בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 471 – קיץ 2024 מועד ב'

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 8 שאלות בשלושה פרקים: סטטיסטיקה והסתברות, גאומטרייה, וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. במועד זה עונים על 4 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 25 נקודות לכל שאלה. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2024 מועד ב'

שאלון 471 קיץ 2024 מועד ב' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2024 מועד ב' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2024 מועד ב' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2024 מועד ב' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2024 מועד ב' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2024 מועד ב' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – התפלגות נורמלית

📄 נוסח השאלה

במשתלה מסוימת האורכים של גבעולי פרחים מתפלגים נורמלית. הממוצע של אורך גבעולי הפרחים במשתלה הוא 20 ס"מ. במשתלה ממיינים את הפרחים לשלוש קבוצות: קבוצה א' – פרחים שאורך הגבעול שלהם קצר מ־22 ס"מ. קבוצה ב' – פרחים שאורך הגבעול שלהם בין 22 ס"מ ל־26 ס"מ. קבוצה ג' – שאר הפרחים. נתון כי שיעור הפרחים בקבוצה א' הוא 65.5%.

א. מצאו את סטיית התקן של אורך גבעולי הפרחים במשתלה.

ב. מצאו מהו אחוז הפרחים שבקבוצה ג' מתוך כל הפרחים במשתלה.

יום אחד היו במשתלה 2,000 פרחים סך הכול. במשתלה החליטו להכין זרים מכל הפרחים שבקבוצה ב' כך שבכל זר יהיו 10 פרחים.

ג. על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה זרים הכינו במשתלה ביום זה?

במשתלה אחרת, שגם בה האורכים של גבעולי הפרחים מתפלגים נורמלית, אחוז הפרחים שאורך הגבעול שלהם ארוך מ־24 ס"מ שווה לאחוז הפרחים שבקבוצה ב'. נתון כי סטיית התקן של אורך גבעולי הפרחים בשתי המשתלות זהה.

ד. מצאו את הממוצע של אורך גבעולי הפרחים במשתלה האחרת.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – סטיית התקן

65.5% מהפרחים קצרים מ־22. נחפש בתוך הטבלה (בטבלה הזאת מסומן Φ(z)) את 0.655: הוא נמצא בשורה 0.4 ובעמודה 0.00, כלומר ציון התקן של 22 הוא 0.4.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.4 עמודה 0.00
0.4 = (22 − 20) : S = 2 : S📐 ציון תקןz = x − x̄S
S = 2 : 0.4 = 5
✅ פתרון סופי: S = 5 ס"מ

סעיף ב – אחוז הפרחים בקבוצה ג'

קבוצה ג' – פרחים ארוכים מ־26 ס"מ. נחשב את ציון התקן של 26:
z = (26 − 20) : 5 = 6 : 5 = 1.2📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 1.2 ובעמודה 0.00 רשום 0.885, כלומר 88.5% קצרים מ־26.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.2 עמודה 0.00
אנחנו רוצים "ארוכים מ־26" – עושים 1 פחות:
1 − 0.885 = 0.115
✅ פתרון סופי: 11.5%

סעיף ג – כמה זרים

קבוצה ב' – בין 22 ל־26: מה שמתחת ל־26 פחות מה שמתחת ל־22:
0.885 − 0.655 = 0.23
0.23 · 2000 = 460📐 מספר = הסתברות · סך הכולn = P · N
בכל זר 10 פרחים:
460 : 10 = 46
✅ פתרון סופי: 46 זרים

סעיף ד – הממוצע במשתלה האחרת

במשתלה האחרת 23% מהפרחים ארוכים מ־24 ס"מ (כמו קבוצה ב'), וסטיית התקן גם היא 5. קצרים מ־24: עושים 1 פחות – 1 − 0.23 = 0.77.
נחפש בתוך הטבלה את 0.770: הוא נמצא בשורה 0.7 ובעמודה 0.04, כלומר ציון התקן של 24 הוא 0.74.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.7 עמודה 0.04
0.74 = (24 − x̄) : 5📐 ציון תקןz = x − x̄S
כופלים ב־5:
3.7 = 24 − x̄
x̄ = 24 − 3.7 = 20.3
✅ פתרון סופי: x̄ = 20.3 ס"מ

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אS = 5 ס"מ
סעיף ב11.5%
סעיף ג46 זרים
סעיף דx̄ = 20.3 ס"מ
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – ציון תקן 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – מקדם מתאם ורגרסיה

📄 נוסח השאלה

לפניכם שלוש טבלאות שבהן מוצגים ערכים של שני משתנים, שנמדדו בתצפיות שונות: משתנה x ומשתנה y.

טבלה 1

x12345
y246810
טבלה 2
x45678
y911192217
טבלה 3
x1617181920
y3534333231

נסמן את מקדם המתאם בין x ל־y ב־r.

א. התאימו כל אחד מן ההיגדים I–III לטבלאות 1–3:
I. 0 < r < 1
II. r = 1
III. r = −1

הנתונים בטבלה 2 מתייחסים לקבוצה של 5 ספורטאים. בטבלה מתואר הקשר בין מספר הפעמים בשבוע שכל אחד מן הספורטאים מתאמן (המשתנה x) ובין מספר השעות בשבוע שהוא מתאמן (המשתנה y). נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x היא y = 2.7x + b, b הוא פרמטר.

ב. מצאו כמה פעמים בשבוע בממוצע מתאמן ספורטאי בקבוצה זו, וכמה שעות בשבוע בממוצע הוא מתאמן.

ג. מצאו את ערך הפרמטר b.

נתון כי היחס בין סטיות התקן של הנתונים בטבלה 2 הוא SySx = 3.45.

ד. חשבו את הערך של r.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – התאמת ההיגדים

טבלה 1: בכל שורה y = 2x (2, 4, 6, 8, 10). כל הנקודות על ישר עולה ← r = 1.
טבלה 3: בכל שורה x + y = 51, כלומר y = 51 − x. כל הנקודות על ישר יורד ← r = −1.
טבלה 2: בדרך כלל כש־x גדל גם y גדל, אבל לא תמיד (מ־7 ל־8: y יורד מ־22 ל־17). מגמה עולה אבל לא על ישר ← 0 < r < 1.
סיכום:📐 מקדם המתאםr = 1 ← ישר עולהr = −1 ← ישר יורד0 < r < 1 ← מגמה עולה
✅ פתרון סופי: טבלה 1 – היגד II , טבלה 2 – היגד I , טבלה 3 – היגד III

סעיף ב – הממוצעים

x̄ = 4 + 5 + 6 + 7 + 85 = 305 = 6📐 ממוצעx̄ = סכום הערכיםמספר הערכים
ȳ = 9 + 11 + 19 + 22 + 175 = 785 = 15.6
✅ פתרון סופי: 6 פעמים בשבוע , 15.6 שעות בשבוע

סעיף ג – הפרמטר b

ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים (6 , 15.6):
15.6 = 2.7 · 6 + b📐 ישר הרגרסיה עובר בממוצעיםȳ = a · x̄ + b
15.6 = 16.2 + b
b = 15.6 − 16.2 = −0.6
✅ פתרון סופי: b = −0.6

סעיף ד – מקדם המתאם

2.7 = r · 3.45📐 שיפוע ישר הרגרסיהa = r · SySx
r = 2.73.45 ≈ 0.78
מתאים לסעיף א: 0 < 0.78 < 1 ✓
✅ פתרון סופי: r ≈ 0.78

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א1 – II , 2 – I , 3 – III
סעיף ב6 , 15.6
סעיף גb = −0.6
סעיף דr ≈ 0.78
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – מציאת קו הרגרסיה (קו הניבוי)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471 · קורס סטטיסטיקה 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות

📄 נוסח השאלה

גלית ורועי משחקים משחק. כל סיבוב במשחק יכול להסתיים באחת משלוש האפשרויות האלה: ניצחון של גלית, ניצחון של רועי או תיקו. ההסתברות שגלית תנצח בסיבוב כלשהו גדולה פי 3 מן ההסתברות שרועי ינצח בסיבוב כלשהו. ההסתברות שסיבוב יסתיים בתיקו היא 0.28.

א. מצאו את ההסתברות שגלית תנצח בסיבוב כלשהו במשחק.

במשחק שגלית ורועי משחקים יש שני סיבובים. התוצאות של הסיבובים אינן תלויות זו בזו.

ב. מהי ההסתברות ששום סיבוב לא יסתיים בתיקו?

ג. מהי ההסתברות שגלית תנצח לפחות באחד מן הסיבובים?

ד. ידוע שגלית ניצחה לפחות באחד מן הסיבובים. מהי ההסתברות שאחד מן הסיבובים הסתיים בתיקו?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – גלית מנצחת בסיבוב

נסמן ב־p את ההסתברות שרועי מנצח. אז גלית מנצחת בהסתברות 3p. שלוש האפשרויות מכסות הכול:
3p + p + 0.28 = 1📐 סכום ההסתברויותסכום כל האפשרויות = 1
4p = 0.72
p = 0.18
גלית: 3 · 0.18 = 0.54
✅ פתרון סופי: 0.54

סעיף ב – אין תיקו בשני הסיבובים

ההסתברות שסיבוב לא נגמר בתיקו: 1 − 0.28 = 0.72. הסיבובים בלתי תלויים:
0.72 · 0.72 = 0.5184📐 מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)
✅ פתרון סופי: 0.5184

סעיף ג – גלית מנצחת לפחות פעם אחת

המשלים: גלית לא מנצחת באף סיבוב. בכל סיבוב היא לא מנצחת בהסתברות 1 − 0.54 = 0.46:
גלית לא מנצחת בשניהם: 0.46 · 0.46 = 0.2116
לפחות ניצחון אחד: 1 − 0.2116 = 0.7884📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(Ā)
✅ פתרון סופי: 0.7884

סעיף ד – הסתברות מותנית

אם גלית ניצחה לפחות פעם אחת, היה לכל היותר תיקו אחד. "אחד מהסיבובים בתיקו" = סיבוב אחד גלית ניצחה וסיבוב אחד תיקו – בשני סדרים אפשריים:
ניצחון ואז תיקו: 0.54 · 0.28 = 0.1512
תיקו ואז ניצחון: 0.28 · 0.54 = 0.1512
יחד: 0.1512 + 0.1512 = 0.3024
תיקו, בידיעה שגלית ניצחה לפחות פעם: P = 0.30240.7884📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 2873 ≈ 0.384
✅ פתרון סופי: 2873 ≈ 0.384

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.54
סעיף ב0.5184
סעיף ג0.7884
סעיף ד2873 ≈ 0.384
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 19 – הסתברות מותנת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – הנדסה אנליטית: דלתון

📄 נוסח השאלה

נתון דלתון ABCD (AB = AD , CB = CD). הקודקוד D מונח על ציר ה־y, שיעור ה־y של הקודקוד D קטן מ־9 (ראו סרטוט). נתון: A(1 , 9) , C(6 , 4). אורך הצלע AD הוא √10.

א. (1) מצאו את שיעורי הקודקוד D. (2) מצאו את משוואת הישר BD.

E היא נקודת החיתוך של אלכסוני הדלתון.

ב. מצאו את שיעורי הנקודה E.

הנקודה F נמצאת על הקטע EC.

ג. הוכיחו כי △ABF ≅ △ADF.

ד. מצאו את שיעורי הנקודה F שעבורה המרובע FBAD הוא מעוין.

ה. לפניכם שתי טענות I–II. קבעו בעבור כל טענה אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעותיכם. I. המשולש ABC הוא ישר זווית. II. הדלתון ABCD הוא בר חסימה במעגל.

סרטוט לשאלה 4
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הקודקוד D והישר BD

(1) D(0 , d) על ציר ה־y. משתמשים ב־AD = √10:
√10 = √(0 − 1)² + (d − 9)²📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
מעלים בריבוע:
10 = 1 + (d − 9)²
(d − 9)² = 9
d − 9 = 3  או  d − 9 = −3
נתון d < 9, ולכן d = 6 ← D(0 , 6).
(2) בדלתון האלכסון הראשי AC מאונך לאלכסון BD:
mAC = 4 − 96 − 1 = −55 = −1📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁
−1 · mBD = −1 ⟸ mBD = 1📐 אלכסוני דלתוןהאלכסונים מאונכים זה לזהm₁ · m₂ = −1
הישר עובר ב־D(0 , 6):
y = x + 6
✅ פתרון סופי: (1) D(0 , 6)   (2) y = x + 6

סעיף ב – הנקודה E

משוואת AC (שיפוע −1 דרך A(1 , 9)):
y − 9 = −1(x − 1) ⟸ y = −x + 10📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)
E הוא החיתוך של AC ו־BD:
x + 6 = −x + 10
2x = 4  ⟸  x = 2
y = 2 + 6 = 8
✅ פתרון סופי: E(2 , 8)

סעיף ג – הוכחת החפיפה

1. AB = AD📐 נתוןצלעות סמוכות שוות בדלתון
2. AF צלע משותפת.
3. ∢BAF = ∢DAF📐 אלכסון ראשי בדלתוןחוצה את זוויות הראש
(הנקודה F על EC, כלומר על האלכסון הראשי AC.)
4. △ABF ≅ △ADF📐 משפט חפיפהצ.ז.צ
✅ פתרון סופי: △ABF ≅ △ADF לפי צ.ז.צ

סעיף ד – הנקודה F שבעבורה FBAD מעוין

במעוין האלכסונים חוצים זה את זה. E הוא אמצע BD (האלכסון הראשי של הדלתון חוצה את BD), ולכן E חייב להיות גם אמצע AF:
2 = 1 + xF2  ⟸  xF = 3📐 אמצע קטעxM = x₁ + x₂2 , yM = y₁ + y₂2
8 = 9 + yF2  ⟸  yF = 7
בדיקה: F(3 , 7) על הישר y = −x + 10 (−3 + 10 = 7) ובין E ל־C ✓. האלכסונים AF ו־BD חוצים זה את זה ומאונכים – לכן FBAD מעוין.
✅ פתרון סופי: F(3 , 7)

סעיף ה – שתי טענות

קודם מוצאים את B: E אמצע BD:
xB = 2 · 2 − 0 = 4   ,   yB = 2 · 8 − 6 = 10 ← B(4 , 10)
טענה I: בודקים אם AB ⊥ BC:
mAB = 10 − 94 − 1 = 13   ,   mBC = 4 − 106 − 4 = −3
13 · (−3) = −1📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1
לכן ∢ABC = 90 מעלות – נכונה.
טענה II: מהחפיפה △ABC ≅ △ADC (צ.צ.צ) נובע ∢ADC = ∢ABC = 90 מעלות.
∢B + ∢D = 90 + 90 = 180📐 מרובע בר חסימהסכום זוויות נגדיות 180 מעלות
לכן הדלתון בר חסימה במעגל – נכונה.
✅ פתרון סופי: I – נכונה , II – נכונה

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אD(0 , 6) ; y = x + 6
סעיף בE(2 , 8)
סעיף גחפיפה צ.ז.צ
סעיף דF(3 , 7)
סעיף הI נכונה , II נכונה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 26 – מציאת קו ישר מקביל ומאונך 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – הנדסה אנליטית: משולש חסום במעגל

📄 נוסח השאלה

המשולש ABC חסום במעגל. נתון כי מרכז המעגל M נמצא בנקודה (4 , 8). המעגל עובר דרך ראשית הצירים O (ראו סרטוט). הנקודה A היא אחת מנקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה־y.

א. (1) מצאו את משוואת המעגל. (2) מצאו את שיעורי הנקודה A.

הצלע AB מקבילה לציר ה־x. נתון כי שיפוע הישר BC הוא 1.

ב. (1) מצאו את משוואת הישר BC. (2) מצאו את שיעורי הקודקוד C.

ג. מצאו את גודל הזווית ACB.

הנקודה E היא אמצע הצלע BC.

ד. מצאו את אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש AEC.

סרטוט לשאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – המעגל והנקודה A

(1) המעגל עובר ב־O(0 , 0), לכן R = MO:
R² = (0 − 4)² + (0 − 8)² = 16 + 64 = 80📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
(x − 4)² + (y − 8)² = 80📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²
(2) על ציר ה־y: x = 0:
16 + (y − 8)² = 80
(y − 8)² = 64
y − 8 = 8  או  y − 8 = −8
y = 16  או  y = 0
y = 0 היא הראשית O, ולכן A(0 , 16).
✅ פתרון סופי: (1) (x − 4)² + (y − 8)² = 80   (2) A(0 , 16)

סעיף ב – הישר BC והקודקוד C

AB מקביל לציר ה־x, לכן ל־B שיעור y = 16:
(x − 4)² + 64 = 80 ⟸ (x − 4)² = 16
x = 8  או  x = 0
x = 0 זו A, ולכן B(8 , 16).
(1) הישר BC – שיפוע 1 דרך B(8 , 16):
y − 16 = 1 · (x − 8) ⟸ y = x + 8📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)
(2) מציבים במשוואת המעגל:
(x − 4)² + (x + 8 − 8)² = 80
x² − 8x + 16 + x² = 80
2x² − 8x − 64 = 0
מחלקים ב־2:
x² − 4x − 32 = 0
x = 4 ± √16 + 1282 = 4 ± 122📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b² − 4ac2a
x = 8 (זו B) או x = −4 ⟸ y = −4 + 8 = 4
✅ פתרון סופי: (1) y = x + 8   (2) C(−4 , 4)

סעיף ג – הזווית ACB

מחשבים את הזווית של כל אחד מהישרים CA ו־CB עם הכיוון החיובי של ציר ה־x:
mCA = 16 − 40 − (−4) = 124 = 3📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁
tan∢ = 3 ⟸ ∢ = 71.57📐 שיפוע וזווית עם ציר xtan∢ = m
mCB = 1 ⟸ tan∢ = 1 ⟸ ∢ = 45
הזווית בין שני הישרים היא ההפרש:
∢ACB = 71.57 − 45 = 26.57
✅ פתרון סופי: ∢ACB ≈ 26.57 מעלות

סעיף ד – רדיוס המעגל החוסם את AEC

E = (8 + (−4)2 , 16 + 42) = (2 , 10)📐 אמצע קטעxM = x₁ + x₂2 , yM = y₁ + y₂2
הנקודה E על הקטע CB, ולכן ∢ACE = ∢ACB ≈ 26.57 מעלות. הצלע שמול הזווית הזאת במשולש AEC היא AE:
AE = √(2 − 0)² + (10 − 16)² = √4 + 36 = √40📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
√40sin 26.57 = 2R📐 משפט הסינוסיםasin∢A = 2R
sin 26.57 ≈ 0.4472 ⟸ 2R = 6.3250.4472 ≈ 14.14
R ≈ 7.07 (בדיוק √50 = 5√2)
✅ פתרון סופי: R = 5√2 ≈ 7.07

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א(x − 4)² + (y − 8)² = 80 ; A(0 , 16)
סעיף בy = x + 8 ; C(−4 , 4)
סעיף ג26.57 מעלות
סעיף דR = 5√2 ≈ 7.07
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 44 – משולש כלשהו חסום במעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x + 45x − x² − b. b הוא פרמטר.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן (הביעו באמצעות b, אם יש צורך).

נתון כי הישר y = −1 משיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודת המינימום שלה.

ג. מצאו את b.

הציבו b = 2 בפונקציה f(x) וענו על סעיפים ד–ה.

ד. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה. (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). (3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x), שפונקציית הנגזרת שלה מקיימת g′(x) = f(x) + 1. תחום ההגדרה של g(x) זהה לתחום ההגדרה של f(x).

ה. קבעו אם לפונקציה g(x) יש נקודות קיצון. נמקו את קביעתכם.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

5x − x² ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0
x(5 − x) ≠ 0📐 הוצאת גורם משותףab − ac = a(b − c)
x ≠ 0  ,  x ≠ 5
✅ פתרון סופי: x ≠ 0 , x ≠ 5

סעיף ב – נקודות קיצון

הנגזרת של הקבוע b היא 0. גוזרים את השבר לפי נגזרת של מנה עם u = x + 4 , v = 5x − x² , v′ = 5 − 2x:
f′(x) = 1 · (5x − x²) − (x + 4)(5 − 2x)(5x − x²)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²
פותחים סוגריים במונה: (x + 4)(5 − 2x) = 5x − 2x² + 20 − 8x = −2x² − 3x + 20
המונה: 5x − x² − (−2x² − 3x + 20) = x² + 8x − 20
f′(x) = x² + 8x − 20(5x − x²)²
x² + 8x − 20 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
x = −8 ± √64 + 802 = −8 ± 122📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b² − 4ac2a
x = 2  או  x = −10
המכנה ריבוע (חיובי), לכן הסימן של f′ הוא הסימן של x² + 8x − 20 (פרבולה "מחייכת", שלילית בין השורשים):
x < −10−10−10 < x < 000 < x < 222 < x < 55x > 5
f′+0−✕−0+✕+
f↗מקס׳↘✕↘מינ׳↗✕↗
f(−10) = −6−50 − 100 − b = 125 − b
f(2) = 610 − 4 − b = 1 − b
✅ פתרון סופי: מקסימום (−10 , 125 − b) , מינימום (2 , 1 − b)

סעיף ג – הפרמטר b

משיק אופקי y = −1 בנקודת המינימום, כלומר ערך הפונקציה במינימום הוא −1:
1 − b = −1
b = 2
✅ פתרון סופי: b = 2

סעיף ד – אסימפטוטות, חיתוכים וסקיצה

מעכשיו f(x) = x + 45x − x² − 2.
(1) אנכיות: ב־x = 0 המונה 4, ב־x = 5 המונה 9 – שניהם ≠ 0 ← x = 0 , x = 5.
אופקית: החזקה במונה (1) קטנה מהחזקה במכנה (2), לכן השבר שואף ל־0, והפונקציה ל־0 − 2 = −2.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במונה קטנה יותר ← y = 0
y = −2
(2) ציר ה־y: x = 0 לא בתחום – אין חיתוך. ציר ה־x:
x + 45x − x² = 2
כופלים במכנה:
x + 4 = 10x − 2x²
2x² − 9x + 4 = 0
x = 9 ± √81 − 324 = 9 ± 74
x = 4  או  x = 0.5
(3) מקסימום (−10 , −1.96) , מינימום (2 , −1):
xyx=0x=5y=-2(2 , -1)(-10 , -1.96)(0.5 , 0)(4 , 0)
✅ פתרון סופי: (1) x = 0 , x = 5 , y = −2   (2) (0.5 , 0) , (4 , 0) , אין חיתוך עם ציר y

סעיף ה – האם ל־g(x) יש קיצון

g′(x) = f(x) + 1. קיצון של g יכול להיות רק היכן ש־g′ = 0 ו־g′ מחליפה סימן.
בתחום 0 < x < 5 הערך הקטן ביותר של f הוא המינימום −1, ולכן f(x) ≥ −1 ו־g′(x) = f(x) + 1 ≥ 0. היא מתאפסת רק ב־x = 2 ולא מחליפה סימן.
ב־x < 0 הערך הגדול ביותר של f הוא −1.96, ולכן g′ ≤ −0.96 < 0.
ב־x > 5 הפונקציה f עולה מ־−∞ אל האסימפטוטה y = −2, כלומר f < −2 ו־g′ < 0.
אין מקום שבו g′ מחליפה סימן.📐 קיצוןg′ = 0 וגם החלפת סימן
✅ פתרון סופי: אין ל־g(x) נקודות קיצון

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף אx ≠ 0 , 5
סעיף במקס׳ (−10 , 125 − b) , מינ׳ (2 , 1 − b)
סעיף גb = 2
סעיף דx = 0 , x = 5 , y = −2 ; (0.5 , 0) , (4 , 0)
סעיף האין קיצון
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 49 – חקירת פונקציית מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציית שורש ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x² · √−12x + 5.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ה. אחד מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את גרף פונקציית הנגזרת f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x) ועל ידי גרף הפונקציה a · f′(x) שווה ל־160. a הוא פרמטר שלילי.

ו. מצאו את הערך של a.

הגרפים I–IV לשאלה 7
✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

−12x + 5 ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורשמה שבתוך השורש ≥ 0
5 ≥ 12x
x ≤ 10
✅ פתרון סופי: x ≤ 10

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: f(0) = 0 · √5 = 0 ← (0 , 0).
ציר ה־x: מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים 0:
x² = 0  ⟸  x = 0
√−12x + 5 = 0  ⟸  x = 10
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (10 , 0)

סעיף ג – נקודות קיצון

כדי לקצר נסמן u = −12x + 5, כלומר f(x) = x² · √u ו־u′ = −12.
(√u)′ = u′2√u = −122√u = −14√u📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)
f′(x) = 2x · √u − x²4√u📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′
מכנה משותף 4√u (ו־√u · √u = u):
f′(x) = 8x · u − x²4√u
מציבים u = −12x + 5 במונה:
8x(−12x + 5) − x² = −4x² + 40x − x² = −5x² + 40x = 5x(8 − x)
f′(x) = 5x(8 − x)4√−12x + 5
5x(8 − x) = 0 ⟸ x = 0  או  x = 8📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
f(8) = 64 · √−4 + 5 = 64 · 1 = 64
המכנה חיובי; הסימן לפי 5x(8 − x). הצבות: f′(−1) < 0 , f′(1) > 0 , f′(9) < 0.
xx < 000 < x < 888 < x < 1010
f′−0+0−✕
f↘מינ׳↗מקס׳↘מינ׳ קצה
קצה התחום x = 10: f(10) = 0, ולפניו הפונקציה יורדת – מינימום (קצה).
✅ פתרון סופי: מינימום (0 , 0) , מקסימום (8 , 64) , מינימום קצה (10 , 0)

סעיף ד – סקיצה

יורדת מ־+∞ (משמאל) עד (0 , 0), עולה עד (8 , 64) ויורדת עד נקודת הקצה (10 , 0).
xy(0 , 0)(8 , 64)(10 , 0)
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ה – איזה גרף הוא f′(x)

לפי טבלת הסימנים: f′ < 0 משמאל ל־0, f′ > 0 בין 0 ל־8, ו־f′ < 0 בין 8 ל־10.📐 עלייה וירידהf′ > 0 ← עולהf′ < 0 ← יורדת
כלומר גרף f′ חותך את ציר ה־x בראשית (x = 0) ובנקודה חיובית (x = 8), חיובי ביניהן, ויורד ל־−∞ כשמתקרבים ל־10 (המכנה → 0).
גרפים I ו־II שליליים בין נקודות החיתוך – לא מתאימים. בגרף IV הגרף חיובי גם ב־x = 0 (השיא על ציר ה־y) – לא מתאים. גרף III חותך בראשית, חיובי אחריה ויורד בחדות – מתאים.
✅ פתרון סופי: גרף III

סעיף ו – הפרמטר a

נקודות החיתוך של f′ ו־a · f′: f′ = a · f′ ⟸ (1 − a)f′ = 0 ⟸ f′ = 0, כלומר x = 0 ו־x = 8.
בין 0 ל־8: f′ > 0 ו־a · f′ < 0 (כי a < 0). הגרף העליון הוא f′:
S = ∫08 [f′(x) − a · f′(x)] dx = (1 − a)∫08 f′(x) dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫ab [עליון − תחתון] dx
= (1 − a)[f(8) − f(0)] = (1 − a)(64 − 0) = 64(1 − a)📐 אינטגרל מסוים∫ab f′(x) dx = f(b) − f(a)
64(1 − a) = 160
1 − a = 2.5
a = −1.5
✅ פתרון סופי: a = −1.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף אx ≤ 10
סעיף ב(0 , 0) , (10 , 0)
סעיף גמינ׳ (0 , 0) , מקס׳ (8 , 64) , מינ׳ קצה (10 , 0)
סעיף הגרף III
סעיף וa = −1.5
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ונקודות קיצון בחקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471 · קורס אינטגרלים 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון: משולש מקסימלי

📄 נוסח השאלה

בסרטוט מתואר גרף הפונקציה f(x) = 3 − 6x בתחום x > 0. גרף הפונקציה חותך את ציר ה־x בנקודה A. מן הנקודה B(8 , 0) העבירו אנך לציר ה־x. C היא נקודה כלשהי על גרף הפונקציה. נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה C, 2 < t < 8. מן הנקודה C העבירו ישר המקביל לציר ה־x וחותך את האנך בנקודה D.

א. מצאו את שיעורי הנקודות A , C ו־D. הביעו את תשובותיכם באמצעות t, אם יש צורך.

ב. מצאו את שיעורי הנקודה C שבעבורה שטח המשולש ACD הוא מקסימלי.

ג. קבעו אם ייתכן ששטח המשולש ACD שווה ל־1. נמקו את קביעתכם.

סרטוט לשאלה 8
✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – הנקודות A , C , D

A: f(x) = 0:
3 − 6x = 0 ⟸ 6x = 3 ⟸ x = 2
C על הגרף עם x = t: C(t , 3 − 6t)
D על האנך x = 8, באותו גובה של C: D(8 , 3 − 6t)
✅ פתרון סופי: A(2 , 0) , C(t , 3 − 6t) , D(8 , 3 − 6t)

סעיף ב – שטח מקסימלי

הצלע CD אופקית: CD = 8 − t. הגובה מ־A (על ציר ה־x) אל CD הוא שיעור ה־y של C: 3 − 6t.
S(t) = (8 − t)(3 − 6t)2📐 שטח משולשS = צלע · גובה2
פותחים סוגריים:
(8 − t)(3 − 6t) = 24 − 48t − 3t + 6 = 30 − 3t − 48t
S(t) = 15 − 1.5t − 24t
S′(t) = −1.5 + 24t²📐 נגזרת של חזקה(1t)′ = −1t²
−1.5 + 24t² = 0📐 נקודת קיצוןS′(t) = 0
24t² = 1.5 ⟸ t² = 16 ⟸ t = 4 (כי t > 0)
הצבות: S′(3) = −1.5 + 249 > 0 , S′(5) = −1.5 + 2425 < 0:
t2 < t < 444 < t < 8
S′+0−
S↗מקס׳↘
f(4) = 3 − 64 = 1.5 ← C(4 , 1.5)
S(4) = 15 − 6 − 6 = 3
✅ פתרון סופי: C(4 , 1.5) (השטח המקסימלי 3)

סעיף ג – שטח של 1?

השטח משתנה ברציפות. כש־t מתקרב ל־2, הגובה 3 − 6t מתקרב ל־0 ולכן S → 0. ב־t = 4 השטח 3.
כלומר בין t = 2 ל־t = 4 השטח עובר את כל הערכים שבין 0 ל־3 – ובכלל זה 1.
ואפשר גם למצוא בדיוק:
15 − 1.5t − 24t = 1
כופלים ב־t:
1.5t² − 14t + 24 = 0
כופלים ב־2:
3t² − 28t + 48 = 0
t = 28 ± √784 − 5766 = 28 ± √2086📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b² − 4ac2a
t ≈ 2.26  או  t ≈ 7.07 – שניהם בתחום 2 < t < 8.
✅ פתרון סופי: כן, ייתכן (למשל t ≈ 2.26)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אA(2 , 0) , C(t , 3 − 6t) , D(8 , 3 − 6t)
סעיף בC(4 , 1.5)
סעיף גכן
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות