בגרות במתמטיקה · 3 יחידות · שאלון 172 (35172) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות – שאלון 172 – חורף 2024

פתרון מלא ומפורט לכל 6 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 6 שאלות בשלושה אשכולות: אשכול חברה ומדע (שאלות 1–2), אשכול התמצאות במישור ובמרחב (שאלות 3–4) ואשכול פיננסי כלכלי (שאלות 5–6). לכל שאלה 20 נקודות; מותר לענות על כמה שאלות שרוצים, אבל סך הנקודות לא יעלה על 100. משך הבחינה: שעתיים. חומר עזר: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2024

שאלון 172 חורף 2024 – עמוד 2
עמוד 1 מתוך 4 עמודי השאלות
שאלון 172 חורף 2024 – עמוד 3
עמוד 2 מתוך 4 עמודי השאלות
שאלון 172 חורף 2024 – עמוד 4
עמוד 3 מתוך 4 עמודי השאלות
שאלון 172 חורף 2024 – עמוד 5
עמוד 4 מתוך 4 עמודי השאלות

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – קריאת גרף: שחייה בבריכה

📄 נוסח השאלה

אבי ובני שוחים בבריכה שאורכה 30 מטרים. בהגיעם לקצה הבריכה הם נחים מעט, ואז הם משנים את כיוון שחייתם וחוזרים לנקודת ההתחלה. אבי שוחה מהר יותר מבני.

אבי ובני התחילו לשחות באותו זמן, ושניהם שחו מתחילת הבריכה אל סופה ובחזרה, פעם אחת.

בגרף שלפניכם מתואר המרחק של כל אחד מהשחיינים מתחילת הבריכה, כפונקציה של הזמן (בשניות), במהלך השחייה מתחילת הבריכה אל סופה ובחזרה.

גרף המרחק מתחילת הבריכה כפונקציה של הזמן: קו רציף וקו מקווקו

א. התאימו לכל שחיין את הגרף המתאר את שחייתו. הסבירו.

ב. כמה זמן נח כל אחד מהשחיינים בקצה הבריכה?

ג. כעבור כמה זמן (בערך) מתחילת השחייה נפגשו השחיינים?

ד. בנקודת המפגש, האם השחיינים שחו באותו כיוון או בכיוונים מנוגדים? הסבירו.

ה. בכמה שניות סיים אבי את השחייה לפני בני?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – איזה גרף של מי

נבדוק כמה זמן לקח לכל גרף להגיע לקצה הבריכה (מרחק 30 מטרים):
הגרף הרציף מגיע ל־30 מטרים אחרי 20 שניות.
הגרף המקווקו מגיע ל־30 מטרים רק אחרי 40 שניות.
מי ששוחה מהר יותר עובר את אותה דרך בפחות זמן. אבי מהיר יותר, ולכן הגרף הרציף הוא של אבי.
✅ פתרון סופי: הגרף הרציף – אבי; הגרף המקווקו – בני (אבי הגיע לקצה הבריכה מהר יותר)

סעיף ב – זמן המנוחה

בזמן המנוחה המרחק לא משתנה, ולכן הגרף הוא קו אופקי:
אבי (רציף): הקו אופקי מ־20 שניות עד 30 שניות.
30 − 20 = 10
בני (מקווקו): הקו אופקי מ־40 שניות עד 60 שניות.
60 − 40 = 20
✅ פתרון סופי: אבי נח 10 שניות, בני נח 20 שניות

סעיף ג – מתי נפגשו

השחיינים נפגשו כשהיו באותו מרחק מתחילת הבריכה באותו זמן, כלומר בנקודה שבה שני הגרפים נחתכים.
102030405060708090100102030 נקודת המפגש אביבני זמן (שניות)מרחק (מטרים)
בגרף, נקודת החיתוך נמצאת בין 30 ל־40 שניות, קרוב יותר ל־30.
בדיקה בחישוב – המהירות של כל שחיין בקטע הזה:
אבי בדרך חזרה עובר 30 מטרים בין 30 ל־50 שניות:
3050 − 30 = 3020 = 1.5📐 מהירותמהירות = דרךזמן
אבי שוחה בחזרה 1.5 מטרים בשנייה.
בני בדרך לקצה עובר 30 מטרים ב־40 שניות:
3040 = 0.75📐 מהירותמהירות = דרךזמן
בני שוחה 0.75 מטרים בשנייה.
נחשב את מקום כל אחד מהם אחרי 30 שניות ואחרי 35 שניות:
אחרי 30 שניות: אבי בקצה, 30 מטרים; בני:
0.75 · 30 = 22.5
אבי עדיין רחוק יותר מתחילת הבריכה.
אחרי 35 שניות: אבי שחה בחזרה 5 שניות:
30 − 1.5 · 5 = 22.5
בני:
0.75 · 35 = 26.25
עכשיו בני רחוק יותר, כלומר הם נפגשו בין 30 ל־35 שניות, כפי שרואים בגרף.
✅ פתרון סופי: בערך 33 שניות אחרי תחילת השחייה

סעיף ד – כיוון השחייה בנקודת המפגש

בנקודת המפגש הגרף של אבי (רציף) יורד: המרחק שלו מתחילת הבריכה קטן, כלומר הוא כבר בדרך חזרה.
הגרף של בני (מקווקו) עולה: המרחק שלו מתחילת הבריכה גדל, כלומר הוא עדיין בדרך לקצה הבריכה.
✅ פתרון סופי: בכיוונים מנוגדים – אבי חוזר לתחילת הבריכה ובני עדיין שוחה לקצה

סעיף ה – בכמה שניות לפני בני

השחייה מסתיימת כשהגרף חוזר למרחק 0:
אבי סיים אחרי 50 שניות, בני סיים אחרי 100 שניות.
100 − 50 = 50
✅ פתרון סופי: 50 שניות

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

ארציף – אבי, מקווקו – בני
באבי 10 שניות, בני 20 שניות
גבערך 33 שניות
דבכיוונים מנוגדים
ה50 שניות
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס קריאת גרפים 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סטטיסטיקה והסתברות: מספר הילדים במשפחה

📄 נוסח השאלה

בטבלה שלפניכם מתוארת ההתפלגות של מספר הילדים במשפחה ביישוב מסוים.

מספר הילדים במשפחה12345
מספר המשפחות481262

א. סרטטו דיאגרמת מקלות המתאימה לנתונים שבטבלה.

ב. חשבו את מספר הילדים הממוצע למשפחה ביישוב.

ג. מהו החציון של מספר הילדים במשפחה? נמקו.

ד. מהו השכיח של מספר הילדים במשפחה? נמקו.

ה. בוחרים באקראי משפחה אחת מן היישוב.

(1) מהי ההסתברות שבמשפחה שנבחרה יש 2 ילדים או 3 ילדים?

(2) מהי ההסתברות שבמשפחה שנבחרה מספר הילדים קטן מן השכיח?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – דיאגרמת מקלות

על הציר האופקי מספר הילדים במשפחה, ועל הציר האנכי מספר המשפחות. מעל כל ערך מסרטטים מקל בגובה מספר המשפחות:
2468101241821236425 מספר הילדים במשפחהמספר המשפחות
✅ פתרון סופי: הדיאגרמה שלמעלה

סעיף ב – מספר הילדים הממוצע

מספר המשפחות ביישוב:
4 + 8 + 12 + 6 + 2 = 32
מספר הילדים בכל המשפחות יחד (ערך · שכיחות):
1 · 4 + 2 · 8 + 3 · 12
+ 4 · 6 + 5 · 2
= 4 + 16 + 36 + 24 + 10 = 90
9032📐 ממוצעממוצע = סכום (ערך · שכיחות)סכום השכיחויות
= 2.8125 ≈ 2.81
✅ פתרון סופי: 2.81 ילדים למשפחה (בערך)

סעיף ג – החציון

יש 32 משפחות – מספר זוגי של נתונים. החציון הוא הממוצע של שני הנתונים האמצעיים, במקומות 16 ו־17 (אחרי סידור מהקטן לגדול).
נספור את המקומות:
משפחות עם ילד 1: מקומות 1 עד 4.
משפחות עם 2 ילדים: מקומות 5 עד 12 (4 + 8 = 12).
משפחות עם 3 ילדים: מקומות 13 עד 24 (12 + 12 = 24).
המקומות 16 ו־17 נמצאים שניהם בקבוצה של 3 ילדים:
3 + 32 = 3
✅ פתרון סופי: החציון הוא 3 ילדים

סעיף ד – השכיח

השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. השכיחות הגדולה ביותר בטבלה היא 12 משפחות, והן משפחות עם 3 ילדים.
✅ פתרון סופי: השכיח הוא 3 ילדים

סעיף ה (1) – 2 ילדים או 3 ילדים

מספר המשפחות עם 2 ילדים או עם 3 ילדים:
8 + 12 = 20
2032 = 58📐 הסתברותהסתברות = מספר המקרים הרצוייםמספר כל המקרים
✅ פתרון סופי: 58 (= 0.625)

סעיף ה (2) – פחות ילדים מהשכיח

השכיח הוא 3 (סעיף ד). פחות מ־3 ילדים: 1 או 2 ילדים:
4 + 8 = 12
1232 = 38📐 הסתברותהסתברות = מספר המקרים הרצוייםמספר כל המקרים
✅ פתרון סופי: 38 (= 0.375)

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

אדיאגרמת מקלות (בפתרון)
ב2.81 ילדים (בערך)
ג3 ילדים
ד3 ילדים
ה (1)58
ה (2)38
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3 – חציון, שכיח
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – מלבן ואחוזים: הגדלת חניון

📄 נוסח השאלה

חניון צורתו מלבן. אחת מצלעות החניון ארוכה ב־20 מטרים מן הצלע השנייה.

הוחלט להגדיל את החניון: את הצלע הארוכה הגדילו ב־20%, ואת הצלע הקצרה הגדילו פי 2.

החניון לפני ההגדלה ואחרי ההגדלה

היקף החניון אחרי ההגדלה הוא 80 מטרים.

מה היו הממדים של החניון לפני ההגדלה? מה היה היקפו?

✏️ פתרון שאלה 3

הממדים וההיקף לפני ההגדלה

נסמן ב־x את הצלע הקצרה (במטרים). הצלע הארוכה גדולה ממנה ב־20:
x + 20
אחרי ההגדלה – הצלע הארוכה גדלה ב־20%:
(x + 20) · 120100 = 1.2(x + 20)📐 הגדלה באחוזיםכמות חדשה = כמות · 100 + האחוז100
= 1.2x + 24
הצלע הקצרה גדלה פי 2:
2 · x = 2x
x + 20x לפני 1.2(x + 20)2x אחרי
ההיקף אחרי ההגדלה הוא 80:
2(1.2x + 24) + 2 · 2x = 80📐 היקף מלבןהיקף מלבן = 2 · אורך + 2 · רוחב
2.4x + 48 + 4x = 80
6.4x + 48 = 80
6.4x = 80 − 48
6.4x = 32
x = 326.4
x = 5
הצלע הקצרה 5 מטרים, והצלע הארוכה:
5 + 20 = 25
ההיקף לפני ההגדלה:
2 · 25 + 2 · 5 = 50 + 10 = 60📐 היקף מלבןהיקף מלבן = 2 · אורך + 2 · רוחב
בדיקה: אחרי ההגדלה הצלעות הן 25 · 1.2 = 30 ו־5 · 2 = 10, וההיקף 2 · 30 + 2 · 10 = 80 ✔
✅ פתרון סופי: ממדי החניון: 5 מטרים על 25 מטרים; ההיקף: 60 מטרים

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

ממדים5 מ׳ על 25 מ׳
היקף60 מטרים
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – פיתגורס ואחוזים: שטיח לחדר

📄 נוסח השאלה

לדלית חדר שממדיו 4.2 מטרים על 3.8 מטרים. היא רוצה לקנות שטיח שיכסה לא יותר מ־20% משטח החדר.

בחנות היא ראתה שטיח מלבני. הנתונים שלו מופיעים בסרטוט: צלע אחת באורך 2.3 מטרים, והאלכסון באורך 2.8 מטרים.

שטיח מלבני: צלע 2.3 מטרים ואלכסון 2.8 מטרים

א. מהם הממדים של השטיח?

ב. האם השטיח עונה על הדרישה של דלית? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – ממדי השטיח

האלכסון מחלק את המלבן לשני משולשים ישרי זווית. במשולש: הניצבים הם צלעות השטיח, 2.3 ו־b, והיתר הוא האלכסון 2.8.
2.3b2.8
2.82 = 2.32 + b2📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
7.84 = 5.29 + b2
b2 = 7.84 − 5.29
b2 = 2.55
b = √2.55 ≈ 1.597 ≈ 1.6
✅ פתרון סופי: 2.3 מטרים על 1.6 מטרים (בערך)

סעיף ב – האם השטיח מתאים

שטח החדר:
4.2 · 3.8 = 15.96📐 שטח מלבןשטח מלבן = אורך · רוחב
20% משטח החדר:
15.96 · 20100 = 3.192📐 אחוז מכמותהחלק = הכמות · האחוז100
השטיח יכול להיות לכל היותר 3.192 מ"ר.
שטח השטיח:
2.3 · 1.597 ≈ 3.67📐 שטח מלבןשטח מלבן = אורך · רוחב
3.67 > 3.192
שטח השטיח גדול מ־20% משטח החדר.
✅ פתרון סופי: לא – שטח השטיח (בערך 3.67 מ"ר) גדול מ־3.192 מ"ר, שהם 20% משטח החדר

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

א2.3 מ׳ על 1.6 מ׳ (בערך)
בלא (3.67 > 3.192)
📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – ישרים: הסעה למשחק כדורסל

📄 נוסח השאלה

לקראת משחק דרבי בכדורסל החליטו שני בתי ספר לארגן הסעה למשחק.

בבית הספר א' נתן המנהל 1,500 שקלים לקופת ההסעה, וכל תלמיד שנסע שילם 5 שקלים.

בבית הספר ב' נתן המנהל 1,200 שקלים לקופת ההסעה, וכל תלמיד שנסע שילם 8 שקלים.

א. לפניכם סרטוט של שני ישרים, א ו־ב, המתארים את סכום הכסף שנאסף בכל בית ספר (בשקלים) לפי מספר התלמידים ששילמו.

שני ישרים א ו־ב: סכום הכסף לפי מספר התלמידים

התבניות המתאימות לנתוני הבעיה הן: (1) y = 5x + 1500   (2) y = 8x + 1200. התאימו כל תבנית לישר בסרטוט. הסבירו.

ב. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של שני הישרים.

ג. הסתבר שבכל אחד מבתי הספר נאסף סכום כולל של 2,800 שקלים. באיזה בית ספר מספר התלמידים ששילמו היה גדול יותר? פרטו את חישוביכם.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – התאמת התבניות לישרים

(1) y = 5x + 1500📐 משוואת ישרy = mx + nהשיפוע – המספר שכופל את x; נקודת החיתוך עם ציר y – המספר החופשי
(2) y = 8x + 1200
בתבנית (2) כל תלמיד מוסיף 8 שקלים, ובתבנית (1) רק 5. לכן הישר של תבנית (2) עולה מהר יותר – הוא התלול יותר.
בנוסף, כשאין תלמידים (x = 0): בתבנית (2) יש 1,200 שקלים ובתבנית (1) יש 1,500. לכן הישר של תבנית (2) מתחיל נמוך יותר על ציר y.
בסרטוט, ישר א מתחיל נמוך יותר ועולה בתלילות רבה יותר, וישר ב מתחיל גבוה יותר ועולה לאט יותר.
✅ פתרון סופי: תבנית (2) y = 8x + 1200 – ישר א; תבנית (1) y = 5x + 1500 – ישר ב

סעיף ב – נקודת החיתוך

בנקודת החיתוך ערכי y של שני הישרים שווים:
5x + 1500 = 8x + 1200
1500 − 1200 = 8x − 5x
300 = 3x
x = 100
נציב בתבנית (1):
y = 5 · 100 + 1500
y = 500 + 1500 = 2000
בדיקה בתבנית (2): 8 · 100 + 1200 = 2000 ✔
✅ פתרון סופי: (100 , 2000)

סעיף ג – באיזה בית ספר שילמו יותר תלמידים

בית הספר א' (המנהל נתן 1,500, כל תלמיד 5) – תבנית (1):
5x + 1500 = 2800
5x = 2800 − 1500
5x = 1300
x = 13005 = 260
בית הספר ב' (המנהל נתן 1,200, כל תלמיד 8) – תבנית (2):
8x + 1200 = 2800
8x = 2800 − 1200
8x = 1600
x = 16008 = 200
260 > 200
✅ פתרון סופי: בבית הספר א' – שילמו 260 תלמידים, לעומת 200 בבית הספר ב'

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

אישר א – תבנית (2), ישר ב – תבנית (1)
ב(100 , 2000)
גבית הספר א' (260 לעומת 200)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס קריאת גרפים 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – דיאגרמת עיגול: הוצאות משפחה

📄 נוסח השאלה

בדיאגרמת העיגול שלפניכם מתוארת חלוקת ההוצאות החודשיות הממוצעת של משפחת סלע.

דיאגרמת עיגול: סופרמרקט 50%, חשבונות 12%, חינוך 20%, שונות y%

סופרמרקט – 50% (מזון, חומרי ניקוי, תכשירי רחצה וכדומה); חשבונות – 12% (חשמל, מים, ארנונה וכדומה); חינוך – 20% (בתי ספר, חוגים, ספרים וציוד כתיבה וכדומה); שונות – y% (ביגוד, מתנות, בילוי ועוד).

א. איזה אחוז מן ההוצאות מוציאה משפחת סלע על הסעיף "שונות"?

ב. בחודש מסוים הוציאה משפחת סלע סכום של 5,000 שקלים. איזה סכום שילמה המשפחה בסופרמרקט? איזה סכום הוציאה על חינוך?

ג. בחודש אחר שילמה משפחת סלע 1,240 שקלים על חשבונות הבית. מה הייתה ההוצאה החודשית של המשפחה באותו חודש, לפי החלוקה שבדיאגרמה?

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – הסעיף "שונות"

כל העיגול הוא 100%:
50 + 12 + 20 + y = 100
82 + y = 100
y = 18
✅ פתרון סופי: 18%

סעיף ב – סופרמרקט וחינוך

סופרמרקט – 50% מ־5,000:
5000 · 50100 = 2500📐 אחוז מכמותהחלק = הכמות · האחוז100
חינוך – 20% מ־5,000:
5000 · 20100 = 1000📐 אחוז מכמותהחלק = הכמות · האחוז100
✅ פתרון סופי: סופרמרקט 2,500 שקלים, חינוך 1,000 שקלים

סעיף ג – ההוצאה החודשית

החשבונות הם 12% מכל ההוצאה, והם 1,240 שקלים. נסמן ב־x את ההוצאה החודשית:
x · 12100 = 1240
x = 1240 · 10012📐 כמות מתוך החלקהכמות כולה = החלק · 100האחוז
x = 12400012
x ≈ 10333.33
✅ פתרון סופי: בערך 10,333.33 שקלים

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

א18%
בסופרמרקט 2,500 שקלים, חינוך 1,000 שקלים
ג10,333.33 שקלים (בערך)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 3 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־3 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות