בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 – חורף 2022 נבצרים

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב ומספרים מרוכבים (שאלות 1–3); פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות חזקה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). עונים על 3 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעתיים ורבע. זה מועד הנבצרים של חורף 2022 (פברואר). כאן פתורות כל 5 השאלות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2022 נבצרים

שאלון 572 חורף 2022 נבצרים – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 4
שאלון 572 חורף 2022 נבצרים – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 4
שאלון 572 חורף 2022 נבצרים – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 4
שאלון 572 חורף 2022 נבצרים – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 4

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – גאומטרייה אנליטית: מעגל חסום, משיק ומעגל חוסם

📄 נוסח השאלה

מעגל שמרכזו בנקודה M חסום במשולש ABC.

הצלע AB נמצאת על הישר 2x + y − 13 = 0 , והצלע AC נמצאת על הישר −x + 2y + 4 = 0 .

מרכז המעגל M נמצא על הישר y = x − 1 . ראשית הצירים נמצאת בתוך המשולש ABC.

א. מצא את משוואת המעגל החסום במשולש ABC.

נתון כי הישר BM מאונך לציר ה־x.

ב. מצא את משוואת הצלע BC.

ג. מצא את המרחק בין מרכז המעגל החסום במשולש ABC ובין מרכז המעגל החוסם את המשולש הזה.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המעגל החסום

נסמן M(m , m − 1) (על הישר y = x − 1). המרחקים של M משתי הצלעות שווים:📐 משפט: מרכז המעגל החסוםמרכז המעגל החסום במשולש נמצא במרחקים שווים מכל צלעות המשולש, והמרחק הוא הרדיוס
dAB = |2m + (m − 1) − 13|√5📐 נוסחה: מרחק נקודה מישרd = |Ax1 + By1 + C|√A2 + B2
dAC = |−m + 2(m − 1) + 4|√5
dAB = dAC
|3m − 14| = |m + 2|
3m − 14 = m + 2
⟹ m = 8
3m − 14 = −(m + 2)
⟹ 4m = 12
⟹ m = 3
המרכז בתוך המשולש, באותו צד של כל צלע כמו הראשית. נציב את הראשית ואת המועמדים באגף שמאל של משוואת AB:
הראשית (0 , 0):
2 · 0 + 0 − 13 = −13 < 0
(3 , 2):
6 + 2 − 13 = −5 < 0 ✓
(8 , 7):
16 + 7 − 13 = 10 > 0 ✗
הנקודה (8 , 7) בצד השני של AB – מחוץ למשולש. לכן M(3 , 2).
r = |−3 + 4 + 4|√5 = 5√5 = √5📐 נוסחה: מרחק נקודה מישרd = |Ax1 + By1 + C|√A2 + B2
(x − 3)2 + (y − 2)2 = 5📐 נוסחה: משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
✅ פתרון סופי: (x − 3)2 + (y − 2)2 = 5

סעיף ב – הצלע BC

BM מאונך לציר ה־x, לכן xB = xM = 3. B על AB:
2 · 3 + y − 13 = 0
⟹ y = 7
B(3 , 7)
BC עובר ב־B ומשיק למעגל. נסמן את שיפועו k:📐 נוסחה: משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y1 = m(x − x1)
y − 7 = k(x − 3)
⟹ kx − y + 7 − 3k = 0
המרחק מ־M(3 , 2) לישר שווה לרדיוס:📐 משפט: משיק למעגלישר משיק למעגל ⟺ המרחק מהמרכז לישר שווה לרדיוס
|3k − 2 + 7 − 3k|√k2 + 1 = √5
5√k2 + 1 = √5
k2 + 1 = 5
⟹ k = ±2
k = −2 הוא השיפוע של AB עצמו. לכן k = 2:
y − 7 = 2(x − 3)
y = 2x + 1
✅ פתרון סופי: y = 2x + 1

סעיף ג – המרחק בין המרכזים

נמצא את C – חיתוך BC עם AC:
−x + 2(2x + 1) + 4 = 0
3x + 6 = 0
⟹ x = −2 , y = −3
C(−2 , −3)
נבדוק את הזווית A:📐 משפט: ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
mAB = −2 , mAC = 12
(−2) · 12 = −1
⟹ AB ⊥ AC
המשולש ישר זווית ב־A, לכן מרכז המעגל החוסם O הוא אמצע היתר BC:📐 משפט: מעגל חוסם משולש ישר זוויתמרכז המעגל החוסם הוא אמצע היתר
xO = 3 + (−2)2 = 0.5📐 נוסחה: אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
yO = 7 + (−3)2 = 2
O(0.5 , 2)
MO = √(3 − 0.5)2 + (2 − 2)2📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
MO = 2.5
▬ המשולש ABC (כחול) · ▬ המעגל החסום (סגול) · ▬ המעגל החוסם (ירוק חלש) · ▬ הקטע MO (ירוק חזק)
xy−23672−3ABCMO
✅ פתרון סופי: 2.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א(x − 3)2 + (y − 2)2 = 5
סעיף בy = 2x + 1
סעיף ג2.5
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 41 – משיק למעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – וקטורים: מנסרה ישרה שבסיסה מעוין, אנך למישור ונפח

📄 נוסח השאלה

נתונה מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ שבסיסה הוא מעוין ABCD (ראה סרטוט).

סרטוט המנסרה מתוך השאלון

נקודה F נמצאת על המישור ACD′ כך ש־D′F = t · D′A + 14 · D′C , t הוא פרמטר.

נתון: DF מאונך למישור ACD′ , DC = 4 , זווית ADC = 120 מעלות.

נסמן: DA = u , DC = v , DD′ = w .

א. בטא את DF באמצעות u , v , w ו־t.

ב. מצא את t.

ג. חשב את נפח המנסרה.

נתון: הנקודה D היא ראשית הצירים, הקודקוד A נמצא על החלק החיובי של ציר ה־x, הקודקוד D′ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־z , C = (−2 , √12 , 0) .

ד. מצא את שיעורי הנקודה F.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הווקטור DF

DF = DD′ + D′F📐 נוסחה: חיבור וקטוריםDF = DD′ + D′FD′A = DA − DD′
D′A = DA − DD′ = u − w
D′C = DC − DD′ = v − w
DF = w + t(u − w) + 14(v − w)
DF = tu + 14v + (1 − t − 14)w
DF = tu + 14v + (34 − t)w
✅ פתרון סופי: DF = tu + 14v + (34 − t)w

סעיף ב – הפרמטר t

נתונים שנצטרך (מנסרה ישרה – המקצוע הצדדי מאונך לבסיס):📐 נוסחה: מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cos xa · a = |a|2
|u| = |v| = 4
u · v = 4 · 4 · cos 120
= 16 · (−12) = −8
u · w = 0
v · w = 0
DF מאונך למישור ACD′, לכן הוא מאונך ל־AC = v − u:📐 משפט: וקטור מאונך למישורוקטור מאונך למישור ⟺ הוא מאונך לשני וקטורים לא מקבילים במישור (מכפלה סקלרית 0)
DF · (v − u) = 0
tu·v + 14v2 − tu2 − 14u·v = 0
(המחוברים עם w מתאפסים.) נציב:
t · (−8) + 14 · 16
− t · 16 − 14 · (−8) = 0
−8t + 4 − 16t + 2 = 0
−24t + 6 = 0
t = 14
✅ פתרון סופי: t = 14

סעיף ג – נפח המנסרה

DF = 14u + 14v + 12w
נסמן |w| = h (גובה המנסרה). DF מאונך גם ל־D′A = u − w:📐 משפט: וקטור מאונך למישורוקטור מאונך למישור ⟺ הוא מאונך לשני וקטורים לא מקבילים במישור (מכפלה סקלרית 0)
DF · (u − w) = 0
14u2 + 14v·u − 12w2 = 0📐 נוסחה: מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cos xa · a = |a|2
14 · 16 + 14 · (−8) − 12h2 = 0
4 − 2 − 12h2 = 0
h2 = 4
⟹ h = 2
שטח הבסיס – מעוין שצלעו 4 וזוויתו 120 מעלות:📐 נוסחה: שטח מקבילית (מעוין)S = a · b · sin x
S = 4 · 4 · sin 120
= 16 · √32 = 8√3
V = 8√3 · 2 = 16√3 ≈ 27.71📐 נוסחה: נפח מנסרהV = Sבסיס · h
✅ פתרון סופי: V = 16√3 ≈ 27.71

סעיף ד – שיעורי F

u = DA = (4 , 0 , 0)
v = DC = (−2 , √12 , 0)
w = DD′ = (0 , 0 , 2)
D היא הראשית, לכן שיעורי F הם רכיבי DF:
DF = 14(4 , 0 , 0)
+ 14(−2 , √12 , 0)
+ 12(0 , 0 , 2)
= (1 , 0 , 0) + (−0.5 , √124 , 0)
+ (0 , 0 , 1)
= (0.5 , √32 , 1)
▬ המנסרה (כחול) · ▬ המשולש ACD′ שבמישור (סגול) · ▬ האנך DF (ירוק חזק)
DABCD′A′B′C′F
✅ פתרון סופי: F(0.5 , √32 , 1)

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אtu + 14v + (34 − t)w
סעיף בt = 14
סעיף ג16√3 ≈ 27.71
סעיף דF(0.5 , √32 , 1)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – מספרים מרוכבים: משוואה ריבועית, מקומות גאומטריים ושורשים

📄 נוסח השאלה

א. פתור את המשוואה (z + i)2 − 2 − 2√3i = 0 , z הוא מספר מרוכב.

נסמן את החלקים הממשיים של פתרונות המשוואה ב־a1 וב־a2 כך ש־a1 < a2 .

נתונים שני מקומות גאומטריים: I. |z − ia1| = √3 ; II. |z − ia2| = √3

ב. סרטט באותה מערכת צירים סקיצה של שני המקומות הגאומטריים.

הישר y = x נמצא במישור גאוס. ישר זה חותך את המקומות הגאומטריים שסרטטת בסעיף ב בראשית הצירים ובשתי נקודות אחרות שמיוצגות על ידי שני המספרים המרוכבים w1 ו־w2.

ג. פתור את המשוואה z3 = w1 · w1 · w2 · w2 , z הוא מספר מרוכב.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – פתרון המשוואה

(z + i)2 = 2 + 2√3i
נסמן z + i = a + bi:📐 נוסחה: שורש של מספר מרוכב(a + bi)2 = a2 − b2 + 2abiמשווים חלק ממשי וחלק מדומה
a2 − b2 + 2abi = 2 + 2√3i
a2 − b2 = 2📐 משפט: שוויון מספרים מרוכביםa + bi = c + di⟺ a = c , b = d
2ab = 2√3
b = √3a
a2 − 3a2 = 2
a4 − 2a2 − 3 = 0
(a2 − 3)(a2 + 1) = 0
a2 + 1 > 0 תמיד, לכן a2 = 3:
a = √3 , b = 1
או
a = −√3 , b = −1
z = (a + bi) − i:
z = √3 + i − i = √3
z = −√3 − i − i = −√3 − 2i
✅ פתרון סופי: z = √3 , z = −√3 − 2i

סעיף ב – סקיצה

a1 = −√3
a2 = √3
I:📐 נוסחה: מקום גאומטרי|z − z0| = r – מעגל שמרכזו z0 ורדיוסו r
|z − (−√3i)| = √3
מעגל שמרכזו (0 , −√3) ורדיוסו √3.
II:📐 נוסחה: מקום גאומטרי|z − z0| = r – מעגל שמרכזו z0 ורדיוסו r
|z − √3i| = √3
מעגל שמרכזו (0 , √3) ורדיוסו √3. שני המעגלים עוברים בראשית ומשיקים שם לציר ה־x.
▬ מקום גאומטרי I (כחול) · ▬ מקום גאומטרי II (סגול) · ▬ הישר y = x (לסעיף ג) (ירוק חזק)
ReIm−√3√3√3−√3w2w1y = x
✅ פתרון סופי: שני מעגלים ברדיוס √3 שמרכזיהם (0 , √3) ו־(0 , −√3)

סעיף ג – המשוואה z³

משוואת מעגל I: x2 + (y + √3)2 = 3. נציב y = x:📐 נוסחה: משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
x2 + x2 + 2√3x + 3 = 3
2x(x + √3) = 0
⟹ x = 0
או
x = −√3
w1 = −√3 − √3i
מעגל II: x2 + (y − √3)2 = 3, עם y = x:
2x(x − √3) = 0
⟹ x = 0
או
x = √3
w2 = √3 + √3i
מכפלת מספר בצמוד שלו היא ריבוע הגודל:📐 נוסחה: מכפלה בצמודw · w = |w|2
w1 · w1 = 3 + 3 = 6
w2 · w2 = 6
z3 = 6 · 6 = 36 = 36 cis 0
נפתור בעזרת נוסחת השורשים (הזוויות במעלות):📐 נוסחה: שורשים מסדר n (דה־מואבר)zn = r cis xz = n√r cisx + 360knk = 0 , 1 , … , n − 1
z = 3√36 cis0 + 360k3
z = 3√36 cis(120k)
k = 0 : z = 3√36 ≈ 3.30
k = 1 : z = 3√36 cis 120
k = 2 : z = 3√36 cis 240
✅ פתרון סופי: 3√36 , 3√36 cis 120 , 3√36 cis 240

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אz = √3 , z = −√3 − 2i
סעיף בשני מעגלים
סעיף ג3√36 cis 0 , 3√36 cis 120 , 3√36 cis 240
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 38 – שורשים מסדר n
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – פונקציית ln עם פרמטר, 1 חלקי f ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = axln x − a , a > 0 הוא פרמטר.

בסעיפים א–ב, בטא את תשובותיך באמצעות a אם יש צורך.

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.

(3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = 1f(x) .

ב. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).

(2) מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x), וקבע את סוגה.

(3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי האנך לציר ה־x העובר בנקודת הקיצון של הפונקציה g(x), על ידי הישר x = ea + 2 ועל ידי ציר ה־x, הוא 3.

ג. מצא את a.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א(1) – תחום הגדרה

ln מוגדר רק לחיוביים, והמכנה שונה מאפס:📐 נוסחה: תחום הגדרהln x מוגדר עבור x > 0 , ומכנה ≠ 0
x > 0
ln x − a ≠ 0📐 נוסחה: משוואה עם lnln x = c ⟺ x = ec
⟹ ln x ≠ a
⟹ x ≠ ea
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ ea

סעיף א(2) – נקודת הקיצון

נגזרת מנה:📐 נוסחה: נגזרת מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2(ln x)′ = 1x
f′(x) = a(ln x − a) − ax · 1x(ln x − a)2
f′(x) = a(ln x − a − 1)(ln x − a)2
f′(x) = 0📐 נוסחה: משוואה עם lnln x = c ⟺ x = ec
⟹ ln x = a + 1
⟹ x = ea + 1
המכנה חיובי ו־a > 0, לכן הסימן של f′ הוא הסימן של ln x − a − 1:
0 < x < ea + 1 (x ≠ ea) : f′ < 0 – ירידה
x > ea + 1 : f′ > 0 – עלייה
f(ea + 1) = a · ea + 1a + 1 − a = aea + 1
✅ פתרון סופי: (ea + 1 , aea + 1) – מינימום

סעיף א(3) – סקיצה של f

אסימפטוטה אנכית x = ea. כאשר 0 < x < ea: המונה חיובי והמכנה שלילי – הגרף מתחת לציר ה־x; כאשר x → 0+ הגרף שואף לנקודה (0 , 0) (ממנה הוא לא כולל).
כאשר x > ea: הגרף יורד מ־∞ למינימום ואז עולה.
בציור: a = 0.5 (הערך שיתקבל בסעיף ג).
▬ f(x) (כחול) · ▬ האסימפטוטה x = ea (תכלת)
xyeaea+1105−5מינימום
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ב(1) – תחום ההגדרה של g

g מוגדרת היכן ש־f מוגדרת ושונה מאפס. f(x) ≠ 0 לכל x > 0 (כי ax ≠ 0):
x > 0 , x ≠ ea
g(x) = ln x − aax
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ ea

סעיף ב(2) – נקודת הקיצון של g

קוראים מהסקיצה של f (סעיף א(3)):
בתחום x > ea: f חיובית, יורדת עד המינימום (ea + 1 , aea + 1) ועולה אחריו.
בתחום 0 < x < ea: f שלילית ויורדת – אין בה קיצון.
ל־g = 1f: כש־f עולה – g יורדת, וכש־f יורדת – g עולה.📐 הפונקציה 1 חלקי fבתחום שבו f לא מחליפה סימן: עלייה וירידה מתחלפות, ומינימום של f הופך למקסימום של 1f
לכן g עולה עד x = ea + 1 ויורדת אחריו – מקסימום:
x = ea + 1
g(ea + 1) = 1f(ea + 1) = 1aea + 1
✅ פתרון סופי: (ea + 1 , 1aea + 1) – מקסימום

סעיף ב(3) – סקיצה של g

כאשר x → 0+: g → −∞ – אסימפטוטה אנכית x = 0. ב־x = ea הגרף עובר דרך (ea , 0), אבל הנקודה לא שייכת לתחום – נקודה ריקה.
מקסימום ב־x = ea + 1, ואחריו g → 0 כאשר x → ∞ (אסימפטוטה y = 0).
בציור: a = 0.5. השטח של סעיף ג צבוע.
▬ g(x) (סגול) · ▬ השטח של סעיף ג (ירוק חלש)
xyeaea+1ea+2−20.5מקסימום
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – מציאת a

בתחום ea + 1 ≤ x ≤ ea + 2: ln x − a > 0 , לכן g > 0:📐 נוסחה: חישוב שטחS = ∫ab g(x) dxכאשר g(x) ≥ 0 בתחום
S = ∫ea + 1ea + 2 ln x − aax dx
= 1a ∫ (ln x − a) · 1x dx
1x היא הנגזרת של ln x − a:📐 נוסחה: אינטגרל עם נגזרת פנימית∫ h(x) · h′(x) dx = h2(x)2 + c
S = 1a · [(ln x − a)22]ea + 1ea + 2
ln(ea + 2) − a = 2
ln(ea + 1) − a = 1
S = 1a · (42 − 12) = 32a
32a = 3
a = 12
✅ פתרון סופי: a = 12

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א(1)x > 0 , x ≠ ea
סעיף א(2)(ea + 1 , aea + 1) מינימום
סעיף ב(1)x > 0 , x ≠ ea
סעיף ב(2)(ea + 1 , 1aea + 1) מקסימום
סעיף גa = 12
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – אינטגרל: זיהוי נגזרת פנימית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – פונקציה מעריכית עם פרמטר, משיק לציר x ו־ln של פונקציה

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 9−x − 6 · 3−x + m , m הוא פרמטר.

א. בתת־סעיפים (1)–(3) בטא את תשובותיך באמצעות m אם יש צורך.

(1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים (אם יש כאלה).

(3) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן (אם יש כאלה).

נתון כי גרף הפונקציה f(x) משיק לציר ה־x.

ב. מצא את הערך של הפרמטר m.

ג. (1) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

(2) היעזר בסקיצה של גרף הפונקציה f(x) וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה ln(f(x)).

ד. הסבר מדוע ∫01 [ln(f(x)) − ln 4] dx < ln94 .

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א(1) – תחום הגדרה

חזקות מוגדרות לכל x:
✅ פתרון סופי: כל x

סעיף א(2) – אסימפטוטות

אין אסימפטוטה אנכית (הפונקציה מוגדרת ורציפה לכל x).
כאשר x → ∞:📐 נוסחה: גבול של פונקציה מעריכיתx → ∞ : 3−x → 0 , 9−x → 0
f(x) → 0 − 0 + m = m
כאשר x → −∞: f(x) = 3−x(3−x − 6) + m ושני הגורמים שואפים ל־∞ – אין אסימפטוטה.
✅ פתרון סופי: y = m (כאשר x → ∞)

סעיף א(3) – נקודות קיצון

9−x = 3−2x
f′(x) = −2 ln 3 · 3−2x📐 נוסחה: נגזרת של פונקציה מעריכית(ah(x))′ = ah(x) · ln a · h′(x)
+ 6 ln 3 · 3−x
f′(x) = 2 ln 3 · 3−x(3 − 3−x)
f′(x) = 0
⟹ 3−x = 3
⟹ x = −1
2 ln 3 · 3−x > 0, לכן הסימן הוא הסימן של 3 − 3−x:
x < −1 : 3−x > 3
⟹ f′ < 0 (ירידה)
x > −1 : 3−x < 3
⟹ f′ > 0 (עלייה)
f(−1) = 9 − 6 · 3 + m = m − 9
✅ פתרון סופי: (−1 , m − 9) – מינימום

סעיף ב – הפרמטר m

הגרף משיק לציר ה־x – בנקודת המינימום (שבה f′ = 0) הערך הוא 0:📐 משפט: משיק לציר xבנקודת ההשקה f′(x) = 0 וגם f(x) = 0
m − 9 = 0
m = 9
✅ פתרון סופי: m = 9

סעיף ג(1) – סקיצה של f

f(x) = 9−x − 6 · 3−x + 9
= (3−x − 3)2
f(0) = 1 − 6 + 9 = 4
יורדת מ־∞ עד המינימום (−1 , 0) (נקודת ההשקה), ואז עולה ומתקרבת לאסימפטוטה y = 9 מלמטה.
▬ f(x) (כחול) · ▬ האסימפטוטה y = 9 (תכלת)
xy−11294(−1 , 0)(0 , 4)y = 9
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג(2) – סקיצה של ln(f(x))

מוגדרת כאשר f(x) > 0, כלומר x ≠ −1.📐 נוסחה: הרכבה עם lnln(f(x)) מוגדרת כאשר f(x) > 0 ; ln פונקציה עולה – אותם תחומי עלייה וירידהf → 0+ ⟹ ln f → −∞
ליד x = −1: f → 0+, לכן ln f → −∞ – אסימפטוטה אנכית x = −1.
כאשר x → ∞: f → 9, לכן אסימפטוטה y = ln 9. כאשר x → −∞: ln f → ∞.
אותם תחומים כמו f: יורדת כאשר x < −1, עולה כאשר x > −1.
חיתוך עם ציר ה־x כאשר f(x) = 1:
(3−x − 3)2 = 1
⟹ 3−x = 4
או
3−x = 2
x ≈ −1.26
x ≈ −0.63
חיתוך עם ציר y : ln f(0) = ln 4
▬ ln(f(x)) (סגול) · ▬ האסימפטוטות (תכלת) · ▬ השטח של סעיף ד (ירוק חלש) · ▬ מלבן בגובה ln(9/4) (ירוק חזק)
xy−112ln 9ln 4−2
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד – הסבר

בקטע 0 ≤ x ≤ 1 הפונקציה f עולה (כי x > −1), לכן:
f(0) ≤ f(x) ≤ f(1)
f(0) = 4
f(1) = (13 − 3)2 = 649 ≈ 7.1
בפרט 4 ≤ f(x) < 9. ln עולה, לכן:📐 נוסחה: הרכבה עם lnln(f(x)) מוגדרת כאשר f(x) > 0 ; ln פונקציה עולה – אותם תחומי עלייה וירידהf → 0+ ⟹ ln f → −∞
ln 4 ≤ ln(f(x)) < ln 9
0 ≤ ln(f(x)) − ln 4
ln(f(x)) − ln 4 < ln 9 − ln 4
ln 9 − ln 4 = ln94
האינטגרל הוא השטח שבין הגרף של ln(f(x)) − ln 4 לציר ה־x בקטע שאורכו 1. הגרף נמצא כולו מתחת לגובה ln94, לכן השטח קטן משטח המלבן 1 · ln94:📐 משפט: חסם לאינטגרלאם 0 ≤ h(x) < c בקטע שאורכו 1, אז ∫ h(x) dx < c · 1
∫01 [ln(f(x)) − ln 4] dx < ln94
(בבדיקה: האינטגרל בערך 0.35, ו־ln94 ≈ 0.81.)
✅ פתרון סופי: הוסבר: הפונקציה בקטע קטנה מ־ln(9/4) והקטע באורך 1

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א(1)כל x
סעיף א(2)y = m
סעיף א(3)(−1 , m − 9) מינימום
סעיף בm = 9
סעיף דהסבר
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 28 – בהינתן f(x), שרטוט ln(f(x))
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות