בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 472 – חורף 2024

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – סדרות, וקטורים וגדילה ודעיכה (שאלות 1–3); פרק שני – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). עונים על 3 שאלות לבחירה, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעתיים וחצי. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2024

שאלון 472 חורף 2024 – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 5
שאלון 472 חורף 2024 – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 5
שאלון 472 חורף 2024 – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 5
שאלון 472 חורף 2024 – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 5
שאלון 472 חורף 2024 – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 5

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – סדרה חשבונית וסדרה הנדסית: ייצור ומכירת מחשבים

📄 נוסח השאלה

במפעל אלקטרוניקה החלו לייצר מחשבים. בכל שבוע כמות המחשבים שייצרו הייתה גדולה במספר קבוע מכמות המחשבים שייצרו בשבוע שלפניו. בשבוע הראשון ייצרו 900 מחשבים. הייצור נמשך 50 שבועות. בתקופה זו ייצרו 167,500 מחשבים סך הכול.

א. בכמה הייתה גדולה כמות המחשבים שייצרו בכל שבוע מן הכמות שייצרו בשבוע שלפניו?

בגמר הייצור מכר המפעל את המחשבים במשך כמה חודשים. כמות המחשבים שנמכרו בכל חודש הייתה גדולה פי q מכמות המחשבים שנמכרו בחודש שלפניו. בחודש ה־4 נמכרו 160 מחשבים. בחודש ה־7 נמכרו 1,280 מחשבים.

ב. כמה מחשבים נמכרו בחודש הראשון?

החודש ה־7 היה החודש האמצעי של חודשי המכירה.

ג. כמה חודשים נמשכה המכירה?

ד. כמה מן המחשבים שייצרו במפעל לא נמכרו?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – ההפרש הקבוע

כמות המחשבים גדלה כל שבוע במספר קבוע – זו סדרה חשבונית: a1 = 900, n = 50, S50 = 167500. מחפשים את ההפרש d.
S50 = 502 · [2 · 900 + (50 − 1)d]📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · [2a1 + (n − 1)d]
167500 = 25 · (1800 + 49d)
מחלקים את שני האגפים ב־25:
6700 = 1800 + 49d
49d = 6700 − 1800 = 4900
d = 490049 = 100
✅ פתרון סופי: בכל שבוע ייצרו 100 מחשבים יותר מבשבוע שלפניו

סעיף ב – החודש הראשון

כמות המכירות גדלה פי q כל חודש – זו סדרה הנדסית. נכתוב את שני האיברים הנתונים:
a4 = a1 · q3 = 160📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
a7 = a1 · q6 = 1280📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
מחלקים את המשוואה השנייה בראשונה:
a1 · q6a1 · q3 = 1280160📐 חילוק חזקותq6q3 = q6 − 3 = q3
q3 = 8
q = 3√8 = 2
מציבים במשוואה הראשונה:
a1 · 23 = 160
a1 · 8 = 160
a1 = 1608 = 20
✅ פתרון סופי: בחודש הראשון נמכרו 20 מחשבים

סעיף ג – מספר חודשי המכירה

החודש ה־7 הוא האמצעי – יש לפניו ולאחריו אותו מספר חודשים. לפניו יש 6 חודשים (1 עד 6), ולכן גם אחריו 6 חודשים (8 עד 13).
n = 6 + 1 + 6 = 13
בדיקה: בסדרה עם מספר אי־זוגי של איברים, האיבר האמצעי נמצא במקום n + 12:
n + 12 = 7 ⟸ n + 1 = 14 ⟸ n = 13📐 האיבר האמצעימקום האמצעי = n + 12
✅ פתרון סופי: המכירה נמשכה 13 חודשים

סעיף ד – כמה מחשבים לא נמכרו

סך המחשבים שנמכרו הוא סכום 13 האיברים של הסדרה ההנדסית (a1 = 20, q = 2):
S13 = 20 · (213 − 1)2 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
213 = 8192
S13 = 20 · 8191 = 163820
המחשבים שלא נמכרו = מה שייצרו פחות מה שנמכר:
167500 − 163820 = 3680
✅ פתרון סופי: 3,680 מחשבים לא נמכרו

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א100
סעיף ב20
סעיף ג13 חודשים
סעיף ד3,680
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת SABCD שבסיסה ABCD הוא מעוין. הנקודה E היא אמצע המקצוע SC. AS מאונך לבסיס הפירמידה.

סרטוט הפירמידה SABCD משאלה 2 בשאלון

נסמן: AB = u , AD = v , AS = w.

א. הביעו באמצעות u, v ו־w את הווקטורים EB ו־ED.

נתון: ∢BAD = 60 מעלות, |u| = |w|.

ב. הוכיחו כי EB מאונך ל־ED.

נתון: A(0 , 0 , 0) , B(2√3 , 2 , 0). הקודקוד D נמצא על החלק החיובי של ציר ה־y. שיעור ה־z של הקודקוד S הוא חיובי.

ג. (1) מצאו את אורך המקצוע AB ואת שיעורי הקודקוד S. (2) חשבו את נפח הפירמידה SABCD.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הבעת EB ו־ED

נבנה מסלולים מנקודה לנקודה דרך וקטורים שאנחנו מכירים. קודם האלכסון AC: במעוין הצלעות הנגדיות שוות ומקבילות, לכן BC = AD = v.
AC = AB + BC = u + v📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
עכשיו SC – מ־S חוזרים ל־A ואז הולכים ל־C:
SC = SA + AC = −w + u + v📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
E אמצע SC, ולכן SE הוא חצי מ־SC:
SE = 12SC = 12u + 12v − 12w📐 אמצע קטעXM = 12XY כש־M אמצע XY
מכאן AE:
AE = AS + SE = w + 12u + 12v − 12w = 12u + 12v + 12w📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
EB: מ־E חוזרים ל־A ואז הולכים ל־B:
EB = EA + AB = −AE + u📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
EB = −12u − 12v − 12w + u = 12u − 12v − 12w📐 וקטור נגדיXY = −YX
ED: מ־E חוזרים ל־A ואז הולכים ל־D:
ED = −AE + v = −12u − 12v − 12w + v📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
ED = −12u + 12v − 12w📐 כינוס איבריםמכנסים איברים דומים: −12v + v = 12v
ABCDSE
✅ פתרון סופי: EB = 12u − 12v − 12w
ED = −12u + 12v − 12w

סעיף ב – הוכחה ש־EB מאונך ל־ED

נסמן |u| = a. במעוין כל הצלעות שוות, ולכן גם |v| = a; ונתון |w| = |u| = a.
המכפלות הסקלריות הבסיסיות:
u · v = a · a · cos 60 = a2 · 12 = 12a2📐 מכפלה סקלריתa · b = |a| · |b| · cos ∢
u · w = 0 , v · w = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
(AS מאונך לבסיס, ולכן מאונך לכל ישר בבסיס – גם ל־AB וגם ל־AD.)
u · u = v · v = w · w = a2📐 ריבוע של וקטורa · a = |a|2
נוציא 12 מכל וקטור:
EB · ED = 12 · 12 · (u − v − w) · (−u + v − w)📐 הוצאת גורם משותףמוציאים גורם משותף מכל סוגריים
פותחים סוגריים – כל איבר מהראשון כפול כל איבר מהשני (9 מכפלות):
u · (−u + v − w) = −a2 + 12a2 − 0📐 פתיחת סוגריים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
−v · (−u + v − w) = 12a2 − a2 + 0
−w · (−u + v − w) = 0 − 0 + a2
מחברים:
−a2 + 12a2 + 12a2 − a2 + a2 = 0
EB · ED = ¼ · 0 = 0
EB ⊥ ED📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
ABCDSE
✅ פתרון סופי: הוכחנו: EB · ED = 0 ← EB ⊥ ED

סעיף ג (1) – אורך AB ושיעורי S

AB = B − A = (2√3 , 2 , 0)📐 וקטור בין שתי נקודותXY = Y − X
|AB| = √(2√3)2 + 22 + 02 = √12 + 4 = √16 = 4📐 אורך וקטור|(x , y , z)| = √x2 + y2 + z2
S: הבסיס נמצא במישור z = 0 (שיעור ה־z של A ושל B הוא 0, ו־D על ציר ה־y). AS מאונך לבסיס, ולכן הוא על ציר ה־z: S(0 , 0 , z) עם z > 0.
|AS| = |AB| = 4📐 נתון|w| = |u|
S(0 , 0 , 4)
לחישוב הנפח נצטרך גם את D: הוא על החלק החיובי של ציר ה־y, ובמעוין AD = AB = 4, ולכן D(0 , 4 , 0).
cos ∢BAD = AB · AD|AB| · |AD| = 0 + 8 + 04 · 4 = 12📐 בדיקה: זווית בין וקטוריםa · b = |a| · |b| · cos ∢
וזה מתאים לנתון ∢BAD = 60 מעלות.
ABCDS
✅ פתרון סופי: AB = 4
S(0 , 0 , 4)

סעיף ג (2) – נפח הפירמידה

שטח הבסיס – מעוין עם צלע 4 וזווית 60 מעלות:
SABCD = 4 · 4 · sin 60 = 16 · √32 = 8√3📐 שטח מקבילית (ומעוין)S = a · b · sin ∢
הגובה הוא AS = 4 (מאונך לבסיס):
V = 13 · 8√3 · 4 = 32√33 ≈ 18.48📐 נפח פירמידהV = 13 · S · h
✅ פתרון סופי: V = 32√33 ≈ 18.48 יחידות נפח

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אEB = 12u − 12v − 12w
ED = −12u + 12v − 12w
סעיף בEB · ED = 0 ← מאונכים
סעיף ג (1)AB = 4
S(0 , 0 , 4)
סעיף ג (2)V = 32√33 ≈ 18.48
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – דעיכה וגדילה: קרחונים וכלבי ים

📄 נוסח השאלה

בים הצפוני יש שני קרחונים A ו־B. במשך השנים הקרחונים מפשירים ומאבדים ממשקלם. חוקרת מדדה את המשקל של כל אחד מן הקרחונים בכל קיץ במשך 10 שנים. לפניכם סרטוט המתאר את המשקל של כל קרחון (באלפי טונות) לפי שנים.

הגרפים I ו־II של משקל הקרחונים משאלה 3 בשאלון

א. מבין הגרפים I–II, קבעו איזה גרף מתאים לקרחון שקצב הפשרתו מהיר יותר. נמקו את קביעתכם.

הפונקצייה f(t) = 7 · (0.96)t מתארת את המשקל של קרחון A בכל שנה. הפונקצייה g(t) = 10 · (0.91)t מתארת את המשקל של קרחון B בכל שנה.

ב. קבעו בנוגע לכל פונקצייה מהו הגרף המתאר אותה. נמקו את קביעותיכם.

ג. המשקל של איזה משני הקרחונים היה גדול יותר לאחר 7 שנים מתחילת המדידות?

ד. מצאו לאחר כמה שנים מתחילת המדידות היה המשקל של קרחון A שווה למשקל של קרחון B.

החוקרת בדקה גם את מספר כלבי הים באזור זה. היא גילתה שמספר כלבי הים באזור זה גדל בכל שנה באחוז קבוע. לאחר 10 שנים מתחילת המדידות היה מספר כלבי הים גדול פי 1.5 ממספרם בתחילת המדידות.

ה. מצאו בכמה אחוזים גדל מספר כלבי הים בכל שנה.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – איזה קרחון מפשיר מהר יותר

קצב הפשרה מהיר = המשקל יורד מהר יותר = הגרף תלול יותר בירידה.
בסרטוט גרף I מתחיל גבוה יותר מגרף II, יורד בתלילות רבה יותר, ובסוף התקופה הוא כבר מתחת לגרף II – כלומר הוא איבד יותר משקל באותו זמן.
✅ פתרון סופי: גרף I – הוא יורד בתלילות רבה יותר (וחוצה את גרף II כלפי מטה)

סעיף ב – התאמת הפונקציות לגרפים

M(t) = M0 · qt📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
M0 הוא המשקל בהתחלה (t = 0), ו־q קובע את קצב הדעיכה: ככל ש־q קטן יותר, הדעיכה מהירה יותר.
f(0) = 7 , g(0) = 10
qg = 0.91 < qf = 0.96
0.91 = 1 − 9100 , 0.96 = 1 − 4100📐 מנה בדעיכהq = 1 − p100
g מתחילה גבוה יותר (10 לעומת 7) ויורדת מהר יותר (9% בשנה לעומת 4%) – בדיוק כמו גרף I. f מתחילה נמוך יותר ויורדת לאט יותר – גרף II.
24678102468xyf(t)g(t)710(6.67, 5.33)
✅ פתרון סופי: g(t) – גרף I
f(t) – גרף II

סעיף ג – מי כבד יותר אחרי 7 שנים

f(7) = 7 · 0.967 ≈ 7 · 0.75145 ≈ 5.26📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
g(7) = 10 · 0.917 ≈ 10 · 0.51676 ≈ 5.17📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
5.26 > 5.17
אחרי 7 שנים קרחון A (כ־5,260 טונות) כבד מקרחון B (כ־5,170 טונות).
✅ פתרון סופי: קרחון A

סעיף ד – מתי המשקלים שווים

7 · 0.96t = 10 · 0.91t
מחלקים את שני האגפים ב־7 וב־0.91t:
0.96t0.91t = 107
(0.960.91)t = 107📐 חילוק חזקות עם אותו מעריךatbt = (ab)t
מוציאים ln משני האגפים:
t · ln 0.960.91 = ln 107📐 חוקי לוגריתמיםln(at) = t · ln a
t = ln 107ln 0.960.91 ≈ 0.356670.05349 ≈ 6.67
בדיקה: f(6.67) ≈ 7 · 0.7617 ≈ 5.33 ו־g(6.67) ≈ 10 · 0.5332 ≈ 5.33 ✓
✅ פתרון סופי: לאחר כ־6.67 שנים

סעיף ה – אחוז הגידול של כלבי הים

נסמן ב־M0 את מספר כלבי הים בהתחלה. אחרי 10 שנים המספר גדול פי 1.5:
M0 · q10 = 1.5 · M0📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
q10 = 1.5
q = 10√1.5 ≈ 1.04138📐 שורש מסדר גבוהqn = a ⟸ q = n√a
1.04138 = 1 + p100📐 מנה בגדילהq = 1 + p100
p100 = 0.04138
p ≈ 4.14
✅ פתרון סופי: מספר כלבי הים גדל בכ־4.14% (כ־4%) בכל שנה

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אגרף I
סעיף בg(t) – גרף I, f(t) – גרף II
סעיף גקרחון A
סעיף דכ־6.67 שנים
סעיף הכ־4.14% בשנה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – פתרון בגרות 2024 חורף
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – פונקציית e, נגזרת ושטחים

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מוצגים הגרפים I ו־II. אחד מן הגרפים הוא הגרף של פונקצייה f(x), והאחר הוא הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x).

הגרפים I ו־II משאלה 4 בשאלון

א. איזה מן הגרפים I–II מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)? נמקו את תשובתכם.

נתון כי f(x) = (x − 4)2 · ex − 3.

ב. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים. (3) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן על פי הגרף.

ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x) ועל ידי ציר ה־x.

נתונה הפונקצייה g(x) = −f′(x).

ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה g(x) ועל ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x). נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – איזה גרף הוא של הנגזרת

גרף II נמצא כולו מעל ציר ה־x (או נוגע בו), ולכן אילו הוא היה הנגזרת – הפונקצייה הייתה עולה כל הזמן, בלי ירידות. אבל גרף I עולה ויורד – סתירה. לכן גרף II הוא f, וגרף I הוא f′.
בדיקה: במקום שבו גרף II מגיע למקסימום, גרף I חותך את ציר ה־x מלמעלה למטה (מפלוס למינוס); ובמקום שבו גרף II נוגע בציר ה־x (מינימום), גרף I חותך את הציר מלמטה למעלה. זה בדיוק הקשר בין פונקצייה לנגזרת שלה.
מקסימום של f ← f′ עוברת מפלוס למינוס📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
✅ פתרון סופי: גרף I מתאר את f′(x)

סעיף ב (1) – תחום ההגדרה

(x − 4)2 – פולינום, מוגדר לכל x. ex − 3 – e בחזקה, מוגדר לכל x. אין מכנה, אין שורש ואין ln.
✅ פתרון סופי: כל x

סעיף ב (2) – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y (x = 0):
f(0) = (0 − 4)2 · e0 − 3 = 16e−3 = 16e3 ≈ 0.80
ציר ה־x (f(x) = 0):
(x − 4)2 · ex − 3 = 0
ex − 3 > 0📐 תכונה של eet > 0 לכל t
(x − 4)2 = 0 ⟸ x = 4
✅ פתרון סופי: (0 , 16e3) ≈ (0 , 0.80)
(4 , 0)

סעיף ב (3) – נקודות הקיצון

גוזרים לפי כלל המכפלה: u = (x − 4)2, v = ex − 3.
u′ = 2(x − 4) · 1 = 2(x − 4)📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[g(x)n]′ = n · g(x)n − 1 · g′(x)
v′ = 1 · ex − 3 = ex − 3📐 נגזרת e בחזקת פונקציה(eg(x))′ = g′(x) · eg(x)
f′(x) = 2(x − 4) · ex − 3 + (x − 4)2 · ex − 3📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
מוציאים (x − 4) · ex − 3 כגורם משותף:
f′(x) = (x − 4) · ex − 3 · [2 + (x − 4)]
f′(x) = (x − 4)(x − 2) · ex − 3
f′(x) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
(x − 4)(x − 2) = 0📐 תכונה של eet > 0 לכל t
x = 4 או x = 2
f(2) = (2 − 4)2 · e2 − 3 = 4e−1 = 4e ≈ 1.47
f(4) = 0 · e1 = 0
לפי הגרף (גרף II הוא f): ב־x = 2 יש לגרף "פסגה" – מקסימום; ב־x = 4 הגרף יורד ונוגע בציר ה־x ועולה שוב – מינימום.
בדיקה בסימן הנגזרת: תמיד ex − 3 > 0, ולכן הסימן של f′ נקבע רק על ידי (x − 4)(x − 2).
x = 0 : (−4)(−2) = 8 > 0 ← עולה
x = 3 : (−1)(1) = −1 < 0 ← יורדת
x = 5 : (1)(3) = 3 > 0 ← עולה
ב־x = 2: עולה ואז יורדת ← מקסימום. ב־x = 4: יורדת ואז עולה ← מינימום.📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
-2-11235-11234xyf(x)f′(x)(2, 1.47)(4, 0)(0, 0.80)
✅ פתרון סופי: מקסימום (2 , 4e) ≈ (2 , 1.47)
מינימום (4 , 0)

סעיף ג – השטח בין f′ לציר ה־x

גרף f′ חותך את ציר ה־x ב־x = 2 וב־x = 4. ביניהן f′ < 0 (סעיף ב3), ושם נסגר שטח בין הגרף לציר. (משמאל ל־2 הגרף רק מתקרב לציר ואינו סוגר שטח.)
השטח מתחת לציר ה־x – לוקחים את האינטגרל עם סימן מינוס:
S = −∫42 f′(x) dx📐 שטח מתחת לציר ה־xS = −∫ba f(x) dx (גרף מתחת לציר)
הפונקצייה הקדומה של f′ היא f עצמה:
S = −[f(4) − f(2)]📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)
S = −(0 − 4e) = 4e ≈ 1.47
-2-112345-11xyf′(x)
✅ פתרון סופי: S = 4e ≈ 1.47 יחידות שטח

סעיף ד – השטח בין g ל־f′

g(x) = −f′(x) – כל ערך של f′ מתהפך בסימן, כלומר גרף g הוא שיקוף של גרף f′ ביחס לציר ה־x.
y = −f(x)📐 שיקוף גרףגרף y = −f(x) הוא שיקוף של גרף y = f(x) ביחס לציר ה־x
נקודות החיתוך של שני הגרפים:
f′(x) = −f′(x) ⟸ 2f′(x) = 0 ⟸ f′(x) = 0
x = 2 או x = 4
בין 2 ל־4: f′ < 0, ולכן g = −f′ > 0 – הגרף של g למעלה:
S = ∫42 [g(x) − f′(x)] dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫ba [f1(x) − f2(x)] dx
S = ∫42 [−f′(x) − f′(x)] dx = −2∫42 f′(x) dx
S = −2[f(4) − f(2)] = −2(0 − 4e) = 8e ≈ 2.94📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)
נימוק במילים: השיקוף יוצר מעל ציר ה־x שטח זהה לזה שמתחת לציר (סעיף ג), ולכן השטח בין שני הגרפים הוא פעמיים 4e.
-2-112345-11xyf′(x)g(x)
✅ פתרון סופי: S = 8e ≈ 2.94 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אגרף I
סעיף ב (1)כל x
סעיף ב (2)(0 , 16e3) , (4 , 0)
סעיף ב (3)מקסימום (2 , 4e)
מינימום (4 , 0)
סעיף ג4e ≈ 1.47
סעיף ד8e ≈ 2.94
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – חקירה עם מכפלה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת פונקציית ln ומשיק אופקי

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 3x22 ln(x) + 1.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) האם גרף הפונקצייה f(x) חותך את ציר ה־x? נמקו את תשובתכם. (3) מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־x של הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).

ד. קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה הוא גרף הפונקצייה f(x).

הישר y = t משיק לגרף הפונקצייה f(x).

ה. האם הישר y = t − 5 חותך את גרף הפונקצייה f(x)? אם כן – מצאו בכמה נקודות הוא חותך. אם לא – נמקו.

הגרפים I עד IV משאלה 5 בשאלון
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

שני תנאים: ln מוגדר רק למספרים חיוביים, והמכנה לא יכול להיות 0.
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln t מוגדר רק כש־t > 0
2 ln x + 1 ≠ 0 ⟸ 2 ln x ≠ −1 ⟸ ln x ≠ −12
x ≠ e−0.5 ≈ 0.61📐 הגדרת lnln x = b ⟺ x = eb
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ e−0.5

סעיף א (2) – חיתוך עם ציר ה־x

שבר שווה 0 רק כשהמונה שווה 0:
3x2 = 0 ⟸ x = 0
אבל x = 0 לא בתחום ההגדרה (x > 0), ולכן אין נקודת חיתוך.
✅ פתרון סופי: לא – הגרף לא חותך את ציר ה־x

סעיף א (3) – האסימפטוטה האנכית

ב־x = e−0.5 המכנה מתאפס (2 · (−0.5) + 1 = 0), והמונה 3e−1 ≠ 0.
מכנה = 0 ומונה ≠ 0📐 אסימפטוטה אנכיתמכנה = 0 ומונה ≠ 0 ← אסימפטוטה אנכית
✅ פתרון סופי: x = e−0.5 (≈ 0.61)

סעיף ב – נקודת הקיצון

כלל המנה עם u = 3x2 ⟸ u′ = 6x ו־v = 2 ln x + 1:
v′ = 2 · 1x = 2x📐 נגזרת ln(ln x)′ = 1x
f′(x) = 6x · (2 ln x + 1) − 3x2 · 2x(2 ln x + 1)2📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
מפשטים את המונה: 3x2 · 2x = 6x:
f′(x) = 12x ln x + 6x − 6x(2 ln x + 1)2 = 12x ln x(2 ln x + 1)2
f′(x) = 0 ⟸ 12x ln x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
בתחום x > 0, ולכן 12x ≠ 0:
ln x = 0 ⟸ x = e0 = 1📐 הגדרת lnln x = b ⟺ x = eb
f(1) = 3 · 122 ln 1 + 1 = 30 + 1 = 3📐 ln של 1ln 1 = 0
סימן הנגזרת: המכנה (ריבוע) חיובי ו־12x > 0, ולכן הסימן של f′ הוא הסימן של ln x:
x = 0.8 : ln 0.8 < 0 , f′ < 0 ← יורדת
x = 2 : ln 2 > 0 , f′ > 0 ← עולה
ב־x = 1: יורדת ואז עולה ← מינימום.📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
✅ פתרון סופי: מינימום (1 , 3)

סעיף ג – תחומי עלייה וירידה

כמו בסעיף ב: הסימן של f′ הוא הסימן של ln x. צריך לזכור גם את האסימפטוטה x = e−0.5 – היא מפרידה בין תחומים.
0 < x < e−0.5 : ln x < 0 , f′ < 0 ← יורדת
e−0.5 < x < 1 : ln x < 0 , f′ < 0 ← יורדת
x > 1 : ln x > 0 , f′ > 0 ← עולה
f′ > 0 ← עולה, f′ < 0 ← יורדת📐 עלייה וירידה לפי הנגזרתf′(x) > 0 ← הפונקצייה עולהf′(x) < 0 ← הפונקצייה יורדת
✅ פתרון סופי: עלייה: x > 1
ירידה: 0 < x < e−0.5 וגם e−0.5 < x < 1

סעיף ד – איזה גרף

משמאל לאסימפטוטה (0 < x < e−0.5): ln x < −0.5, ולכן המכנה 2 ln x + 1 < 0 והמונה 3x2 > 0 – הפונקצייה שלילית (מתחת לציר ה־x) ויורדת. זה פוסל את II ואת IV (שבהם הענף השמאלי עולה למעלה).
מימין לאסימפטוטה: המכנה חיובי – הפונקצייה חיובית, עם מינימום (1 , 3). זה פוסל את I (שבו הענף הימני מתחת לציר ה־x).
נשאר גרף III: ענף שמאלי שיורד מתחת לציר ה־x לכיוון האסימפטוטה, וענף ימני מעל הציר עם נקודת מינימום. הגרף בקנה מידה של הפונקצייה (הקו המקווקו הירוק – האסימפטוטה):
12-6-4-22468xyf(x)(1, 3)
✅ פתרון סופי: גרף III

סעיף ה – האם y = t − 5 חותך את הגרף

ישר מהצורה y = t הוא ישר אופקי (שיפוע 0). משיק אופקי יש רק בנקודה שבה f′ = 0 – נקודת הקיצון (1 , 3).
t = f(1) = 3📐 שיפוע משיקשיפוע המשיק = f′(x0)
y = t − 5 = 3 − 5 = −2
בענף הימני (x > e−0.5): הערך הקטן ביותר הוא המינימום 3, ולכן תמיד f(x) ≥ 3 > −2 – אין חיתוך.
בענף השמאלי (0 < x < e−0.5): הפונקצייה רציפה ויורדת. כש־x מתקרב ל־0, המונה 3x2 שואף ל־0 והמכנה שואף למינוס אינסוף, ולכן f מתקרבת ל־0 (מלמטה). כש־x מתקרב לאסימפטוטה, f יורדת למינוס אינסוף.
לכן בענף השמאלי הפונקצייה עוברת על כל הערכים השליליים, ובכל אחד פעם אחת בדיוק (כי היא יורדת כל הזמן) – גם על −2.
(בדיקה מספרית: f(x) = −2 מתקבל ב־x ≈ 0.50.)
12-6-42468xyf(x)y = 3y = −2(1, 3)
✅ פתרון סופי: כן – הישר y = −2 חותך את הגרף בנקודה אחת

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א (1)x > 0 , x ≠ e−0.5
סעיף א (2)לא
סעיף א (3)x = e−0.5
סעיף במינימום (1 , 3)
סעיף געלייה x > 1
ירידה 0 < x < e−0.5 , e−0.5 < x < 1
סעיף דגרף III
סעיף הכן – בנקודה אחת
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 23 – חורף 2024
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 472 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות