בגרות במתמטיקה · 3 יחידות · שאלון 172 (35172) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות – שאלון 172 – קיץ 2022 מועד ב'

פתרון מלא ומפורט לכל 6 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 6 שאלות בשלושה אשכולות: אשכול חברה ומדע (שאלות 1–2), אשכול התמצאות במישור ובמרחב (שאלות 3–4) ואשכול פיננסי כלכלי (שאלות 5–6). לכל שאלה 20 נקודות; מותר לענות על כמה שאלות שרוצים, אבל סך הנקודות לא יעלה על 100. משך הבחינה: שעה וחצי. חומר עזר: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2022 מועד ב'

שאלון 172 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 2
עמוד 1 מתוך 5 עמודי השאלות
שאלון 172 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 3
עמוד 2 מתוך 5 עמודי השאלות
שאלון 172 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 4
עמוד 3 מתוך 5 עמודי השאלות
שאלון 172 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 5
עמוד 4 מתוך 5 עמודי השאלות
שאלון 172 קיץ 2022 מועד ב' – עמוד 6
עמוד 5 מתוך 5 עמודי השאלות

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – הסתברות: ספרים בשלוש שפות

📄 נוסח השאלה

על מדף בספרייה יש ספרים בשלוש שפות. סך הכול יש על המדף 100 ספרים. 40 מן הספרים הם באנגלית, 35 מהם בצרפתית, וכל שאר הספרים הם באיטלקית.

בוחרים באקראי ספר אחד מן המדף.

א. מהי ההסתברות שהספר שנבחר הוא באיטלקית?

בוחרים באקראי ספר אחד מן המדף ומחזירים אותו למדף. לאחר מכן שוב בוחרים באקראי ספר אחד מן המדף.

ב. מהי ההסתברות ששני הספרים שנבחרו הם בשפה האנגלית?

ג. מהי ההסתברות ששני הספרים שנבחרו הם באותה השפה?

ד. מהי ההסתברות ששני הספרים שנבחרו הם בשפות שונות?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – ספר באיטלקית

מספר הספרים באיטלקית:
100 − 40 − 35 = 25
P = 25100 = 0.25📐 הסתברותהסתברות = מספר המקרים הרצוייםמספר כל המקרים
✅ פתרון סופי: 0.25

סעיף ב – שני ספרים באנגלית

ההסתברות לספר באנגלית בכל בחירה:
40100 = 0.4
מחזירים את הספר, ולכן בבחירה השנייה ההסתברות זהה. נסרטט עץ:
0.4אנגלית0.4אנגלית0.35צרפתית0.25איטלקית0.35צרפתית0.4אנגלית0.35צרפתית0.25איטלקית0.25איטלקית0.4אנגלית0.35צרפתית0.25איטלקית
0.4 · 0.4 = 0.16📐 מכפלת הסתברויותהסתברות של שני שלבים (עם החזרה) = מכפלת ההסתברויות
✅ פתרון סופי: 0.16

סעיף ג – שני ספרים באותה שפה

באותה שפה = שניהם באנגלית, או שניהם בצרפתית, או שניהם באיטלקית (הענפים הירוקים בעץ). מחברים את שלושת המסלולים:
0.4 · 0.4 + 0.35 · 0.35
+ 0.25 · 0.25
= 0.16 + 0.1225 + 0.0625
= 0.345
✅ פתרון סופי: 0.345

סעיף ד – שני ספרים בשפות שונות

"בשפות שונות" הוא המאורע המשלים של "באותה שפה" (סעיף ג):
1 − 0.345 = 0.655📐 מאורע משליםהסתברות המאורע המשלים = 1 פחות הסתברות המאורע
✅ פתרון סופי: 0.655

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

א0.25
ב0.16
ג0.345
ד0.655
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – קריאת גרף: שתי סירות

📄 נוסח השאלה

סירה א' וסירה ב' יצאו מן המרינה לשיט בים. שתיהן שטו באותו מסלול ישר.

הגרפים שלפניכם מתארים את המרחק של כל אחת מן הסירות מן המרינה (בק"מ), לפי הזמן.

בסירה ב' נעשה שיפוץ קל, ולכן היא יצאה מן המרינה לשיט לאחר צאתה של סירה א'.

גרפים של המרחק מן המרינה לפי השעה, מ־10:00 עד 12:00

א. באיזו שעה יצאה סירה א' מן המרינה, ובאיזו שעה יצאה סירה ב'?

ב. מה היה המרחק בין הסירות בשעה 11:00?

ג. מה היה המרחק שעברה כל אחת מן הסירות מזמן יציאתה מן המרינה ועד השעה 12:00?

ד. איזו סירה מהירה יותר, סירה א' או סירה ב'? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – שעות היציאה

יציאה מן המרינה = המרחק מן המרינה הוא 0. שני הגרפים מתחילים על ציר הזמן:
גרף אחד מתחיל בשעה 10:00 והשני בשעה 10:30. סירה ב' יצאה אחרי סירה א', ולכן:
סירה א' – הגרף שמתחיל ב־10:00; סירה ב' – הגרף שמתחיל ב־10:30.
✅ פתרון סופי: סירה א' – 10:00, סירה ב' – 10:30

סעיף ב – המרחק בין הסירות בשעה 11:00

נקרא מהגרף את המרחק של כל סירה מן המרינה בשעה 11:00:
סירה א': 40 ק"מ. סירה ב': 30 ק"מ.
שתיהן שטות באותו מסלול ישר, ולכן המרחק ביניהן הוא ההפרש:
40 − 30 = 10
✅ פתרון סופי: 10 ק"מ

סעיף ג – הדרך עד 12:00

בשעה 12:00 (מהגרף):
סירה א' נמצאת 80 ק"מ מן המרינה, וסירה ב' נמצאת 90 ק"מ מן המרינה.
שתיהן התחילו במרינה ושטו בקו ישר, ולכן זו הדרך שעברה כל אחת.
✅ פתרון סופי: סירה א' – 80 ק"מ, סירה ב' – 90 ק"מ

סעיף ד – איזו סירה מהירה יותר

סירה א': 80 ק"מ בשעתיים (מ־10:00 עד 12:00):
802 = 40📐 מהירותמהירות = דרךזמן
סירה ב': 90 ק"מ בשעה וחצי (מ־10:30 עד 12:00):
901.5 = 60📐 מהירותמהירות = דרךזמן
60 > 40
סירה ב' עברה דרך ארוכה יותר בזמן קצר יותר, ולכן היא מהירה יותר (בגרף – הקו שלה תלול יותר).
✅ פתרון סופי: סירה ב' – 60 קמ"ש לעומת 40 קמ"ש

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

אא' – 10:00, ב' – 10:30
ב10 ק"מ
גא' – 80 ק"מ, ב' – 90 ק"מ
דסירה ב'
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס קריאת גרפים 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – שטח: ריצוף רצפת אולם

📄 נוסח השאלה

מרצפים רצפת אולם של בית ספר במרצפות ריבועיות בצבע אפור ובמרצפות ריבועיות בצבע לבן. אורך כל צלע של מרצפת ריבועית (אפורה או לבנה) הוא 0.2 מטר.

המרצפות מונחות לסירוגין: אפורה, לבנה, אפורה וכן הלאה.

רצפת אולם מלבנית 12 על 20 מטר, מרוצפת לסירוגין באפור ולבן

א. (1) מהו השטח של מרצפת אחת?   (2) מהו השטח שמכסות 10 מרצפות?

מידות רצפת האולם המלבני הן 12 מטר על 20 מטר, כמתואר בציור.

ב. חשבו את שטח רצפת האולם.

ג. כמה מרצפות אפורות וכמה מרצפות לבנות דרושות לריצוף כל רצפת האולם?

מחיר כל מרצפת אפורה הוא 4 שקלים, ומחיר כל מרצפת לבנה הוא 3 שקלים.

ד. כמה שקלים סך הכול יעלו כל המרצפות הדרושות לריצוף רצפת האולם?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – שטח מרצפת ושל 10 מרצפות

(1) מרצפת היא ריבוע שצלעו 0.2 מטר:
0.2 · 0.2 = 0.04📐 שטח ריבועשטח ריבוע = צלע · צלע
(2) 10 מרצפות:
10 · 0.04 = 0.4
✅ פתרון סופי: (1) 0.04 מ"ר; (2) 0.4 מ"ר

סעיף ב – שטח רצפת האולם

12 · 20 = 240📐 שטח מלבןשטח מלבן = אורך · רוחב
✅ פתרון סופי: 240 מ"ר

סעיף ג – מספר המרצפות

כל מרצפת מכסה 0.04 מ"ר. מספר המרצפות הדרוש:
2400.04 = 6000
המרצפות מונחות לסירוגין – אפורה, לבנה, אפורה… ולכן חצי מהן אפורות וחצי לבנות:
60002 = 3000
✅ פתרון סופי: 3,000 מרצפות אפורות ו־3,000 מרצפות לבנות

סעיף ד – המחיר הכולל

אפורות:
3000 · 4 = 12000
לבנות:
3000 · 3 = 9000
סך הכול:
12000 + 9000 = 21000
✅ פתרון סופי: 21,000 שקלים

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

א(1) 0.04 מ"ר, (2) 0.4 מ"ר
ב240 מ"ר
ג3,000 אפורות ו־3,000 לבנות
ד21,000 שקלים
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – מעגל: אופני קרקס

📄 נוסח השאלה

באופני קרקס, אורך הרדיוס של הגלגל הקדמי (הגדול) הוא 0.4 מטר, ואורך הרדיוס של הגלגל האחורי (הקטן) הוא 0.1 מטר (ראו ציור).

אופני קרקס: גלגל קדמי ברדיוס 0.4 מטר וגלגל אחורי ברדיוס 0.1 מטר

א. מהו היקף הגלגל הקדמי, ומהו היקף הגלגל האחורי באופניים אלה?

לוליין רכב על אופני הקרקס האלה. ביום ראשון במהלך הרכיבה הסתובב הגלגל האחורי 100 פעמים.

ב. כמה מטרים עבר הלוליין ברכיבה על האופניים ביום ראשון?

ביום שני רכב הלוליין על האופניים לאורך מסלול של 628 מטר.

ג. כמה סיבובים (בקירוב) הסתובב הגלגל הקדמי של האופניים במהלך הרכיבה ביום שני?

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – היקפי הגלגלים

הגלגל הקדמי, r = 0.4:
P = 2π · 0.4 = 0.8π📐 היקף מעגלP = 2πr
≈ 2.51
הגלגל האחורי, r = 0.1:
P = 2π · 0.1 = 0.2π📐 היקף מעגלP = 2πr
≈ 0.63
✅ פתרון סופי: קדמי 0.8π ≈ 2.51 מטר; אחורי 0.2π ≈ 0.63 מטר

סעיף ב – הדרך ביום ראשון

בכל סיבוב הגלגל עובר דרך השווה להיקף שלו. הגלגל האחורי הסתובב 100 פעמים:
100 · 0.2π = 20π
≈ 62.83
✅ פתרון סופי: 20π ≈ 62.83 מטר

סעיף ג – מספר הסיבובים של הגלגל הקדמי

בכל סיבוב הגלגל הקדמי עובר 0.8π ≈ 2.513 מטר. מספר הסיבובים:
6280.8π ≈ 6282.513
≈ 249.9 ≈ 250
✅ פתרון סופי: בערך 250 סיבובים

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

אקדמי ≈ 2.51 מ׳, אחורי ≈ 0.63 מ׳
ב≈ 62.83 מטר
גבערך 250 סיבובים
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – דיאגרמת עמודות וממוצע: פירות למסעדה

📄 נוסח השאלה

בעל מסעדה קנה ארבעה סוגי פירות. לפניכם דיאגרמת עמודות שמייצגת את סוגי הפירות, לפי משקלם בק"ג.

דיאגרמת עמודות: משקל התפוחים, האגסים, הבננות והתפוזים בק

א. כמה ק"ג פירות סך הכול קנה בעל המסעדה?

ב. מהו הפרי השכיח? מהי השכיחות שלו?

הטבלה שלפניכם מייצגת את המחיר בשקלים ל־1 ק"ג של כל אחד מסוגי הפירות שקנה בעל המסעדה.

סוגי הפירותתפוזבננהאגסתפוח
מחיר בשקלים של 1 ק"ג89107
משקל הפירות בק"ג

ג. העתיקו את הטבלה, והשלימו בה את משקל הפירות בק"ג שקנה בעל המסעדה, על פי דיאגרמת העמודות.

ד. כמה שילם סך הכול בעל המסעדה עבור כל הפירות שקנה?

ה. מה הייתה ההוצאה הממוצעת של בעל המסעדה עבור 1 ק"ג של פירות?

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – כמה ק"ג סך הכול

נקרא מהדיאגרמה את גובה כל עמודה: תפוח 12, אגס 10, בננה 6, תפוז 14 (ק"ג).
12 + 10 + 6 + 14 = 42
✅ פתרון סופי: 42 ק"ג

סעיף ב – הפרי השכיח

הפרי השכיח הוא הפרי שקנו ממנו הכי הרבה – העמודה הגבוהה ביותר בדיאגרמה: תפוז, 14 ק"ג.
✅ פתרון סופי: תפוז, השכיחות 14 (ק"ג)

סעיף ג – השלמת הטבלה

משקלי הפירות מהדיאגרמה:
סוגי הפירותתפוזבננהאגסתפוח
מחיר בשקלים של 1 ק"ג89107
משקל הפירות בק"ג1461012
✅ פתרון סופי: תפוז 14, בננה 6, אגס 10, תפוח 12 (ק"ג)

סעיף ד – הסכום הכולל

לכל פרי: משקל · מחיר לק"ג.
14 · 8 = 112
6 · 9 = 54
10 · 10 = 100
12 · 7 = 84
סך הכול:
112 + 54 + 100 + 84 = 350
✅ פתרון סופי: 350 שקלים

סעיף ה – ההוצאה הממוצעת לק"ג

ההוצאה הכוללת חלקי מספר הק"ג:
35042 = 813📐 ממוצעממוצע = סכום הנתוניםמספר הנתונים
≈ 8.33
✅ פתרון סופי: 813 שקלים (≈ 8.33)

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

א42 ק"ג
בתפוז, 14 ק"ג
גתפוז 14, בננה 6, אגס 10, תפוח 12
ד350 שקלים
ה813 שקלים
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – ממוצע
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – ביטוי אלגברי: השכרת קורקינט

📄 נוסח השאלה

חברה א' וחברה ב' הן שתי חברות להשכרת קורקינט חשמלי. הצעת המחיר עבור השימוש בקורקינט שונה בכל אחת מן החברות:

בחברה א' – 1 שקל עבור כל דקה של נסיעה.

בחברה ב' – 5 שקלים עבור השכרת הקורקינט, ונוסף על כך 0.6 שקלים עבור כל דקה של נסיעה.

שגיא רוצה לשכור קורקינט כדי לנסוע מביתו לבית הספר. זמן הנסיעה הוא 10 דקות.

א. (1) כמה ישלם שגיא עבור נסיעה זו, אם יבחר בחברה א'?   (2) כמה ישלם שגיא עבור נסיעה זו, אם יבחר בחברה ב'?

כל בוקר נועם נוסע מביתו לבית הספר בקורקינט שהוא שוכר מחברה ב', והוא משלם עבור נסיעה זו 23 שקלים.

ב. מהו זמן הנסיעה של נועם מביתו לבית הספר? נמקו.

סמנו ב־x את מספר דקות הנסיעה בקורקינט, וסמנו ב־y את המחיר הכולל של נסיעה אחת בקורקינט.

ג. איזה מבין הביטויים שלפניכם מתאר את המחיר של נסיעה אחת בחברה א', ואיזה מהם מתאר את המחיר הכולל של נסיעה אחת בחברה ב'? נמקו את תשובתכם.

(1) y = 10 + 0.6x   (2) y = 5 + 0.6x   (3) y = x

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – כמה ישלם שגיא

(1) חברה א': שקל לכל דקה, 10 דקות:
10 · 1 = 10
(2) חברה ב': 5 שקלים להשכרה ועוד 0.6 לכל דקה:
5 + 0.6 · 10 = 5 + 6 = 11
✅ פתרון סופי: (1) 10 שקלים; (2) 11 שקלים

סעיף ב – זמן הנסיעה של נועם

נסמן ב־x את מספר הדקות. בחברה ב' המחיר הוא 5 ועוד 0.6 לכל דקה:
5 + 0.6x = 23
0.6x = 23 − 5
0.6x = 18
x = 180.6
x = 30
בדיקה: 5 + 0.6 · 30 = 5 + 18 = 23 ✔
✅ פתרון סופי: 30 דקות

סעיף ג – הביטוי של כל חברה

חברה א': משלמים רק 1 שקל לכל דקה, בלי תשלום קבוע. עבור x דקות: y = 1 · x = x – ביטוי (3).
חברה ב': תשלום קבוע של 5 שקלים ועוד 0.6 לכל דקה: y = 5 + 0.6x – ביטוי (2).
ביטוי (1) מתחיל ב־10 שקלים קבועים, ואין חברה כזו.
✅ פתרון סופי: חברה א' – (3) y = x; חברה ב' – (2) y = 5 + 0.6x

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

א(1) 10 שקלים, (2) 11 שקלים
ב30 דקות
גא' – y = x, ב' – y = 5 + 0.6x
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־3 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות