בגרות במתמטיקה · 3 יחידות · שאלון 372 (35372) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות – שאלון 372 – חורף 2026

פתרון מלא ומפורט לכל 6 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון שש שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – תכנון ליניארי וגאומטרייה אנליטית (שאלות 1–2); פרק שני – התפלגות נורמלית, מודל ריבועי, ראייה מרחבית וגופים במרחב (שאלות 3–6). עונים על ארבע שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק; 27 נקודות לכל שאלה (סך הכול לא יותר מ־100). משך הבחינה: שעתיים ורבע. מותר מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־3 יחידות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

השאלון שנפתר כאן: גרסה א'

📄 השאלון המלא – חורף 2026

שאלון 372 חורף 2026 – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 372 חורף 2026 – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 372 חורף 2026 – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 372 חורף 2026 – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 372 חורף 2026 – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 372 חורף 2026 – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – תכנון ליניארי: עוגות שוקולד ועוגות גבינה

📄 נוסח השאלה

במאפייה שכונתית מכינים עוגות משני סוגים: עוגות שוקולד ועוגות גבינה. תהליך ההכנה של כל עוגה כולל שני שלבים עיקריים: הכנת תערובת במכונה ואפייה בתנור.

במחזור ייצור רגיל אפשר להפעיל את מכונת התערובת 48 דקות לכל היותר, ואת תנור האפייה 360 דקות לכל היותר. בטבלה שלפניכם מוצגים הזמן הנדרש להכנת כל אחת מן העוגות והרווח ממכירת כל עוגה.

סוג העוגהזמן הכנת התערובת (בדקות)זמן האפייה (בדקות)הרווח (בשקלים)
עוגת שוקולד42047
עוגת גבינה46060

נסמן ב־x את מספר עוגות השוקולד וב־y את מספר עוגות הגבינה, שמכינים במאפייה זו במחזור ייצור.

א. כתבו את מערכת האילוצים של הבעיה.

לפניכם סרטוט של התחום האפשרי המתקבל ממערכת האילוצים של הבעיה.

סרטוט התחום האפשרי משאלה 1

ב. מצאו את שיעורי הנקודות B , A ו־C.

ג. (1) כתבו את פונקציית המטרה של רווח המאפייה ממכירת העוגות.

(2) מצאו כמה עוגות שוקולד וכמה עוגות גבינה צריך להכין במחזור ייצור כדי להשיג רווח מקסימלי.

במהלך אחד ממחזורי הייצור הייתה הפסקת חשמל, ולכן הצטמצמו זמני ההפעלה של מכונת התערובת ושל התנור. במחזור ייצור זה הכינו במאפייה 9 עוגות שוקולד ו־2 עוגות גבינה.

ד. מצאו בכמה קטן הרווח של המאפייה במחזור הייצור שבמהלכו הייתה הפסקת החשמל מן הרווח המקסימלי במחזור ייצור רגיל.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – מערכת האילוצים

אילוץ 1 – מספר העוגות אינו שלילי:📐 כלל: אי־שליליותמספר סוכריות לא יכול להיות שלילי
x ≥ 0 , y ≥ 0
אילוץ 2 – מכונת התערובת: כל עוגה (שוקולד או גבינה) צריכה 4 דקות במכונה, ולכן x עוגות שוקולד צריכות 4x דקות ו־y עוגות גבינה צריכות 4y דקות. המכונה פועלת 48 דקות לכל היותר:📐 כלל: אילוץכמות של משהו ≤ המקסימום המותר
4x + 4y ≤ 48
אילוץ 3 – התנור: עוגת שוקולד נאפית 20 דקות ועוגת גבינה 60 דקות. התנור פועל 360 דקות לכל היותר:📐 כלל: אילוץכמות של משהו ≤ המקסימום המותר
20x + 60y ≤ 360
✅ פתרון סופי: x ≥ 0 , y ≥ 0 , 4x + 4y ≤ 48 , 20x + 60y ≤ 360

סעיף ב – שיעורי הנקודות A, B, C

נצמצם קודם את שני האילוצים כדי לעבוד עם מספרים קטנים: נחלק את הראשון ב־4 ואת השני ב־20:
x + y = 12
x + 3y = 18
הנקודה A על ציר ה־y, על הישר הנמוך יותר שם. נבדוק את שני הישרים:📐 כלל: נקודה על ציר ה־yx = 0
x + y = 12
⟹ y = 12
x + 3y = 18
⟹ 3y = 18
⟹ y = 6
הנקודה (0 , 6) נמוכה יותר, ולכן:
A(0 , 6)
הנקודה B על ציר ה־x, על הישר הקרוב יותר לראשית:📐 כלל: נקודה על ציר ה־xy = 0
x + y = 12
⟹ x = 12
x + 3y = 18
⟹ x = 18
הנקודה (12 , 0) קרובה יותר לראשית, ולכן:
B(12 , 0)
הנקודה C היא נקודת המפגש של שני הישרים:📐 כלל: מפגש שני ישריםפותרים את מערכת שתי המשוואות
נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה:
(x + 3y) − (x + y) = 18 − 12
2y = 6
y = 3
נציב במשוואה x + y = 12:
x + 3 = 12
x = 9
C(9 , 3)
xy1812A(0 , 6)B(12 , 0)C(9 , 3)Ox + y = 12x + 3y = 18
✅ פתרון סופי: A(0 , 6) , B(12 , 0) , C(9 , 3)

סעיף ג (1) – פונקציית המטרה

הרווח מעוגת שוקולד 47 שקלים ומעוגת גבינה 60 שקלים:📐 כלל: פונקציית מטרהf(x , y) = a · x + b · ya – הרווח מיחידה מהסוג הראשון, b – מהסוג השני
f(x , y) = 47x + 60y
✅ פתרון סופי: f(x , y) = 47x + 60y

סעיף ג (2) – הרווח המקסימלי

נציב את קודקודי התחום האפשרי בפונקציית המטרה:📐 משפט: ערך מקסימלי בתכנון ליניאריהערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום האפשרי – מציבים כל קודקוד
בנקודה O(0 , 0):
f = 0
בנקודה A(0 , 6):
f = 47 · 0 + 60 · 6 = 360
בנקודה B(12 , 0):
f = 47 · 12 + 60 · 0 = 564
בנקודה C(9 , 3):
f = 47 · 9 + 60 · 3
= 423 + 180 = 603
הרווח הגדול ביותר, 603 שקלים, מתקבל בנקודה C.
✅ פתרון סופי: 9 עוגות שוקולד ו־3 עוגות גבינה (רווח של 603 שקלים)

סעיף ד – הירידה ברווח

במחזור עם הפסקת החשמל הכינו 9 עוגות שוקולד ו־2 עוגות גבינה. נציב בפונקציית המטרה:📐 כלל: פונקציית מטרהf(x , y) = a · x + b · ya – הרווח מיחידה מהסוג הראשון, b – מהסוג השני
f(9 , 2) = 47 · 9 + 60 · 2
= 423 + 120 = 543
הרווח המקסימלי במחזור רגיל הוא 603 שקלים (סעיף ג). ההפרש:
603 − 543 = 60
✅ פתרון סופי: הרווח קטן ב־60 שקלים

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

אx ≥ 0 , y ≥ 0
4x + 4y ≤ 48
20x + 60y ≤ 360
בA(0 , 6) , B(12 , 0) , C(9 , 3)
ג (1)f(x , y) = 47x + 60y
ג (2)9 שוקולד , 3 גבינה
ד60 שקלים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – גאומטרייה אנליטית: מרובע ABCD ומשולש CDE

📄 נוסח השאלה

נתון מרובע ABCD. הקודקוד A נמצא על ציר ה־x, הצלע CD מקבילה לציר ה־x, והצלע AB מאונכת לצלע AD, כמתואר בסרטוט.

משוואת הצלע AB היא y = −12x + 5.

סרטוט המרובע ABCD משאלה 2

א. (1) מצאו את שיעורי הקודקוד A.

(2) מצאו את משוואת הצלע AD.

משוואת האלכסון BD היא y = 0.75x + 2.5.

ב. מצאו את שיעורי הקודקוד D.

אורך הצלע CD הוא 4.

ג. מצאו את שיעורי הקודקוד C.

הנקודה E היא אמצע הצלע AD.

ד. חשבו את היקף המשולש CDE.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א (1) – שיעורי A

A על ציר ה־x, ולכן נציב y = 0 במשוואת AB:📐 כלל: נקודה על ציר ה־xy = 0
0 = −12x + 5
12x = 5
x = 10
A(10 , 0)
✅ פתרון סופי: A(10 , 0)

סעיף א (2) – משוואת AD

שיפוע הצלע AB:📐 כלל: שיפוע מתוך משוואת ישרy = mx + nהמקדם של x הוא השיפוע m
mAB = −12
AD מאונכת ל־AB, ולכן מכפלת השיפועים היא −1:📐 כלל: ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
−12 · mAD = −1
mAD = 2
הישר AD עובר דרך A(10 , 0):📐 נוסחה: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודהy − y1 = m(x − x1)
y − 0 = 2(x − 10)
y = 2x − 20
✅ פתרון סופי: y = 2x − 20

סעיף ב – שיעורי D

D היא נקודת המפגש של הצלע AD עם האלכסון BD. נשווה את שתי המשוואות:📐 כלל: מפגש שני ישריםפותרים את מערכת שתי המשוואות
2x − 20 = 0.75x + 2.5
2x − 0.75x = 2.5 + 20
1.25x = 22.5
x = 18
נציב במשוואת AD:
y = 2 · 18 − 20 = 16
D(18 , 16)
✅ פתרון סופי: D(18 , 16)

סעיף ג – שיעורי C

CD מקבילה לציר ה־x, ולכן ל־C אותו שיעור y כמו ל־D:📐 כלל: ישר מקביל לציר ה־xy = kלכל הנקודות על הישר אותו שיעור y
yC = 16
אורך CD הוא 4, ולפי הסרטוט C נמצאת משמאל ל־D, ולכן נחסר 4 משיעור ה־x של D:
xC = 18 − 4 = 14
C(14 , 16)
✅ פתרון סופי: C(14 , 16)

סעיף ד – היקף המשולש CDE

E אמצע AD, כאשר A(10 , 0) ו־D(18 , 16):📐 נוסחה: אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
xE = 10 + 182 = 14
yE = 0 + 162 = 8
E(14 , 8)
נחשב את אורכי הצלעות של המשולש CDE:
CD = 4
DE = √((18 − 14)2 + (16 − 8)2)📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודותd = √((x1 − x2)2 + (y1 − y2)2)
= √(16 + 64) = √80 = 4√5
CE = √((14 − 14)2 + (16 − 8)2)📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודותd = √((x1 − x2)2 + (y1 − y2)2)
= √64 = 8
נחבר את שלוש הצלעות:📐 הגדרה: היקף משולשהיקף = סכום שלוש הצלעות
4 + 4√5 + 8 = 12 + 4√5
≈ 20.94
xy101418816ABCDE484√5
✅ פתרון סופי: 12 + 4√5 ≈ 20.94

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

א (1)A(10 , 0)
א (2)y = 2x − 20
בD(18 , 16)
גC(14 , 16)
ד12 + 4√5 ≈ 20.94
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 27 – מציאת קו ישר מקביל ומאונך 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – התפלגות נורמלית: המרחקים שנסעו שליחים

📄 נוסח השאלה

חברת שליחויות בדקה את המרחק שנסע כל אחד מן השליחים שלה בחודש מסוים. נמצא כי המרחקים שנסעו השליחים מתפלגים נורמלית, והממוצע הוא 1,470 ק"מ. 7% מן השליחים נסעו מרחק קטן מ־810 ק"מ בחודש זה.

א. (1) מצאו את סטיית התקן של המרחקים שנסעו השליחים בחודש זה.

(2) בסוף השאלה מוצג גרף ההתפלגות הנורמלית. השלימו במלבנים הריקים שבגרף את המרחקים שנסעו השליחים בחודש זה.

ב. כמה אחוזים מן השליחים נסעו בחודש זה מרחק גדול מן הממוצע וקטן מ־1,910 ק"מ?

נמצא כי 170 שליחים נסעו בחודש זה מרחק גדול מן הממוצע וקטן מ־1,910 ק"מ.

ג. על פי גרף ההתפלגות הנורמלית, כמה שליחים סך הכול יש בחברה?

שליחים שציון התקן של המרחק שהם נסעו היה גבוה מ־2.6, קיבלו תוספת לשכר. דני, שליח בחברה, נסע 2,482 ק"מ בחודש זה.

ד. האם קיבל דני תוספת לשכר בחודש זה? נמקו את תשובתכם.

גרף ההתפלגות הנורמלית משאלה 3
✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – סטיית התקן

7% מהשליחים נסעו פחות מ־810 ק"מ. נצבור אחוזים מהקצה השמאלי של הגרף:📐 כלל: גרף ההתפלגות הנורמליתכל מלבן בגרף הוא חצי סטיית תקן. האחוזים מהממוצע והלאה: 19% , 15% , 9% , 5% , 1.5% , 0.5% (לכל צד)
0.5% + 1.5% + 5% = 7%
כלומר 810 נמצא שלושה מלבנים משמאל לממוצע. כל מלבן הוא חצי סטיית תקן, ולכן שלושה מלבנים הם סטיית תקן וחצי. ציון התקן של 810:
z = −1.5📐 נוסחה: ציון תקןz = x − ממוצעסטיית תקן
−1.5 = 810 − 1470סטיית תקן
−1.5 = −660סטיית תקן
נכפול בסטיית התקן ונחלק ב־(−1.5):
−660−1.5 = 440
כלומר סטיית התקן היא 440 ק"מ.
✅ פתרון סופי: סטיית התקן היא 440 ק"מ

סעיף א (2) – הערכים בגרף

כל מלבן הוא חצי סטיית תקן:📐 כלל: גרף ההתפלגות הנורמליתכל מלבן בגרף הוא חצי סטיית תקן. האחוזים מהממוצע והלאה: 19% , 15% , 9% , 5% , 1.5% , 0.5% (לכל צד)
4402 = 220
באמצע הגרף הממוצע 1470. כל קו ימינה מוסיף 220, וכל קו שמאלה מוריד 220:
1470 + 220 = 1690
1690 + 220 = 1910
1910 + 220 = 2130
2130 + 220 = 2350
2350 + 220 = 2570
1470 − 220 = 1250
1250 − 220 = 1030
1030 − 220 = 810
810 − 220 = 590
590 − 220 = 370
3705908101030125014701690191021302350257019%19%15%15%9%9%5%5%1.5%1.5%0.5%0.5%
✅ פתרון סופי: משמאל לימין:
370 , 590 , 810 , 1030
1250 , 1470 , 1690 , 1910
2130 , 2350 , 2570

סעיף ב – אחוז השליחים בין הממוצע ל־1910

לפי הגרף, 1910 נמצא שני מלבנים מימין לממוצע 1470. נחבר את שני המלבנים:📐 כלל: גרף ההתפלגות הנורמליתכל מלבן בגרף הוא חצי סטיית תקן. האחוזים מהממוצע והלאה: 19% , 15% , 9% , 5% , 1.5% , 0.5% (לכל צד)
19% + 15% = 34%
3705908101030125014701690191021302350257019%19%15%15%9%9%5%5%1.5%1.5%0.5%0.5%
✅ פתרון סופי: 34%

סעיף ג – מספר השליחים

170 שליחים הם 34% מכלל השליחים. נסמן ב־n את מספר השליחים:📐 כלל: חלק מתוך כמותחלק = אחוז · כמות כוללת
0.34 · n = 170
n = 1700.34
n = 500
✅ פתרון סופי: 500 שליחים

סעיף ד – האם דני קיבל תוספת?

נחשב את ציון התקן של המרחק של דני:📐 נוסחה: ציון תקןz = x − ממוצעסטיית תקן
z = 2482 − 1470440
= 1012440 = 2.3
2.3 קטן מ־2.6, ולכן ציון התקן של דני אינו גבוה מ־2.6.
✅ פתרון סופי: לא, דני לא קיבל תוספת (ציון התקן שלו 2.3)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

א (1)440 ק"מ
א (2)370 , 590 , … , 2570 (קפיצות של 220)
ב34%
ג500 שליחים
דלא (ציון תקן 2.3)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3 – תרגול מציאת ציונים בגרף פעמון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – מודל ריבועי: מסלול סקייטבורד בצורת פרבולה

📄 נוסח השאלה

נועם גולש בסקייטבורד על מסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא y = 0.4x2 − 1.2x. המסלול מתחיל בראשית הצירים O ומסתיים בנקודה A הנמצאת על ציר ה־x, כמתואר בסרטוט.

ציר ה־x מונח על פני הקרקע ומייצג את המרחק האופקי (במטרים) מן הנקודה O, וציר ה־y מייצג את גובה המסלול (במטרים) ביחס לפני הקרקע.

סרטוט המסלול משאלה 4

א. מצאו את אורך הקטע OA.

ב. מצאו את שיעורי הנקודה הנמוכה ביותר במסלול.

ג. מצאו בעבור אילו ערכים של x גלש נועם במגמת ירידה.

ד. מצאו בעבור אילו ערכים של x עבר נועם במסלול בנקודות ששיעור ה־y שלהן הוא −0.5.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – אורך הקטע OA

A על ציר ה־x, ולכן y = 0. נפתור:📐 כלל: נקודה על ציר ה־xy = 0
0.4x2 − 1.2x = 0
נוציא גורם משותף x:📐 כלל: מכפלה ששווה לאפסמכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
x(0.4x − 1.2) = 0
x = 0
או
0.4x − 1.2 = 0
0.4x = 1.2
x = 3
x = 0 היא הנקודה O, ולכן A(3 , 0). המרחק בין O ל־A:
OA = 3 − 0 = 3
✅ פתרון סופי: אורך הקטע OA הוא 3 מטרים

סעיף ב – הנקודה הנמוכה ביותר

המקדם של x2 חיובי (a = 0.4), ולכן הפרבולה "מחייכת" והקדקוד הוא הנקודה הנמוכה ביותר. נציב a = 0.4 , b = −1.2:📐 נוסחה: שיעור ה־x של קדקוד הפרבולהx = −b2a
x = −(−1.2)2 · 0.4 = 1.20.8 = 1.5
נציב x = 1.5 במשוואת המסלול:📐 כלל: ערך הפונקצייה בנקודהמציבים את ה־x בפונקצייה
y = 0.4 · 1.52 − 1.2 · 1.5
= 0.4 · 2.25 − 1.8
= 0.9 − 1.8 = −0.9
✅ פתרון סופי: (1.5 , −0.9)

סעיף ג – מגמת ירידה

הפרבולה "מחייכת", ולכן היא יורדת משמאל לקדקוד, כלומר בעבור x קטן מ־1.5:📐 כלל: ירידה בפרבולה עם a חיוביכש־a > 0 הפרבולה "מחייכת": יורדת משמאל לקדקוד ועולה מימינו
המסלול מתחיל ב־O שבה x = 0, ולכן נועם גלש במגמת ירידה בעבור:
0 < x < 1.5
xy0.51.52.53−0.5−0.9OA(1.5 , −0.9)y = −0.5
✅ פתרון סופי: 0 < x < 1.5

סעיף ד – הנקודות שבהן y = −0.5

נציב y = −0.5 במשוואת המסלול:
0.4x2 − 1.2x = −0.5
0.4x2 − 1.2x + 0.5 = 0
נזהה את המקדמים:📐 נוסחה: נוסחת השורשיםax2 + bx + c = 0x1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
a = 0.4
b = −1.2
c = 0.5
נחשב קודם את הביטוי שבתוך השורש:
b2 − 4ac = (−1.2)2 − 4 · 0.4 · 0.5
= 1.44 − 0.8
= 0.64
√0.64 = 0.8
נציב בנוסחת השורשים:
x1,2 = −(−1.2) ± 0.82 · 0.4 = 1.2 ± 0.80.8
x1 = 1.2 + 0.80.8 = 2.5
x2 = 1.2 − 0.80.8 = 0.5
שני הפתרונות בין 0 ל־3, כלומר על המסלול.
בדיקה: 0.4 · 0.25 − 0.6 = −0.5 ✓ , 0.4 · 6.25 − 3 = −0.5 ✓
✅ פתרון סופי: x = 0.5 , x = 2.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

א3 מטרים
ב(1.5 , −0.9)
ג0 < x < 1.5
דx = 0.5 , x = 2.5
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס פרבולה 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – ראייה מרחבית: תרשים מספרים ומבטים של מבנה

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מוצג מבנה הבנוי מקוביות זהות. החץ בסרטוט מסמן את הכיוון של המבט מלפנים. כל קובייה במבנה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת.

המבנה משאלה 5

א. השלימו בתבנית שלפניכם את תרשים המספרים של המבנה.

לפניכם ארבעה תרשימים IV–I. אחד מהם מתאר מבט מלפנים של המבנה, אחד – מבט מימין, אחד – מבט מלמעלה ואחד אינו מתאר שום מבט של המבנה.

ארבעת התרשימים I עד IV משאלה 5

ב. כתבו איזה תרשים מתאר כל מבט.

ג. השלימו בתבנית שלפניכם את המבט משמאל של המבנה.

הוסיפו למבנה 5 קוביות כך שהמבט מלפנים לא השתנה, והמבט מלמעלה נראה כמתואר בתרשים שלפניכם.

המבט מלמעלה אחרי הוספת הקוביות

ד. סרטטו תרשים מספרים אפשרי של המבנה לאחר הוספת הקוביות.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – תרשים המספרים

נעבור על המבנה שורה אחר שורה, מהשורה הקדמית (הקרובה לחץ) עד השורה האחורית, ונספור בכל מקום כמה קוביות מונחות זו על זו:📐 כלל: תרשים מספריםבכל משבצת כותבים כמה קוביות מונחות זו על זו במקום הזה (משבצת ריקה – אין קוביות)
שורה קדמית (משמאל לימין): 2 , 0 , 0 , 1
שורה שנייה: 1 , 0 , 0 , 1
שורה שלישית: 2 , 0 , 1 , 2
שורה אחורית: 2 , 2 , 4 , 3
2243
212
11
21
⬆️ מלפנים
המבנה
✅ פתרון סופי: תרשים המספרים (השורה העליונה היא השורה האחורית):
2243
212
11
21

סעיף ב – איזה תרשים מתאר כל מבט

מבט מלפנים – בכל עמודה של התרשים (משמאל לימין) המספר הגדול ביותר:📐 כלל: מבט מלפניםלכל עמודה בתרשים (משמאל לימין) לוקחים את המספר הגדול ביותר בה
עמודה ראשונה: 2 , שנייה: 2 , שלישית: 4 , רביעית: 3
מבט מלפנים
זה תרשים I.
מבט מימין – בכל שורה המספר הגדול ביותר, מהשורה הקדמית לאחורית:📐 כלל: מבט מימיןלכל שורה בתרשים לוקחים את המספר הגדול ביותר בה. מימין רואים את החלק הקדמי בצד שמאל
2 , 1 , 2 , 4
מבט מימין
זה תרשים IV.
מבט מלמעלה – המשבצות התפוסות:📐 כלל: מבט מלמעלהרואים בדיוק את המשבצות שיש עליהן קובייה אחת לפחות – בלי קשר לגובה
⬆️ מלפנים
מבט מלמעלה
זה תרשים II.
בתרשים III גובהי העמודות הם 3 , 4 , 1 , 2 – זה לא המבט מלפנים, לא המבט מימין ולא המבט מלמעלה, ולכן הוא אינו מתאר שום מבט.
✅ פתרון סופי:
מבט מלפנים – תרשים I
מבט מלמעלה – תרשים II
לא מתאר שום מבט – תרשים III
מבט מימין – תרשים IV

סעיף ג – המבט משמאל

בכל שורה המספר הגדול ביותר. משמאל רואים את השורה האחורית בצד שמאל:📐 כלל: מבט משמאללכל שורה בתרשים לוקחים את המספר הגדול ביותר בה. משמאל רואים את החלק האחורי בצד שמאל ואת החלק הקדמי בצד ימין
שורה אחורית: 4 , שורה שלישית: 2 , שורה שנייה: 1 , שורה קדמית: 2
מבט משמאל
שימו לב: המבט משמאל הוא תמונת ראי של המבט מימין (2 , 1 , 2 , 4 בסדר הפוך).
✅ פתרון סופי: עמודות בגובה 4 , 2 , 1 , 2 (משמאל לימין)

סעיף ד – הוספת 5 קוביות

נשווה את המבט מלמעלה החדש למבט מלמעלה של המבנה:📐 כלל: מבט מלמעלהרואים בדיוק את המשבצות שיש עליהן קובייה אחת לפחות – בלי קשר לגובה
⬆️ מלפנים
לפני
⬆️ מלפנים
אחרי (נתון)
המשבצת היחידה שנוספה היא המשבצת השלישית בשורה הקדמית. לכן חייבים לשים בה קובייה אחת לפחות.
המבט מלפנים צריך להישאר 2 , 2 , 4 , 3, ולכן בכל עמודה אסור לעבור את הגובה הזה:📐 כלל: מבט מלפניםלכל עמודה בתרשים (משמאל לימין) לוקחים את המספר הגדול ביותר בה
בעמודה השלישית מותר עד 4 קוביות, ברביעית עד 3, ובראשונה עד 2.
דוגמה אפשרית: 3 קוביות במשבצת השלישית בשורה הקדמית, קובייה אחת על המשבצת הרביעית בשורה הקדמית (מ־1 ל־2), וקובייה אחת על המשבצת הראשונה בשורה השנייה (מ־1 ל־2):
3 + 1 + 1 = 5
2243
212
21
232
⬆️ מלפנים
אחרי ההוספה (בירוק)
בדיקה – מבט מלפנים: 2 , 2 , 4 , 3 ✓ (לא השתנה)
✅ פתרון סופי: תרשים אפשרי (יש הרבה אפשרויות):
2243
212
21
232

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

א
2243
212
11
21
במלפנים – I
מלמעלה – II
אף מבט – III
מימין – IV
געמודות 4 , 2 , 1 , 2
ד
2243
212
21
232
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – גופים במרחב: קרטון חלב בצורת תיבה וכוסות בצורת גליל

📄 נוסח השאלה

דני קנה ביום א' קרטון חלב בצורת תיבה שבסיסה ריבוע. גובה הקרטון הוא 24 ס"מ, ואורך צלע הבסיס שלו הוא 6.5 ס"מ (ראו סרטוט).

קרטון החלב משאלה 6

א. מצאו את הנפח של קרטון החלב.

לדני יש 7 כוסות שתייה זהות בצורת גליל. רדיוס הבסיס של כל כוס הוא 3 ס"מ, ושטח המעטפת שלה הוא 48π סמ"ר.

כוס בצורת גליל משאלה 6

ב. (1) מצאו את גובה הכוס.

(2) מצאו את נפח הכוס.

דני החליט לכבד את חבריו בחלב שקנה. הוא רוצה למזוג לכל אחת מ־7 הכוסות שלו חלב בנפח ששווה ל־85% מנפח הכוס.

ג. האם כמות החלב שבקרטון תספיק כדי למלא 85% מן הנפח של 7 הכוסות? נמקו את תשובתכם.

ביום ב' קנה דני קרטון חלב גדול יותר מזה שקנה ביום א'. גם קרטון זה הוא בצורת תיבה שבסיסה ריבוע, וגובהו 24 ס"מ. נתון כי הנפח של קרטון זה הוא 1,500 סמ"ק.

ד. מצאו את אורך צלע הבסיס של קרטון החלב שקנה דני ביום ב'.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – נפח הקרטון

הבסיס ריבוע שצלעו 6.5 ס"מ, והגובה 24 ס"מ:📐 נוסחה: נפח תיבה שבסיסה ריבועV = a2 · h
V = 6.52 · 24
= 42.25 · 24 = 1014
✅ פתרון סופי: 1014 סמ"ק

סעיף ב (1) – גובה הכוס

שטח המעטפת נתון, 48π, והרדיוס 3. נציב:📐 נוסחה: שטח מעטפת של גלילM = 2π · r · h
2π · 3 · h = 48π
6π · h = 48π
נחלק את שני האגפים ב־6π:
h = 8
✅ פתרון סופי: גובה הכוס 8 ס"מ

סעיף ב (2) – נפח הכוס

רדיוס 3 ס"מ וגובה 8 ס"מ:📐 נוסחה: נפח גלילV = π · r2 · h
V = π · 32 · 8
= 72π ≈ 226.2
✅ פתרון סופי: 72π ≈ 226.2 סמ"ק

סעיף ג – האם החלב יספיק?

כמות החלב לכוס אחת היא 85% מנפח הכוס:📐 כלל: אחוז מכמותכדי לחשב p אחוז מכמות, מכפילים את הכמות ב־p100
0.85 · 72π ≈ 192.3
לשבע כוסות:
7 · 0.85 · 72π ≈ 1345.9
בקרטון יש 1014 סמ"ק (סעיף א), וזה פחות מ־1345.9:
1014 < 1345.9
✅ פתרון סופי: לא, החלב לא יספיק (צריך בערך 1345.9 סמ"ק, ויש 1014 סמ"ק)

סעיף ד – צלע הבסיס של הקרטון של יום ב'

נסמן את צלע הבסיס ב־a. הנפח 1500 והגובה 24:📐 נוסחה: נפח תיבה שבסיסה ריבועV = a2 · h
a2 · 24 = 1500
a2 = 150024 = 62.5
צלע היא אורך חיובי, ולכן ניקח את השורש החיובי:
a = √62.5 ≈ 7.9
✅ פתרון סופי: אורך צלע הבסיס בערך 7.9 ס"מ

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

א1014 סמ"ק
ב (1)8 ס"מ
ב (2)72π ≈ 226.2 סמ"ק
גלא
ד≈ 7.9 ס"מ
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3 – חישוב נפח ושטח פנים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־3 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות