טרנספורמציות של פונקציות
סיכום הזזות, שיקופים ומתיחות — מתמטריק
קו מקווקו אפור = הגרף המקורי · קו צבעוני = אחרי השינוי
⬆️ הזזה למעלה / למטה
y = f(x) + k
k חיובי ← למעלה
k שלילי ← למטה
k שלילי ← למטה
דוגמה: x² + 2 עולה 2 יחידות
➡️ הזזה ימינה / שמאלה
y = f(x − a)
x − a ← ימינה a
x + a ← שמאלה a
שימו לב: בתוך הסוגריים — הפוך!
x + a ← שמאלה a
שימו לב: בתוך הסוגריים — הפוך!
דוגמה: (x − 2)² זז ימינה 2
↗️ הזזה משולבת
y = f(x − a) + k
ימינה/שמאלה וגם למעלה/למטה.
קודקוד הפרבולה עובר ל-(a , k)
קודקוד הפרבולה עובר ל-(a , k)
דוגמה: (x − 2)² − 1 ← קודקוד (2 , −1)
🔃 שיקוף לפי ציר x
y = −f(x)
כל ערך y מחליף סימן —
הגרף מתהפך למטה
הגרף מתהפך למטה
דוגמה: −x² פרבולה הפוכה
↔️ שיקוף לפי ציר y
y = f(−x)
כל x מחליף סימן —
הגרף מתהפך ימין ↔ שמאל
הגרף מתהפך ימין ↔ שמאל
דוגמה: (x − 2)² ← (x + 2)²
↕️ מתיחה / כיווץ אנכי
y = c · f(x)
c > 1 ← הגרף נמתח (צר יותר)
0 < c < 1 ← מתכווץ (רחב יותר)
0 < c < 1 ← מתכווץ (רחב יותר)
דוגמה: 2x² צרה יותר מ-x²
⇔ מתיחה / כיווץ אופקי
y = f(c · x)
c > 1 ← כיווץ לכיוון ציר y
0 < c < 1 ← מתיחה הצידה
גם כאן — בתוך הסוגריים הפוך
0 < c < 1 ← מתיחה הצידה
גם כאן — בתוך הסוגריים הפוך
דוגמה: f(2x) ← כיווץ פי 2
💡 הכלל לזכור:
שינוי מחוץ לסוגריים ← משפיע על y (למעלה/למטה) — כמו שנראה.
שינוי בתוך הסוגריים ← משפיע על x (ימינה/שמאלה) — הפוך ממה שנראה.
שינוי מחוץ לסוגריים ← משפיע על y (למעלה/למטה) — כמו שנראה.
שינוי בתוך הסוגריים ← משפיע על x (ימינה/שמאלה) — הפוך ממה שנראה.
מתמטריק · eldadh.co.il
טרנספורמציות – חלק 2
ערך מוחלט, 1 חלקי f, ריבוע ושורש — מתמטריק
קו מקווקו אפור = f המקורית (בדוגמאות: f(x) = x² − 1) · קו צבעוני = אחרי השינוי · קו סגול מקווקו = אסימפטוטה · ● נקודת קיצון · ○ חור
📐 ערך מוחלט של הפונקציה
y = |f(x)|
• מה שמתחת לציר x — משתקף למעלה. מה שמעל — נשאר.
• נקודות החיתוך עם ציר x נשארות.
• נוצרות 2 נקודות קיצון חדשות שלא היו קודם: בכל נקודת חיתוך עם ציר x נוצר מינימום (חד, "פינה").
• מינימום שהיה מתחת לציר — הופך למקסימום.
• נקודות החיתוך עם ציר x נשארות.
• נוצרות 2 נקודות קיצון חדשות שלא היו קודם: בכל נקודת חיתוך עם ציר x נוצר מינימום (חד, "פינה").
• מינימום שהיה מתחת לציר — הופך למקסימום.
דוגמה: |x² − 1| : מינימום חדש ב-(−1 , 0) וב-(1 , 0)
המינימום (0 , −1) הופך למקסימום (0 , 1) (נקודה סגולה). המינימומים החדשים — נקודות ירוקות.
המינימום (0 , −1) הופך למקסימום (0 , 1) (נקודה סגולה). המינימומים החדשים — נקודות ירוקות.
➗ אחד חלקי הפונקציה
y = 1 / f(x)
• אפס של f ← אסימפטוטה אנכית של 1/f
• אותו סימן כמו f (חיובית ↔ חיובית)
• f עולה ← 1/f יורדת (ולהפך)
• מקסימום ↔ מינימום (באותו x)
• נקודות שבהן y = 1 או y = −1 — נשארות
• אותו סימן כמו f (חיובית ↔ חיובית)
• f עולה ← 1/f יורדת (ולהפך)
• מקסימום ↔ מינימום (באותו x)
• נקודות שבהן y = 1 או y = −1 — נשארות
דוגמה: 1 / (x² − 1) : אפסים ב-x = ±1 ← אסימפטוטות.
המינימום של f ב-(0 , −1) הוא מקסימום של 1/f באותה נקודה
המינימום של f ב-(0 , −1) הוא מקסימום של 1/f באותה נקודה
🕳️ אסימפטוטה אנכית ב-f ← חור ב-1/f
x = a ← (a , 0)
• אם ל-f יש אסימפטוטה אנכית ב-x = a, אז ליד a הערכים של f שואפים לאינסוף ← 1/f שואפת ל-0.
• אבל x = a לא בתחום ההגדרה של f, ולכן גם לא של 1/f.
• לכן ב-1/f נוצר חור בנקודה (a , 0).
• ולהפך: אסימפטוטה אופקית y = 1 של f נשארת y = 1.
• אבל x = a לא בתחום ההגדרה של f, ולכן גם לא של 1/f.
• לכן ב-1/f נוצר חור בנקודה (a , 0).
• ולהפך: אסימפטוטה אופקית y = 1 של f נשארת y = 1.
דוגמה: f(x) = (x + 1) / (x − 2)
ל-f אסימפטוטה x = 2
1/f = (x − 2) / (x + 1)
← ב-1/f יש חור ב-(2 , 0)
ואפס של f ב-x = −1 ← אסימפטוטה של 1/f
ל-f אסימפטוטה x = 2
1/f = (x − 2) / (x + 1)
← ב-1/f יש חור ב-(2 , 0)
ואפס של f ב-x = −1 ← אסימפטוטה של 1/f
² הפונקציה בריבוע
y = [f(x)]²
• תמיד חיובית או אפס
• נוצרות נקודות קיצון חדשות: בכל נקודת אפס של f נוצר מינימום חדש (הגרף נוגע בציר x)
• מינימום של f שהיה מתחת לציר — הופך למקסימום
• איפה ש-|f| > 1 ← הגרף "נמתח" למעלה
• איפה ש-|f| < 1 ← הגרף "מתכווץ"
• נוצרות נקודות קיצון חדשות: בכל נקודת אפס של f נוצר מינימום חדש (הגרף נוגע בציר x)
• מינימום של f שהיה מתחת לציר — הופך למקסימום
• איפה ש-|f| > 1 ← הגרף "נמתח" למעלה
• איפה ש-|f| < 1 ← הגרף "מתכווץ"
דוגמה: (x² − 1)² (ירוק)
מינימום חדש ב-(−1 , 0) וב-(1 , 0) (נקודות ירוקות)
המינימום (0 , −1) של f הופך למקסימום (0 , 1) (נקודה סגולה)
מינימום חדש ב-(−1 , 0) וב-(1 , 0) (נקודות ירוקות)
המינימום (0 , −1) של f הופך למקסימום (0 , 1) (נקודה סגולה)
√ שורש של הפונקציה
y = √f(x)
• מוגדרת רק איפה ש-f ≥ 0
• אפסים של f נשארים
• עלייה וירידה — כמו f
• אותן נקודות קיצון של f (בתחום)
• נקודות קצה חדשות: באפסים של f נוצר מינימום קצה (הגרף מתחיל שם)
• איפה ש-f = 1 ← גם השורש = 1
• אפסים של f נשארים
• עלייה וירידה — כמו f
• אותן נקודות קיצון של f (בתחום)
• נקודות קצה חדשות: באפסים של f נוצר מינימום קצה (הגרף מתחיל שם)
• איפה ש-f = 1 ← גם השורש = 1
דוגמה: √(x² − 1) (ירוק) — מוגדרת רק עבור |x| ≥ 1
מינימום קצה חדש ב-(−1 , 0) וב-(1 , 0) (נקודות ירוקות)
מינימום קצה חדש ב-(−1 , 0) וב-(1 , 0) (נקודות ירוקות)
🔁 דוגמה לטרנספורמציה כפולה: 1 / [f(x)]²
f(x) → [f(x)]² → 1 / [f(x)]²
שלב 1 (מאפור לירוק): מ-f(x) ל-[f(x)]² — לפי כללי הריבוע: הכל חיובי, אפסים הופכים לנגיעה (מינימום).
שלב 2 (מירוק לסגול): מ-[f(x)]² ל-1 / [f(x)]² — לפי כללי 1/f: כל אפס ← אסימפטוטה אנכית, עולה ↔ יורדת, מינימום ↔ מקסימום.
שלב 2 (מירוק לסגול): מ-[f(x)]² ל-1 / [f(x)]² — לפי כללי 1/f: כל אפס ← אסימפטוטה אנכית, עולה ↔ יורדת, מינימום ↔ מקסימום.
דוגמה: f(x) = x² − 1 (אפור מקווקו)
שלב 1: (x² − 1)² (ירוק מקווקו) — מינימום חדש ב-(−1 , 0) וב-(1 , 0), מקסימום ב-(0 , 1)
שלב 2: 1 / (x² − 1)² (סגול) — המינימומים ב-x = ±1 הופכים לאסימפטוטות אנכיות, והמקסימום (0 , 1) הופך למינימום (0 , 1). הגרף תמיד חיובי.
שלב 1: (x² − 1)² (ירוק מקווקו) — מינימום חדש ב-(−1 , 0) וב-(1 , 0), מקסימום ב-(0 , 1)
שלב 2: 1 / (x² − 1)² (סגול) — המינימומים ב-x = ±1 הופכים לאסימפטוטות אנכיות, והמקסימום (0 , 1) הופך למינימום (0 , 1). הגרף תמיד חיובי.
💡 טיפ לכל הטרנספורמציות האלה:
מתחילים מנקודות חשובות של f: נקודות אפס, נקודות קיצון, ונקודות שבהן f = 1 או f = −1 — ובודקים לאן כל אחת "עוברת".
מתחילים מנקודות חשובות של f: נקודות אפס, נקודות קיצון, ונקודות שבהן f = 1 או f = −1 — ובודקים לאן כל אחת "עוברת".
מתמטריק · eldadh.co.il
