בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 471 – קיץ 2025 מועד ב'

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 8 שאלות בשלושה פרקים: סטטיסטיקה והסתברות, גאומטרייה, וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. עונים על 5 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 20 נקודות לכל שאלה. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2025 מועד ב'

שאלון 471 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 7
שאלון 471 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 7
שאלון 471 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 7
שאלון 471 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 7
שאלון 471 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 7
שאלון 471 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 7
שאלון 471 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 7
עמוד 7 מתוך 7

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – התפלגות נורמלית

📄 נוסח השאלה

הציונים במבחן כניסה לאוניברסיטה מתפלגים נורמלית וסטיית התקן היא 8. 93.3% מן הנבחנים קיבלו ציון נמוך מ־92.

א. מצאו את ממוצע הציונים במבחן.

44% מן הנבחנים, אלה שהציונים שלהם היו הגבוהים ביותר, התקבלו לאוניברסיטה.

ב. האם נבחן שהציון שלו 82 התקבל לאוניברסיטה? נמקו את תשובתכם.

חלק מן הנבחנים מוגדרים מצטיינים, והשאר אינם מוגדרים מצטיינים. נבחנים שהציון שלהם גבוה מ־90 מוגדרים מצטיינים.

ג. מצאו כמה אחוזים מן הנבחנים התקבלו לאוניברסיטה, והם אינם מצטיינים.

2,338 נבחנים התקבלו לאוניברסיטה, והם אינם מצטיינים.

ד. על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה נבחנים סך הכול ניגשו למבחן הכניסה?

לנבחנים שלא התקבלו לאוניברסיטה הייתה אפשרות לגשת למבחן נוסף. גם הציונים במבחן הנוסף מתפלגים נורמלית והממוצע שלהם הוא 81. נדב ניגש לשני המבחנים והציון שלו בכל אחד מהם הוא 72. ציון התקן של נדב בשני המבחנים זהה.

ה. מצאו את סטיית התקן במבחן הנוסף.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – ממוצע הציונים

93.3% קיבלו פחות מ־92, כלומר בטבלה צריך למצוא את 0.933.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.933: הוא נמצא בשורה 1.5 ובעמודה 0.00, כלומר z = 1.5. זה ציון התקן של 92.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.5 עמודה 0.00
1.5 = 92 − x̄8📐 ציון תקןz = x − x̄S
כופלים ב־8:
92 − x̄ = 12 → x̄ = 92 − 12 = 80
✅ פתרון סופי: x̄ = 80

סעיף ב – האם ציון 82 התקבל

44% העליונים התקבלו, כלומר מתחת לציון הסף נמצאים 100% − 44% = 56%. בטבלה צריך למצוא את 0.560.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.560: הוא נמצא בשורה 0.1 ובעמודה 0.05, כלומר z = 0.15. זה ציון התקן של ציון הסף.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.1 עמודה 0.05
0.15 = x − 808📐 ציון תקןz = x − x̄S
x − 80 = 0.15 · 8 = 1.2 → x = 81.2
82 > 81.2 – הציון 82 גבוה מציון הסף.
✅ פתרון סופי: כן – ציון הסף הוא 81.2, ו־82 > 81.2

סעיף ג – התקבלו ואינם מצטיינים

אלה שהציון שלהם בין 81.2 ל־90. ציון התקן של 90:
z = 90 − 808 = 108 = 1.25📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 1.2 ובעמודה 0.05 רשום 0.894. כלומר 89.4% קיבלו פחות מ־90.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.2 עמודה 0.05
מסעיף ב: 56% קיבלו פחות מ־81.2. מי שבין שני הציונים – מחסרים:
0.894 − 0.560 = 0.334📐 שטח בין שני ציוניםהאחוז מתחת לציון הגבוה פחות האחוז מתחת לציון הנמוך
✅ פתרון סופי: 33.4%

סעיף ד – כמה נבחנים ניגשו

2,338 נבחנים הם 33.4% מכולם. נסמן את המספר הכולל ב־N:
0.334 · N = 2,338📐 חלק מתוך הכללמספר = N · אחוז
N = 2,3380.334 = 7,000
✅ פתרון סופי: 7,000 נבחנים

סעיף ה – סטיית התקן במבחן הנוסף

ציון התקן של נדב במבחן הראשון:
z = 72 − 808 = −88 = −1📐 ציון תקןz = x − x̄S
במבחן הנוסף ציון התקן שלו זהה, z = −1, והממוצע 81:
−1 = 72 − 81S = −9S
כופלים ב־S:
−S = −9 → S = 9
✅ פתרון סופי: S = 9

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אx̄ = 80
סעיף בכן (82 > 81.2)
סעיף ג33.4%
סעיף ד7,000 נבחנים
סעיף הS = 9
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – ציון תקן 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סטטיסטיקה ורגרסיה

📄 נוסח השאלה

יואב בדק את הקשר הליניארי בין מרחק הריצה שלו (המשתנה x) לבין מהירות הריצה שלו (המשתנה y) ב־6 מסלולים שונים א'–ו'. הנתונים מוצגים בטבלה.

המסלולמרחק הריצה (ק"מ) – xמהירות הריצה (קמ"ש) – y
א'213
ב'4.512
ג'612.5
ד'7?
ה'89.5
ו'8.58

א. חשבו את מרחק הריצה הממוצע של יואב ב־6 המסלולים.

ב. הראו כי סטיית התקן של מרחק הריצה של יואב ב־6 המסלולים היא Sx = √5912.

יואב מצא כי ממוצע מהירות הריצה שלו ב־6 המסלולים שווה למהירות הריצה שלו במסלול ד'.

ג. חשבו את מהירות הריצה של יואב במסלול ד'.

נתונים המספרים: 0.95 , 0.24 , −1 , −0.86. אחד מהם הוא מקדם המתאם r.

ד. קבעו איזה מן המספרים הוא מקדם המתאם r, ונמקו את קביעתכם.

יואב חישב את סטיית התקן של מהירות הריצה שלו ב־6 המסלולים ומצא כי Sy = √3712.

ה. (1) מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x. (2) על פי ישר הרגרסיה, מהו הניבוי למהירות הריצה של יואב למרחק של 4 ק"מ?

לפניכם שלוש דיאגרמות פיזור I–III. הנקודות בכל אחת מן הדיאגרמות מתארות את נתוני הריצה של יואב ב־6 המסלולים.

ו. קבעו באיזו מן הדיאגרמות I–III מסורטט ישר הרגרסיה שמצאתם בסעיף ה. נמקו את קביעתכם.

דיאגרמות הפיזור I–III לשאלה 2
✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – מרחק ממוצע

x̄ = 2 + 4.5 + 6 + 7 + 8 + 8.56📐 ממוצעx̄ = x1 + x2 + … + xnn
= 366 = 6
✅ פתרון סופי: x̄ = 6 ק"מ

סעיף ב – סטיית התקן של המרחק

מרחק מהממוצע 6 בריבוע:
(2 − 6)2 = (−4)2 = 16
(4.5 − 6)2 = (−1.5)2 = 2.25
(6 − 6)2 = 02 = 0
(7 − 6)2 = 12 = 1
(8 − 6)2 = 22 = 4
(8.5 − 6)2 = 2.52 = 6.25
Sx2 = 16 + 2.25 + 0 + 1 + 4 + 6.256 = 29.56 = 5912📐 שונות וסטיית תקןS2 = (x1 − x̄)2 + … + (xn − x̄)2nS = √S2
Sx = √5912 ≈ 2.217
✅ פתרון סופי: Sx = √5912 ✓

סעיף ג – המהירות במסלול ד'

נסמן את המהירות במסלול ד' ב־y. הממוצע שווה ל־y:
13 + 12 + 12.5 + y + 9.5 + 86 = y📐 ממוצעȳ = y1 + … + ynn
55 + y6 = y
כופלים ב־6:
55 + y = 6y → 55 = 5y → y = 11
✅ פתרון סופי: y = 11 קמ"ש

סעיף ד – מקדם המתאם

ככל שהמרחק גדל המהירות קטנה (13, 12, 12.5, 11, 9.5, 8) – הקשר שלילי, ולכן r שלילי: 0.95 ו־0.24 נפסלים.
r = −1 אומר שכל הנקודות על ישר אחד בדיוק – וזה לא המצב כאן (למשל המהירות במסלול ג' עולה לעומת ב').
הקשר שלילי וחזק אבל לא מושלם.
✅ פתרון סופי: r = −0.86

סעיף ה (1) – ישר הרגרסיה

מכפלות המרחקים מהממוצעים (x̄ = 6 , ȳ = 11):
(2 − 6)(13 − 11) = (−4)(2) = −8
(4.5 − 6)(12 − 11) = (−1.5)(1) = −1.5
(6 − 6)(12.5 − 11) = (0)(1.5) = 0
(7 − 6)(11 − 11) = (1)(0) = 0
(8 − 6)(9.5 − 11) = (2)(−1.5) = −3
(8.5 − 6)(8 − 11) = (2.5)(−3) = −7.5
סכום המכפלות: A = −8 − 1.5 + 0 + 0 − 3 − 7.5 = −20
m = r · SySx = An · Sx2📐 שיפוע ישר הרגרסיהm = r · SySxr = An · Sx · Sy
m = −206 · 5912 = −2029.5 ≈ −0.678
בדיקה: r = −206 · 2.217 · 1.756 ≈ −0.86 – מתאים לסעיף ד ✓
y − 11 = −0.678(x − 6)📐 ישר הרגרסיהy − ȳ = m(x − x̄)
y = −0.678x + 4.068 + 11
y ≈ −0.678x + 15.07
✅ פתרון סופי: y = −0.678x + 15.07

סעיף ה (2) – ניבוי ל־4 ק"מ

מציבים x = 4:
y = −0.678 · 4 + 15.07 = −2.712 + 15.07 ≈ 12.36
✅ פתרון סופי: y ≈ 12.36 קמ"ש

סעיף ו – באיזו דיאגרמה ישר הרגרסיה

ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים (6 , 11), שנמצאת "באמצע" ענן הנקודות.📐 נקודה על ישר הרגרסיה(x̄ , ȳ)
לכן חלק מהנקודות מעל הישר וחלק מתחתיו. בדיאגרמה I הישר מתחת לכל הנקודות, ובדיאגרמה III מעל כולן – שתיהן לא מתאימות.
✅ פתרון סופי: דיאגרמה II

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אx̄ = 6
סעיף בSx = √5912 ✓
סעיף ג11 קמ"ש
סעיף דr = −0.86
סעיף ה (1)y = −0.678x + 15.07
סעיף ה (2)≈ 12.36
סעיף ודיאגרמה II
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – מציאת קו הרגרסיה (קו הניבוי)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות

📄 נוסח השאלה

בשתי מגירות א' ו־ב' יש שני סוגי פירות: תפוחים ואגסים. במגירה א' יש 7 תפוחים ו־11 אגסים. במגירה ב' יש 4 תפוחים ו־6 אגסים. מוציאים באקראי פרי אחד ממגירה א' ואחר כך מוציאים באקראי פרי אחד ממגירה ב'.

א. מהי ההסתברות להוציא שני פירות מסוגים שונים?

ב. (1) מהי ההסתברות להוציא לפחות תפוח אחד? (2) ידוע שהוציאו לפחות תפוח אחד. מהי ההסתברות שהוציאו שני תפוחים?

החזירו כל פרי למגירה שממנה הוציאו אותו. העבירו משתי המגירות את כל הפירות למגירה ג', שהייתה ריקה. לאחר מכן הוסיפו x תפוחים למגירה ג'. מוציאים באקראי שני פירות בזה אחר זה (ללא החזרה) ממגירה ג'.

נתון כי ההסתברות להוציא שני אגסים היא 835.

ג. מצאו את הערך של x.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – שני פירות מסוגים שונים

במגירה א' 18 פירות: P(ת) = 718, P(א) = 1118. במגירה ב' 10 פירות: P(ת) = 410, P(א) = 610.
סוגים שונים: תפוח מא' ואגס מב', או אגס מא' ותפוח מב'. ההוצאות בלתי תלויות, ולכן כופלים לאורך כל ענף ומחברים את הענפים:
P = 718 · 610 + 1118 · 410📐 עץ הסתברויותכופלים לאורך ענף, מחברים בין ענפים
= 42180 + 44180 = 86180 = 4390 ≈ 0.478
✅ פתרון סופי: 4390

סעיף ב (1) – לפחות תפוח אחד

המשלים של "לפחות תפוח אחד" הוא "שני אגסים":
P = 1 − P(אגס, אגס)📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)
= 1 − 1118 · 610 = 1 − 66180 = 114180 = 1930
✅ פתרון סופי: 1930

סעיף ב (2) – שני תפוחים, בידיעה שלפחות אחד

P(שני תפוחים) = 718 · 410 = 28180
"שני תפוחים" כלול ב"לפחות תפוח אחד", ולכן החיתוך הוא "שני תפוחים":
P = 28180114180📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 28114 = 1457 ≈ 0.246
✅ פתרון סופי: 1457

סעיף ג – הערך של x

במגירה ג': תפוחים 7 + 4 + x = 11 + x, אגסים 11 + 6 = 17. סך הכול 28 + x פירות.
שני אגסים ללא החזרה – אחרי האגס הראשון נשארים 16 אגסים מתוך 27 + x:
1728 + x · 1627 + x = 835📐 ללא החזרהאחרי כל הוצאה המונה והמכנה קטנים ב־1
כופלים בהצלבה:
272 · 35 = 8(28 + x)(27 + x)
9,520 = 8(28 + x)(27 + x)
מחלקים ב־8:
1,190 = (28 + x)(27 + x)
1,190 = 756 + 28x + 27x + x2📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
x2 + 55x − 434 = 0
(x + 62)(x − 7) = 0📐 טרינוםp · q = c , p + q = b : 62 · (−7) = −434 , 62 − 7 = 55
x = 7 או x = −62 (נפסל – מספר תפוחים לא שלילי)
בדיקה: 1735 · 1634 = 2721190 = 835 ✓
✅ פתרון סופי: x = 7

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א4390
סעיף ב (1)1930
סעיף ב (2)1457
סעיף גx = 7
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 19 – הסתברות מותנת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – מעוין במערכת צירים

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מעוין ABCD. אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה E. נתון כי משוואת הצלע AB היא y = −1.75x + 12.75, שיעור ה־x של הקודקוד A הוא −3, ושיעורי הקודקוד C הם (−11 , 2).

א. (1) מצאו את שיעורי הנקודה E. (2) מצאו את שיפוע האלכסון AC.

ב. (1) מצאו את משוואת האלכסון BD. (2) מצאו את שיעורי הקודקוד B.

ג. מצאו את גודל הזווית ABE.

הנקודה G נמצאת על הקטע DE כך שגודל הזווית GAB הוא 97 מעלות.

ד. מצאו את אורך הקטע GE.

סרטוט לשאלה 4
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א (1) – שיעורי E

מציבים x = −3 במשוואת AB:
y = −1.75 · (−3) + 12.75 = 5.25 + 12.75 = 18 , A(−3 , 18)
במעוין האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן E אמצע AC:📐 אלכסוני מעויןחוצים זה את זה ומאונכים זה לזה
E = (−3 + (−11)2 , 18 + 22) = (−7 , 10)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
✅ פתרון סופי: E(−7 , 10)

סעיף א (2) – שיפוע AC

mAC = 18 − 2−3 − (−11) = 168 = 2📐 שיפועm = y2 − y1x2 − x1
✅ פתרון סופי: mAC = 2

סעיף ב (1) – משוואת BD

במעוין BD ⊥ AC, והאלכסון עובר דרך E(−7 , 10):
m · 2 = −1 → m = −12📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y − 10 = −12(x + 7)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y = −0.5x − 3.5 + 10 = −0.5x + 6.5
✅ פתרון סופי: y = −0.5x + 6.5

סעיף ב (2) – שיעורי B

B היא החיתוך של AB ו־BD:
−1.75x + 12.75 = −0.5x + 6.5
−1.75x + 0.5x = 6.5 − 12.75 → −1.25x = −6.25 → x = 5
y = −0.5 · 5 + 6.5 = 4
✅ פתרון סופי: B(5 , 4)

סעיף ג – הזווית ABE

המשולש AEB ישר זווית ב־E (האלכסונים מאונכים). מחשבים את הניצבים:
AE = √(−7 + 3)2 + (10 − 18)2 = √16 + 64 = √80 ≈ 8.944📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
BE = √(5 + 7)2 + (4 − 10)2 = √144 + 36 = √180 ≈ 13.416
tan(∢ABE) = AEBE = √80√180 = 23📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
∢ABE ≈ 33.69
✅ פתרון סופי: ∢ABE ≈ 33.69 מעלות

סעיף ד – אורך GE

במשולש AEB:
∢BAE = 180 − 90 − 33.69 = 56.31📐 סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש = 180 מעלות
∢GAB = 97 מורכבת מ־∢BAE ומ־∢GAE:
∢GAE = 97 − 56.31 = 40.69
המשולש AEG ישר זווית ב־E (G על האלכסון DE). GE מול הזווית, AE ליד הזווית:
tan(40.69) = GE√80📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
GE = √80 · tan(40.69) = 8.944 · 0.860 ≈ 7.69
✅ פתרון סופי: GE ≈ 7.69

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א (1)E(−7 , 10)
סעיף א (2)2
סעיף ב (1)y = −0.5x + 6.5
סעיף ב (2)B(5 , 4)
סעיף ג33.69 מעלות
סעיף דGE ≈ 7.69
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 26 – מציאת קו ישר מקביל ומאונך 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – מעגל, מיתרים וחפיפה

📄 נוסח השאלה

נתון מעגל החותך את החלק החיובי של ציר ה־y בנקודות A ו־D, כמתואר בסרטוט. BD ו־AC הם מיתרים במעגל הנחתכים בנקודה E. נתון כי המיתר BD מקביל לציר ה־x.

א. (1) הסבירו מדוע AB הוא קוטר במעגל. (2) הוכיחו כי ∢CBD = ∢DAC.

נתון: BE = AE.

ב. הוכיחו כי △CBE ≅ △DAE.

נתון: E(−7.5 , 10) , AE = 12.5.

ג. מצאו את שיעורי הנקודות B ו־A.

הנקודה M היא מרכז המעגל.

ד. מצאו את משוואת המעגל.

ה. (1) מהו אורך הצלע BC? נמקו את תשובתכם. (2) חשבו את היקף המרובע BCEM.

סרטוט לשאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א (1) – למה AB קוטר

AD על ציר ה־y ו־BD מקביל לציר ה־x. הצירים מאונכים, ולכן ∢ADB = 90.
זווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר, ולכן AB קוטר.📐 זווית ישרה במעגלזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר
✅ פתרון סופי: AB קוטר ✓

סעיף א (2) – ∢CBD = ∢DAC

∢CBD ו־∢DAC הן זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת CD, ולכן הן שוות.📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת – שוות
✅ פתרון סופי: ∢CBD = ∢DAC ✓

סעיף ב – הוכחת החפיפה

BE = AE – נתון.
∢CBE = ∢DAE – סעיף א (2).
∢BEC = ∢AED – זוויות קודקודיות.📐 זוויות קודקודיותזוויות קודקודיות שוות
צלע ושתי הזוויות שלידה שוות, ולכן המשולשים חופפים.📐 משפט חפיפה ז.צ.ז.שתי זוויות והצלע שביניהן
התאמה: C ↔ D , B ↔ A , E ↔ E.
✅ פתרון סופי: △CBE ≅ △DAE ✓

סעיף ג – שיעורי B ו־A

BD מקביל לציר ה־x ועובר דרך E(−7.5 , 10), ו־D על ציר ה־y: D(0 , 10). לכן ED = 0 − (−7.5) = 7.5.
במשולש AED הזווית ב־D ישרה (סעיף א):
AD2 = AE2 − ED2 = 12.52 − 7.52 = 156.25 − 56.25 = 100📐 משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
AD = 10 → A(0 , 10 + 10) = (0 , 20)
BE = AE = 12.5, ו־B משמאל ל־E על אותו ישר אופקי:
xB = −7.5 − 12.5 = −20
✅ פתרון סופי: B(−20 , 10) , A(0 , 20)

סעיף ד – משוואת המעגל

AB קוטר, ולכן המרכז M הוא אמצע AB:
M = (0 + (−20)2 , 20 + 102) = (−10 , 15)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
R2 = MA2 = (0 + 10)2 + (20 − 15)2 = 100 + 25 = 125📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
(x + 10)2 + (y − 15)2 = 125📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
✅ פתרון סופי: (x + 10)2 + (y − 15)2 = 125

סעיף ה (1) – אורך BC

מהחפיפה (סעיף ב), BC מתאימה ל־AD:📐 צלעות מתאימותבמשולשים חופפים הצלעות המתאימות שוות
BC = AD = 10
✅ פתרון סופי: BC = 10

סעיף ה (2) – היקף המרובע BCEM

BC = 10 (סעיף ה (1)).
CE = DE = 7.5 – צלעות מתאימות בחפיפה.
EM = √(−10 + 7.5)2 + (15 − 10)2 = √6.25 + 25 = √31.25 ≈ 5.590📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
MB = R = √125 ≈ 11.180 – רדיוס.
P = 10 + 7.5 + 5.590 + 11.180 ≈ 34.27
✅ פתרון סופי: P ≈ 34.27 (בדיוק 17.5 + 7.5√5)

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אהסבר והוכחה
סעיף בהוכחה
סעיף גB(−20 , 10) , A(0 , 20)
סעיף ד(x + 10)2 + (y − 15)2 = 125
סעיף ה (1)BC = 10
סעיף ה (2)≈ 34.27
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 35 – מציאת משוואת מעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית והזזה

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 12x(x + 4)2.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x). (3) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x. (4) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

הישר y = k וגרף הפונקצייה f(x) נפגשים בנקודה אחת בדיוק, k > 0.

ג. מצאו את הערך של k.

נתונה הפונקצייה g(x) = f(x) + 1.

ד. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה g(x). (2) בעבור הערך של k שמצאתם, כמה נקודות משותפות יש לישר y = k ולגרף הפונקצייה g(x)? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

(x + 4)2 ≠ 0 → x ≠ −4📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0
✅ פתרון סופי: x ≠ −4

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אנכית: המכנה מתאפס ב־x = −4, והמונה שם 12 · (−4) = −48 ≠ 0:
x = −4📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0
אופקית: במונה חזקה 1, במכנה חזקה 2 (אחרי פתיחת הריבוע). החזקה במכנה גדולה יותר:
y = 0📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במכנה גדולה מבמונה ← y = 0
✅ פתרון סופי: x = −4 , y = 0

סעיף א (3) – חיתוך עם ציר ה־x

12x(x + 4)2 = 0 → 12x = 0 → x = 0📐 שבר שווה לאפסab = 0 ⟺ a = 0
✅ פתרון סופי: (0 , 0)

סעיף א (4) – נקודת קיצון

נגזרת של מנה: u = 12x , u′ = 12 ; v = (x + 4)2:
v′ = 2(x + 4)📐 נגזרת של ביטוי בחזקה[(ax + b)n]′ = n(ax + b)n − 1 · a
f′(x) = 12(x + 4)2 − 12x · 2(x + 4)(x + 4)4📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
מוציאים גורם משותף 12(x + 4) מהמונה ומצמצמים:
f′(x) = 12(x + 4)[(x + 4) − 2x](x + 4)4 = 12(4 − x)(x + 4)3
12(4 − x) = 0 → x = 4📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
f(4) = 4882 = 4864 = 34
בודקים את סימן הנגזרת (כולל משני צידי x = −4):
f′(−5) = 12 · 9(−1)3 = −108 < 0 ← יורדת
f′(0) = 4864 > 0 ← עולה
f′(5) = 12 · (−1)93 < 0 ← יורדת
xf′(x)f(x)
x < −4−↘ יורדת
−4לא מוגדרתלא מוגדרת
−4 < x < 4+↗ עולה
40מקסימום
x > 4−↘ יורדת
✅ פתרון סופי: מקסימום (4 , 34)

סעיף ב – סקיצה

מסמנים: אסימפטוטות x = −4 ו־y = 0, חיתוך (0 , 0), מקסימום (4 , 34). משמאל ל־−4 הגרף מתחת לציר ה־x ויורד למינוס אינסוף. מימין ל־−4 הוא עולה ממינוס אינסוף דרך הראשית עד המקסימום, ואז יורד ומתקרב ל־0 מלמעלה.
xyx = −4(4, ¾)(0, 0)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – הערך של k

הפונקצייה חיובית רק כש־x > 0, ושם היא עולה מ־0 עד 34 ואחר כך יורדת חזרה לכיוון 0.
• אם 0 < k < 34 – הישר חותך את הגרף פעמיים (פעם בעלייה, פעם בירידה).
• אם k > 34 – אין נקודה משותפת.
• אם k = 34 – הישר נוגע בגרף רק בנקודת המקסימום.
✅ פתרון סופי: k = 34

סעיף ד (1) – אסימפטוטות של g(x)

g(x) = f(x) + 1 – אותו גרף מוזז 1 למעלה. האסימפטוטה האנכית לא זזה, והאופקית עולה ב־1.📐 הזזה אנכיתf(x) + c ← הזזה של c למעלה
✅ פתרון סופי: x = −4 , y = 1

סעיף ד (2) – כמה נקודות משותפות

הישר y = 34 פוגש את g כש־f(x) + 1 = 34, כלומר כש־f(x) = −14.
• משמאל ל־−4: f יורדת מ־0 (מתחת לציר) עד מינוס אינסוף – מקבלת את הערך −14 פעם אחת.
• בין −4 ל־0: f עולה ממינוס אינסוף עד 0 – מקבלת את הערך −14 פעם אחת.
• כש־x > 0: f חיובית – אין.
(בחישוב: x = −28 ± 16√3, כלומר x ≈ −55.7 ו־x ≈ −0.29.)
✅ פתרון סופי: 2 נקודות משותפות

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)x ≠ −4
סעיף א (2)x = −4 , y = 0
סעיף א (3)(0 , 0)
סעיף א (4)מקסימום (4 , 34)
סעיף גk = 34
סעיף ד (1)x = −4 , y = 1
סעיף ד (2)2
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 50 – חקירת פונקציית מנה עם הזזה וערך מוחלט
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציית שורש וגרף הנגזרת

📄 נוסח השאלה

הפונקצייה f(x) מוגדרת בתחום x ≤ 1.5, ופונקציית הנגזרת שלה f′(x) מוגדרת בתחום x < 1.5. לפונקצייה f(x) יש בדיוק שתי נקודות קיצון פנימיות. לפניכם שלושה גרפים (1)–(3). אחד מהם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x).

הגרפים (1)–(3) לשאלה 7

א. קבעו איזה מן הגרפים (1)–(3) מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). נמקו את קביעתכם.

נתון: f(x) = (x2 + 1) · √3 − 2x.

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

ג. (1) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן. (2) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ה. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x) ועל ידי ציר ה־x.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – איזה גרף מתאר את f′(x)

שתי נקודות קיצון פנימיות ← הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן בדיוק פעמיים, כלומר הגרף שלה חותך את ציר ה־x בדיוק פעמיים.📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0 והנגזרת מחליפה סימן
בגרף (1) אין שתי נקודות חיתוך עם ציר ה־x, ובגרף (2) יש שלוש. רק בגרף (3) יש בדיוק שתיים.
בנוסף, בגרף (3) הנגזרת יורדת למינוס אינסוף ליד הישר המקווקו x = 1.5 – כמו נגזרת עם √3 − 2x במכנה.
✅ פתרון סופי: גרף (3)

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

ציר ה־x:
(x2 + 1) · √3 − 2x = 0📐 מכפלה שווה לאפסA · B = 0 ⟺ A = 0 או B = 0
x2 + 1 > 0 תמיד, ולכן רק √3 − 2x = 0 → x = 1.5.
ציר ה־y:
f(0) = (0 + 1) · √3 = √3 ≈ 1.732
✅ פתרון סופי: עם ציר ה־x: (1.5 , 0)
✅ פתרון סופי: עם ציר ה־y: (0 , √3)

סעיף ג (1) – נקודות קיצון

נגזרת של מכפלה: u = x2 + 1 , u′ = 2x ; v = √3 − 2x:
v′ = −22√3 − 2x = −1√3 − 2x📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)
f′(x) = 2x√3 − 2x + (x2 + 1) · −1√3 − 2x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′
מכנה משותף √3 − 2x:
2x√3 − 2x = 2x(3 − 2x)√3 − 2x📐 שורש כפול שורש√A · √A = A
f′(x) = 6x − 4x2 − x2 − 1√3 − 2x = −5x2 + 6x − 1√3 − 2x
−5x2 + 6x − 1 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
כופלים ב־−1: 5x2 − 6x + 1 = 0. פותרים בנוסחת השורשים:
x = 6 ± √36 − 2010 = 6 ± 410📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
x = 1 או x = 210 = 0.2
f(1) = 2 · √1 = 2
f(0.2) = 1.04 · √2.6 ≈ 1.677
סימן הנגזרת:
f′(0) = −1√3 < 0 ← יורדת
f′(0.5) = −1.25 + 3 − 1√2 = 0.75√2 > 0 ← עולה
f′(1.25) = −7.8125 + 7.5 − 1√0.5 < 0 ← יורדת
xf′(x)f(x)
x < 0.2−↘ יורדת
0.20מינימום
0.2 < x < 1+↗ עולה
10מקסימום
1 < x < 1.5−↘ יורדת
1.5קצה התחוםמינימום קצה
בקצה x = 1.5: f(1.5) = 0, והפונקצייה יורדת עד שם – מינימום קצה.
✅ פתרון סופי: מינימום (0.2 , 1.677)
✅ פתרון סופי: מקסימום (1 , 2)
✅ פתרון סופי: מינימום קצה (1.5 , 0)

סעיף ג (2) – עלייה וירידה

מהטבלה שבסעיף ג (1):
✅ פתרון סופי: עלייה: 0.2 < x < 1
✅ פתרון סופי: ירידה: x < 0.2 או 1 < x < 1.5

סעיף ד – סקיצה

מסמנים: (0 , √3), מינימום (0.2 , 1.677), מקסימום (1 , 2) ומינימום קצה (1.5 , 0). משמאל הגרף יורד מלמעלה עד המינימום, עולה עד 2 ויורד עד 0 בקצה.
xy(0.2, 1.68)(1, 2)(1.5, 0)(0, √3)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה – השטח בין גרף הנגזרת לציר ה־x

גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x ב־x = 0.2 וב־x = 1, וביניהן הנגזרת חיובית. זה השטח הסגור היחיד בין גרף הנגזרת לציר. הפונקצייה הקדומה של f′ היא f:
S = ∫10.2 f′(x) dx = f(1) − f(0.2)📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)
= 2 − 1.677 ≈ 0.323
✅ פתרון סופי: S ≈ 0.323 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף אגרף (3)
סעיף ב(1.5 , 0) , (0 , √3)
סעיף ג (1)מינ׳ (0.2 , 1.677) , מקס׳ (1 , 2) , מינ׳ קצה (1.5 , 0)
סעיף ג (2)עולה 0.2 < x < 1
סעיף ה≈ 0.323
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ונקודות קיצון בחקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון: משולש מתחת לגרף פונקציה רציונלית

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה f(x) = x − 6x − 8 בתחום x > 8. הנקודה O היא ראשית הצירים.

הנקודה A נמצאת על גרף הפונקצייה f(x) בתחום x > 8. מן הנקודה A העבירו אנך לציר ה־x, החותך אותו בנקודה B. הנקודה C נמצאת על ציר ה־x מימין לנקודה B.

נתון: OB = 2 · BC. נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה A.

א. (1) הביעו באמצעות t את אורך הקטע OC. (2) הביעו באמצעות t את שטח המשולש AOC.

ב. מצאו את הערך של t שבעבורו שטח המשולש AOC הוא מינימלי.

סרטוט לשאלה 8
✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – אורך OC

B מתחת ל־A, ולכן B(t , 0) ו־OB = t.
t = 2 · BC → BC = t2
OC = OB + BC = t + t2 = 1.5t
✅ פתרון סופי: OC = 1.5t

סעיף א (2) – שטח המשולש AOC

הבסיס OC על ציר ה־x, והגובה הוא AB – ה־y של A:
AB = f(t) = t − 6t − 8
S = 1.5t · t − 6t − 82📐 שטח משולשS = בסיס · גובה2
= 1.5t(t − 6)2(t − 8) = 3t(t − 6)4(t − 8)
✅ פתרון סופי: S(t) = 3t(t − 6)4(t − 8)

סעיף ב – שטח מינימלי

S(t) = 34 · t2 − 6tt − 8. גוזרים את השבר לפי נגזרת של מנה (u = t2 − 6t , u′ = 2t − 6 ; v = t − 8 , v′ = 1):
S′(t) = 34 · (2t − 6)(t − 8) − (t2 − 6t)(t − 8)2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
פותחים סוגריים במונה:
(2t − 6)(t − 8) = 2t2 − 16t − 6t + 48 = 2t2 − 22t + 48📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
2t2 − 22t + 48 − t2 + 6t = t2 − 16t + 48
t2 − 16t + 48 = 0📐 נקודת קיצוןS′(t) = 0
(t − 4)(t − 12) = 0📐 טרינוםp · q = c , p + q = b : (−4)(−12) = 48 , −4 − 12 = −16
t = 12 או t = 4 (נפסל, כי t > 8)
בודקים שזה מינימום:
t = 10 : 100 − 160 + 48 = −12 < 0 ← יורדת
t = 14 : 196 − 224 + 48 = 20 > 0 ← עולה
S(12) = 3 · 12 · 64 · 4 = 21616 = 13.5
✅ פתרון סופי: t = 12 (השטח המינימלי 13.5)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א (1)OC = 1.5t
סעיף א (2)S = 3t(t − 6)4(t − 8)
סעיף בt = 12 (S = 13.5)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות