהוכחה
סעיף ד13
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סטטיסטיקה: מתאם ורגרסיה

📄 נוסח השאלה

תלמידי כיתה י"ב התבקשו לכתוב עבודה ולהגישה. הציון שקיבלו על העבודה שוקלל בציון הסופי של כל תלמיד. המורה רצתה לבדוק את הקשר בין הציון על העבודה ובין הציון הסופי, ולשם כך סרטטה את דיאגרמת הפיזור של שני הציונים: X – הציון על העבודה, Y – הציון הסופי. הדיאגרמה שהתקבלה מתוארת בתרשים שלפניכם.

דיאגרמת הפיזור מהשאלון

א. האם אפשר להסיק מן הדיאגרמה הנתונה שכל תלמיד שקיבל על העבודה ציון גבוה יותר מתלמיד אחר קיבל בהכרח ציון סופי גבוה יותר מן התלמיד האחר? נמקו.

ב. אחד מן המספרים שלפניכם הוא מקדם המתאם המתאים לקשר בין שני המשתנים. קבעו מיהו מבין המספרים האלה: 0.675 , 0 , 0.999 , −0.8 , 1.6

נתונים הממוצעים וסטיות התקן של שני המשתנים: X̄ = 71 , SX = 23 , Ȳ = 75 , SY = 14.

ג. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי הציון הסופי על פי הציון על העבודה.

הוחלט להעלות את הציון הסופי של כל תלמיד ב־5 נקודות, ובעקבות העלאה זו התקבל ישר רגרסיה חדש.

ד. (1) האם השתנתה סטיית התקן SY לאחר העלאת הציונים? (2) אחד מן הגרפים I–III שבסוף השאלה מייצג את הישר הישן, שלפני העלאת הציון הסופי (מסורטט בקו מלא), ואת הישר החדש, שאחרי ההעלאה (מסורטט בקו מקווקו). קבעו מיהו הגרף, ונמקו.

ה. אם קיים בכיתה תלמיד שהציון שלו על העבודה הוא 71, מה צריך להיות הציון הסופי שלו (לאחר ההעלאה בציון) כדי שהנקודה המייצגת את שני הציונים שלו תהיה על ישר הרגרסיה החדש?

הגרפים I–III לשאלה 2
✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – האם ציון גבוה יותר בעבודה מבטיח ציון סופי גבוה יותר?

לא. הקשר חיובי אבל לא מושלם: הנקודות לא נמצאות על ישר עולה אחד.
דוגמה מהדיאגרמה: תלמיד אחד קיבל בערך 50 בעבודה וכ־85 בציון הסופי, ותלמיד אחר קיבל כ־65 בעבודה רק כ־60 בציון הסופי. ⚠️ הערכים נקראו מתוך הדיאגרמה.
אילו המסקנה הייתה נכונה, מקדם המתאם היה מראה קשר מושלם – וזה לא המצב כאן.
📐 מקדם המתאם−1 ≤ r ≤ 1
✅ פתרון סופי: לא

סעיף ב – מקדם המתאם

1.6 – לא ייתכן, מקדם מתאם לא גדול מ־1.
📐 מקדם המתאם−1 ≤ r ≤ 1
−0.8 – שלילי, אבל בדיאגרמה ככל ש־X גדל, Y נוטה לגדול (קשר חיובי).
0 – אין קשר, אבל יש מגמה עולה ברורה.
0.999 – כמעט קשר מושלם, והנקודות היו כמעט על ישר. בדיאגרמה יש פיזור רב (סעיף א).
נשאר 0.675 – קשר חיובי בינוני־חזק.
✅ פתרון סופי: r = 0.675

סעיף ג – ישר הרגרסיה

b = 0.675 · 1423 ≈ 0.411📐 ישר רגרסיהŷ = b · x + ab = r · SYSX , a = Ȳ − b · X̄
a = 75 − 0.41087 · 71 ≈ 75 − 29.17 ≈ 45.83
ŷ = 0.411x + 45.83
בדיקה: הישר עובר בנקודת הממוצעים: 0.41087 · 71 + 45.83 ≈ 75 ✓
✅ פתרון סופי: ŷ = 0.411x + 45.83

סעיף ד (1) – האם SY השתנתה?

כל הציונים הסופיים עלו באותם 5 נקודות: הממוצע עולה ב־5, אבל המרחקים מהממוצע לא משתנים.
📐 הוספת קבוע לכל הנתוניםהממוצע גדל באותו קבוע, סטיית התקן לא משתנה
Ȳחדש = 75 + 5 = 80 , SY = 14 (ללא שינוי)
✅ פתרון סופי: לא – סטיית התקן לא השתנתה

סעיף ד (2) – איזה גרף מתאים?

הציונים לא השתנו בצורה ש"מותחת" אותם – SX, SY ו־r נשארו (גם r לא משתנה מהוספת קבוע). לכן השיפוע נשאר:
bחדש = 0.675 · 1423 = bישן📐 ישר רגרסיהŷ = b · x + ab = r · SYSX , a = Ȳ − b · X̄
aחדש = 80 − 0.41087 · 71 ≈ 50.83 = aישן + 5
כלומר הישר החדש מקביל לישן ונמצא 5 נקודות מעליו לכל אורכו. בגרף II הקו המקווקו מקביל לקו המלא וגבוה ממנו במעט; בגרף I ובגרף III הקווים לא מקבילים (המרחק ביניהם משתנה). ⚠️ זיהוי הגרף נעשה לפי התמונות בשאלון.
5050100100XY(71 , 80)מלא – הישר הישןמקווקו – החדש (+5)
הישר הישן והישר החדש – משורטטים מהמשוואות
✅ פתרון סופי: גרף II

סעיף ה – הציון הסופי שמתאים לציון 71 בעבודה

71 הוא בדיוק הממוצע X̄. ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים, ואחרי ההעלאה Ȳ = 80.
📐 נקודת הממוצעיםישר הרגרסיה עובר תמיד בנקודה (X̄ , Ȳ)
ŷ = 0.41087 · 71 + 50.83 ≈ 29.17 + 50.83 = 80
✅ פתרון סופי: 80

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אלא
סעיף בr = 0.675
סעיף גŷ = 0.411x + 45.83
סעיף ד (1)לא השתנתה
סעיף ד (2)גרף II
סעיף ה80
📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות: פתרון בגרות 4 יחידות – תוכנית חדשה
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – גדילה: ריבית בבנק

📄 נוסח השאלה

בבנק מסחרי יש שני סוגים של חוב: חוב של הבנק ללקוח (כאשר הלקוח מפקיד כסף בבנק) וחוב של הלקוח לבנק (כאשר הבנק מלווה כסף ללקוח). בבנק מסחרי מסוים, כאשר הבנק חייב כסף ללקוח, הוא משלם ללקוח ריבית בגובה של 1.5% מן החוב בכל שנה. בתחילת שנת 2023 הפקיד דני בבנק 10,000 ש"ח.

א. איזו מבין הפונקציות 1–4 שלפניכם מתארת את גובה החוב של הבנק לדני לפי השנים (t)?
(1) f(t) = 10,000 · 1.015t
(2) f(t) = 10,150 · 1.02t
(3) f(t) = 10,150 · 2t
(4) f(t) = 10,000 · 1.5t

ב. כמה כסף יהיה הבנק חייב לדני כעבור 20 שנה מן היום שבו הפקיד דני את הכסף?

כאשר הבנק הזה מלווה כסף ללקוח, הוא גובה ממנו ריבית של 15% מגובה החוב בכל שנה. בתחילת שנת 2023 לוותה יעל 1,000 ש"ח מן הבנק.

ג. מצאו את הפונקצייה g(t) המתארת את גובה החוב של יעל לבנק לפי השנים (t).

ד. בסרטוט שבסוף השאלה מתוארים הגרפים של הפונקצייה f(t) ושל הפונקצייה g(t). איזו פונקצייה מתאר הקו המקווקו? נמקו.

בתחילת כל שנה הבנק מברר את המאזן שלו: כמה כסף לקוחותיו חייבים לו, וכמה כסף הוא חייב ללקוחותיו.

ה. בתחילתה של איזו שנה יגלה הבנק שהחוב שלו לדני קטן מן החוב של יעל לבנק?

הגרפים של f ו־g מהשאלון
✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הפונקצייה המתאימה

q = 1 + 1.5100 = 1.015📐 מנת הגדילהq = 1 + p100
הכמות ההתחלתית (t = 0, תחילת 2023) היא 10,000:
📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
f(t) = 10,000 · 1.015t
(2) ו־(3) מתחילות מ־10,150 – לא נכון. (4) מתאימה ל־50% בשנה – לא נכון.
✅ פתרון סופי: פונקצייה (1)

סעיף ב – החוב לדני אחרי 20 שנה

f(20) = 10,000 · 1.01520📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
1.01520 ≈ 1.346855
f(20) ≈ 13,468.55
✅ פתרון סופי: בערך 13,468.55 ש"ח

סעיף ג – הפונקצייה g(t)

q = 1 + 15100 = 1.15📐 מנת הגדילהq = 1 + p100
g(t) = 1,000 · 1.15t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
✅ פתרון סופי: g(t) = 1,000 · 1.15t

סעיף ד – מה מתאר הקו המקווקו?

בהתחלה (t = 0): f(0) = 10,000 , g(0) = 1,000 – f גבוהה בהרבה.
f גדלה רק ב־1.5% בשנה (עולה לאט, כמעט ישר), ו־g ב־15% בשנה (עולה מהר וחותכת את f).
📐 מנת הגדילהq = 1 + p100
הקו המקווקו מתחיל גבוה ועולה לאט, והקו המלא מתחיל נמוך ועולה מהר. ⚠️ זיהוי הקווים נעשה לפי הסרטוט בשאלון.
51015205,00010,00015,000t ≈ 18.44f(t)g(t)t
הגרפים של f (מקווקו) ו־g (מלא) – משורטטים מהפונקציות
✅ פתרון סופי: הקו המקווקו מתאר את f(t)

סעיף ה – מתי החוב לדני קטן מהחוב של יעל?

10,000 · 1.015t < 1,000 · 1.15t
מחלקים ב־1,000 וב־1.015t (חיובי):
10 < (1.151.015)t📐 חילוק חזקות עם אותו מעריךanbn = (ab)n
1.151.015 ≈ 1.133005
t = ln 10ln 1.133005 ≈ 2.3025850.124871 ≈ 18.44📐 מציאת המעריך בעזרת lnqt = k ⟹ t = ln kln q
הבסיס גדול מ־1, ולכן אי־השוויון מתקיים כש־t > 18.44. הבנק בודק רק בתחילת כל שנה (t שלם), ולכן הפעם הראשונה היא t = 19.
בדיקה: t = 18 : f ≈ 13,073 , g ≈ 12,376 – עדיין f גדול יותר
בדיקה: t = 19 : f ≈ 13,269 , g ≈ 14,232 ✓
2023 + 19 = 2042
✅ פתרון סופי: בתחילת שנת 2042

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א(1)
סעיף ב≈ 13,468.55 ש"ח
סעיף גg(t) = 1,000 · 1.15t
סעיף דf(t)
סעיף התחילת 2042
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 16 – פתרון בגרות 2023 א
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציית e ושטח בין גרפים

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = ex · (ex − 6)2 המוגדרת לכל x.

א. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

ב. הראו כי מתקיים: f(x) = e3x − 12e2x + 36ex.

ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = e3x העולה לכל x.

ה. (1) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם גרף הפונקצייה g(x). (2) באותה מערכת צירים שבה סרטטתם את גרף הפונקצייה f(x), סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה g(x) בקו מקווקו. (3) מצאו את השטח המוגבל על ידי הגרף של הפונקצייה f(x), על ידי הגרף של הפונקצייה g(x) ועל ידי ציר ה־y.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – נקודות החיתוך עם הצירים

ציר y (x = 0):
f(0) = e0 · (e0 − 6)2 = 1 · (−5)2 = 25📐 חזקה עם מעריך 0a0 = 1
ציר x (f(x) = 0): מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים 0. ex > 0, ולכן:
(ex − 6)2 = 0 ex = 6📐 e בחזקת x חיובי תמידex > 0
x = ln 6 ≈ 1.79📐 פתרון משוואה מעריכיתex = b ⟺ x = ln b
✅ פתרון סופי: (0 , 25) , (ln 6 , 0)

סעיף ב – פתיחת הסוגריים

(ex − 6)2 = e2x − 12ex + 36📐 נוסחת הכפל המקוצר(x − b)2 = x2 − 2bx + b2
f(x) = ex · (e2x − 12ex + 36) = e3x − 12e2x + 36ex📐 כפל חזקותea · eb = ea + b
✅ פתרון סופי: הוכח: f(x) = e3x − 12e2x + 36ex

סעיף ג – נקודות הקיצון

f′(x) = 3e3x − 24e2x + 36ex📐 נגזרת e בחזקת kx(ekx)′ = k · ekx
מוציאים גורם משותף 3ex:
f′(x) = 3ex(e2x − 8ex + 12)
3ex(e2x − 8ex + 12) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
3ex > 0, ולכן נציב t = ex:
t2 − 8t + 12 = 0
t = 8 ± √(64 − 48)2 = 8 ± 42📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
t = 6 או t = 2
ex = 2 ⟸ x = ln 2 ≈ 0.69 , ex = 6 ⟸ x = ln 6 ≈ 1.79📐 פתרון משוואה מעריכיתex = b ⟺ x = ln b
לכן f′(x) = 3ex(ex − 2)(ex − 6). סימן הנגזרת:
x = 0 : 3 · (1 − 2)(1 − 6) = 15 > 0 ← עולה
x = 1 : 3e(e − 2)(e − 6) ≈ −19.2 < 0 ← יורדת
x = 2 : 3e2(e2 − 2)(e2 − 6) ≈ 165.9 > 0 ← עולה
xf′(x)f(x)
x < ln 2+↗ עולה
ln 20מקסימום
ln 2 < x < ln 6−↘ יורדת
ln 60מינימום
x > ln 6+↗ עולה
עולה ואז יורדת – מקסימום; יורדת ואז עולה – מינימום.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימום
f(ln 2) = 2 · (2 − 6)2 = 2 · 16 = 32📐 e ו־ln מבטלים זה את זהeln b = b
f(ln 6) = 6 · (6 − 6)2 = 0
✅ פתרון סופי: מקסימום (ln 2 , 32) , מינימום (ln 6 , 0)

סעיף ד – סקיצה

כש־x שלילי וגדול, ex מתקרב ל־0, ולכן f מתקרבת ל־0 מלמעלה (למשל f(−3) ≈ 1.7). הגרף כולו מעל ציר ה־x או נוגע בו (מכפלה של מספר חיובי בריבוע).
עולה עד המקסימום (ln 2 , 32), עובר בדרך ב־(0 , 25), יורד עד המינימום (ln 6 , 0) שבו הוא נוגע בציר ה־x, ואז עולה מהר.
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת
xy−2−11210203040(ln 2 , 32)(ln 6 , 0)(0 , 25)
הגרף של f(x) – משורטט מהפונקצייה עצמה
✅ פתרון סופי: הסקיצה למטה

סעיף ה (1) – החיתוך של f ו־g

e3x − 12e2x + 36ex = e3x
−12e2x + 36ex = 0
12ex(−ex + 3) = 0
12ex > 0, ולכן ex = 3 , x = ln 3 ≈ 1.1
📐 e בחזקת x חיובי תמידex > 0
g(ln 3) = e3ln 3 = 33 = 27
בדיקה: f(ln 3) = 3 · (3 − 6)2 = 27 ✓
✅ פתרון סופי: (ln 3 , 27)

סעיף ה (2) – סקיצה של g(x)

g = e3x עולה תמיד, מתקרבת ל־0 משמאל, עוברת ב־(0 , 1), חותכת את f ב־(ln 3 , 27) ועולה מהר מאוד.
📐 e בחזקת x חיובי תמידex > 0
✅ פתרון סופי: הסקיצה בסעיף הבא (קו מקווקו)

סעיף ה (3) – השטח

השטח בין ציר ה־y (x = 0) לנקודת החיתוך x = ln 3. ב־x = 0: f = 25 > g = 1 – f למעלה.
S = ∫0ln 3 (f(x) − g(x)) dx = ∫0ln 3 (−12e2x + 36ex) dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫ab (עליונה − תחתונה) dx
= [−6e2x + 36ex]0ln 3📐 אינטגרל של e בחזקת kx∫ekx dx = 1kekx + C
= (−6 · 9 + 36 · 3) − (−6 · 1 + 36 · 1)📐 אינטגרל של נגזרת∫ab f′(x) dx = f(b) − f(a)
= (−54 + 108) − (−6 + 36) = 54 − 30 = 24
xy−2−11210203040(ln 3 , 27)Sg(x)
הגרף של f, הגרף של g (מקווקו) והשטח S
✅ פתרון סופי: S = 24 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א(0 , 25) , (ln 6 , 0)
סעיף בהוכחה
סעיף גמקסימום (ln 2 , 32)
מינימום (ln 6 , 0)
סעיף דסקיצה
סעיף ה(ln 3 , 27) ; S = 24
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 23 – פתרון בגרות קיץ 2023
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת פונקציית ln של פולינום

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה h(x) = −2x3 + 6x2 המוגדרת לכל x.

הגרף של h(x) מהשאלון

א. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה h(x) עם ציר ה־x. (2) היעזרו בגרף, ומצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקצייה h(x).

נתונה הפונקצייה f(x) = ln(−2x3 + 6x2).

ב. היעזרו בתשובתכם לתת־סעיף א(2), ומצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ג. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לציר ה־x של הפונקצייה f(x).

ד. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

נתונה הפונקצייה: g(x) = −f(x) + 4 המוגדרת באותו התחום שבו מוגדרת הפונקצייה f(x).

ה. מה הם שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה g(x), ומהו סוגה?

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א (1) – החיתוך של h עם ציר ה־x

−2x3 + 6x2 = 0
−2x2(x − 3) = 0
x = 0 או x = 3📐 מכפלה שווה אפסa · b = 0 כאשר a = 0 או b = 0
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (3 , 0)

סעיף א (2) – תחומי חיוביות ושליליות של h

לפי הגרף, ונבדוק בהצבה בכל תחום:
x = −1 : h = 2 + 6 = 8 > 0
x = 1 : h = −2 + 6 = 4 > 0
x = 4 : h = −128 + 96 = −32 < 0
ב־x = 0 הגרף רק נוגע בציר (x2 לא מחליף סימן), וב־x = 3 הוא חוצה אותו.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימום
✅ פתרון סופי: חיובית: x < 3 , x ≠ 0
שלילית: x > 3

סעיף ב – תחום ההגדרה של f

−2x3 + 6x2 > 0📐 תחום הגדרה של lnln x מוגדר רק כאשר x > 0
זה בדיוק תחום החיוביות של h מסעיף א(2).
✅ פתרון סופי: x < 3 , x ≠ 0

סעיף ג – אסימפטוטות אנכיות

בנקודות שבהן h(x) מתאפסת (מצד החיוביות), ln של מספר שמתקרב ל־0 שואף למינוס אינסוף.
📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0
x = 0 (משני הצדדים) , x = 3 (משמאל)
✅ פתרון סופי: x = 0 , x = 3

סעיף ד – נקודת הקיצון

f′(x) = (−2x3 + 6x2)′−2x3 + 6x2📐 נגזרת ln של פונקצייה(ln(h(x)))′ = h′(x)h(x)
= −6x2 + 12x−2x3 + 6x2📐 נגזרת חזקה(xn)′ = n · xn − 1
מפרקים לגורמים:
= −6x(x − 2)−2x2(x − 3) = 3(x − 2)x(x − 3)
(צמצמנו −2x – מותר כי x ≠ 0.)
3(x − 2) = 0 ⟸ x = 2📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
סימן הנגזרת בכל תחום:
x = −1 : 3 · (−3)(−1)(−4) = −94 < 0 ← יורדת
x = 1 : 3 · (−1)1 · (−2) = 32 > 0 ← עולה
x = 2.5 : 3 · 0.52.5 · (−0.5) = −1.2 < 0 ← יורדת
xf′(x)f(x)
x < 0−↘ יורדת
0לא מוגדרתאסימפטוטה
0 < x < 2+↗ עולה
20מקסימום
2 < x < 3−↘ יורדת
ב־x = 2 עולה ואז יורדת – מקסימום.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימום
f(2) = ln(−2 · 8 + 6 · 4) = ln(−16 + 24) = ln 8 ≈ 2.08
xy−2−1123−4−224(2 , ln 8)
הגרף של f(x) – משורטט מהפונקצייה עצמה
✅ פתרון סופי: מקסימום (2 , ln 8) ≈ (2 , 2.08)

סעיף ה – הקיצון של g(x)

g′(x) = −f′(x)📐 נגזרת של קבוע היא 0(−f(x) + 4)′ = −f′(x) + 0
g′ מתאפסת באותה נקודה x = 2 עם סימנים הפוכים: יורדת ואז עולה – מינימום (הכפלה ב־−1 הופכת מקסימום למינימום).
g(2) = −ln 8 + 4 ≈ 1.92
✅ פתרון סופי: מינימום (2 , 4 − ln 8) ≈ (2 , 1.92)

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א(0 , 0) , (3 , 0)
חיובית x < 3 , x ≠ 0 ; שלילית x > 3
סעיף בx < 3 , x ≠ 0
סעיף גx = 0 , x = 3
סעיף דמקסימום (2 , ln 8)
סעיף המינימום (2 , 4 − ln 8)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – ת"ה + קיצון עם מנה ופונקציה מורכבת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 472 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות