בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 471 – קיץ 2026 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 8 שאלות בשלושה פרקים: סטטיסטיקה והסתברות, גאומטרייה, וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. עונים על 5 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 20 נקודות לכל שאלה. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2026 מועד א'

שאלון 471 קיץ 2026 מועד א' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 8
שאלון 471 קיץ 2026 מועד א' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 8
שאלון 471 קיץ 2026 מועד א' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 8
שאלון 471 קיץ 2026 מועד א' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 8
שאלון 471 קיץ 2026 מועד א' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 8
שאלון 471 קיץ 2026 מועד א' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 8
שאלון 471 קיץ 2026 מועד א' – עמוד 7
עמוד 7 מתוך 8
שאלון 471 קיץ 2026 מועד א' – עמוד 8
עמוד 8 מתוך 8

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – התפלגות נורמלית

📄 נוסח השאלה

במשתלת "עץ ופרח" מגדלים צמחים מסוגים שונים. בשנה מסוימת, אורכי הגבעולים של הצמחים במשתלה התפלגו נורמלית, והאורך הממוצע של הגבעולים היה 64 ס"מ. צמחים שאורך הגבעול שלהם קטן מ־55 ס"מ נמכרים לחנויות מקומיות. נתון כי בשנה זו 32.6% מן הצמחים במשתלה נמכרו לחנויות מקומיות.

א. מצאו את סטיית התקן של אורכי הגבעולים בשנה זו.

צמחים שאורך הגבעול שלהם גדול מ־80 ס"מ נשלחים לייצוא. בשנה זו, 9,540 מן הצמחים במשתלה נשלחו לייצוא.

ב. (1) מצאו את אחוז הצמחים במשתלה שנשלחו לייצוא. (2) על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה צמחים לא נשלחו לייצוא ולא נמכרו לחנויות מקומיות?

בשנה שלאחר מכן, אורכי הגבעולים של הצמחים במשתלה התפלגו נורמלית, וסטיית התקן הייתה 25 ס"מ. גם בשנה זו צמחים שאורך הגבעול שלהם קטן מ־55 ס"מ נמכרו לחנויות מקומיות. בשנה זו גידלו במשתלה 40,000 צמחים סך הכול. 4,000 מן הצמחים נמכרו לחנויות מקומיות.

ג. מצאו את האורך הממוצע של גבעולי הצמחים בשנה זו.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – סטיית התקן

הממוצע x̄ = 64, סטיית התקן S לא ידועה. ידוע ש־32.6% מהצמחים קצרים מ־55 ס"מ.
32.6% זה פחות מחצי, ולכן 55 מתחת לממוצע וציון התקן שלו שלילי. בטבלה יש רק ציוני תקן חיוביים, אז עושים 1 פחות: 1 − 0.326 = 0.674.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.674: הוא נמצא בשורה 0.4 ובעמודה 0.05, כלומר z = 0.45. לכן ציון התקן של 55 הוא z = −0.45.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.4 עמודה 0.05
−0.45 = 55 − 64S = −9S📐 ציון תקןz = x − x̄S
כופלים את שני האגפים ב־S:
−0.45S = −9
S = −9−0.45 = 20
בדיקה: 55 − 6420 = −920 = −0.45 ✓
✅ פתרון סופי: S = 20 ס"מ

סעיף ב (1) – אחוז הצמחים לייצוא

z = 80 − 6420 = 1620 = 0.8📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 0.8 ובעמודה 0.00 רשום 0.788. כלומר 78.8% מהצמחים קצרים מ־80 ס"מ.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.8 עמודה 0.00
לייצוא הולכים הצמחים הגבוהים מ־80, אז עושים 1 פחות:
1 − 0.788 = 0.212
✅ פתרון סופי: 21.2%

סעיף ב (2) – כמה צמחים לא בייצוא ולא בחנויות

קודם מוצאים כמה צמחים יש במשתלה. 9,540 צמחים הם 21.2% מכל הצמחים. נסמן ב־N את מספר כל הצמחים:
0.212 · N = 9,540📐 חלק מכמותk = p · N
N = 9,5400.212 = 45,000
הצמחים שלא נשלחו לייצוא ולא נמכרו לחנויות הם אלה שבין 55 ל־80 ס"מ. מכל הצמחים מורידים את 32.6% הנמוכים ואת 21.2% הגבוהים:
1 − 0.326 − 0.212 = 0.462📐 סכום כל השטחיםכל השטח מתחת לעקומה = 1 (100%)
0.462 · 45,000 = 20,790
בדיקה: 9,540 + 14,670 + 20,790 = 45,000 (כי 0.326 · 45,000 = 14,670) ✓
✅ פתרון סופי: 20,790 צמחים

סעיף ג – הממוצע בשנה הבאה

החלק של הצמחים שנמכרו לחנויות:
4,00040,000 = 0.1
10% קצרים מ־55, כלומר 55 מתחת לממוצע. עושים 1 פחות: 1 − 0.1 = 0.9.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.900: הוא נמצא בשורה 1.2 ובעמודה 0.08, כלומר z = 1.28. לכן ציון התקן של 55 הוא z = −1.28.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.2 עמודה 0.08
−1.28 = 55 − x̄25📐 ציון תקןz = x − x̄S
כופלים ב־25:
−1.28 · 25 = 55 − x̄ → −32 = 55 − x̄
x̄ = 55 + 32 = 87
בדיקה: 55 − 8725 = −3225 = −1.28 ✓
✅ פתרון סופי: x̄ = 87 ס"מ

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אS = 20 ס"מ
סעיף ב (1)21.2%
סעיף ב (2)20,790 צמחים
סעיף גx̄ = 87 ס"מ
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – ציון תקן 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סטטיסטיקה ורגרסיה

📄 נוסח השאלה

בחברת שיווק בדקו את הקשר בין ההוצאות על פרסום (המשתנה x) ובין ההכנסות (המשתנה y) של 5 חברות א'–ה' בחודש מסוים. הנתונים (באלפי שקלים):

החברההוצאות על פרסום xהכנסות y
א'1016
ב'1517
ג'2020
ד'2534
ה'3068

א. (1) חשבו את ממוצע ההוצאות על פרסום של 5 החברות בחודש זה. (2) חשבו את סטיית התקן של ההוצאות על פרסום של 5 החברות בחודש זה.

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של 5 החברות בחודש זה היה 31 אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 8√6 אלף שקלים.

ב. מצאו את מקדם המתאם r.

ג. (1) מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x. (2) על פי ישר הרגרסיה, מהו הניבוי להכנסות החודשיות בחברה שההוצאות החודשיות שלה על פרסום הן 24 אלף שקלים?

בחודש שלאחר מכן גדלו ההכנסות של כל אחת מן החברות ב־15% (ההוצאות על פרסום לא השתנו).

ד. קבעו בעבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון, ונמקו:
I. בחודש שבו גדלו ההכנסות הייתה סטיית התקן של ההכנסות 10√6.
II. בחודש שבו גדלו ההכנסות, שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x לא השתנה.
III. הנקודה (20 , 35.65) נמצאת על ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x בחודש שבו גדלו ההכנסות.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א (1) – ממוצע ההוצאות

x̄ = 10 + 15 + 20 + 25 + 305 = 1005 = 20📐 ממוצעx̄ = x1 + x2 + … + xnn
✅ פתרון סופי: x̄ = 20 אלף ₪

סעיף א (2) – סטיית התקן של ההוצאות

מחשבים את המרחק של כל ערך מהממוצע 20, ומעלים בריבוע:
(10 − 20)2 = (−10)2 = 100
(15 − 20)2 = (−5)2 = 25
(20 − 20)2 = 0
(25 − 20)2 = 52 = 25
(30 − 20)2 = 102 = 100
מחשבים את השונות (ממוצע הריבועים):
Sx2 = 100 + 25 + 0 + 25 + 1005 = 2505 = 50📐 שונות וסטיית תקןS2 = (x1 − x̄)2 + … + (xn − x̄)2nS = √S2
מוציאים שורש:
Sx = √50 = 5√2 ≈ 7.07
✅ פתרון סופי: Sx = √50 ≈ 7.07 אלף ₪

סעיף ב – מקדם המתאם

מחשבים לכל חברה את מכפלת המרחקים מהממוצעים (x̄ = 20 , ȳ = 31):
(10 − 20)(16 − 31) = (−10)(−15) = 150
(15 − 20)(17 − 31) = (−5)(−14) = 70
(20 − 20)(20 − 31) = 0 · (−11) = 0
(25 − 20)(34 − 31) = 5 · 3 = 15
(30 − 20)(68 − 31) = 10 · 37 = 370
סכום המכפלות: A = 150 + 70 + 0 + 15 + 370 = 605
מציבים בנוסחת מקדם המתאם:
r = 6055 · √50 · 8√6📐 מקדם המתאםr = An · Sx · SyA – סכום המכפלות (x − x̄)(y − ȳ)
= 6055 · 7.071 · 19.596
= 605692.82 ≈ 0.873
הקשר חיובי וחזק: ככל שמשקיעים יותר בפרסום, ההכנסות גבוהות יותר.
✅ פתרון סופי: r ≈ 0.873

סעיף ג (1) – ישר הרגרסיה

מחשבים את השיפוע:
m = r · SySx = 6055 · 50 = 605250 = 2.42📐 שיפוע ישר הרגרסיהm = r · SySx
(כשמציבים את r המלא, השורשים מצטמצמים ויוצא בדיוק 2.42.)
ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים (20 , 31):
y − 31 = 2.42(x − 20)📐 ישר הרגרסיהy − ȳ = m(x − x̄)
פותחים סוגריים:
y − 31 = 2.42x − 48.4
y = 2.42x − 48.4 + 31
y = 2.42x − 17.4
✅ פתרון סופי: y = 2.42x − 17.4

סעיף ג (2) – ניבוי עבור 24 אלף ₪

מציבים x = 24 במשוואת הישר:
y = 2.42 · 24 − 17.4
y = 58.08 − 17.4 = 40.68
✅ פתרון סופי: y ≈ 40.68 אלף ₪ (בערך 40,680 ₪)

סעיף ד – נכון או לא נכון

כל הכנסה גדלה ב־15%, כלומר כל y נכפל ב־1.15:
y′ = 1.15 · y📐 הגדלה באחוזיםגדל ב־15% ← כופלים ב־1.15
היגד I: כשכופלים את כל הנתונים במספר חיובי, גם סטיית התקן נכפלת בו:
Sy′ = 1.15 · 8√6 = 9.2√6📐 כפל כל הנתוניםy′ = k · y → S′ = k · S
יצא 9.2√6 ולא 10√6, ולכן היגד I לא נכון.
היגד II: מקדם המתאם r לא משתנה כשכופלים במספר חיובי, אבל Sy גדל פי 1.15, ולכן השיפוע גדל:
m′ = r · 1.15 · SySx = 1.15 · 2.42 = 2.783📐 שיפוע ישר הרגרסיהm = r · SySx
השיפוע השתנה, ולכן היגד II לא נכון.
היגד III: ישר הרגרסיה תמיד עובר דרך נקודת הממוצעים. הממוצע של x לא השתנה (20), והממוצע של y גדל ב־15%:
ȳ′ = 1.15 · 31 = 35.65📐 נקודה על ישר הרגרסיה(x̄ , ȳ)
הנקודה (20 , 35.65) היא נקודת הממוצעים החדשה, ולכן היגד III נכון.
✅ פתרון סופי: I – לא נכון
✅ פתרון סופי: II – לא נכון
✅ פתרון סופי: III – נכון

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א (1)x̄ = 20 אלף ₪
סעיף א (2)Sx = √50 ≈ 7.07 אלף ₪
סעיף בr ≈ 0.873
סעיף ג (1)y = 2.42x − 17.4
סעיף ג (2)y ≈ 40.68 אלף ₪ (בערך 40,680 ₪)
סעיף דI – לא נכון
II – לא נכון
III – נכון
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – מציאת קו הרגרסיה (קו הניבוי)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות

📄 נוסח השאלה

במשק חקלאי מסוים מגדלים שני סוגים של פלפלים: פלפלים גדולים ופלפלים קטנים. מספר הפלפלים הגדולים גדול פי 4 ממספר הפלפלים הקטנים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי.

א. מהי ההסתברות שהפלפל שנבחר הוא פלפל קטן?

הפלפלים הגדולים במשק החקלאי הם אדומים או צהובים, והפלפלים הקטנים הם אדומים או ירוקים. 0.6 מן הפלפלים הגדולים הם אדומים. 0.75 מן הפלפלים הקטנים הם אדומים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי.

ב. מהי ההסתברות שהפלפל שנבחר הוא פלפל גדול צהוב?

ג. (1) מהי ההסתברות שהפלפל שנבחר הוא פלפל אדום? (2) ידוע שנבחר פלפל אדום. מהי ההסתברות שפלפל זה הוא פלפל גדול?

כל הפלפלים במשק החקלאי נשלחים לשני בתי אריזה א' ו־ב'. לבית אריזה א' נשלחים כל הפלפלים האדומים, ולבית אריזה ב' נשלחים כל הפלפלים הצהובים וכל הפלפלים הירוקים.

ד. האם אחוז הפלפלים הגדולים בבית אריזה א' גדול או קטן מאחוז הפלפלים הגדולים בבית אריזה ב'? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – פלפל קטן

נסמן את מספר הפלפלים הקטנים ב־k. הגדולים פי 4, כלומר 4k. סך הכול:
k + 4k = 5k
P(S) = k5k = 15 = 0.2📐 הסתברותמספר המקרים הרצויים חלקי מספר כל המקרים
(נסמן: S – קטן, G – גדול.) ולכן P(G) = 1 − 0.2 = 0.8.
✅ פתרון סופי: P(S) = 0.2

סעיף ב – גדול וצהוב

(נסמן: R – אדום, Y – צהוב.) הגדולים הם אדומים או צהובים. 0.6 מהגדולים אדומים, ולכן הצהובים:
P(Y | G) = 1 − 0.6 = 0.4📐 משליםP(Ā) = 1 − P(A)
בוחרים פלפל שהוא גם גדול וגם צהוב (שני שלבים במשפט: קודם גדול, אחר כך צהוב):
P(G ∩ Y) = 0.8 · 0.4 = 0.32📐 הסתברות של שני שלביםP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
✅ פתרון סופי: 0.32

סעיף ג (1) – פלפל אדום

פלפל אדום יכול להיות גדול אדום או קטן אדום:
P(G ∩ R) = 0.8 · 0.6 = 0.48📐 הסתברות של שני שלביםP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
P(S ∩ R) = 0.2 · 0.75 = 0.15
מחברים את שתי האפשרויות:
P(R) = 0.48 + 0.15 = 0.63📐 הסתברות שלמהP(R) = P(G ∩ R) + P(S ∩ R)
✅ פתרון סופי: P(R) = 0.63

סעיף ג (2) – גדול, בידיעה שאדום

זו הסתברות מותנית: יודעים שהפלפל אדום.
P(G | R) = P(G ∩ R)P(R)📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 0.480.63 = 4863 = 1621 ≈ 0.762
✅ פתרון סופי: 1621 ≈ 0.762

סעיף ד – באיזה בית אריזה יש יותר גדולים

בית אריזה א' – רק אדומים. אחוז הגדולים מתוכם הוא בדיוק מה שחישבנו ב־ג (2):
P(G | R) = 0.480.63 ≈ 0.762 = 76.2%📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
בית אריזה ב' – הצהובים והירוקים, כלומר כל מי שלא אדום:
P(R̄) = 1 − 0.63 = 0.37📐 משליםP(Ā) = 1 − P(A)
הגדולים שבבית ב' הם הגדולים הצהובים (מ־ב: 0.32):
P(G | R̄) = 0.320.37 ≈ 0.865 = 86.5%
משווים: 76.2% < 86.5%.
✅ פתרון סופי: אחוז הגדולים בבית אריזה א' קטן מאחוז הגדולים בבית אריזה ב' (בערך 76.2% לעומת 86.5%).

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אP(S) = 0.2
סעיף ב0.32
סעיף ג (1)P(R) = 0.63
סעיף ג (2)1621 ≈ 0.762
סעיף דאחוז הגדולים בבית אריזה א' קטן מאחוז הגדולים בבית אריזה ב' (בערך 76.2% לעומת 86.5%).
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 19 – הסתברות מותנת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – הנדסה אנליטית: משולש שווה שוקיים

📄 נוסח השאלה

בסרטוט משולש שווה שוקיים ABC (AB = AC). הקודקוד B נמצא על החלק השלילי של ציר ה־x. הנקודה D נמצאת על ציר ה־x כך ש־CD מאונך ל־AC. נתון כי הנקודה E(4 , 15) היא אמצע הצלע AC, וכי משוואת הישר CD היא y = −2x + 38.

א. (1) מצאו את משוואת הישר AC. (2) מצאו את שיעורי הקודקוד C.

ב. (1) מצאו את אורך הצלע AB. (2) מצאו את שיעורי הקודקוד B.

ג. מצאו את גודל הזווית ABD ואת גודל הזווית CBD.

ד. חשבו את שטח המשולש ABC.

סרטוט לשאלה 4
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א (1) – משוואת AC

השיפוע של CD הוא −2. הישר AC מאונך לו:
mAC · (−2) = −1📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
mAC = −1−2 = 12
הישר עובר דרך E(4 , 15) (אמצע AC):
y − 15 = 12(x − 4)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y − 15 = 12x − 2
y = 12x + 13
✅ פתרון סופי: y = 12x + 13

סעיף א (2) – הקודקוד C

C נמצא גם על AC וגם על CD. משווים את שתי המשוואות:
12x + 13 = −2x + 38📐 נקודת חיתוךy1 = y2
12x + 2x = 38 − 13
2.5x = 25
x = 10
מציבים במשוואת CD:
y = −2 · 10 + 38 = 18
בדיקה: 12 · 10 + 13 = 5 + 13 = 18 ✓
✅ פתרון סופי: C(10 , 18)

סעיף ב (1) – אורך AB

קודם מוצאים את A. E היא אמצע AC:
4 = xA + 102 → xA + 10 = 8 → xA = −2📐 אמצע קטעxM = x1 + x22yM = y1 + y22
15 = yA + 182 → yA + 18 = 30 → yA = 12
כלומר A(−2 , 12). מחשבים את AC:
AC = √(10 − (−2))2 + (18 − 12)2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
= √122 + 62 = √144 + 36 = √180
= 6√5 ≈ 13.42
המשולש שווה שוקיים, AB = AC:
✅ פתרון סופי: AB = √180 = 6√5 ≈ 13.42

סעיף ב (2) – הקודקוד B

B על ציר ה־x, ולכן B(t , 0). המרחק שלו מ־A(−2 , 12) הוא √180:
√(t + 2)2 + (0 − 12)2 = √180📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
מעלים בריבוע:
(t + 2)2 + 144 = 180
(t + 2)2 = 36
t + 2 = 6 או t + 2 = −6
t = 4 או t = −8
B על החלק השלילי של ציר ה־x, ולכן t = −8.
✅ פתרון סופי: B(−8 , 0)

סעיף ג – הזוויות ABD ו־CBD

הנקודה D על ציר ה־x מימין ל־B, ולכן הזוויות הן הזוויות שהישרים BA ו־BC יוצרים עם הכיוון החיובי של ציר ה־x.
שיפוע AB (מ־B(−8 , 0) ל־A(−2 , 12)):
mAB = 12 − 0−2 − (−8) = 126 = 2📐 שיפוע לפי שתי נקודותm = y2 − y1x2 − x1
tan(∢ABD) = 2 → ∢ABD ≈ 63.43📐 זווית של ישר עם ציר ה־xtan(∢) = m
שיפוע BC (מ־B(−8 , 0) ל־C(10 , 18)):
mBC = 18 − 010 − (−8) = 1818 = 1📐 שיפוע לפי שתי נקודותm = y2 − y1x2 − x1
tan(∢CBD) = 1 → ∢CBD = 45📐 זווית של ישר עם ציר ה־xtan(∢) = m
✅ פתרון סופי: ∢ABD ≈ 63.43 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢CBD = 45 מעלות

סעיף ד – שטח המשולש ABC

הזווית שבין שתי הצלעות ב־B:
∢ABC = ∢ABD − ∢CBD ≈ 63.43 − 45 = 18.43
אורך BC:
BC = √(10 + 8)2 + 182 = √648 = 18√2 ≈ 25.46📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן:
S = 12 · AB · BC · sin(∢ABC)📐 שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
= 12 · √180 · √648 · sin 18.43
≈ 12 · 13.42 · 25.46 · 0.3162 ≈ 54
(בחישוב מדויק יוצא בדיוק 54.)
✅ פתרון סופי: S = 54 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א (1)y = 12x + 13
סעיף א (2)C(10 , 18)
סעיף ב (1)AB = √180 = 6√5 ≈ 13.42
סעיף ב (2)B(−8 , 0)
סעיף ג∢ABD ≈ 63.43 מעלות
∢CBD = 45 מעלות
סעיף דS = 54 יחידות שטח
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – מציאת משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – משולש חסום במעגל ומשיק

📄 נוסח השאלה

בסרטוט משולש ABC החסום במעגל. הצלע CB היא קוטר במעגל. הצלע AB מקבילה לציר ה־y. המשך הצלע CB חותך את ציר ה־x בנקודה D. דרך הנקודה C העבירו משיק למעגל, החותך את ציר ה־x בנקודה F.

א. (1) הסבירו מדוע הצלע AC מקבילה לציר ה־x. (2) הוכיחו כי △ABC ∼ △CFD.

נתון כי D(8 , 0), וכי משוואת המשיק CF היא y = 43x + 31.

ב. מצאו את אורך הצלע FD.

ג. (1) מצאו את משוואת הצלע CD. (2) מצאו את אורך הצלע CD.

נתון כי יחס הדמיון בין המשולש ABC ובין המשולש CFD הוא 825.

ד. חשבו את היקף המשולש ABC.

סרטוט לשאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א (1) – למה AC מקביל לציר ה־x

CB הוא קוטר, ולכן הזווית ההיקפית שנשענת עליו ישרה: ∢CAB = 90.📐 זווית היקפית על קוטרזווית היקפית הנשענת על קוטר שווה 90 מעלות
כלומר AC ⊥ AB. אבל AB מקביל לציר ה־y, ולכן AC מאונך לציר ה־y.
ישר שמאונך לציר ה־y מקביל לציר ה־x.
✅ פתרון סופי: AC מקביל לציר ה־x

סעיף א (2) – הוכחת הדמיון

(1) ∢CAB = 90 (הוכחנו בסעיף הקודם).
(2) ∢FCD = 90 – CF משיק, ו־CD עובר על הקוטר CB (כלומר על הרדיוס לנקודת ההשקה).📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
(3) ∢ACB = ∢CDF – זוויות מתחלפות, כי AC ∥ FD (שניהם על/מקבילים לציר ה־x) ו־CD חותך אותם.📐 ישרים מקביליםזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
משני זוגות זוויות שוות: △ABC ∼ △CFD (ז.ז), כאשר A ↔ C, B ↔ F, C ↔ D.📐 משפט דמיוןז.ז – שתי זוויות שוות
✅ פתרון סופי: הוכח: △ABC ∼ △CFD (ז.ז)

סעיף ב – אורך FD

F על ציר ה־x, ולכן y = 0. מציבים במשוואת המשיק:
0 = 43x + 31📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0
43x = −31
x = −31 · 34 = −934 = −23.25
כלומר F(−23.25 , 0). שתי הנקודות על ציר ה־x, ולכן המרחק הוא הפרש השיעורים:
FD = 8 − (−23.25) = 31.25
✅ פתרון סופי: FD = 31.25

סעיף ג (1) – משוואת CD

CD ⊥ CF (הוכחנו ב־א (2)). השיפוע של CF הוא 43:
43 · mCD = −1 → mCD = −34📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
הישר עובר דרך D(8 , 0):
y − 0 = −34(x − 8)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y = −34x + 6
✅ פתרון סופי: y = −34x + 6

סעיף ג (2) – אורך CD

C היא נקודת החיתוך של CF ו־CD:
43x + 31 = −34x + 6📐 נקודת חיתוךy1 = y2
כופלים ב־12 (מכנה משותף):
16x + 372 = −9x + 72
25x = −300 → x = −12
y = −34 · (−12) + 6 = 9 + 6 = 15
כלומר C(−12 , 15). עכשיו האורך:
CD = √(8 − (−12))2 + (0 − 15)2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
= √202 + 152 = √400 + 225 = √625 = 25
✅ פתרון סופי: CD = 25

סעיף ד – היקף המשולש ABC

חסרה לנו הצלע CF:
CF = √(−12 + 23.25)2 + 152 = √126.5625 + 225📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
= √351.5625 = 18.75
בדיקה: פיתגורס ב־△CFD: 18.752 + 252 = 351.5625 + 625 = 976.5625 = 31.252 ✓
היקף המשולש CFD:
PCFD = 18.75 + 31.25 + 25 = 75
יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון:
PABCPCFD = 825📐 יחס היקפיםP1P2 = k
PABC = 825 · 75 = 24
(הצלעות של ABC יוצאות 6, 8, 10.)
✅ פתרון סופי: PABC = 24

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א (1)AC מקביל לציר ה־x
סעיף א (2)הוכח: △ABC ∼ △CFD (ז.ז)
סעיף בFD = 31.25
סעיף ג (1)y = −34x + 6
סעיף ג (2)CD = 25
סעיף דPABC = 24
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 44 – משולש כלשהו חסום במעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית וערך מוחלט

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 72 − 18xx2 + 9 − 1, המוגדרת לכל x.

א. מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־x של הפונקציה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ג. (1) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן. (2) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = |f(x)|, המוגדרת לכל x.

ה. (1) מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־x של הפונקציה g(x). (2) קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה g(x). נמקו את קביעתכם.

סרטוט לשאלה 6
✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – אסימפטוטה אופקית

בשבר 72 − 18xx2 + 9 החזקה הגבוהה במכנה (x2) גדולה מהחזקה במונה (x), ולכן כש־x → ±∞ השבר שואף ל־0:
72 − 18xx2 + 9 → 0📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במכנה גדולה מהחזקה במונה ← השבר שואף ל־0
f(x) → 0 − 1 = −1
✅ פתרון סופי: y = −1

סעיף ב – נקודות חיתוך עם הצירים

עם ציר ה־y – מציבים x = 0:
f(0) = 72 − 00 + 9 − 1 = 8 − 1 = 7📐 חיתוך עם ציר ה־yx = 0
עם ציר ה־x – פותרים f(x) = 0:
72 − 18xx2 + 9 − 1 = 0📐 חיתוך עם ציר ה־xy = 0
72 − 18xx2 + 9 = 1
כופלים במכנה – הוא תמיד חיובי, ולכן אף פעם לא 0:
72 − 18x = x2 + 9
0 = x2 + 18x + 9 − 72
x2 + 18x − 63 = 0
a = 1 , b = 18 , c = −63
b2 − 4ac = 324 + 252 = 576 , √576 = 24📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
x1,2 = −18 ± 242
x1 = 62 = 3 , x2 = −422 = −21
בדיקה: f(3) = 72 − 5418 − 1 = 1 − 1 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: (0 , 7)
✅ פתרון סופי: (3 , 0) , (−21 , 0)

סעיף ג (1) – נקודות קיצון

גוזרים את השבר לפי נגזרת של מנה. המספר −1 נגזר ל־0:
u = 72 − 18x , u′ = −18
v = x2 + 9 , v′ = 2x
f′(x) = (−18)(x2 + 9) − (72 − 18x) · 2x(x2 + 9)2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
פותחים סוגריים במונה:
= −18x2 − 162 − 144x + 36x2(x2 + 9)2
= 18x2 − 144x − 162(x2 + 9)2
משווים ל־0 (מספיק שהמונה יהיה 0):
18x2 − 144x − 162 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
מחלקים ב־18:
x2 − 8x − 9 = 0
(x − 9)(x + 1) = 0📐 טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)p · q = c , p + q = b
x = 9 או x = −1
מוצאים את ה־y:
f(−1) = 72 + 181 + 9 − 1 = 9010 − 1 = 9 − 1 = 8
f(9) = 72 − 16281 + 9 − 1 = −9090 − 1 = −1 − 1 = −2
טבלת סימנים של f′(x) (המכנה חיובי, הסימן לפי (x − 9)(x + 1)):
xf′(x)f(x)
x < −1+↗ עולה
−10מקסימום
−1 < x < 9−↘ יורדת
90מינימום
x > 9+↗ עולה
✅ פתרון סופי: (−1 , 8) מקסימום
✅ פתרון סופי: (9 , −2) מינימום

סעיף ג (2) – תחומי עלייה וירידה

מטבלת הסימנים:
✅ פתרון סופי: עלייה: x < −1 או x > 9
✅ פתרון סופי: ירידה: −1 < x < 9

סעיף ד – סקיצה

מסמנים: אסימפטוטה y = −1, חיתוכים (−21 , 0), (3 , 0), (0 , 7), מקסימום (−1 , 8) ומינימום (9 , −2). משמאל הגרף מתקרב לאסימפטוטה מלמעלה, ומימין – מלמטה.
xyy = -1(−21, 0)(3, 0)(0, 7)(−1, 8)(9, −2)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה (1) – אסימפטוטה של g(x)

ערך מוחלט הופך כל ערך שלילי לחיובי. f(x) שואפת ל־−1, ולכן:
g(x) = |f(x)| → |−1| = 1📐 ערך מוחלט|a| = a אם a ≥ 0|a| = −a אם a < 0
✅ פתרון סופי: y = 1

סעיף ה (2) – איזה גרף מתאר את g(x)

מה צריך לראות בגרף של g(x) = |f(x)|:
• הגרף כולו מעל ציר ה־x או עליו, ונוגע בציר ב־x = −21 וב־x = 3 (שם f = 0).📐 ערך מוחלט של פונקציההחלקים שמתחת לציר ה־x משתקפים למעלה
• האסימפטוטה היא y = 1 (מעל ציר ה־x) – ולא ציר ה־x.
• המקסימום הגבוה (−1 , 8) נמצא משמאל לציר ה־y, והגרף חותך את ציר ה־y ב־(0 , 7), קצת מתחתיו.
• המינימום (9 , −2) של f הופך לנקודת מקסימום חדשה (9 , 2).
בגרפים I ו־II אין אסימפטוטה y = 1. בגרף III המקסימום הגבוה נמצא מימין לציר ה־y. רק גרף IV מתאים לכל התנאים.
✅ פתרון סופי: גרף IV

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף אy = −1
סעיף ב(0 , 7)
(3 , 0) , (−21 , 0)
סעיף ג (1)(−1 , 8) מקסימום
(9 , −2) מינימום
סעיף ג (2)עלייה: x < −1 או x > 9
ירידה: −1 < x < 9
סעיף דהסקיצה למעלה
סעיף ה (1)y = 1
סעיף ה (2)גרף IV
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 50 – חקירת פונקציית מנה עם הזזה וערך מוחלט
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציית שורש ואינטגרל

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = (a − x) · √3x − 6. a הוא פרמטר.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

נתון כי הנקודה (5 , 9) נמצאת על גרף הפונקציה f(x).

ב. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 8 בפונקציה f(x), וענו על הסעיפים ג–ו.

ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.

ד. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

פונקציית הנגזרת f′(x) מוגדרת בתחום x > 2.

ו. (1) קבעו איזה מן הגרפים I–IV מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). נמקו את קביעתכם. (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = 20.

סרטוט לשאלה 7
✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

מה שבתוך השורש חייב להיות גדול או שווה ל־0:
3x − 6 ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורש√g(x) → g(x) ≥ 0
3x ≥ 6
x ≥ 2
✅ פתרון סופי: x ≥ 2

סעיף ב – הערך של a

מציבים את הנקודה (5 , 9) בפונקציה:
9 = (a − 5) · √3 · 5 − 6📐 נקודה על גרףy = f(x)
9 = (a − 5) · √9
9 = (a − 5) · 3
מחלקים ב־3:
3 = a − 5
a = 8
✅ פתרון סופי: a = 8

סעיף ג – חיתוך עם ציר ה־x

עכשיו f(x) = (8 − x) · √3x − 6. משווים ל־0 – מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים 0:
(8 − x) · √3x − 6 = 0📐 מכפלה שווה 0a · b = 0 → a = 0 או b = 0
8 − x = 0 → x = 8
√3x − 6 = 0 → 3x − 6 = 0 → x = 2
שני הערכים בתחום ההגדרה.
✅ פתרון סופי: (2 , 0) , (8 , 0)

סעיף ד – נקודות קיצון

גוזרים לפי נגזרת של מכפלה:
u = 8 − x , u′ = −1📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′
v = √3x − 6 , v′ = 32√3x − 6📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)
f′(x) = −1 · √3x − 6 + (8 − x) · 32√3x − 6
מכנה משותף 2√3x − 6:
f′(x) = −2(3x − 6) + 3(8 − x)2√3x − 6📐 מכנה משותף√a = 2√a · √a2√a = 2a2√a
= −6x + 12 + 24 − 3x2√3x − 6
= 36 − 9x2√3x − 6
משווים ל־0:
36 − 9x = 0 → x = 4📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
f(4) = (8 − 4) · √12 − 6 = 4√6 ≈ 9.80
סימן הנגזרת (המכנה חיובי):
xf′(x)f(x)
2מינימום קצה
2 < x < 4+↗ עולה
40מקסימום
x > 4−↘ יורדת
בקצה התחום x = 2 הפונקציה מתחילה לעלות, ולכן (2 , 0) היא נקודת מינימום קצה.
✅ פתרון סופי: (4 , 4√6) מקסימום
✅ פתרון סופי: (2 , 0) מינימום קצה

סעיף ה – סקיצה

מתחילים ב־(2 , 0), עולים למקסימום (4 , 4√6), יורדים וחותכים את ציר ה־x ב־(8 , 0), וממשיכים לרדת.
xy(2, 0)(8, 0)(4, 4√6)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ו (1) – הגרף של f′(x)

מה ידוע על f′(x) מסעיף ד:
• בתחום 2 < x < 4 הפונקציה f עולה, ולכן f′ > 0 (הגרף מעל ציר ה־x).📐 עלייה וירידהf′ > 0 ← עולהf′ < 0 ← יורדת
• f′ = 0 רק ב־x = 4 – הגרף חותך את ציר ה־x פעם אחת בלבד.
• בתחום x > 4 הפונקציה יורדת, ולכן f′ < 0 עד הסוף.
גרפים II ו־III מתחילים מתחת לציר ה־x. בגרף IV הנגזרת חוזרת להיות חיובית (חותכת את הציר פעמיים). רק גרף I מתאים.
✅ פתרון סופי: גרף I

סעיף ו (2) – השטח

השטח מוגבל בין x = 4 (שם f′ חותכת את ציר ה־x) ובין x = 20. בתחום הזה f′ < 0, כלומר השטח מתחת לציר, ולכן מוסיפים מינוס:
S = −∫204 f′(x) dx📐 שטח מתחת לציר ה־xS = −∫ba f(x) dx
הפונקציה הקדומה של f′(x) היא f(x) עצמה:
S = −[f(20) − f(4)] = f(4) − f(20)📐 אינטגרל מסוים∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)
f(20) = (8 − 20) · √60 − 6 = −12√54
√54 = √9 · 6 = 3√6 → f(20) = −36√6📐 פירוק שורש√a · b = √a · √b
S = 4√6 − (−36√6) = 40√6
S ≈ 97.98
✅ פתרון סופי: S = 40√6 ≈ 97.98

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף אx ≥ 2
סעיף בa = 8
סעיף ג(2 , 0) , (8 , 0)
סעיף ד(4 , 4√6) מקסימום
(2 , 0) מינימום קצה
סעיף ההסקיצה למעלה
סעיף ו (1)גרף I
סעיף ו (2)S = 40√6 ≈ 97.98
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ונקודות קיצון בחקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון: גינה ציבורית

📄 נוסח השאלה

בסרטוט מתוארת גינה ציבורית המחולקת לשני מתחמים: מתחם ABCD ובו דשא, ומתחם BFGH ובו מתקנים לילדים. כל אחד מן המתחמים הוא בצורת מלבן. נסמן ב־x את אורך הצלע AB. נתון כי אורך הצלע GF הוא 7 מטרים, וכי אורך הצלע BF גדול ב־2 מטרים מאורך הצלע AB. את המתחם ABCD הקיפו בגדר שאורכה 32 מטרים.

א. (1) הביעו באמצעות x את אורך הצלע AD. (2) הביעו באמצעות x את שטח המתחם ABCD.

ב. הביעו באמצעות x את היחס בין שטח המתחם ABCD ובין שטח המתחם BFGH.

ג. מצאו את הערך של x שבעבורו היחס בין שטח המתחם ABCD ובין שטח המתחם BFGH הוא מקסימלי.

סרטוט לשאלה 8
✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – הצלע AD

ההיקף של המלבן ABCD הוא 32:
2 · AB + 2 · AD = 32📐 היקף מלבןP = 2a + 2b
2x + 2 · AD = 32
מחלקים ב־2:
x + AD = 16
AD = 16 − x
✅ פתרון סופי: AD = 16 − x

סעיף א (2) – שטח ABCD

SABCD = AB · AD = x(16 − x) = 16x − x2📐 שטח מלבןS = a · b
✅ פתרון סופי: SABCD = 16x − x2

סעיף ב – היחס בין השטחים

צלעות המלבן BFGH:
BF = x + 2 , GF = 7
SBFGH = 7(x + 2) = 7x + 14📐 שטח מלבןS = a · b
היחס:
h(x) = 16x − x27x + 14
✅ פתרון סופי: h(x) = 16x − x27x + 14

סעיף ג – היחס המקסימלי

תחום: אורכים חיוביים, x > 0 ו־16 − x > 0, כלומר 0 < x < 16.
גוזרים לפי נגזרת של מנה:
u = 16x − x2 , u′ = 16 − 2x
v = 7x + 14 , v′ = 7
h′(x) = (16 − 2x)(7x + 14) − (16x − x2) · 7(7x + 14)2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
פותחים סוגריים במונה:
(16 − 2x)(7x + 14) = 112x + 224 − 14x2 − 28x📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
= −14x2 + 84x + 224
(16x − x2) · 7 = 112x − 7x2
N = −14x2 + 84x + 224 − 112x + 7x2
N = −7x2 − 28x + 224
משווים ל־0 ומחלקים ב־−7:
x2 + 4x − 32 = 0📐 נקודת קיצוןh′(x) = 0
(x + 8)(x − 4) = 0📐 טרינוםp · q = c , p + q = b
x = −8 (נפסל, אורך חיובי) או x = 4
בודקים שזה מקסימום – סימן הנגזרת סביב 4:
h′(1) : N = −7 − 28 + 224 = 189 > 0 ← עולה
h′(5) : N = −175 − 140 + 224 = −91 < 0 ← יורדת
עולה ואז יורדת – יש מקסימום ב־x = 4. היחס המקסימלי:
h(4) = 64 − 1628 + 14 = 4842 = 87
✅ פתרון סופי: x = 4 מטרים

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א (1)AD = 16 − x
סעיף א (2)SABCD = 16x − x2
סעיף בh(x) = 16x − x27x + 14
סעיף גx = 4 מטרים
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות