בגרות במתמטיקה · 3 יחידות · שאלון 371 (35371) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות – שאלון 371 – חורף 2025

פתרון מלא ומפורט לכל 6 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 6 שאלות בשלושה אשכולות: אשכול חברה ומדע (שאלות 1–2), אשכול התמצאות במישור ובמרחב (שאלות 3–4) ואשכול פיננסי כלכלי (שאלות 5–6). תשובה מלאה על כל שאלה מזכה ב־22 נקודות; מותר לענות, באופן מלא או חלקי, על כמה שאלות שרוצים, אבל סך הנקודות לא יעלה על 100. משך הבחינה: שעתיים וחצי. חומר עזר: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2025

שאלון 371 חורף 2025 – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6 עמודי השאלות
שאלון 371 חורף 2025 – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6 עמודי השאלות
שאלון 371 חורף 2025 – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6 עמודי השאלות
שאלון 371 חורף 2025 – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6 עמודי השאלות
שאלון 371 חורף 2025 – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6 עמודי השאלות
שאלון 371 חורף 2025 – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6 עמודי השאלות

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – סטטיסטיקה: טיסות עובדים לחו"ל

📄 נוסח השאלה

בחברה מסוימת העובדים טסים לחו"ל כמה פעמים בשנה בענייני עבודה.

לפניכם דיאגרמת עמודות המתארת את התפלגות מספר הטיסות בשנה של כל העובדים בחברה.

דיאגרמת עמודות: מספר העובדים לפי מספר הטיסות 2 עד 6

א. (1) מצאו את מספר העובדים בחברה.

(2) מצאו את ממוצע מספר הטיסות של העובדים בחברה.

(3) מצאו את חציון מספר הטיסות של העובדים בחברה.

כל עובד בחברה שטס 4 פעמים או יותר קיבל מענק מהנהלת החברה.

ב. מצאו את אחוז העובדים בחברה שקיבלו מענק.

גם בחברה אחרת העובדים טסים לחו"ל כמה פעמים בשנה. לפניכם טבלה המתארת את התפלגות מספר הטיסות בשנה של כל העובדים בחברה האחרת. נסמן ב־x את מספר הטיסות של 3 עובדים בחברה.

מספר הטיסותx42
מספר העובדים3116

נתון כי ממוצע מספר הטיסות של העובדים בשתי החברות זהה.

ג. מצאו את x.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – מספר העובדים

נקרא מהדיאגרמה את גובה כל עמודה:
מספר הטיסות23456
מספר העובדים587164
02468101214161852837416546
5 + 8 + 7 + 16 + 4 = 40
✅ פתרון סופי: 40 עובדים

סעיף א (2) – הממוצע

סך כל הטיסות (מספר הטיסות · מספר העובדים):
2 · 5 + 3 · 8 + 4 · 7
+ 5 · 16 + 6 · 4
= 10 + 24 + 28 + 80 + 24
= 166
16640📐 ממוצעממוצע = סכום (ערך · מספר הפעמים)מספר הנתונים
= 4.15
✅ פתרון סופי: 4.15 טיסות

סעיף א (3) – החציון

יש 40 נתונים (מספר זוגי), ולכן החציון הוא ממוצע הנתון ה־20 והנתון ה־21.📐 חציוןחציון = הנתון האמצעי כשהנתונים מסודרים לפי הגודל (במספר זוגי של נתונים – ממוצע שני האמצעיים)
נספור לפי הסדר: 2 טיסות – נתונים 1 עד 5; 3 טיסות – 6 עד 13; 4 טיסות – 14 עד 20; 5 טיסות – 21 עד 36.
הנתון ה־20 הוא 4, והנתון ה־21 הוא 5:
4 + 52 = 4.5
✅ פתרון סופי: 4.5

סעיף ב – אחוז העובדים שקיבלו מענק

4 טיסות או יותר:
7 + 16 + 4 = 27
2740 · 100📐 אחוזאחוז = החלקהשלם · 100
= 67.5%
✅ פתרון סופי: 67.5%

סעיף ג – מציאת x

מספר העובדים בחברה האחרת:
3 + 11 + 6 = 20
הממוצע שם שווה לממוצע בחברה הראשונה, 4.15:
3x + 4 · 11 + 2 · 620 = 4.15📐 ממוצעממוצע = סכום (ערך · מספר הפעמים)מספר הנתונים
3x + 5620 = 4.15
נכפול את שני האגפים ב־20:
3x + 56 = 83
3x = 27
x = 9
✅ פתרון סופי: x = 9

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

א (1)40 עובדים
א (2)4.15
א (3)4.5
ב67.5%
גx = 9
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3 – חציון ,שכיח
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – הסתברות: קליעה למטרה

📄 נוסח השאלה

הלוח של משחק קליעה למטרה מחולק לארבעה אזורים. בכל אזור רשום מספר הנקודות שבהן זוכים אם קולעים לאזור זה (ראו סרטוט).

לוח מטרה: עיגול פנימי 100, ומסביבו שלושה אזורים 40, 80, 60

אורית קולעת למטרה בלוח זה. ההסתברות שאורית תקלע לאזור שרשום בו 100 היא 12. ההסתברות שאורית תקלע לכל אחד מן האזורים שרשום בהם 40, 60 או 80 היא זהה, ושווה ל־16.

אורית קלעה למטרה פעם אחת.

א. מהי ההסתברות שאורית זכתה ב־80 נקודות או יותר?

אורית קלעה למטרה פעמיים.

ב. מהי ההסתברות שבכל אחת משתי הפעמים זכתה אורית ב־40 נקודות?

ג. מהי ההסתברות שבשתי הפעמים זכתה אורית באותו מספר נקודות?

ד. מהי ההסתברות שסכום הנקודות שזכתה בהן אורית בשתי הפעמים שווה ל־160?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – 80 נקודות או יותר

80 או יותר: אזור 80 או אזור 100. אי אפשר לקלוע לשניהם בזריקה אחת, ולכן נחבר:
16 + 12📐 חיבור הסתברויותמאורעות זרים (לא יכולים לקרות יחד): ההסתברות לאחד מהם = סכום ההסתברויות
= 16 + 36
= 46 = 23
✅ פתרון סופי: 23

סעיף ב – פעמיים 40

הקליעות בלתי תלויות, ולכן נכפול:
16 · 16 = 136📐 מכפלת הסתברויותשני מאורעות בלתי תלויים: ההסתברות ששניהם יקרו = מכפלת ההסתברויות
✅ פתרון סופי: 136

סעיף ג – אותו מספר נקודות בשתי הפעמים

ארבע אפשרויות זרות: פעמיים 100, פעמיים 40, פעמיים 60, פעמיים 80.
פעמיים 100:
12 · 12 = 14📐 מכפלת הסתברויותשני מאורעות בלתי תלויים: ההסתברות ששניהם יקרו = מכפלת ההסתברויות
פעמיים 40 / 60 / 80 – כל אחת:
16 · 16 = 136
נחבר:
14 + 136 + 136 + 136
= 936 + 336
= 1236 = 13
✅ פתרון סופי: 13

סעיף ד – סכום 160

הזוגות שסכומם 160:
• 80 ואז 80:
16 · 16 = 136
• 100 ואז 60:
12 · 16 = 112 = 336
• 60 ואז 100:
16 · 12 = 336
נחבר:
136 + 336 + 336 = 736
✅ פתרון סופי: 736

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

א23
ב136
ג13
ד736
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3 – הסתברות לקלוע לסל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – משולשים דומים: דלת מלבנית

📄 נוסח השאלה

נתונה דלת שצורתה מלבן ABCD. הנקודה E נמצאת על הצלע AD, והנקודה G נמצאת על הצלע DC.

צבעו את שני המשולשים ABE ו־DEG באפור. את החלק שנשאר צבעו בלבן (ראו סרטוט).

דלת מלבנית ABCD ובה שני משולשים אפורים ABE ו־DEG

נתון: ∢ABE = ∢DEG.

א. הסבירו מדוע המשולשים DEG ו־ABE דומים זה לזה.

נתון: AB = 140 ס"מ, DE = 112 ס"מ.

ב. מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים DEG ו־ABE.

נתון: AD = 217 ס"מ.

ג. מצאו את אורך הקטע DG.

ד. (1) חשבו את השטח הכולל שצבעו באפור.

(2) חשבו את השטח שצבעו בלבן (המרובע BEGC).

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – למה המשולשים דומים

ABCD מלבן, ולכן כל זוויותיו ישרות: ∢A = ∢D = 90 מעלות.
נתון: ∢ABE = ∢DEG.
בשני המשולשים יש שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן הם דומים.📐 משפט דמיוןשתי זוויות שוות בהתאמה ← המשולשים דומים (ז.ז.)
ההתאמה: A מתאים ל־D, B ל־E, E ל־G.
✅ פתרון סופי: דומים לפי שתי זוויות: ∢A = ∢D (ישרות) ו־∢ABE = ∢DEG

סעיף ב – יחס הדמיון

לפי ההתאמה, DE במשולש DEG מתאים ל־AB במשולש ABE (שתיהן צלעות בין הזווית הישרה לזווית השווה):
DEAB = 112140📐 משולשים דומיםבמשולשים דומים: יחס הצלעות המתאימות = יחס הדמיון
= 45
✅ פתרון סופי: 45 (משולש DEG למשולש ABE)

סעיף ג – הקטע DG

קודם AE:
AE = AD − DE
AE = 217 − 112 = 105
DG מתאים ל־AE:
DGAE = 45📐 משולשים דומיםבמשולשים דומים: יחס הצלעות המתאימות = יחס הדמיון
DG105 = 45
DG = 105 · 45
DG = 84
AB ED GC 140105 11284
✅ פתרון סופי: 84 ס"מ

סעיף ד (1) – השטח האפור

שני המשולשים ישרי זווית, ולכן הניצבים הם צלע וגובה:
SABE = 140 · 1052 = 7,350📐 שטח משולששטח משולש = צלע · הגובה לצלע2
SDEG = 112 · 842 = 4,704
יחד:
7,350 + 4,704 = 12,054
✅ פתרון סופי: 12,054 סמ"ר

סעיף ד (2) – השטח הלבן

SABCD = 140 · 217 = 30,380📐 שטח מלבןS = a · b
הלבן – הדלת פחות האפור:
30,380 − 12,054 = 18,326
✅ פתרון סופי: 18,326 סמ"ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

אשתי זוויות שוות (ז.ז.)
ב45
ג84 ס"מ
ד (1)12,054 סמ"ר
ד (2)18,326 סמ"ר
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – טריגונומטריה: מתקן בגן שעשועים

📄 נוסח השאלה

בגן שעשועים בנו מתקן שצורתו טרפז ישר זווית ABCD (BC < AD, ∢BCD = 90 מעלות). הצלע AD מונחת על הקרקע. מן הנקודה D לנקודה B בנו קורת תמיכה למתקן (BD). BE הוא חבל טיפוס המאונך לקרקע (ראו סרטוט).

טרפז ישר זווית ABCD, הקטע BE מאונך ל־AD והקטע BD אלכסון

נתון: AB = 4 מטרים, ∢BAE = 37 מעלות.

א. מצאו את האורך של חבל הטיפוס (BE).

נתון כי האורך של קורת התמיכה (BD) הוא 6.5 מטרים.

ב. (1) מצאו את האורך של הקטע ED.

(2) מצאו את האורך של הצלע AD.

לפי דרישת מהנדס העירייה, הזווית שבין קורת התמיכה לקרקע (∢BDE) צריכה להיות גדולה מ־20 מעלות.

ג. האם המתקן מתאים לדרישת המהנדס? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – חבל הטיפוס BE

במשולש ABE הזווית E ישרה. AB = 4 הוא היתר, ו־BE מול הזווית A (נגדי):
sin 37 = BE4📐 טריגונומטריה
sin = נגדייתר
cos = לידיתר
tan = נגדיליד
BE = 4 · sin 37
BE ≈ 4 · 0.6018
BE ≈ 2.407
ABCDE 437 2.4076.5
✅ פתרון סופי: ≈ 2.407 מטרים

סעיף ב (1) – הקטע ED

במשולש BED הזווית E ישרה, ו־BD = 6.5 הוא היתר:
ED2 + 2.4072 = 6.52📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
ED2 + 5.794 = 42.25
ED2 ≈ 36.456
ED ≈ 6.038
✅ פתרון סופי: ≈ 6.038 מטרים

סעיף ב (2) – הצלע AD

קודם AE – ליד הזווית A במשולש ABE:
cos 37 = AE4📐 טריגונומטריה
sin = נגדייתר
cos = לידיתר
tan = נגדיליד
AE = 4 · cos 37
AE ≈ 4 · 0.7986
AE ≈ 3.1945
ואז:
AD = AE + ED
AD ≈ 3.1945 + 6.0379
AD ≈ 9.232
✅ פתרון סופי: ≈ 9.232 מטרים

סעיף ג – האם הזווית גדולה מ־20 מעלות

במשולש BED: BE מול הזווית D (נגדי), ו־BD היתר:
sin ∢BDE = 2.4076.5📐 טריגונומטריה
sin = נגדייתר
cos = לידיתר
tan = נגדיליד
sin ∢BDE ≈ 0.3703
נמצא את הזווית במחשבון:
∢BDE ≈ 21.7
21.7 מעלות – יותר מ־20 מעלות.
✅ פתרון סופי: כן – הזווית כ־21.7 מעלות

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

א≈ 2.407 מטרים
ב (1)≈ 6.038 מטרים
ב (2)≈ 9.232 מטרים
גכן (כ־21.7 מעלות)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 5 – תרגול משולש ישר זווית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – גדילה ודעיכה: מכונית אספנות ומכונית משפחתית

📄 נוסח השאלה

המחיר של מכונית אספנות גדל בכל שנה באחוז קבוע, והמחיר של מכונית משפחתית קטן בכל שנה באחוז קבוע.

הגרפים I–II שלפניכם מתארים את המחיר של כל אחת מן המכוניות, לפי השנה.

שני גרפים בין 2010 ל־2016: גרף II יורד וגרף I עולה, והם נפגשים ב־2016

א. על פי הגרפים, האם בתחילת שנת 2010 היה המחיר של מכונית האספנות גבוה יותר מן המחיר של המכונית המשפחתית?

בתחילת שנת 2010 היה המחיר של מכונית האספנות 40,000 שקלים, ובתחילת שנת 2012 היה מחירה 42,436 שקלים.

ב. (1) מצאו בכמה אחוזים גדל המחיר של מכונית האספנות בכל שנה.

(2) מצאו מה היה המחיר של מכונית האספנות בתחילת שנת 2016.

בתחילת שנת 2016 היה המחיר של שתי המכוניות זהה. המחיר של המכונית המשפחתית קטן בכל שנה ב־15%.

מיכל חסכה כסף לקניית מכונית. בתחילת שנת 2017 היו לה 41,000 שקלים.

ג. האם בתחילת שנה זו יכלה מיכל לקנות את המכונית המשפחתית? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – מי יקרה יותר ב־2010

מחיר מכונית האספנות גדל – זה הגרף העולה, גרף I. מחיר המכונית המשפחתית קטן – הגרף היורד, גרף II.
בשנת 2010 גרף I נמוך מגרף II, ולכן מכונית האספנות הייתה זולה יותר.
✅ פתרון סופי: לא

סעיף ב (1) – אחוז הגידול

מתחילת 2010 עד תחילת 2012 עברו 2 שנים:
40,000 · q2 = 42,436📐 גדילה ודעיכה
Mt = M0 · qt
הכמות בהתחלה: M0
גורם השינוי: q
מספר השנים: t
נחלק את שני האגפים ב־40,000:
q2 = 1.0609
q = √1.0609
q = 1.03
1.03 = 1 + p100📐 גורם גדילהגדילה ב־p%: q = 1 + p100
p = 3
✅ פתרון סופי: גדל ב־3% בכל שנה

סעיף ב (2) – המחיר בתחילת 2016

מ־2010 עד 2016 עברו 6 שנים:
M6 = 40,000 · 1.036📐 גדילה ודעיכה
Mt = M0 · qt
הכמות בהתחלה: M0
גורם השינוי: q
מספר השנים: t
M6 ≈ 40,000 · 1.19405
M6 ≈ 47,762
✅ פתרון סופי: ≈ 47,762 שקלים

סעיף ג – האם מיכל יכלה לקנות

בתחילת 2016 גם המכונית המשפחתית עלתה כ־47,762 שקלים. אחרי שנה אחת ירידה של 15%:
q = 1 − 15100 = 0.85📐 גורם דעיכהדעיכה ב־p%: q = 1 − p100
M1 = 47,762 · 0.85
M1 ≈ 40,598
40,598 < 41,000
למיכל יש מספיק כסף.
✅ פתרון סופי: כן – המכונית עלתה כ־40,598 שקלים

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

אלא
ב (1)3%
ב (2)≈ 47,762 שקלים
גכן (כ־40,598 שקלים)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – מציאת q
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – פונקציה קווית: קניית פרחים

📄 נוסח השאלה

במשתלה מסוימת אפשר לקנות פרחים בשתי דרכים: בחנות המשתלה או באתר האינטרנט של המשתלה.

בקנייה בחנות המחיר של כל פרח הוא 7.5 שקלים.

בקנייה באתר האינטרנט המחיר של כל פרח הוא 5 שקלים, ונוסף על כך יש לשלם 40 שקלים בעבור משלוח.

לפניכם שני גרפים I–II המתארים את שתי הדרכים האפשריות לקנות פרחים.

שני ישרים: גרף II מקווקו ומתחיל מעל הראשית, גרף I יוצא מהראשית

א. קבעו איזה מן הגרפים I–II מתאר קניית פרחים באתר האינטרנט.

ב. לפניכם שלושה ביטויים 1–3. קבעו מהו הביטוי המתאים למחיר של x פרחים בקנייה בחנות.

(1) 7.5   (2) 7.5x   (3) 7.5x + 40

ג. כתבו ביטוי המתאים למחיר של x פרחים בקנייה באתר האינטרנט.

ד. מצאו בעבור כמה פרחים המחיר בקנייה בחנות יהיה שווה למחיר בקנייה באתר האינטרנט.

ה. מצאו כמה פרחים אפשר לקנות באתר האינטרנט במחיר של 210 שקלים.

ענת קנתה פרחים בחנות, ולאחר מכן היא קנתה באתר האינטרנט פרחים נוספים. מספר הפרחים שהיא קנתה בחנות היה שווה למספר הפרחים שהיא קנתה באתר האינטרנט. ענת שילמה 490 שקלים סך הכול.

ו. מצאו כמה פרחים קנתה ענת באתר האינטרנט.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – איזה גרף מתאר את האתר

באתר משלמים 40 שקלים משלוח גם לפני שקונים פרח, ולכן הגרף מתחיל מעל ראשית הצירים. כך גרף II.
גרף I יוצא מהראשית – בחנות בלי פרחים לא משלמים כלום.
✅ פתרון סופי: גרף II

סעיף ב – הביטוי לקנייה בחנות

x פרחים, כל אחד 7.5 שקלים:📐 מחירמחיר = מחיר לפרח · מספר הפרחים
7.5 · x = 7.5x
ביטוי (1) הוא מחיר של פרח אחד, וביטוי (3) כולל דמי משלוח שאין בחנות.
✅ פתרון סופי: ביטוי (2): 7.5x

סעיף ג – הביטוי לקנייה באתר

5 · x + 40 = 5x + 40
✅ פתרון סופי: 5x + 40

סעיף ד – מתי המחירים שווים

7.5x = 5x + 40
2.5x = 40
נחלק את שני האגפים ב־2.5:
x = 402.5
x = 16
בדיקה:
7.5 · 16 = 120
5 · 16 + 40 = 120 ✓
✅ פתרון סופי: 16 פרחים

סעיף ה – כמה פרחים ב־210 שקלים באתר

5x + 40 = 210
5x = 170
x = 34
✅ פתרון סופי: 34 פרחים

סעיף ו – כמה פרחים קנתה ענת באתר

נסמן ב־x את מספר הפרחים בכל אחת מהקניות (אותו מספר בחנות ובאתר):
7.5x + (5x + 40) = 490
12.5x + 40 = 490
12.5x = 450
x = 45012.5
x = 36
בדיקה:
7.5 · 36 + 5 · 36 + 40
= 270 + 180 + 40 = 490 ✓
✅ פתרון סופי: 36 פרחים

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

אגרף II
בביטוי (2) – 7.5x
ג5x + 40
ד16 פרחים
ה34 פרחים
ו36 פרחים
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־3 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות