בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 471 – קיץ 2026 מועד ב'

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 8 שאלות בשלושה פרקים: סטטיסטיקה והסתברות, גאומטרייה, וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. עונים על 5 שאלות מתוך 8. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2026 מועד ב'

שאלון 471 קיץ 2026 מועד ב' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 8
שאלון 471 קיץ 2026 מועד ב' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 8
שאלון 471 קיץ 2026 מועד ב' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 8
שאלון 471 קיץ 2026 מועד ב' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 8
שאלון 471 קיץ 2026 מועד ב' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 8
שאלון 471 קיץ 2026 מועד ב' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 8
שאלון 471 קיץ 2026 מועד ב' – עמוד 7
עמוד 7 מתוך 8
שאלון 471 קיץ 2026 מועד ב' – עמוד 8
עמוד 8 מתוך 8

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – התפלגות נורמלית

📄 נוסח השאלה

במדינה מסוימת נערך מחקר ארצי בתחום הבריאות. במחקר נבדק מספר הצעדים היומי שהולך כל אחד מן המשתתפים. נמצא כי מספר הצעדים היומי מתפלג נורמלית, וסטיית התקן היא 800. נמצא כי 37.5% מן המשתתפים במחקר הולכים פחות מ־6,944 צעדים ביום.

א. מצאו את ממוצע מספר הצעדים היומי של המשתתפים במחקר.

משרד הבריאות ממליץ ללכת יותר מ־8,400 צעדים ביום.

ב. מצאו את אחוז המשתתפים במחקר שמקיימים את ההמלצה הזאת.

נמצא כי 14,722 מן המשתתפים במחקר הולכים יותר מ־7,200 צעדים ביום ופחות מ־8,400 צעדים ביום.

ג. על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה אנשים סך הכול השתתפו במחקר?

במחקר נבדק גם מספר שעות השינה ביממה של כל אחד מן המשתתפים. נמצא כי גם מספר שעות השינה ביממה מתפלג נורמלית. ממוצע שעות השינה ביממה של המשתתפים הוא 7 שעות. שרית השתתפה במחקר. מספר שעות השינה של שרית ביממה הוא 9.28, ומספר הצעדים היומי שלה הוא 8,416. ציון התקן של מספר הצעדים היומי של שרית זהה לציון התקן של מספר שעות השינה שלה ביממה.

ד. מצאו את סטיית התקן של מספר שעות השינה ביממה של המשתתפים במחקר.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – ממוצע מספר הצעדים

הממוצע x̄ לא ידוע, סטיית התקן 800. 37.5% מהמשתתפים הולכים פחות מ־6,944 צעדים.
37.5% זה פחות מחצי, לכן 6,944 מתחת לממוצע וציון התקן שלו שלילי. בטבלה יש רק ציונים חיוביים, אז מחפשים את הצד השני: עושים 1 פחות – 1 − 0.375 = 0.625.
נחפש בתוך הטבלה (בטבלה הזאת מסומן Φ(z)) את 0.625: הערך הקרוב ביותר הוא 0.626, בשורה 0.3 ובעמודה 0.02. כלומר ציון התקן הוא 0.32, ושל 6,944 הוא −0.32.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.3 עמודה 0.02
−0.32 = (6944 − x̄) : 800📐 ציון תקןz = x − x̄S
כופלים ב־800:
−256 = 6944 − x̄
x̄ = 6944 + 256 = 7200
✅ פתרון סופי: x̄ = 7,200 צעדים

סעיף ב – אחוז המקיימים את ההמלצה

נחשב את ציון התקן של 8,400:
z = (8400 − 7200) : 800 = 1200 : 800 = 1.5📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 1.5 ובעמודה 0.00 רשום 0.933, כלומר 93.3% הולכים פחות מ־8,400.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.5 עמודה 0.00
אנחנו רוצים "יותר מ־8,400" – עושים 1 פחות:
1 − 0.933 = 0.067
✅ פתרון סופי: 6.7% מהמשתתפים

סעיף ג – כמה אנשים השתתפו במחקר

7,200 הוא בדיוק הממוצע, ולכן חצי מהמשתתפים (0.5) מתחתיו. מתחת ל־8,400 יש 0.933 (מסעיף ב). בין 7,200 ל־8,400:
0.933 − 0.5 = 0.433
כלומר 43.3% מכל המשתתפים הם 14,722 אנשים. נסמן את מספר המשתתפים N:
0.433 · N = 14722📐 מספר = הסתברות · סך הכולn = P · N
N = 14722 : 0.433 = 34000
✅ פתרון סופי: 34,000 משתתפים

סעיף ד – סטיית התקן של שעות השינה

ציון התקן של מספר הצעדים של שרית:
z = (8416 − 7200) : 800 = 1216 : 800 = 1.52📐 ציון תקןz = x − x̄S
ציון התקן של שעות השינה שלה זהה – גם הוא 1.52. נסמן ב־S את סטיית התקן של שעות השינה (הממוצע 7):
1.52 = (9.28 − 7) : S = 2.28 : S
S = 2.28 : 1.52 = 1.5
✅ פתרון סופי: S = 1.5 שעות

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אx̄ = 7,200 צעדים
סעיף ב6.7%
סעיף ג34,000 משתתפים
סעיף דS = 1.5 שעות
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – ציון תקן 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סטטיסטיקה ורגרסיה

📄 נוסח השאלה

חוקר סביבה בדק ב־6 ערים שונות את הקשר בין גודל השטח הירוק (פארקים וגינות) לנפש בעיר (המשתנה x) ובין רמת זיהום האוויר בעיר (המשתנה y). החוקר קבע את רמת זיהום האוויר בכל עיר על פי מדד איכות האוויר (מדד מספרי של כמות המזהמים באוויר). הנתונים מוצגים בדיאגרמת הפיזור.

נסמן ב־r את מקדם המתאם בין x ל־y.

א. לפניכם ארבעה היגדים I–IV. קבעו איזה היגד נכון. נמקו את קביעתכם.
I. 0 < r < 1
II. r = −1
III. −1 < r < 0
IV. אי אפשר לקבוע את טווח הערכים של r.

ב. (1) חשבו את ממוצע גודל השטח הירוק לנפש ב־6 הערים. (2) חשבו את ממוצע רמת זיהום האוויר ב־6 הערים.

נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x היא y = −1.8x + b.

ג. (1) מצאו את הערך של b. (2) על פי ישר הרגרסיה, מהו הניבוי לרמת זיהום האוויר בעיר שגודל השטח הירוק שלה הוא 18 מ"ר לנפש?

ד. חשבו את סטיית התקן של גודל השטח הירוק ב־6 הערים.

החוקר מצא כי סטיית התקן של רמת זיהום האוויר היא Sy = √5003.

ה. היעזרו במשוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x ומצאו את מקדם המתאם r.

החוקר גילה שהייתה תקלה במכשיר המדידה, וכי למעשה רמת זיהום האוויר בכל אחת מ־6 הערים הייתה גבוהה ב־4 מרמת הזיהום שנמדדה. החוקר תיקן את הנתונים בהתאם לכך.

ו. (1) האם שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x לאחר תיקון הנתונים גדל, קטן או לא השתנה? נמקו. (2) כתבו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x לאחר תיקון הנתונים.

דיאגרמת הפיזור לשאלה 2
✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – איזה היגד נכון

קוראים את 6 הנקודות מהדיאגרמה:
עיר123456
x51015152025
y504030203010
כאשר x (השטח הירוק) גדל, y (הזיהום) בדרך כלל קטן – זו מגמה יורדת, ולכן המתאם שלילי: r < 0.
הנקודות לא נמצאות כולן על ישר אחד (למשל ב־x = 15 יש שתי נקודות שונות: 30 ו־20), ולכן המתאם לא מלא: r ≠ −1.
−1 < r < 0📐 מקדם המתאם−1 ≤ r ≤ 1r = −1 ← כל הנקודות על ישר יורד
✅ פתרון סופי: היגד III – −1 < r < 0

סעיף ב – הממוצעים

x̄ = 5 + 10 + 15 + 15 + 20 + 256📐 ממוצעx̄ = סכום הערכיםמספר הערכים
x̄ = 906 = 15
ȳ = 50 + 40 + 30 + 20 + 30 + 106
ȳ = 1806 = 30
✅ פתרון סופי: (1) x̄ = 15 מ"ר לנפש   (2) ȳ = 30

סעיף ג – ישר הרגרסיה והניבוי

(1) ישר הרגרסיה תמיד עובר בנקודת הממוצעים (x̄ , ȳ) = (15 , 30). מציבים אותה במשוואה:
30 = −1.8 · 15 + b📐 ישר הרגרסיה עובר בממוצעיםȳ = a · x̄ + b
30 = −27 + b
מעבירים אגפים:
b = 30 + 27 = 57
ישר הרגרסיה: y = −1.8x + 57
(2) מציבים x = 18:
y = −1.8 · 18 + 57
y = −32.4 + 57 = 24.6
✅ פתרון סופי: (1) b = 57   (2) 24.6

סעיף ד – סטיית התקן של השטח הירוק

מחשבים את הסטייה של כל ערך מהממוצע x̄ = 15, ומעלים בריבוע:
x51015152025
x − x̄−10−500510
(x − x̄)²100250025100
סכום הריבועים: 100 + 25 + 0 + 0 + 25 + 100 = 250
Sx² = 2506 = 1253 ≈ 41.67📐 שונות וסטיית תקןSx² = סכום (x − x̄)²nSx = √Sx²
Sx = √1253 ≈ 6.45
✅ פתרון סופי: Sx = √1253 ≈ 6.45

סעיף ה – מקדם המתאם

שיפוע ישר הרגרסיה a = −1.8 קשור למקדם המתאם בנוסחה:
−1.8 = r · SySx📐 שיפוע ישר הרגרסיהa = r · SySx
מחשבים את היחס בין סטיות התקן:
SySx = √5003√1253 = √500125 = √4 = 2
−1.8 = r · 2
מחלקים ב־2:
r = −1.82 = −0.9
מתאים לסעיף א: −1 < −0.9 < 0 ✓
✅ פתרון סופי: r = −0.9

סעיף ו – אחרי תיקון הנתונים

(1) לכל ערך של y מוסיפים 4. כל הנקודות עולות 4 יחידות למעלה – בלי לשנות את המרחקים ביניהן.
לכן מקדם המתאם r לא משתנה, Sx לא משתנה, וגם Sy לא משתנה (הוספת קבוע לא משנה את הפיזור).
a = r · SySx = −1.8📐 שיפוע ישר הרגרסיהa = r · SySx
כלומר השיפוע לא השתנה.
(2) הממוצע החדש של y גדל ב־4:
הממוצע החדש: ȳ = 30 + 4 = 34📐 הוספת קבועy + 4 ← ȳ + 4
ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים החדשה (15 , 34):
34 = −1.8 · 15 + b
34 = −27 + b
b = 34 + 27 = 61
✅ פתרון סופי: (1) השיפוע לא השתנה   (2) y = −1.8x + 61

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהיגד III
סעיף בx̄ = 15 , ȳ = 30
סעיף גb = 57 ; ניבוי 24.6
סעיף דSx ≈ 6.45
סעיף הr = −0.9
סעיף והשיפוע לא השתנה; y = −1.8x + 61
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – מציאת קו הרגרסיה (קו הניבוי)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471 · קורס סטטיסטיקה 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות

📄 נוסח השאלה

במפעל מסוים מייצרים מחשבים. כל המחשבים שיוצרו במחזור ייצור מסוים נבדקו בשתי בדיקות איכות כדי לוודא שהם תקינים. בבדיקה הראשונה נמצא ש־80% מן המחשבים הם תקינים. אם מחשב נמצא תקין בבדיקה הראשונה, ההסתברות שבבדיקה השנייה הוא יימצא תקין היא 0.9. אם מחשב לא נמצא תקין בבדיקה הראשונה, ההסתברות שבבדיקה השנייה הוא יימצא תקין היא 0.35. בחרו באקראי מחשב שיוצר במחזור הייצור.

א. מהי ההסתברות שבדיוק באחת הבדיקות המחשב נמצא תקין?

ב. מהי ההסתברות שלפחות באחת הבדיקות המחשב נמצא תקין?

רק מחשב שנמצא תקין בשתי הבדיקות מועבר למכירה. בחרו באקראי מחשב שיוצר במחזור הייצור.

ג. ידוע שהמחשב שנבחר נמצא תקין לפחות באחת הבדיקות. מהי ההסתברות שמחשב זה הועבר למכירה?

נתון כי במחזור ייצור זה ייצרו 250 מחשבים.

ד. מצאו את מספר המחשבים שהועברו למכירה במחזור ייצור זה.

מבין המחשבים שייצרו במחזור ייצור זה, בוחרים באקראי שני מחשבים זה אחר זה (הוצאה ללא החזרה).

ה. מהי ההסתברות שבדיוק מחשב אחד הועבר למכירה?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – תקין בדיוק בבדיקה אחת

מסדרים את הנתונים בעץ הסתברויות (בדיקה 1, ואחריה בדיקה 2):
0.80.2 תקיןלא תקין בדיקה 1בדיקה 2 0.90.1 0.350.65 תקין (0.72)לא תקין (0.08) תקין (0.07)לא תקין (0.13)
"בדיוק בבדיקה אחת" – שני מסלולים: תקין ואז לא תקין, או לא תקין ואז תקין.
תקין ואז לא תקין: 0.8 · 0.1 = 0.08📐 כלל הכפל (לאורך ענף)P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
לא תקין ואז תקין: 0.2 · 0.35 = 0.07
P = 0.08 + 0.07 = 0.15📐 כלל החיבור (מסלולים זרים)P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
✅ פתרון סופי: 0.15

סעיף ב – תקין לפחות בבדיקה אחת

המשלים של "לפחות באחת" הוא "באף בדיקה" – לא תקין בשתי הבדיקות:
לא תקין בשתיהן: 0.2 · 0.65 = 0.13
לפחות באחת: 1 − 0.13 = 0.87📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(Ā)
בדיקה: 0.72 + 0.08 + 0.07 = 0.87 ✓
✅ פתרון סופי: 0.87

סעיף ג – הסתברות מותנית

מועבר למכירה = תקין בשתי הבדיקות:
תקין בשתיהן: 0.8 · 0.9 = 0.72
מחשב שתקין בשתי הבדיקות הוא בוודאי תקין "לפחות באחת", ולכן החיתוך הוא 0.72:
מכירה, בידיעה שתקין לפחות באחת: P = 0.720.87📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 7287 = 2429 ≈ 0.828
✅ פתרון סופי: 2429 ≈ 0.828

סעיף ד – כמה מחשבים הועברו למכירה

ההסתברות שמחשב הועבר למכירה היא 0.72 (מסעיף ג):
250 · 0.72 = 180📐 מספר = הסתברות · סך הכולn = P · N
✅ פתרון סופי: 180 מחשבים

סעיף ה – שני מחשבים ללא החזרה

מתוך 250 מחשבים: 180 הועברו למכירה, ו־250 − 180 = 70 לא הועברו.
"בדיוק אחד הועבר" – שתי אפשרויות: הראשון כן והשני לא, או הראשון לא והשני כן. אחרי הוצאה ללא החזרה נשארים 249 מחשבים:
הראשון כן, השני לא: 180250 · 70249 = 1260062250📐 ללא החזרהP(A , B) = P(A) · P(B | A)
הראשון לא, השני כן: 70250 · 180249 = 1260062250
P = 1260062250 + 1260062250 = 2520062250
מצמצמים:
2520062250 = 168415 ≈ 0.405
✅ פתרון סופי: 168415 ≈ 0.405

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.15
סעיף ב0.87
סעיף ג2429 ≈ 0.828
סעיף ד180 מחשבים
סעיף ה168415 ≈ 0.405
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 19 – הסתברות מותנת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – הנדסה אנליטית: מעגל ומשיק

📄 נוסח השאלה

בסרטוט מעגל. מרכז המעגל M נמצא על ציר ה־x. הנקודה A נמצאת על המעגל. המשך הקטע MA חותך את ציר ה־y בנקודה B. נתון: B(0 , 18) , A(−16 , 6).

א. (1) מצאו את משוואת הישר AB. (2) מצאו את משוואת המעגל.

דרך הנקודה A מעבירים משיק למעגל החותך את ציר ה־y בנקודה D.

ב. מצאו את שיעורי הנקודה D.

הנקודה C נמצאת על המעגל כך ש־AC הוא קוטר במעגל.

ג. הראו כי BD = CD.

ד. חשבו את גודל הזווית ABD.

הנקודה K נמצאת על הקטע CD. נתון כי שטח המשולש MCK הוא 90.

ה. מצאו את אורך הקטע CK.

סרטוט לשאלה 4
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א (1) – משוואת הישר AB

mAB = 18 − 60 − (−16) = 1216 = 34📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁
הישר חותך את ציר ה־y ב־B(0 , 18), ולכן b = 18:
y = 34x + 18📐 משוואת ישרy = mx + b
בדיקה: A: 34 · (−16) + 18 = −12 + 18 = 6 ✓
✅ פתרון סופי: y = 34x + 18

סעיף א (2) – משוואת המעגל

המרכז M נמצא על ציר ה־x (y = 0) וגם על הישר AB (כי B על המשך MA). מציבים y = 0:
0 = 34x + 18
34x = −18
x = −18 · 43 = −24
המרכז: M(−24 , 0). הרדיוס הוא המרחק MA:
R = √(−16 − (−24))² + (6 − 0)²📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
R = √8² + 6² = √64 + 36 = √100 = 10
(x + 24)² + y² = 100📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²
✅ פתרון סופי: (x + 24)² + y² = 100

סעיף ב – הנקודה D

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. שיפוע הרדיוס MA שווה לשיפוע AB (אותו ישר): m = 34.
34 · m = −1  ⟸  m = −43📐 משיק ⊥ רדיוסm₁ · m₂ = −1
y − 6 = −43(x − (−16))📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)
y − 6 = −43x − 643
y = −43x − 643 + 183
y = −43x − 463
נקודה D על ציר ה־y, ולכן x = 0:
y = −463 = −1513
✅ פתרון סופי: D(0 , −463) (כלומר y ≈ −15.33)

סעיף ג – הוכחה ש־BD = CD

המרכז M הוא אמצע הקוטר AC:
−24 = −16 + xC2 ⟸ xC = −48 + 16 = −32📐 אמצע קטעxM = x₁ + x₂2 , yM = y₁ + y₂2
0 = 6 + yC2  ⟸  yC = −6
כלומר C(−32 , −6).
הנקודות B ו־D שתיהן על ציר ה־y, לכן האורך הוא הפרש שיעורי ה־y:
BD = 18 − (−463) = 543 + 463 = 1003
CD = √(0 − (−32))² + (−463 − (−6))²📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
CD = √32² + (−283)² = √1024 + 7849
CD = √9216 + 7849 = √100009 = 1003
קיבלנו BD = CD = 1003. ✓
✅ פתרון סופי: BD = CD = 1003

סעיף ד – הזווית ABD

המשיק AD מאונך לרדיוס MA, ו־B על המשך MA. לכן ∢BAD = 90 מעלות – המשולש ABD ישר זווית ב־A.
AB = √(0 − (−16))² + (18 − 6)² = √256 + 144 = √400 = 20📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
היתר הוא BD = 1003 (מסעיף ג). AB הוא הניצב שליד הזווית:
cos∢ABD = ABBD = 201003 = 60100 = 0.6📐 במשולש ישר זוויתcos = ניצב לידיתר
∢ABD = 53.13
✅ פתרון סופי: ∢ABD ≈ 53.13 מעלות

סעיף ה – אורך הקטע CK

נחשב את שטח המשולש MCK לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: MC , CK והזווית ∢MCK.
הנקודות C , M , A , B על ישר אחד: AC קוטר שעובר דרך המרכז M, ו־B על המשך MA. לכן ∢CBD = ∢ABD = 53.13 (סעיף ד).
בסעיף ג הראינו BD = CD, כלומר המשולש BCD שווה שוקיים, ולכן: ∢BCD = ∢CBD = 53.13📐 משולש שווה שוקייםמול צלעות שוות – זוויות שוות
M על CB ו־K על CD, ולכן ∢MCK = ∢BCD = 53.13.
MC הוא רדיוס: MC = 10.
SMCK = 12 · MC · CK · sin(∢MCK)📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin(∢)
90 = 12 · 10 · CK · sin 53.13
sin 53.13 ≈ 0.8, ולכן:
90 = 12 · 10 · 0.8 · CK = 4 · CK
CK = 904 = 22.5
בדיקה: 22.5 < CD = 33.3, כלומר K באמת על הקטע ✓
✅ פתרון סופי: CK = 22.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אy = 34x + 18 ; (x + 24)² + y² = 100
סעיף בD(0 , −463)
סעיף גBD = CD = 1003
סעיף ד53.13 מעלות
סעיף הCK = 22.5
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 41 – משיק למעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – הנדסה אנליטית: טרפז ישר זווית

📄 נוסח השאלה

בסרטוט טרפז ישר זווית ABCD (∢ABC = 90 מעלות, AD ∥ BC). הקודקוד B נמצא על החלק השלילי של ציר ה־x. נתון: A(0 , 4), אורך הצלע AB הוא 5.

א. מצאו את שיעורי הקודקוד B.

ב. מצאו את משוואת הצלע BC.

נתון כי משוואת האלכסון AC היא y = −13x + 4.

ג. מצאו את אורך הצלע BC.

הנקודה M היא נקודת החיתוך של אלכסוני הטרפז.

ד. הוכיחו: △DMA ∼ △BMC.

נתון כי אורך הקטע AD הוא 3.

ה. מצאו פי כמה גדול שטח המשולש BMC משטח המשולש DMA.

סרטוט לשאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – הקודקוד B

הנקודה B על ציר ה־x, לכן B(x , 0) עם x < 0. משתמשים באורך AB = 5:
5 = √(x − 0)² + (0 − 4)²📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
מעלים בריבוע:
25 = x² + 16
x² = 9
x = 3  או  x = −3
B על החלק השלילי של ציר ה־x, לכן x = −3.
✅ פתרון סופי: B(−3 , 0)

סעיף ב – משוואת הצלע BC

mAB = 4 − 00 − (−3) = 43📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁
∢ABC = 90 מעלות, כלומר BC ⊥ AB:
43 · mBC = −1 ⟸ mBC = −34📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1
y − 0 = −34(x − (−3))📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)
y = −34x − 94
✅ פתרון סופי: y = −34x − 94

סעיף ג – אורך הצלע BC

הקודקוד C הוא החיתוך של BC עם האלכסון AC. משווים:
−34x − 94 = −13x + 4
כופלים את שני האגפים ב־12 (מכנה משותף):
−9x − 27 = −4x + 48
מעבירים אגפים:
−9x + 4x = 48 + 27
−5x = 75
x = −15
y = −13 · (−15) + 4 = 5 + 4 = 9
כלומר C(−15 , 9).
BC = √(−15 − (−3))² + (9 − 0)²📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
BC = √(−12)² + 9² = √144 + 81 = √225 = 15
✅ פתרון סופי: BC = 15

סעיף ד – הוכחת הדמיון

בודקים את המשולשים DMA ו־BMC:
1. ∢DMA = ∢BMC📐 זוויות קודקודיותזוויות קודקודיות שוות
2. ∢MAD = ∢MCB📐 ישרים מקביליםזוויות מתחלפות בין מקבילים שוות
(הזווית ∢MAD והזווית ∢MCB הן מתחלפות בין המקבילים AD ∥ BC והחותך AC).
3. △DMA ∼ △BMC📐 משפט דמיוןז.ז – שתי זוויות שוות
✅ פתרון סופי: △DMA ∼ △BMC לפי ז.ז

סעיף ה – יחס השטחים

בדמיון △DMA ∼ △BMC הצלע AD מתאימה לצלע CB. יחס הדמיון:
k = BCAD = 153 = 5
SBMCSDMA = 5² = 25📐 יחס שטחים במשולשים דומיםS₁S₂ = k²
✅ פתרון סופי: שטח BMC גדול פי 25

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אB(−3 , 0)
סעיף בy = −34x − 94
סעיף גBC = 15
סעיף דדמיון ז.ז
סעיף הפי 25
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 26 – מציאת קו ישר מקביל ומאונך 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 4x²x² − 9 + a. a הוא פרמטר.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. הוכיחו כי הפונקציה f(x) היא זוגית.

נתון כי גרף הפונקציה f(x) חותך את ציר ה־x בנקודה שבה x = √3.

ג. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 2 בפונקציה f(x) וענו על הסעיפים ד–ו.

ד. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. (2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגה. (3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. (4) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה.

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = f(x − 7).

ו. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x). (2) האם הפונקציה g(x) היא זוגית? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

x² − 9 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0
x² ≠ 9
x ≠ 3  ,  x ≠ −3
✅ פתרון סופי: x ≠ ±3

סעיף ב – הפונקציה זוגית

מציבים −x במקום x:
f(−x) = 4(−x)²(−x)² − 9 + a📐 פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)
= 4x²x² − 9 + a = f(x)📐 ריבוע של מספר נגדי(−x)² = x²
גם תחום ההגדרה x ≠ ±3 סימטרי סביב 0. לכן f(x) זוגית ✓
✅ פתרון סופי: f(−x) = f(x) ← זוגית

סעיף ג – הערך של a

הנקודה (√3 , 0) על הגרף, לכן f(√3) = 0:
4 · (√3)²(√3)² − 9 + a = 0
4 · 33 − 9 + a = 0📐 ריבוע של שורש(√a)² = a
12−6 + a = 0
−2 + a = 0
a = 2
✅ פתרון סופי: a = 2

סעיף ד (1) – חיתוך עם הצירים

מעכשיו f(x) = 4x²x² − 9 + 2.
ציר ה־y – מציבים x = 0:
f(0) = 00 − 9 + 2 = 0 + 2 = 2  ←  (0 , 2)
ציר ה־x – פותרים f(x) = 0:
4x²x² − 9 + 2 = 0
כופלים ב־(x² − 9) (לא אפס בתחום):
4x² + 2(x² − 9) = 0
4x² + 2x² − 18 = 0📐 פתיחת סוגרייםa(b + c) = ab + ac
6x² = 18
x² = 3
x = √3  או  x = −√3
שניהם בתחום ההגדרה (√3 ≈ 1.73).
✅ פתרון סופי: (0 , 2) , (√3 , 0) , (−√3 , 0)

סעיף ד (2) – נקודת קיצון

גוזרים. הנגזרת של הקבוע 2 היא 0, ואת השבר גוזרים לפי נגזרת של מנה עם u = 4x² , v = x² − 9:
f′(x) = 8x(x² − 9) − 4x² · 2x(x² − 9)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²
f′(x) = 8x³ − 72x − 8x³(x² − 9)²
f′(x) = −72x(x² − 9)²
−72x = 0  ⟸  x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
המכנה (x² − 9)² תמיד חיובי, לכן סימן f′ הוא סימן −72x. טבלה (כולל x = ±3 שמחוץ לתחום):
x < −3−3−3 < x < 000 < x < 33x > 3
f′+✕+0−✕−
f↗✕↗מקס׳↘✕↘
הצבות לבדיקת הסימן: f′(−1) = 7264 > 0 , f′(1) = −7264 < 0.
f(0) = 2
✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , 2)

סעיף ד (3) – עלייה וירידה

לפי הטבלה בסעיף הקודם:📐 עלייה וירידהf′ > 0 ← עולהf′ < 0 ← יורדת
✅ פתרון סופי: עולה: x < −3 , −3 < x < 0   יורדת: 0 < x < 3 , x > 3

סעיף ד (4) – אסימפטוטות

אנכיות – איפה שהמכנה מתאפס והמונה לא: ב־x = ±3 המונה 4 · 9 = 36 ≠ 0.
x = 3  ,  x = −3
אופקית – בשבר 4x²x² − 9 החזקה הגבוהה במונה ובמכנה שווה (2), לכן לוקחים את יחס המקדמים:
4x²x² − 9 → 41 = 4📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות ← y = מקדם במונהמקדם במכנה
y = 4 + 2 = 6
✅ פתרון סופי: x = 3 , x = −3 , y = 6

סעיף ה – סקיצה

מסמנים: אסימפטוטות x = ±3 ו־y = 6, חיתוכים (0 , 2) , (±√3 , 0) ומקסימום (0 , 2).
משמאל ל־x = −3 הגרף עולה מ־y = 6 ל־+∞. באמצע הגרף עולה מ־−∞ עד המקסימום ויורד ל־−∞. מימין ל־x = 3 הוא יורד מ־+∞ אל y = 6. הגרף סימטרי סביב ציר ה־y (פונקציה זוגית).
xyx=-3x=3y=6(0 , 2)(-√3 , 0)(√3 , 0)
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ו – הפונקציה g(x) = f(x − 7)

(1) g(x) = f(x − 7) היא הזזה של f ב־7 יחידות ימינה. כל אסימפטוטה אנכית זזה 7 ימינה, והאופקית לא משתנה:
x = −3 + 7 = 4  ,  x = 3 + 7 = 10📐 הזזה אופקיתf(x − k) ← הזזה ימינה ב־k
y = 6
(2) הגרף של f סימטרי סביב x = 0, ולכן הגרף של g סימטרי סביב x = 7 – לא סביב ציר ה־y.
דוגמה: g(−4) מוגדרת (−4 ≠ 4 , 10), אבל g(4) לא מוגדרת. לכן לא ייתכן g(−4) = g(4).
תחום ההגדרה לא סימטרי סביב 0📐 פונקציה זוגיתg(−x) = g(x) לכל x
✅ פתרון סופי: (1) x = 4 , x = 10 , y = 6   (2) לא זוגית

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף אx ≠ ±3
סעיף בזוגית: f(−x) = f(x)
סעיף גa = 2
סעיף ד(0 , 2) , (±√3 , 0) ; מקסימום (0 , 2) ; עולה x < −3 , −3 < x < 0 ; יורדת 0 < x < 3 , x > 3 ; x = ±3 , y = 6
סעיף הסקיצה
סעיף וx = 4 , x = 10 , y = 6 ; לא זוגית
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 49 – חקירת פונקציית מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציית שורש ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 2x − 4√5x − 16.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה־x.

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

פונקציית הנגזרת f′(x) מוגדרת בתחום x > 3.2.

ה. (1) קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = 4 ו־x = 13.

הגרפים I–IV לשאלה 7
✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

5x − 16 ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשמה שבתוך השורש ≥ 0
5x ≥ 16
x ≥ 165 = 3.2
✅ פתרון סופי: x ≥ 3.2

סעיף ב – חיתוך עם ציר ה־x

פותרים f(x) = 0:
2x − 4√5x − 16 = 0
2x = 4√5x − 16
מחלקים ב־2:
x = 2√5x − 16
מעלים בריבוע את שני האגפים:
x² = 4(5x − 16)📐 ריבוע של שורש(√a)² = a
x² = 20x − 64
x² − 20x + 64 = 0
x1,2 = 20 ± √(−20)² − 4 · 1 · 642 · 1📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b² − 4ac2a
= 20 ± √400 − 2562 = 20 ± √1442 = 20 ± 122
x = 322 = 16  או  x = 82 = 4
אחרי העלאה בריבוע חייבים לבדוק בפונקציה המקורית:
בדיקה: f(4) = 8 − 4√4 = 8 − 8 = 0 ✓
בדיקה: f(16) = 32 − 4√64 = 32 − 32 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: (4 , 0) , (16 , 0)

סעיף ג – נקודות קיצון

גוזרים: הנגזרת של 2x היא 2, ואת השורש גוזרים לפי הנוסחה עם g(x) = 5x − 16 , g′(x) = 5:
f′(x) = 2 − 4 · 52√5x − 16📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)
f′(x) = 2 − 202√5x − 16 = 2 − 10√5x − 16
2 − 10√5x − 16 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
10√5x − 16 = 2
10 = 2√5x − 16
√5x − 16 = 5
מעלים בריבוע:
5x − 16 = 25
5x = 41
x = 8.2
f(8.2) = 16.4 − 4√41 − 16 = 16.4 − 4√25 = 16.4 − 20 = −3.6
טבלת סימנים (הצבות: f′(4) = 2 − 102 = −3 , f′(13) = 2 − 107 > 0):
x3.23.2 < x < 8.28.2x > 8.2
f′−0+
fמקס׳ קצה↘מינ׳↗
גם קצה התחום x = 3.2 הוא נקודת קיצון: מימינו הפונקציה יורדת, לכן זה מקסימום (קצה).
f(3.2) = 6.4 − 4√16 − 16 = 6.4 − 0 = 6.4
✅ פתרון סופי: מינימום (8.2 , −3.6) ; מקסימום קצה (3.2 , 6.4)

סעיף ד – סקיצה

מתחילים בנקודת הקצה (3.2 , 6.4), יורדים דרך (4 , 0) עד המינימום (8.2 , −3.6), ועולים דרך (16 , 0) והלאה.
xy(3.2 , 6.4)(4 , 0)(8.2 , -3.6)(16 , 0)
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ה (1) – הגרף של f′(x)

מה ידוע על f′(x) = 2 − 10√5x − 16:
• כש־x מתקרב ל־3.2 מימין, √5x − 16 מתקרב ל־0, ולכן f′ → −∞ (הגרף יורד לאורך האסימפטוטה x = 3.2).
• f′ = 0 רק ב־x = 8.2 – הגרף חותך את ציר ה־x פעם אחת.📐 עלייה וירידהf′ < 0 ← f יורדתf′ > 0 ← f עולה
• כש־x גדל, 10√5x − 16 → 0, ולכן f′ → 2 – הגרף מתקרב לקו אופקי מעל ציר ה־x.
גרף II מתחיל למעלה, גרף III כולו מעל הציר, וגרף IV כולו מתחת לציר (לא חותך אותו). רק גרף I עולה מ־−∞, חותך את ציר ה־x פעם אחת ונשאר חיובי.
✅ פתרון סופי: גרף I

סעיף ה (2) – השטח

בין 4 ל־8.2 הנגזרת שלילית (מתחת לציר), ובין 8.2 ל־13 היא חיובית (מעל הציר). לכן מחלקים לשני שטחים.
הפונקציה הקדומה של f′(x) היא f(x) עצמה:
∫ f′(x) dx = f(x)📐 אינטגרל מסוים∫ab f′(x) dx = f(b) − f(a)
מחשבים ערכים: f(4) = 0 , f(8.2) = −3.6 , f(13) = 26 − 4√65 − 16 = 26 − 4 · 7 = −2.
שטח 1 (מתחת לציר – לוקחים את הערך החיובי):
S₁ = −[f(8.2) − f(4)] = −[−3.6 − 0] = 3.6
שטח 2 (מעל הציר):
S₂ = f(13) − f(8.2) = −2 − (−3.6) = 1.6
S = 3.6 + 1.6 = 5.2📐 שטח מתחת לצירS = −∫ab f(x) dx כש־f < 0
✅ פתרון סופי: S = 5.2 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף אx ≥ 3.2
סעיף ב(4 , 0) , (16 , 0)
סעיף גמינימום (8.2 , −3.6) ; מקסימום קצה (3.2 , 6.4)
סעיף דסקיצה
סעיף הגרף I ; שטח 5.2
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ונקודות קיצון בחקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471 · קורס אינטגרלים 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון: מתחם ציבורי

📄 נוסח השאלה

אדריכלית נוף תכננה מתחם ציבורי. המתחם מורכב משלושה חלקים המחוברים זה לזה: מבואה – המלבן ABCD, שביל גישה – המלבן BEFC, גן פסלים – הריבוע EGHK. הנקודות A , B , E , G נמצאות על ישר אחד, כמתואר בסרטוט.

אורך הקטע AG הוא 8 מטרים. אורך הצלע EG גדול פי 2 מאורך הצלע AB. נסמן ב־x את אורך הצלע AB.

א. הביעו באמצעות x את אורך הצלע BE.

נתון כי שטח המבואה הוא 1 מ"ר.

ב. (1) הביעו באמצעות x את אורך הצלע AD. (2) הביעו באמצעות x את השטח הכולל של המתחם.

ג. מצאו את הערך של x שבעבורו השטח הכולל של המתחם הוא מינימלי.

ד. האם ייתכן שהשטח הכולל של המתחם הוא 9 מ"ר? נמקו את תשובתכם.

סרטוט לשאלה 8
✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – הצלע BE

AB = x , EG = 2x (פי 2 מ־AB). הקטע AG מורכב משלושה חלקים:
AB + BE + EG = AG
x + BE + 2x = 8
BE = 8 − x − 2x = 8 − 3x
אורך חייב להיות חיובי: 8 − 3x > 0, כלומר 0 < x < 83.
✅ פתרון סופי: BE = 8 − 3x

סעיף ב – AD והשטח הכולל

(1) שטח המבואה (מלבן ABCD) הוא 1:
x · AD = 1📐 שטח מלבןS = אורך · רוחב
AD = 1x
(2) מחשבים כל חלק:
מבואה: 1
שביל הגישה BEFC: BC = AD = 1x (צלעות נגדיות במלבן ABCD):
SBEFC = (8 − 3x) · 1x = 8x − 3
גן הפסלים: (2x)² = 4x²📐 שטח ריבועS = a²
S(x) = 1 + 8x − 3 + 4x²
S(x) = 4x² + 8x − 2
✅ פתרון סופי: (1) AD = 1x   (2) S(x) = 4x² + 8x − 2

סעיף ג – השטח המינימלי

גוזרים (את 8x כותבים כ־8x−1):
S′(x) = 8x − 8x²📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹(1x)′ = −1x²
8x − 8x² = 0📐 נקודת קיצוןS′(x) = 0
כופלים ב־x² (חיובי):
8x³ − 8 = 0
x³ = 1
x = 1
טבלת סימנים (הצבות: S′(0.5) = 4 − 32 = −28 , S′(2) = 16 − 2 = 14):
x0 < x < 111 < x < 83
S′−0+
S↘מינ׳↗
S(1) = 4 + 8 − 2 = 10
✅ פתרון סופי: x = 1 מטר (השטח המינימלי 10 מ"ר)

סעיף ד – שטח של 9 מ"ר?

לפי סעיף ג, השטח הכולל הקטן ביותר האפשרי הוא S(1) = 10 מ"ר (מינימום יחיד בתחום, ולכן מוחלט).
S(x) ≥ 10 > 9
לכן השטח הכולל לא יכול להיות 9 מ"ר.
✅ פתרון סופי: לא ייתכן – השטח המינימלי הוא 10 מ"ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אBE = 8 − 3x
סעיף בAD = 1x ; S = 4x² + 8x − 2
סעיף גx = 1
סעיף דלא ייתכן (מינימום 10)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות