בגרות במתמטיקה · 3 יחידות · שאלון 372 (35372) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 – קיץ 2023 מועד ב'

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון חמש שאלות בשלושה אשכולות: אשכול חברה ומדע – התפלגות נורמלית (שאלה 1), אשכול פיננסי כלכלי – תכנון ליניארי וגאומטריה אנליטית (שאלות 2–3), אשכול התמצאות במישור ובמרחב – גופים במרחב וראייה מרחבית (שאלות 4–5). יש לענות על שלוש שאלות, 33 ושליש נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעתיים. חומר עזר: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2023 מועד ב'

שאלון 372 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 4 עמודי השאלות
שאלון 372 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 4 עמודי השאלות
שאלון 372 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 4 עמודי השאלות
שאלון 372 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 4 עמודי השאלות

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – התפלגות נורמלית: פרחי חמניות

📄 נוסח השאלה

רועי מגדל פרחי חמניות. הגבהים של פרחי החמניות מתפלגים נורמלית. הגובה הממוצע הוא 90 ס"מ. 43% מפרחי החמניות גבוהים מן הממוצע ונמוכים מ־102 ס"מ.

א. מצאו את סטיית התקן של גובה החמניות.

ב. מהו אחוז פרחי החמניות שגבוהים מ־78 ס"מ ונמוכים מ־94 ס"מ?

רועי גידל 800 פרחי חמניות סך הכול.

ג. על פי גרף ההתפלגות הנורמלית, כמה מפרחי החמניות שרועי גידל גבוהים מ־78 ס"מ ונמוכים מ־94 ס"מ?

רועי הכין זרים מכל פרחי החמניות שגבוהים מ־78 ס"מ ונמוכים מ־94 ס"מ. בכל אחד מן הזרים היו 16 פרחי חמניות בדיוק.

ד. כמה זרים סך הכול הכין רועי?

ה. האם רועי הכין זר מפרחי חמניות שציון התקן שלהם הוא −1?

לפניכם גרף ההתפלגות הנורמלית מדף הנוסחאות. השתמשו בו בחישוביכם.

גרף ההתפלגות הנורמלית מדף הנוסחאות עם האחוזים
✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – סטיית התקן

מהממוצע ימינה, נחבר רצועות עד שנגיע ל־43%:
19 + 15 + 9 = 43📐 התפלגות נורמליתכל רצועה ברוחב חצי סטיית תקן. מהממוצע ימינה: 19%, 15%, 9%, 5%, 1.5%, 0.5%. משמאל לממוצע – אותם אחוזים.
אלה שלוש רצועות – כלומר סטיית תקן וחצי. לכן 102 נמצא 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע. נסמן את סטיית התקן ב־s:
90 + 1.5s = 102
1.5s = 12
s = 121.5
s = 8
✅ פתרון סופי: 8 ס"מ

סעיף ב – בין 78 ל־94 ס"מ

נמצא כמה סטיות תקן כל גובה רחוק מן הממוצע:
90 − 78 = 12 = 1.5 · 8
כלומר 78 נמצא 1.5 סטיות תקן מתחת לממוצע – שלוש רצועות משמאל לממוצע.
94 − 90 = 4 = 0.5 · 8
כלומר 94 נמצא חצי סטיית תקן מעל הממוצע – רצועה אחת מימין לממוצע.
1.5%5%9%15%19%19%15%9%5%1.5%789094102
נחבר את הרצועות מ־78 עד 94 (בסגול בגרף):
9 + 15 + 19 + 19 = 62📐 התפלגות נורמליתכל רצועה ברוחב חצי סטיית תקן. מהממוצע ימינה: 19%, 15%, 9%, 5%, 1.5%, 0.5%. משמאל לממוצע – אותם אחוזים.
✅ פתרון סופי: 62%

סעיף ג – כמה פרחים

62% מתוך 800 הפרחים:
62100 · 800 = 496📐 אחוז מכמותהחלק = האחוז100 · הכמות
✅ פתרון סופי: 496 פרחי חמניות

סעיף ד – כמה זרים

כל 496 הפרחים חולקו לזרים של 16 פרחים בדיוק:
496 : 16 = 31
✅ פתרון סופי: 31 זרים

סעיף ה – ציון תקן −1

נמצא את הגובה של פרח שציון התקן שלו −1:
90 + (−1) · 8 = 82📐 ציון תקןערך = ממוצע + ציון התקן · סטיית התקן
78 < 82 < 94
הגובה 82 ס"מ נמצא בין 78 ל־94 ס"מ, ולכן פרחים כאלה נכנסו לזרים.
✅ פתרון סופי: כן

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

א8 ס"מ
ב62%
ג496 פרחים
ד31 זרים
הכן
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2-תרגול ממוצע וסטיית תקן בגרף פעמון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – תכנון ליניארי: בצל וגזר

📄 נוסח השאלה

נדב מגדל בצל וגזר בשדה ששטחו 11 דונם לכל היותר. כדי לגדל בצל בדונם אחד דרושים 2 ימי עבודה. כדי לגדל גזר בדונם אחד דרושים 7 ימי עבודה. לרשות נדב עומדים לכל היותר 42 ימי עבודה.

נסמן ב־x את מספר הדונמים שבהם נדב מגדל בצל, וב־y את מספר הדונמים שבהם נדב מגדל גזר.

א. רשמו את מערכת האילוצים של הבעיה.

הרווח של נדב מגידול בצל בדונם אחד הוא 800 שקלים, ומגידול גזר בדונם אחד הוא 1,200 שקלים.

ב. רשמו את פונקציית המטרה המתאימה לבעיה.

לפניכם סרטוט של התחום האפשרי המתאים לבעיה, המתקבל ממערכת האילוצים.

התחום האפשרי – מרובע ברביע הראשון בין שני ישרים

ג. מצאו בכמה דונמים נדב צריך לגדל בצל, ובכמה דונמים הוא צריך לגדל גזר, כדי שהכנסתו תהיה מקסימלית.

מחירי הגזר ירדו בעונת הגידול הבאה. הרווח של נדב מגידול גזר בדונם אחד הצטמצם ל־800 שקלים (הרווח מגידול בצל בדונם אחד לא השתנה).

ד. לפניכם 3 אפשרויות למספר הדונמים שבהם נדב יכול לגדל בצל וגזר בעונה זו. בחרו את כל האפשרויות שמתקבל בהן רווח מקסימלי לאחר ירידת מחירי הגזר.
1. 7 דונם בצל ו־4 דונם גזר.
2. 9 דונם בצל ו־2 דונם גזר.
3. 0 דונם בצל ו־6 דונם גזר.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – מערכת האילוצים

שטח השדה – לכל היותר 11 דונם:
x + y ≤ 11
ימי עבודה – 2 לכל דונם בצל ו־7 לכל דונם גזר, לכל היותר 42:
2x + 7y ≤ 42
מספר דונמים אינו שלילי:
x ≥ 0 , y ≥ 0
✅ פתרון סופי: x + y ≤ 11 , 2x + 7y ≤ 42 , x ≥ 0 , y ≥ 0

סעיף ב – פונקציית המטרה

800 שקלים לכל דונם בצל ו־1,200 שקלים לכל דונם גזר:
f(x , y) = 800x + 1,200y
✅ פתרון סופי: f(x , y) = 800x + 1,200y

סעיף ג – הרווח המקסימלי

קודקודי התחום (סרטוט בקנה מידה):
x + y = 112x + 7y = 42(0 , 0)(0 , 6)(7 , 4)(11 , 0)xy
על ציר ה־y (x = 0) הישר התחתון יותר הוא 2x + 7y = 42:
7y = 42
y = 6
על ציר ה־x (y = 0) הישר הקרוב יותר הוא x + y = 11:
x = 11
חיתוך שני הישרים: מהמשוואה הראשונה x = 11 − y. נציב בשנייה:
2(11 − y) + 7y = 42
22 − 2y + 7y = 42
5y = 20
y = 4
x = 11 − 4 = 7
הקודקודים: (0 , 0), (0 , 6), (7 , 4), (11 , 0). נציב בפונקציית המטרה:
f(0 , 0) = 0📐 תכנון ליניאריהערך הגדול ביותר של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום
f(0 , 6) = 800 · 0 + 1,200 · 6
= 7,200
f(7 , 4) = 800 · 7 + 1,200 · 4
= 5,600 + 4,800 = 10,400
f(11 , 0) = 800 · 11 + 1,200 · 0
= 8,800
הגדול ביותר – 10,400 שקלים בנקודה (7 , 4).
✅ פתרון סופי: 7 דונם בצל ו־4 דונם גזר

סעיף ד – אחרי ירידת המחיר

פונקציית המטרה החדשה:
f(x , y) = 800x + 800y
נציב את קודקודי התחום:
f(0 , 6) = 800 · 6 = 4,800📐 תכנון ליניאריהערך הגדול ביותר של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום
f(7 , 4) = 800 · 7 + 800 · 4
= 5,600 + 3,200 = 8,800
f(11 , 0) = 800 · 11 = 8,800
הרווח המקסימלי הוא 8,800 שקלים, והוא מתקבל בשני קודקודים – ולכן בכל נקודה של הצלע שביניהם, על הישר x + y = 11.
נבדוק את שלוש האפשרויות:
1. (7 , 4) – קודקוד, f = 8,800 – מקסימלי.
2. (9 , 2): 9 + 2 = 11 (על הצלע) ו־2 · 9 + 7 · 2 = 32 ≤ 42 (בתוך התחום):
f(9 , 2) = 800 · 9 + 800 · 2
= 7,200 + 1,600 = 8,800
3. (0 , 6) – f = 4,800, לא מקסימלי.
✅ פתרון סופי: אפשרויות 1 ו־2

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

אx + y ≤ 11, 2x + 7y ≤ 42, x ≥ 0, y ≥ 0
ב800x + 1,200y
ג7 דונם בצל, 4 דונם גזר
דאפשרויות 1 ו־2
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – גאומטריה אנליטית: המרובע ABCD

📄 נוסח השאלה

במרובע ABCD הקודקוד C נמצא על ציר ה־x והקודקוד B נמצא על ציר ה־y. AC מאונך ל־BC (ראו סרטוט). משוואת הישר AC היא y = 4x − 32.

המרובע ABCD במערכת צירים, והנקודה M על AC

א. מצאו את שיעורי הקודקוד C.

ב. מצאו את משוואת הישר BC.

משוואת הישר AD היא y = −2x + 40.

ג. מצאו את שיעורי הקודקוד A.

הישר BD מקביל לציר ה־x.

ד. מצאו את שיעורי הקודקודים B ו־D.

הנקודה M היא אמצע הקטע AC.

ה. חשבו את שטח המשולש BMD.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הקודקוד C

C על ציר ה־x, ולכן y = 0. נציב במשוואת AC:
0 = 4x − 32
4x = 32
x = 8
✅ פתרון סופי: C(8 , 0)

סעיף ב – משוואת BC

שיפוע AC הוא 4. BC מאונך ל־AC:
4 · mBC = −1📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
mBC = −14
הישר עובר דרך C(8 , 0):
y − 0 = −14(x − 8)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y = −14x + 2
✅ פתרון סופי: y = −14x + 2

סעיף ג – הקודקוד A

A הוא נקודת החיתוך של AC ו־AD. נשווה:
4x − 32 = −2x + 40
6x = 72
x = 12
y = 4 · 12 − 32 = 16
✅ פתרון סופי: A(12 , 16)

סעיף ד – הקודקודים B ו־D

B על ציר ה־y (x = 0) ועל BC:
y = −14 · 0 + 2 = 2
לכן B(0 , 2). BD מקביל לציר ה־x, ולכן ל־D אותו שיעור y: y = 2. D על AD:
2 = −2x + 40
2x = 38
x = 19
✅ פתרון סופי: B(0 , 2) , D(19 , 2)

סעיף ה – שטח המשולש BMD

M אמצע AC, כאשר A(12 , 16) ו־C(8 , 0):
xM = 12 + 82 = 10📐 אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
yM = 16 + 02 = 8
כלומר M(10 , 8). הצלע BD אופקית (על הישר y = 2):
BD = 19 − 0 = 19
הגובה מ־M לצלע הזאת – ההפרש בשיעורי ה־y:
h = 8 − 2 = 6
6ABCDM
S = 19 · 62📐 שטח משולששטח משולש = צלע · הגובה לצלע2
S = 57
✅ פתרון סופי: 57 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

אC(8 , 0)
בy = −14x + 2
גA(12 , 16)
דB(0 , 2), D(19 , 2)
ה57
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 27-מציאת קו ישר מקביל ומאונך 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גופים במרחב: קופסאות בצורת תיבה

📄 נוסח השאלה

בחנות כלי בית מוכרים קופסאות לבנות וקופסאות אפורות. כל הקופסאות הן תיבות שבסיסן הוא מלבן.

נתון: אורך אחת מצלעות הבסיס של קופסה לבנה הוא 12 ס"מ, ואורך הצלע האחרת הוא 25 ס"מ. הגובה של קופסה לבנה הוא 6 ס"מ.

קופסה לבנה 25 על 12 ובגובה 6, וקופסה אפורה שצלעות בסיסה 21 ו־x

א. מצאו את הנפח של קופסה לבנה.

הנפח של קופסה אפורה גדול ב־40% מן הנפח של קופסה לבנה.

ב. מצאו את הנפח של קופסה אפורה.

נסמן ב־x את אורך אחת מצלעות הבסיס בקופסה אפורה. נתון: הגובה של קופסה אפורה גדול פי 1.2 מצלע זו. אורך צלע הבסיס האחרת של הקופסה האפורה הוא 21 ס"מ.

ג. מצאו את x.

רועי קנה קופסה אחת לבנה וקופסה אחת אפורה. רועי החליט לצבוע כל קופסה בשכבה אחידה של צבע אדום (שטח הפנים).

ד. באיזו קופסה השתמש רועי בכמות צבע גדולה יותר כדי לצבוע אותה? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – נפח קופסה לבנה

V = 25 · 12 · 6📐 נפח תיבהנפח תיבה = אורך · רוחב · גובה
V = 1,800
✅ פתרון סופי: 1,800 סמ"ק

סעיף ב – נפח קופסה אפורה

גדול ב־40%, כלומר 140% מנפח הקופסה הלבנה:
140100 · 1,800 = 1.4 · 1,800
= 2,520
✅ פתרון סופי: 2,520 סמ"ק

סעיף ג – הצלע x

צלעות הבסיס x ו־21, הגובה 1.2x, והנפח 2,520:
x · 21 · 1.2x = 2,520📐 נפח תיבהנפח תיבה = אורך · רוחב · גובה
25.2x2 = 2,520
x2 = 2,52025.2
x2 = 100
x = 10
(אורך חיובי, ולכן רק 10.) הגובה של הקופסה האפורה: 1.2 · 10 = 12 ס"מ.
✅ פתרון סופי: x = 10 ס"מ

סעיף ד – איזו קופסה צריכה יותר צבע

כמות הצבע תלויה בשטח הפנים – שטח כל שש הפאות של התיבה.
25612211210קופסה לבנהקופסה אפורה
קופסה לבנה – 25 על 12 על 6:
a = 25 , b = 12 , c = 6📐 שטח הפנים של תיבהS = 2(ab + ac + bc)
ab = 25 · 12 = 300
ac = 25 · 6 = 150
bc = 12 · 6 = 72
S = 2(300 + 150 + 72)
= 2 · 522 = 1,044
קופסה אפורה – 21 על 10 על 12:
a = 21 , b = 10 , c = 12📐 שטח הפנים של תיבהS = 2(ab + ac + bc)
ab = 21 · 10 = 210
ac = 21 · 12 = 252
bc = 10 · 12 = 120
S = 2(210 + 252 + 120)
= 2 · 582 = 1,164
1,164 > 1,044
שטח הפנים של הקופסה האפורה גדול יותר, ולכן צביעתה דורשת יותר צבע.
✅ פתרון סופי: בקופסה האפורה (שטח פנים 1,164 סמ"ר לעומת 1,044 סמ"ר)

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

א1,800 סמ"ק
ב2,520 סמ"ק
ג10 ס"מ
דהקופסה האפורה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3- חישוב נפח ושטח פנים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – ראייה מרחבית: בניין דירות מקוביות

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר מבנה מקוביות זהות. החץ בסרטוט מסמן את המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. בסרטוט מצוינים הכיוונים צפון, דרום, מזרח ומערב.

מבנה מקוביות על משטח, עם חץ המבט מלפנים והכיוונים צפון, דרום, מזרח ומערב

א. סרטטו תרשים מספרים של המבנה.

ב. כמה קוביות סך הכול יש במבנה?

ג. לפניכם 4 סרטוטים.

ארבעה סרטוטי מבטים ממוספרים 1 עד 4

(1) קבעו איזה מן הסרטוטים 1–4 מייצג את המבט מלפנים של המבנה.
(2) קבעו איזה מן הסרטוטים 1–4 מייצג את המבט מימין של המבנה.

המבנה הוא מודל לבניין דירות. כל קובייה מייצגת דירה. בכל קיר חיצוני בדירה יש חלון אחד בדיוק. בשאר הקירות אין חלונות.

ד. לכמה מן הדירות בבניין יש חלון הפונה לכיוון מזרח?

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – תרשים מספרים

הבסיס הוא 2 שורות של 4 משבצות. החץ מכוון מדרום, ולכן השורה הקדמית היא הדרומית; משמאל – מערב, מימין – מזרח.
השורה הקדמית (דרום), משמאל לימין: קובייה אחת, משבצת ריקה, משבצת ריקה, קובייה אחת.
השורה האחורית (צפון), משמאל לימין: מגדל של 3, מגדל של 4 (הגבוה ביותר), מגדל של 2, קובייה אחת.
תרשים המספרים:📐 תרשים מספריםבכל משבצת של הבסיס – כמה קוביות עומדות בה
3421
11
השורה העליונה בתרשים – מאחור (צפון), התחתונה – מלפנים (דרום). משבצת ריקה – אין בה קוביות.
✅ פתרון סופי: מאחור: 3 , 4 , 2 , 1 ; מלפנים: 1 , 0 , 0 , 1 (משמאל לימין)

סעיף ב – מספר הקוביות

נחבר את כל המספרים בתרשים:
3 + 4 + 2 + 1 + 1 + 1 = 12
✅ פתרון סופי: 12 קוביות

סעיף ג (1) – המבט מלפנים

מלפנים רואים בכל עמודה (משמאל לימין) את הגובה הגדול ביותר בה:
עמודה 1: 3 ו־1 – רואים 3. עמודה 2: 4. עמודה 3: 2. עמודה 4: 1 ו־1 – רואים 1.
גבהים 3 , 4 , 2 , 1 – זה סרטוט 3. (בסרטוט 4 העמודה השלישית בגובה 3 – לא מתאים.)
✅ פתרון סופי: סרטוט 3

סעיף ג (2) – המבט מימין

מימין עומדים בצד המזרחי ומסתכלים מערבה. השורה הקדמית (דרום) נראית משמאל, והאחורית (צפון) מימין. בכל שורה רואים את הגובה הגדול ביותר:
השורה הקדמית: 1 , 0 , 0 , 1 – הגבוה ביותר 1.
השורה האחורית: 3 , 4 , 2 , 1 – הגבוה ביותר 4.
משמאל גובה 1 ומימין גובה 4 – זה סרטוט 2. (בסרטוט 1 משמאל גובה 2 – לא מתאים.)
✅ פתרון סופי: סרטוט 2

סעיף ד – חלונות לכיוון מזרח

לדירה יש חלון למזרח אם הקיר המזרחי שלה חיצוני – כלומר מימינה (מזרחה), באותה קומה, אין דירה אחרת. נעבור על כל עמודה בתרשים:
השורה הקדמית: הקובייה המערבית – מימינה משבצת ריקה: 1 דירה. הקובייה המזרחית – בקצה המזרחי: 1 דירה.
השורה האחורית: המגדל של 3 – מימינו מגדל של 4, כל הקומות מוסתרות: 0.
המגדל של 4 – מימינו מגדל של 2, ולכן הקומות 3 ו־4 חשופות: 2 דירות.
המגדל של 2 – מימינו קובייה אחת, ולכן רק הקומה 2 חשופה: 1 דירה.
הקובייה המזרחית – בקצה המזרחי: 1 דירה.
1 + 1 + 0 + 2 + 1 + 1 = 6
✅ פתרון סופי: 6 דירות

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

אמאחור 3 4 2 1, מלפנים 1 0 0 1
ב12 קוביות
ג (1)סרטוט 3
ג (2)סרטוט 2
ד6 דירות
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־3 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות