בגרות במתמטיקה · 3 יחידות · שאלון 372 (35372) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 – קיץ 2022 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון חמש שאלות בשלושה אשכולות: אשכול חברה ומדע – התפלגות נורמלית (שאלה 1), אשכול פיננסי כלכלי – תכנון ליניארי וגאומטריה אנליטית (שאלות 2–3), אשכול התמצאות במישור ובמרחב – גופים במרחב וראייה מרחבית (שאלות 4–5). יש לענות על שלוש שאלות, 37 נקודות לכל שאלה; סך הנקודות לא יעלה על 100. משך הבחינה: שעתיים. חומר עזר: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2022 מועד א'

שאלון 372 קיץ 2022 מועד א' – עמוד שאלות 1
עמוד 1 מתוך 5 עמודי השאלות
שאלון 372 קיץ 2022 מועד א' – עמוד שאלות 2
עמוד 2 מתוך 5 עמודי השאלות
שאלון 372 קיץ 2022 מועד א' – עמוד שאלות 3
עמוד 3 מתוך 5 עמודי השאלות
שאלון 372 קיץ 2022 מועד א' – עמוד שאלות 4
עמוד 4 מתוך 5 עמודי השאלות
שאלון 372 קיץ 2022 מועד א' – עמוד שאלות 5
עמוד 5 מתוך 5 עמודי השאלות

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – התפלגות נורמלית: משקל תינוקות

📄 נוסח השאלה

המשקל של תינוקות בלידתם בבית חולים מתפלג נורמלית. המשקל הממוצע שלהם הוא 3,500 גרם.

0.5% מן התינוקות נולדים פגים במשקל של פחות מ־2,000 גרם.

א. מצאו את סטיית התקן.

בחודש שעבר נולדו בבית חולים מסוים 400 תינוקות.

ב. על פי גרף ההתפלגות הנורמלית, כמה מהם נולדו במשקל גבוה מ־2,600 גרם ונמוך מ־4,100 גרם?

2% מן התינוקות, אלה שנולדים במשקלים הגבוהים ביותר, צריכים להיות במעקב רפואי.

ג. החל מאיזה משקל התינוקות צריכים להיות במעקב רפואי?

לפניכם גרף ההתפלגות הנורמלית מדף הנוסחאות. השתמשו בו בחישוביכם.

גרף ההתפלגות הנורמלית מדף הנוסחאות עם האחוזים ברצועות
✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – סטיית התקן

בגרף 12 רצועות, וכל רצועה ברוחב חצי סטיית תקן. הרצועה השמאלית ביותר היא 0.5% – בדיוק אחוז הפגים. לכן 2,000 נמצא בגבול הרצועה הזאת, 5 רצועות משמאל לממוצע:
0.5%1.5%5%9%15%19%19%15%9%5%1.5%0.5%20003500
5 · 0.5 = 2.5📐 מיקום בגרףכל רצועה בגרף ברוחב חצי סטיית תקן
כלומר 2,000 נמצא 2.5 סטיות תקן מתחת לממוצע. המרחק מהממוצע:
3500 − 2000 = 1500
המרחק הזה שווה ל־2.5 סטיות תקן, ולכן סטיית התקן היא:
15002.5 = 600
✅ פתרון סופי: 600 גרם

סעיף ב – בין 2,600 ל־4,100 גרם

נמצא כמה סטיות תקן כל משקל רחוק מהממוצע:
3500 − 2600 = 900 = 1.5 · 600
4100 − 3500 = 600 = 1 · 600
כלומר 2,600 הוא 1.5 סטיות תקן משמאל לממוצע (3 רצועות), ו־4,100 הוא סטיית תקן אחת מימין (2 רצועות):
0.5%1.5%5%9%15%19%19%15%9%5%1.5%0.5%260035004100
9% + 15% + 19% + 19% + 15% = 77%
מתוך 400 תינוקות:
0.77 · 400 = 308
✅ פתרון סופי: 308 תינוקות

סעיף ג – משקל המעקב

בצד ימין של הגרף שתי הרצועות האחרונות הן 1.5% + 0.5% = 2%. הן מתחילות 4 רצועות מימין לממוצע, כלומר 2 סטיות תקן:
0.5%1.5%5%9%15%19%19%15%9%5%1.5%0.5%35004700
3500 + 2 · 600 = 4700
✅ פתרון סופי: החל מ־4,700 גרם

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

א600 גרם
ב308 תינוקות
גהחל מ־4,700 גרם
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – ממוצע וסטיית תקן בגרף פעמון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – תכנון ליניארי: פיצרייה משפחתית

📄 נוסח השאלה

נדב פתח בביתו פיצרייה משפחתית קטנה. בשעות אחר הצוהריים הוא מכין פיצות משפחתיות ואישיות.

כמות הבצק לפיצה, זמן האפייה והרווח הנקי ממנה, נתונים בטבלה שלהלן, לפי גודל הפיצה:

כמות בצק לפיצהזמן אפייהרווח נקי לפיצה
פיצה משפחתית300 גרם12 דקות25 שקלים
פיצה אישית100 גרם8 דקות18 שקלים

נדב יכול להתחיל לאפות פיצה חדשה רק אחרי שמסתיימת אפיית הפיצה הקודמת.

ביום מסוים היו לנדב 2,700 גרם בצק לכל היותר ו־120 דקות של אפייה לכל היותר.

סמנו ב־x את מספר הפיצות המשפחתיות שהכין נדב ביום זה. סמנו ב־y את מספר הפיצות האישיות שהכין נדב ביום זה.

א. (1) רשמו את מערכת האילוצים של הבעיה.   (2) סרטטו את התחום האפשרי של הבעיה.

ב. רשמו את פונקציית המטרה של הבעיה.

ג. מהו הרווח המקסימלי האפשרי ביום זה ממכירת כל הפיצות?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א (1) – מערכת האילוצים

בצק: כל משפחתית 300 גרם, כל אישית 100 גרם, ויש לכל היותר 2,700 גרם:
300x + 100y ≤ 2700
נחלק ב־100:
3x + y ≤ 27
זמן אפייה: 12 דקות למשפחתית, 8 לאישית, לכל היותר 120 דקות:
12x + 8y ≤ 120
נחלק ב־4:
3x + 2y ≤ 30
מספר הפיצות אינו שלילי:
x ≥ 0 , y ≥ 0
✅ פתרון סופי: 3x + y ≤ 27 , 3x + 2y ≤ 30 , x ≥ 0 , y ≥ 0

סעיף א (2) – התחום האפשרי

נמצא שתי נקודות על כל ישר גבול:
3x + y = 27: חיתוך עם הצירים (9,0) ו־(0,27).
3x + 2y = 30: חיתוך עם הצירים (10,0) ו־(0,15).
נקודת החיתוך של שני הישרים – נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה:
(3x + 2y) − (3x + y) = 30 − 27
y = 3
נציב במשוואה הראשונה:
3x + 3 = 27
x = 8
התחום האפשרי הוא המרובע הכחול, שקודקודיו (0,0), (9,0), (8,3), (0,15):
3x + y = 273x + 2y = 30(0,0)(9,0)(8,3)(0,15)xy3612510
✅ פתרון סופי: מרובע עם הקודקודים (0,0) , (9,0) , (8,3) , (0,15)

סעיף ב – פונקציית המטרה

רווח של 25 שקלים לכל משפחתית ו־18 שקלים לכל אישית:
✅ פתרון סופי: f = 25x + 18y

סעיף ג – הרווח המקסימלי

מציבים את קודקודי התחום בפונקציית המטרה:
קודקודf = 25x + 18y
(0,0)0
(9,0)225
(8,3)200 + 54 = 254
(0,15)270
הערך הגדול ביותר הוא 270 – כשנדב מכין 15 פיצות אישיות ואף פיצה משפחתית.
✅ פתרון סופי: 270 שקלים

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

א3x + y ≤ 27 , 3x + 2y ≤ 30 , x, y ≥ 0
בf = 25x + 18y
ג270 שקלים (ב־(0,15))
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – גאומטריה אנליטית: המשולש ABC

📄 נוסח השאלה

נתון משולש ABC.

משוואת הצלע AC היא y = −13x − 2. משוואת הצלע AB היא y = 2x − 9.

הקודקוד C נמצא על ציר ה־x (ראו סרטוט).

משולש ABC במערכת צירים; C על ציר x, הישר BC חותך את ציר y בנקודה E

א. מצאו את שיעורי הקודקוד C.

ב. מצאו את שיעורי הקודקוד A.

נתון כי שיעור ה־x של הקודקוד B הוא 8.

ג. מצאו את שיעור ה־y של הקודקוד B.

ד. מצאו את משוואת הצלע BC.

הנקודה E היא נקודת החיתוך של הישר BC עם ציר ה־y.

ה. (1) מצאו את שיעורי הנקודה E.   (2) הראו שהישר AE מאונך לצלע BC.

ו. חשבו את שטח המשולש ACE.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הקודקוד C

על ציר ה־x מתקיים y = 0. נציב במשוואת AC:
0 = −13x − 2
13x = −2
x = −6
✅ פתרון סופי: C(−6 , 0)

סעיף ב – הקודקוד A

A היא נקודת החיתוך של AC ו־AB. נשווה:
−13x − 2 = 2x − 9
נכפול ב־3:
−x − 6 = 6x − 27
21 = 7x
x = 3
נציב במשוואת AB:
y = 2 · 3 − 9 = −3
✅ פתרון סופי: A(3 , −3)

סעיף ג – שיעור ה־y של B

B נמצא על הצלע AB. נציב x = 8:
y = 2 · 8 − 9 = 7
✅ פתרון סופי: y = 7 , כלומר B(8 , 7)

סעיף ד – משוואת BC

השיפוע בין B(8 , 7) ל־C(−6 , 0):
m = 7 − 08 − (−6) = 714 = 12📐 שיפועm = y2 − y1x2 − x1
נציב את C(−6 , 0):
y − 0 = 12(x + 6)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y = 12x + 3
✅ פתרון סופי: y = 12x + 3

סעיף ה – הנקודה E והאנך

(1) על ציר ה־y מתקיים x = 0:
y = 12 · 0 + 3 = 3
(2) השיפוע בין A(3 , −3) ל־E(0 , 3):
mAE = 3 − (−3)0 − 3 = 6−3 = −2📐 שיפועm = y2 − y1x2 − x1
מכפלת השיפועים של AE ו־BC:
−2 · 12 = −1📐 ישרים מאונכיםישרים מאונכים: מכפלת השיפועים היא −1
לכן AE מאונך ל־BC.
✅ פתרון סופי: (1) E(0 , 3); (2) מכפלת השיפועים −1 – מאונכים

סעיף ו – שטח המשולש ACE

לפי סעיף ה, AE ⊥ CE (הנקודה E על BC). לכן המשולש ACE ישר זווית ב־E, והניצבים הם AE ו־CE:
AE = √((3 − 0)2 + (−3 − 3)2)📐 נוסחת המרחקd = √((x2 − x1)2 + (y2 − y1)2)
= √(9 + 36) = √45
CE = √((0 + 6)2 + (3 − 0)2)
= √(36 + 9) = √45
S = √45 · √452 = 452 = 22.5📐 שטח משולששטח משולש = בסיס · גובה2
✅ פתרון סופי: 22.5 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

אC(−6 , 0)
בA(3 , −3)
גy = 7
דy = 12x + 3
ה(1) E(0 , 3) (2) מכפלת השיפועים −1
ו22.5
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 26 – שיפועים שווים ושיפועים הופכיים ונגדיים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גופים במרחב: חרוט בצק

📄 נוסח השאלה

במאפייה משתמשים בתבנית מתכת בצורה של חרוט, כדי להכין חרוטי בצק חלולים.

קוטר הבסיס של חרוט המתכת (BC) הוא 2.4 ס"מ, וגובה החרוט (AD) הוא 9 ס"מ (ראו סרטוט).

חרוט: קוטר הבסיס BC הוא 2.4 ס

א. (1) מצאו את האורך של הקו היוצר של החרוט (AC).   (2) מהו שטח המעטפת של החרוט?

כדי להכין את חרוט הבצק עוטפים את תבנית המתכת בבצק. לאחר האפייה מחלצים את תבנית המתכת מן הבצק האפוי וממלאים את הבצק האפוי בקרם.

ב. מהו נפח הקרם הדרוש למילוי חרוט בצק אחד?

בעל המאפייה קנה תבנית מתכת חדשה בצורה של חרוט. קוטר הבסיס של התבנית החדשה גדול ב־10% מן הקוטר של בסיס התבנית שהייתה לו, וגובה התבנית החדשה קטן ב־10% מגובה התבנית שהייתה לו.

ג. (1) חשבו את קוטר הבסיס של תבנית החרוט החדשה.   (2) חשבו את הגובה של תבנית החרוט החדשה.

ד. מרים, לקוחה קבועה, טוענת שהנפח של המאפה העשוי בתבנית החדשה גדול יותר מנפחו של המאפה המקורי. האם מרים צודקת? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – קו יוצר ומעטפת

(1) הרדיוס הוא חצי מהקוטר:
DC = 2.42 = 1.2
המשולש ADC ישר זווית ב־D (הגובה מאונך לבסיס), ו־AC הוא היתר:
AC2 = 92 + 1.22📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
AC2 = 81 + 1.44 = 82.44
AC = √82.44 ≈ 9.08
(2) שטח המעטפת:
π · 1.2 · 9.08 ≈ 34.23📐 שטח מעטפת חרוטשטח מעטפת חרוט = π · R · L
✅ פתרון סופי: (1) ≈ 9.08 ס"מ; (2) ≈ 34.23 סמ"ר

סעיף ב – נפח הקרם

הקרם ממלא את החלל שבו הייתה התבנית – נפח החרוט:
V = π · 1.22 · 93📐 נפח חרוטV = πR2 · h3
= π · 1.44 · 93 = 4.32π
≈ 13.57
✅ פתרון סופי: 4.32π ≈ 13.57 סמ"ק

סעיף ג – מידות התבנית החדשה

(1) גדול ב־10% – כופלים ב־1.1:
2.4 · 1.1 = 2.64
(2) קטן ב־10% – כופלים ב־0.9:
9 · 0.9 = 8.1
✅ פתרון סופי: (1) 2.64 ס"מ; (2) 8.1 ס"מ

סעיף ד – האם מרים צודקת?

הרדיוס החדש:
2.642 = 1.32
V = π · 1.322 · 8.13📐 נפח חרוטV = πR2 · h3
= π · 1.7424 · 8.13
≈ 4.705π ≈ 14.78
14.78 > 13.57
הנפח החדש גדול יותר: הרדיוס מופיע בריבוע בנוסחת הנפח, ולכן ההגדלה שלו משפיעה יותר מהקטנת הגובה.
✅ פתרון סופי: כן, מרים צודקת – ≈ 14.78 סמ"ק לעומת ≈ 13.57 סמ"ק

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

א(1) ≈ 9.08 ס"מ, (2) ≈ 34.23 סמ"ר
ב≈ 13.57 סמ"ק
ג(1) 2.64 ס"מ, (2) 8.1 ס"מ
דכן (14.78 > 13.57)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – ראייה מרחבית: מבנה מקוביות

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלהלן מתואר מבנה מקוביות הניצב על משטח. החץ בסרטוטים שבשאלה מייצג את המבט מלפנים.

נתון שכל קובייה בסרטוט מונחת על קובייה אחרת או על המשטח.

מבנה מקוביות על משטח 3 על 3, עם חץ המסמן את המבט מלפנים

א. מלאו את תרשימי המבטים: (1) מבט מלפנים של המבנה. (2) מבט מלמעלה של המבנה.

ב. מלאו את תרשים המספרים של המבנה.

ג. האם אפשר להוסיף קובייה למבנה כך שגם המבט מלמעלה וגם המבט מלפנים לא ישתנו? אם כן – תנו דוגמה לתרשים מספרים כזה. אם לא – נמקו.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף ב – תרשים המספרים

נתחיל מתרשים המספרים – ממנו קל לקבל את המבטים. בכל משבצת של המשטח רושמים כמה קוביות יש בה זו על זו. השורה התחתונה היא הצד של החץ (מלפנים).
מלפנים, משמאל לימין: עמודה של 2 קוביות, משבצת ריקה, קובייה אחת. בשורה האמצעית: 2, 2, 1. בשורה האחורית: עמודה של 3 קוביות בצד שמאל, ושתי משבצות ריקות.
322121מלפנים (צד החץ)
בסך הכול 3 + 2 + 2 + 1 + 2 + 1 = 11 קוביות.
✅ פתרון סופי: מאחור 3 , 0 , 0; באמצע 2 , 2 , 1; מלפנים 2 , 0 , 1

סעיף א – המבטים

(1) מבט מלפנים: בכל עמודה (משמאל לימין) רואים את המגדל הגבוה ביותר שבה. עמודה שמאלית – 3, אמצעית – 2, ימנית – 1:
(2) מבט מלמעלה: רואים כל משבצת שיש בה לפחות קובייה אחת:
מלפנים (צד החץ)
✅ פתרון סופי: מלפנים – עמודות בגובה 3 , 2 , 1; מלמעלה – 6 משבצות מלאות

סעיף ג – הוספת קובייה

כדי שהמבט מלמעלה לא ישתנה, הקובייה צריכה לעלות על מגדל קיים. כדי שהמבט מלפנים לא ישתנה, המגדל לא יכול להיות גבוה יותר מהגבוה בעמודה שלו.
בעמודה השמאלית הגבוה ביותר הוא 3, ויש בה מגדלים של 2. אפשר להוסיף קובייה על המגדל הקדמי־שמאלי:
322131מלפנים (צד החץ)
(גם הוספה על המגדל האמצעי־שמאלי מתאימה.)
✅ פתרון סופי: כן – למשל מגדל קדמי־שמאלי של 3 קוביות

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

אמלפנים 3 , 2 , 1; מלמעלה 6 משבצות
במאחור 3 , 0 , 0; באמצע 2 , 2 , 1; מלפנים 2 , 0 , 1
גכן
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־3 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות