בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 471 – חורף 2022 (פברואר, נבצרים)

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 8 שאלות בשלושה פרקים: סטטיסטיקה, הסתברות וסדרות; גאומטרייה;, וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. עונים על 5 שאלות מתוך 8 (בלי חובה מכל פרק), 20 נקודות לכל שאלה. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2022 (פברואר, נבצרים)

שאלון 471 חורף 2022 (פברואר, נבצרים) – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 471 חורף 2022 (פברואר, נבצרים) – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 471 חורף 2022 (פברואר, נבצרים) – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 471 חורף 2022 (פברואר, נבצרים) – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 471 חורף 2022 (פברואר, נבצרים) – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 471 חורף 2022 (פברואר, נבצרים) – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – הסתברות: טבלה דו־ממדית

📄 נוסח השאלה

בסקר שנערך בין בני נוער בארץ בנושא "נוער בזמן הקורונה: עיסוקים מרכזיים" השתתפו 800 בנים ו־1,200 בנות. אחת השאלות בסקר התייחסה להקדשת הזמן ללימודים (שיעורים בזום, הכנת מטלות ושיעורי בית). על פי הסקר התברר כי 75% מהבנים ו־80% מהבנות הקדישו זמן ללימודים בתקופת משבר הקורונה. נבחר באופן אקראי משתתף בסקר.

א. מהי ההסתברות שנבחר בן שהקדיש זמן ללימודים?

ב. מהי ההסתברות שנבחר משתתף (בן או בת) שלא הקדיש זמן ללימודים?

ג. ידוע שנבחר משתתף שלא הקדיש זמן ללימודים. מהי ההסתברות שנבחר בן?

בכתבה בעיתון על הסקר נכתב כי מקרב בני הנוער שלא הקדישו זמן ללימודים, אחוז הבנים היה גבוה מזה של הבנות.

ד. האם על פי הסקר האמירה בכתבה נכונה? נמק.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – בן שהקדיש זמן

מחשבים מספרים: 0.75 · 800 = 600 בנים הקדישו זמן, 0.8 · 1,200 = 960 בנות.
הקדישו זמןלא הקדישוסה"כ
בנים600200800
בנות9602401,200
סה"כ1,5604402,000
P = 6002,000 = 0.3📐 הסתברותP = מספר המקרים הרצוייםמספר כל המקרים
✅ פתרון סופי: 0.3

סעיף ב – לא הקדיש זמן

P = 200 + 2402,000 = 4402,000 = 0.22
✅ פתרון סופי: 0.22

סעיף ג – בן, בידיעה שלא הקדיש זמן

P = 200440 = 511 ≈ 0.455📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 511 ≈ 0.455

סעיף ד – האם האמירה נכונה

מקרב 440 שלא הקדישו זמן: בנים 200440 ≈ 45.5%, בנות 240440 ≈ 54.5%.
אחוז הבנים נמוך מאחוז הבנות, ולכן האמירה לא נכונה.
✅ פתרון סופי: לא נכונה

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א0.3
סעיף ב0.22
סעיף ג511
סעיף דלא נכונה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 14 – טבלה דו ממדית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – התפלגות נורמלית

📄 נוסח השאלה

בשירות הטלפוני של חברת הביטוח "אלון" זמן ההמתנה של אדם למענה אנושי מתפלג נורמלית. זמן ההמתנה הממוצע של אדם למענה אנושי הוא 1.8 דקות. ידוע כי 30.8% מהאנשים שפונים לשירות הטלפוני של החברה ממתינים למענה אנושי מעל 2 דקות.

א. מהו החציון של זמן ההמתנה?

ב. חשב את סטיית התקן של זמן ההמתנה למענה אנושי.

ג. (1) מהו אחוז האנשים שממתינים למענה אנושי פחות מדקה אחת? (2) מהו אחוז האנשים שזמן ההמתנה שלהם למענה אנושי הוא בין הממוצע לבין סטיית תקן אחת מעל הממוצע?

בעקבות פניות של לקוחות החברה נעשו שינויים בשירות המענה האנושי, ובעקבותיהם זמן ההמתנה הממוצע למענה אנושי ירד ל־1.2 דקות, אך סטיית התקן נשארה ללא שינוי. לאחר השינוי בשירות נבדק אחוז האנשים שזמן ההמתנה שלהם למענה אנושי הוא בין הממוצע לבין סטיית תקן אחת מעל הממוצע.

ד. האם האחוז שנבדק השתנה לעומת האחוז שהיה לפני השינוי בשירות? נמק.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – החציון

בהתפלגות נורמלית החציון שווה לממוצע.📐 חציון בהתפלגות נורמליתבדיוק חצי מהערכים מתחת לממוצע
✅ פתרון סופי: 1.8 דקות

סעיף ב – סטיית התקן

30.8% ממתינים יותר מ־2 דקות, אז עושים 1 פחות: 1 − 0.308 = 0.692 ממתינים פחות מ־2 דקות.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.692: הערך הכי קרוב אליו הוא 0.691, בשורה 0.5 ובעמודה 0.00, כלומר z = 0.5. זה ציון התקן של 2 דקות.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.5 עמודה 0.00
0.5 = 2 − 1.8S = 0.2S📐 ציון תקןz = x − x̄S
S = 0.20.5 = 0.4
✅ פתרון סופי: S = 0.4 דקות

סעיף ג (1) – פחות מדקה

z = 1 − 1.80.4 = −0.80.4 = −2📐 ציון תקןz = x − x̄S
ציון התקן שלילי. בטבלה יש רק ציוני תקן חיוביים, אז נסתכל על 2:
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 2.0 ובעמודה 0.00 רשום 0.977. כלומר 0.977 מהשטח נמצא משמאל לציון תקן 2.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 2.0 עמודה 0.00
בגלל הסימטריה של העקומה, מתחת ל־2 סטיות תקן מתחת לממוצע נמצא אותו חלק כמו מעל 2 סטיות תקן מעליו – עושים 1 פחות:
1 − 0.977 = 0.023 – כ־2.3% (בטבלה מפורטת יותר: 0.9772, כלומר 2.28%).
✅ פתרון סופי: 2.28%

סעיף ג (2) – בין הממוצע לסטיית תקן מעליו

"בין הממוצע לסטיית תקן אחת מעליו" זה בין ציון תקן 0 לציון תקן 1.
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 1.0 ובעמודה 0.00 רשום 0.841. מתחת לממוצע נמצאים בדיוק 0.5, אז מחסרים: 0.841 − 0.5 = 0.341 – כ־34.1% (בטבלה מפורטת יותר: 34.13%).
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.0 עמודה 0.00
✅ פתרון סופי: 34.13%

סעיף ד – האם האחוז השתנה

גם אחרי השינוי התחום "בין הממוצע לסטיית תקן אחת מעליו" הוא בין ציון תקן 0 לציון תקן 1, וההתפלגות עדיין נורמלית. לכן האחוז נשאר 34.13%.
✅ פתרון סופי: לא השתנה

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א1.8
סעיף ב0.4
סעיף ג (1)2.28%
סעיף ג (2)34.13%
סעיף דלא השתנה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – ציון תקן 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – סדרה חשבונית

📄 נוסח השאלה

עדי מתאמנת לקראת מרוץ של 42 ק"מ. לפי תוכנית האימונים, בשבוע הראשון תרוץ עדי 6 ק"מ, בכל שבוע תרוץ 1.5 ק"מ יותר מאשר בשבוע שקדם לו, ובשבוע האחרון תרוץ 42 ק"מ.

א. כמה שבועות תימשך תוכנית האימונים של עדי?

ב. כמה קילומטרים תרוץ עדי בשבוע ה־20 לאימונים?

לאחר שעדי רצה 20 שבועות התברר לה כי המרוץ המתוכנן הוקדם בשבועיים, ולכן שינתה את תוכנית האימונים: אחרי השבוע ה־20 היא תרוץ בכל שבוע 2 ק"מ יותר מאשר בשבוע שקדם לו.

ג. האם לפי התוכנית לאחר השינוי עדי תרוץ 42 ק"מ בשבוע האחרון? נמק.

ד. כמה קילומטרים סך הכול תרוץ עדי במהלך כל האימונים?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – מספר השבועות

סדרה חשבונית: a1 = 6 , d = 1.5 , an = 42.
6 + 1.5(n − 1) = 42 → 1.5(n − 1) = 36 → n − 1 = 24 → n = 25📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
✅ פתרון סופי: 25 שבועות

סעיף ב – השבוע ה־20

a20 = 6 + 19 · 1.5 = 6 + 28.5 = 34.5📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
✅ פתרון סופי: 34.5 ק"מ

סעיף ג – האם 42 ק"מ בשבוע האחרון

המרוץ הוקדם בשבועיים: התוכנית נגמרת אחרי 25 − 2 = 23 שבועות. אחרי השבוע ה־20 נשארו 3 שבועות, בכל אחד 2 ק"מ יותר:
34.5 + 2 = 36.5 , 36.5 + 2 = 38.5 , 38.5 + 2 = 40.5
בשבוע האחרון (ה־23) היא תרוץ 40.5 ק"מ – פחות מ־42.
✅ פתרון סופי: לא (40.5 ק"מ)

סעיף ד – סך הכול

S20 = 202(6 + 34.5) = 10 · 40.5 = 405📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2(a1 + an)
36.5 + 38.5 + 40.5 = 115.5
405 + 115.5 = 520.5
✅ פתרון סופי: 520.5 ק"מ

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א25 שבועות
סעיף ב34.5 ק"מ
סעיף גלא
סעיף ד520.5 ק"מ
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – משולש וקטע אמצעים במערכת צירים

📄 נוסח השאלה

במשולש ABC הקודקוד B מונח על ציר ה־y. נתון כי משוואת הצלע AB היא y = −x + 4. שיעור ה־y של הקודקוד A הוא 10.

א. חשב את אורך הצלע AB.

נתון כי הצלע BC מקבילה לציר ה־x. אורך הצלע BC הוא 6.

ב. מצא את שיעורי הקודקוד C.

D היא נקודת החיתוך של הישר AC עם ציר ה־y.

ג. מצא את שיעורי הנקודה D.

מנקודה D העבירו ישר המקביל לציר ה־x החותך את הצלע AB בנקודה E.

ד. (1) הוכח כי DE הוא קטע אמצעים במשולש ABC. (2) חשב את אורך הקטע DE.

ה. חשב את גודלי הזוויות EBD ו־ABC.

ו. מצא פי כמה גדול שטח המשולש ABC משטח הטרפז EDCB.

סרטוט לשאלה 4
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – אורך AB

B על ציר ה־y: y = −0 + 4 = 4, B(0 , 4).
A: 10 = −x + 4 → x = −6, A(−6 , 10).
AB = √(0 + 6)2 + (4 − 10)2 = √72 ≈ 8.485📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
✅ פתרון סופי: AB = √72 ≈ 8.485

סעיף ב – שיעורי C

BC מקביל לציר ה־x, ולכן C(c , 4) עם |c| = 6.
אם c = −6, אז AC מאונך לציר ה־x ולא חותך את ציר ה־y – בסתירה לנתון של סעיף ג. לפי הסרטוט C מימין.
✅ פתרון סופי: C(6 , 4)

סעיף ג – שיעורי D

mAC = 4 − 106 + 6 = −12📐 שיפועm = y2 − y1x2 − x1
y − 10 = −12(x + 6) → y = −0.5x + 7📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
על ציר ה־y: x = 0, y = 7.
✅ פתרון סופי: D(0 , 7)

סעיף ד (1) – DE קטע אמצעים

אמצע AC = (−6 + 62 , 10 + 42) = (0 , 7) = D📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
DE ∥ BC (שניהם מקבילים לציר ה־x) ועובר דרך אמצע AC ← חוצה גם את AB, ולכן DE קטע אמצעים.📐 קטע אמצעים במשולשישר שיוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע שנייה – חוצה את השלישית
✅ פתרון סופי: DE קטע אמצעים ✓

סעיף ד (2) – אורך DE

DE = BC2 = 62 = 3📐 קטע אמצעים במשולששווה למחצית הצלע השלישית
בדיקה: E: 7 = −x + 4 → x = −3 , DE = 0 − (−3) = 3 ✓
✅ פתרון סופי: DE = 3

סעיף ה – הזוויות EBD ו־ABC

BD על ציר ה־y (אנכי). במשולש EDB ישר הזווית ב־D: ED = 3 , BD = 7 − 4 = 3.
tan(∢EBD) = 33 = 1 → ∢EBD = 45📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
BC אופקי ו־BD אנכי, ולכן ∢DBC = 90:
∢ABC = 45 + 90 = 135
✅ פתרון סופי: ∢EBD = 45 , ∢ABC = 135 מעלות

סעיף ו – יחס שטחים

△AED ∼ △ABC ביחס דמיון 12 (קטע אמצעים).📐 יחס שטחים במשולשים דומיםיחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון
SAED = 14 SABC → SEDCB = 34 SABC
SABCSEDCB = 43
✅ פתרון סופי: פי 43 (≈ 1.33)

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א√72 ≈ 8.485
סעיף בC(6 , 4)
סעיף גD(0 , 7)
סעיף ד (2)DE = 3
סעיף ה45 , 135 מעלות
סעיף ופי 43
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 23 – נקודת אמצע קטע 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – מעגל ומשיק

📄 נוסח השאלה

נתון מעגל שמרכזו M(6 , 10). המעגל משיק לציר ה־x בנקודה A.

א. מצא את משוואת המעגל.

הנקודה B היא אחת מנקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה־y, כמתואר בציור. הישר BC משיק למעגל בנקודה B.

ב. (1) מצא את שיעורי הנקודה B. (2) מצא את משוואת המשיק למעגל, BC.

נתון: ∢BCA = 90 מעלות.

ג. (1) הוכח: AC מקביל ל־MB. (2) הוכח: AB חוצה את הזווית CAM.

ד. חשב את אורך הקטע AC.

סרטוט לשאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – משוואת המעגל

המעגל משיק לציר ה־x ב־A, ולכן MA מאונך לציר: A(6 , 0) ו־R = 10.📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
(x − 6)2 + (y − 10)2 = 100📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
✅ פתרון סופי: (x − 6)2 + (y − 10)2 = 100

סעיף ב (1) – שיעורי B

(0 − 6)2 + (y − 10)2 = 100 → (y − 10)2 = 64 → y − 10 = ±8
y = 18 או y = 2. לפי הציור B מעל M, ולכן B(0 , 18).
✅ פתרון סופי: B(0 , 18)

סעיף ב (2) – משוואת המשיק BC

mMB = 18 − 100 − 6 = −43📐 שיפועm = y2 − y1x2 − x1
המשיק מאונך לרדיוס MB: m · (−43) = −1 → m = 34.📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y − 18 = 34(x − 0) → y = 0.75x + 18📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
✅ פתרון סופי: y = 0.75x + 18

סעיף ג (1) – AC ∥ MB

AC ⊥ BC – נתון ∢BCA = 90.
MB ⊥ BC – רדיוס לנקודת ההשקה.📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה: AC ∥ MB.📐 ישרים מקביליםשני ישרים המאונכים לאותו ישר – מקבילים
✅ פתרון סופי: AC ∥ MB ✓

סעיף ג (2) – AB חוצה את ∢CAM

MA = MB (רדיוסים), ולכן המשולש MAB שווה שוקיים: ∢MAB = ∢MBA.📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות
∢MBA = ∢BAC – זוויות מתחלפות בין המקבילים MB ו־AC.📐 זוויות מתחלפותזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
לכן ∢MAB = ∢BAC, כלומר AB חוצה את ∢CAM.
✅ פתרון סופי: AB חוצה זווית ✓

סעיף ד – אורך AC

מוצאים את הנקודה C – החיתוך של הישר AC עם המשיק BC, ואז מחשבים את AC.
בסעיף ג (1) הוכחנו AC ∥ MB, ולכן לשני הישרים אותו שיפוע: mAC = mMB = −43.📐 ישרים מקביליםm1 = m2
y − 0 = −43(x − 6) → y = −43x + 8📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
החיתוך עם המשיק y = 0.75x + 18:
−43x + 8 = 0.75x + 18
כופלים ב־12:
−16x + 96 = 9x + 216 → −25x = 120 → x = −4.8
y = 0.75 · (−4.8) + 18 = −3.6 + 18 = 14.4, כלומר C(−4.8 , 14.4).
6 − (−4.8) = 10.8 , 0 − 14.4 = −14.4
AC = √10.82 + (−14.4)2 = √116.64 + 207.36 = √324 = 18📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
בדיקה: C על הישר AC: −43 · (−4.8) + 8 = 6.4 + 8 = 14.4 ✓
✅ פתרון סופי: AC = 18

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א(x − 6)2 + (y − 10)2 = 100
סעיף ב (1)B(0 , 18)
סעיף ב (2)y = 0.75x + 18
סעיף גהוכחות
סעיף דAC = 18
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 41 – משיק למעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – פונקציה רציונלית וערך מוחלט

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x2 − 4x + 5x − 2.

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) רשום את משוואת האסימפטוטה של הפונקציה f(x) המאונכת לציר ה־x. (3) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים, אם יש כאלה. (4) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן. (5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = |f(x)|.

ב. (1) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g(x). (2) רשום את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבע את סוגן. (3) כמה פתרונות יש למשוואה g(x) = 3? נמק.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0
✅ פתרון סופי: x ≠ 2

סעיף א (2) – אסימפטוטה אנכית

המכנה מתאפס ב־x = 2, והמונה שם 4 − 8 + 5 = 1 ≠ 0.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0
✅ פתרון סופי: x = 2

סעיף א (3) – חיתוך עם הצירים

ציר ה־x: x2 − 4x + 5 = 0.
b2 − 4ac = 16 − 20 = −4 < 0📐 נוסחת השורשיםכש־b2 − 4ac < 0 אין פתרון
אין חיתוך עם ציר ה־x.
ציר ה־y: f(0) = 5−2 = −2.5.
✅ פתרון סופי: (0 , −2.5) ; עם ציר ה־x: אין

סעיף א (4) – נקודות קיצון

f′(x) = (2x − 4)(x − 2) − (x2 − 4x + 5)(x − 2)2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= 2x2 − 8x + 8 − x2 + 4x − 5(x − 2)2 = x2 − 4x + 3(x − 2)2
x2 − 4x + 3 = 0 → (x − 1)(x − 3) = 0📐 טרינוםp · q = c , p + q = b
x = 1 או x = 3
f(1) = 1 − 4 + 5−1 = −2 ; f(3) = 9 − 12 + 51 = 2
f′(0) = 34 > 0
f′(1.5) = −0.750.25 < 0
f′(2.5) = −0.750.25 < 0
f′(4) = 34 > 0
xf′(x)f(x)
x < 1+↗ עולה
10מקסימום
1 < x < 2−↘ יורדת
2לא מוגדרתלא מוגדרת
2 < x < 3−↘ יורדת
30מינימום
x > 3+↗ עולה
✅ פתרון סופי: מקסימום (1 , −2)
✅ פתרון סופי: מינימום (3 , 2)

סעיף א (5) – סקיצה

משמאל ל־2 הגרף כולו מתחת לציר ה־x: עולה למקסימום (1 , −2) ויורד למינוס אינסוף ליד x = 2. מימין ל־2 הגרף כולו מעל הציר: יורד מפלוס אינסוף למינימום (3 , 2) ועולה.
xyx = 2(1, −2)(3, 2)(0, −2.5)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ב (1) – סקיצה של g(x) = |f(x)|

החלק שמתחת לציר ה־x (משמאל ל־2) משתקף כלפי מעלה, והחלק שמעל הציר נשאר כמו שהוא.📐 ערך מוחלט של פונקצייההחלקים השליליים משתקפים ביחס לציר ה־x
xyx = 2y = 3(1, 2)(3, 2)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ב (2) – נקודות הקיצון של g(x)

המקסימום (1 , −2) של f משתקף והופך למינימום (1 , 2).
המינימום (3 , 2) נשאר מינימום.
✅ פתרון סופי: מינימום (1 , 2)
✅ פתרון סופי: מינימום (3 , 2)

סעיף ב (3) – פתרונות של g(x) = 3

בכל אחד משני הענפים של g הגרף יורד מאינסוף למינימום 2 ועולה שוב לאינסוף. הישר y = 3 מעל 2, ולכן הוא חותך כל ענף פעמיים.
בדיקה: x2 − 4x + 5 = ±3(x − 2) → x2 − 7x + 11 = 0 או x2 − x − 1 = 0 – לכל אחת שני פתרונות ✓
✅ פתרון סופי: 4 פתרונות

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)x ≠ 2
סעיף א (2)x = 2
סעיף א (3)(0 , −2.5)
סעיף א (4)מקס׳ (1 , −2) , מינ׳ (3 , 2)
סעיף ב (2)מינ׳ (1 , 2) , מינ׳ (3 , 2)
סעיף ב (3)4
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 50 – חקירת פונקציית מנה עם הזזה וערך מוחלט
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – פונקציה רציונלית וגרף הנגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 1(4x − 1)2 − 4.

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) רשום את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים. (3) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. (4) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x). (5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ב. אחד משלושת הגרפים שבסוף השאלה, I, II, III, הוא גרף פונקציית הנגזרת f′(x). ציין מיהו ונמק.

ג. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = 1 ו־x = 2.

הגרפים I–III לשאלה 7
✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – תחום הגדרה

4x − 1 ≠ 0 → x ≠ 14📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0
✅ פתרון סופי: x ≠ 14

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אנכית: x = 14 – המונה 1 ≠ 0.📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0
אופקית: השבר שואף ל־0 כש־x גדל, ולכן y = −4.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במכנה גדולה מבמונה ← השבר שואף ל־0
✅ פתרון סופי: x = 14 , y = −4

סעיף א (3) – חיתוך עם הצירים

f(0) = 11 − 4 = −3
1(4x − 1)2 = 4 → (4x − 1)2 = 14 → 4x − 1 = ±12
x = 38 או x = 18
✅ פתרון סופי: (0 , −3) , (18 , 0) , (38 , 0)

סעיף א (4) – עלייה וירידה

f′(x) = −2(4x − 1)−3 · 4 = −8(4x − 1)3📐 נגזרת של ביטוי בחזקה[(ax + b)n]′ = n(ax + b)n − 1 · a
כש־x < 14: (4x − 1)3 < 0 ← f′ > 0. כש־x > 14: f′ < 0.
xf′(x)f(x)
x < ¼+↗ עולה
¼לא מוגדרתלא מוגדרת
x > ¼−↘ יורדת
✅ פתרון סופי: עולה: x < 14
✅ פתרון סופי: יורדת: x > 14

סעיף א (5) – סקיצה

משמאל ל־14 הגרף עולה מ־y = −4, עובר ב־(0 , −3) וב־(18 , 0), ושואף לפלוס אינסוף. מימין ל־14 הוא יורד מפלוס אינסוף, חוצה ב־(38 , 0), ומתקרב ל־y = −4.
xyx = ¼y = −4(0, −3)(⅛, 0)(⅜, 0)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ב – גרף הנגזרת

f′ חיובית משמאל ל־14 ושלילית מימין, שואפת לפלוס אינסוף משמאל לאסימפטוטה ולמינוס אינסוף מימינה, ושואפת ל־0 בקצוות.📐 קשר בין פונקציה לנגזרתf′ > 0 ← עולה ; f′ < 0 ← יורדת
רק גרף II מתאים: ענף שמאלי מעל הציר העולה לאינסוף, וענף ימני מתחת לציר.
✅ פתרון סופי: גרף II

סעיף ג – השטח

בין x = 1 ל־x = 2 הנגזרת שלילית – השטח מתחת לציר. הפונקציה הקדומה של f′ היא f:
S = −∫21 f′(x) dx = f(1) − f(2)📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)
= (19 − 4) − (149 − 4) = 19 − 149 = 40441 ≈ 0.091
✅ פתרון סופי: S = 40441 ≈ 0.091

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)x ≠ 14
סעיף א (2)x = 14 , y = −4
סעיף א (3)(0 , −3) , (18 , 0) , (38 , 0)
סעיף א (4)עולה x < 14 , יורדת x > 14
סעיף בגרף II
סעיף ג40441
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 36 – קשר בין הפונקציה לנגזרת 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – פונקציית שורש עם פרמטר וגרף הנגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x√a − x, a הוא פרמטר. בסרטוט שלפניך מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x).

גרף הנגזרת לשאלה 8

א. (1) היעזר בגרף, ורשום את שיעור ה־x של נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה f(x). קבע את סוגה. (2) חשב את הערך של a.

הצב a = 3 וענה על הסעיפים הבאים:

ב. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. (3) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) וקבע את סוגן. (4) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ג. נתונה הפונקציה g(x) = f(x + 3). מהו תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)? נמק.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – הקיצון מגרף הנגזרת

מהגרף: f′ חותכת את ציר ה־x ב־x = 2, חיובית משמאל ושלילית מימין ← הפונקציה עולה ואז יורדת.📐 קשר בין פונקציה לנגזרתf′ מ־+ ל־− ← מקסימום
✅ פתרון סופי: מקסימום ב־x = 2

סעיף א (2) – הערך של a

f′(x) = √a − x + x · −12√a − x = 2(a − x) − x2√a − x = 2a − 3x2√a − x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′
f′(2) = 0 → 2a − 6 = 0 → a = 3
✅ פתרון סופי: a = 3

סעיף ב (1) – תחום הגדרה

3 − x ≥ 0 → x ≤ 3📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי בתוך השורש ≥ 0
✅ פתרון סופי: x ≤ 3

סעיף ב (2) – חיתוך עם הצירים

x√3 − x = 0 → x = 0 או x = 3📐 מכפלה שווה לאפסA · B = 0 ⟺ A = 0 או B = 0
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (3 , 0)

סעיף ב (3) – נקודות קיצון

f′(x) = 6 − 3x2√3 − x מתאפסת ב־x = 2: f(2) = 2 · √1 = 2.
f′(0) = 62√3 > 0 ; f′(2.5) = −1.52√0.5 < 0
xf′(x)f(x)
x < 2+↗ עולה
20מקסימום
2 < x < 3−↘ יורדת
3קצה התחוםמינימום קצה
✅ פתרון סופי: מקסימום (2 , 2)
✅ פתרון סופי: מינימום קצה (3 , 0)

סעיף ב (4) – סקיצה

הגרף עולה ממינוס אינסוף (משמאל), עובר בראשית, מגיע למקסימום (2 , 2), ויורד עד קצה התחום (3 , 0).
xy(2, 2)(3, 0)(0, 0)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – תחום ההגדרה של g(x)

g(x) = f(x + 3) – הגרף של f מוזז 3 יחידות שמאלה. תנאי ההגדרה: x + 3 ≤ 3 → x ≤ 0.📐 הזזה אופקיתf(x + c) ← הזזה של c שמאלה
✅ פתרון סופי: x ≤ 0

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אx = 2 מקסימום , a = 3
סעיף ב (1)x ≤ 3
סעיף ב (2)(0 , 0) , (3 , 0)
סעיף ב (3)מקס׳ (2 , 2) , מינ׳ קצה (3 , 0)
סעיף גx ≤ 0
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ונקודות קיצון בחקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות