מה הפתרון של שאלה 1 (רכיבה על אופניים) בבגרות 172 חורף 2022?

גרף II – דני, גרף I – אלמוג; אחרי שעה 20 ק"מ; 50 ק"מ אחרי 4 שעות; אחרי שעתיים 10 ק"מ ביניהם; נפגשו 40 ק"מ מנקודת המוצא

מה הפתרון של שאלה 2 (משחק סביבונים) בבגרות 172 חורף 2022?

סעיף א: 1/24; סעיף ב: 1/6; סעיף ג: 1/8; סעיף ד: לרומי (4/24 לעומת 3/24)

מה הפתרון של שאלה 3 (מגן דוד) בבגרות 172 חורף 2022?

גובה בערך 11.26 ס"מ; שטח שני המשולשים בערך 146.38 סמ"ר; סרט 39 ס"מ למשולש, 15.6 שקלים למגן דוד

מה הפתרון של שאלה 4 (בריכת נוי) בבגרות 172 חורף 2022?

שטח הבריכה 20 מ"ר; הפס 18 מטר; השטח המגודר 11 על 10 מטר (x = 3); שטח הגינה 90 מ"ר

מה הפתרון של שאלה 5 (מכירת ספרים) בבגרות 172 חורף 2022?

50 ספרים; מחיר ממוצע 43.6 שקלים; שכיח 50 שקלים; חציון 40 שקלים

מה הפתרון של שאלה 6 (שולחן כתיבה) בבגרות 172 חורף 2022?

אחרי ההתייקרות 920 שקלים; ירידה של 20%

בגרות במתמטיקה · 3 יחידות · שאלון 172 (35172) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות – שאלון 172 – חורף 2022

פתרון מלא ומפורט לכל 6 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 6 שאלות בשלושה אשכולות: אשכול חברה ומדע (שאלות 1–2), אשכול התמצאות במישור ובמרחב (שאלות 3–4) ואשכול פיננסי כלכלי (שאלות 5–6). לכל שאלה 20 נקודות; מותר לענות על כמה שאלות שרוצים, אבל סך הנקודות לא יעלה על 100. משך הבחינה: שעה וחצי. חומר עזר: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2022

שאלון 172 חורף 2022 – עמוד שאלות 1 — עמוד 1 מתוך 6 עמודי השאלות

שאלון 172 חורף 2022 – עמוד שאלות 2 — עמוד 2 מתוך 6 עמודי השאלות

שאלון 172 חורף 2022 – עמוד שאלות 3 — עמוד 3 מתוך 6 עמודי השאלות

שאלון 172 חורף 2022 – עמוד שאלות 4 — עמוד 4 מתוך 6 עמודי השאלות

שאלון 172 חורף 2022 – עמוד שאלות 5 — עמוד 5 מתוך 6 עמודי השאלות

שאלון 172 חורף 2022 – עמוד שאלות 6 — עמוד 6 מתוך 6 עמודי השאלות

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

אשכול חברה ומדע
שאלה 1 – קריאת גרף: רכיבה על אופניים
שאלה 2 – הסתברות: משחק סביבונים
אשכול התמצאות במישור ובמרחב
שאלה 3 – פיתגורס ושטח: מגן דוד
שאלה 4 – מלבן והיקף: בריכת נוי
אשכול פיננסי כלכלי
שאלה 5 – דיאגרמת עמודות: מכירת ספרים
שאלה 6 – אחוזים: מחיר שולחן כתיבה

שאלה 1 – קריאת גרף: רכיבה על אופניים

📄 נוסח השאלה

דני ואלמוג יצאו לרכיבה על אופניים במסלול ישר. הם יצאו מאותה נקודת מוצא ורכבו באותו המסלול. אלמוג יצא לדרך שעה אחת אחרי שדני יצא.

גרפים I–II בסרטוט שלפניך מתארים את אורך הדרך שעברו דני ואלמוג (בקילומטרים) לפי זמן הרכיבה של כל אחד מהם במסלול זה.

גרפים I ו־II: אורך הדרך בקילומטרים לפי הזמן בשעות

א. איזה מן הגרפים I–II מתאר את הרכיבה של דני, ואיזה מהם מתאר את הרכיבה של אלמוג?

ב. מה היה המרחק של דני מנקודת המוצא לאחר שעה?

ג. כמה שעות לאחר שיצא לדרך היה דני במרחק של 50 ק"מ מנקודת המוצא?

ד. מה היה המרחק בין דני לאלמוג שעתיים לאחר שדני יצא לדרך?

ה. האם דני ואלמוג נפגשו במהלך הרכיבה? אם כן, מהו המרחק בין נקודת המפגש שלהם לבין נקודת המוצא? אם לא, נמק.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – איזה גרף של מי

גרף I מתחיל בזמן 1 (הדרך עדיין 0), וגרף II מתחיל בזמן 0. אלמוג יצא שעה אחרי דני, ולכן:

✅ פתרון סופי: גרף II – דני; גרף I – אלמוג

סעיף ב – דני אחרי שעה

בגרף II, מעל x = 1, הגובה הוא 20.

✅ פתרון סופי: 20 ק"מ

סעיף ג – מתי דני ב־50 ק"מ

בגרף II: בזמן 3 דני ב־40 ק"מ ובזמן 5 ב־60 ק"מ. בשעתיים האלה הוא עבר 20 ק"מ, כלומר 10 ק"מ בשעה.

מ־40 ל־50 ק"מ חסרים 10 ק"מ – עוד שעה אחת:

3 + 1 = 4

✅ פתרון סופי: 4 שעות

סעיף ד – המרחק ביניהם אחרי שעתיים

בזמן 2: דני (גרף II) ב־30 ק"מ, אלמוג (גרף I) ב־20 ק"מ. הם באותו מסלול ישר, ולכן:

30 − 20 = 10

✅ פתרון סופי: 10 ק"מ

סעיף ה – האם נפגשו

נפגשו = היו באותו זמן באותו מרחק מנקודת המוצא = הגרפים נחתכים. הגרפים נחתכים בנקודה (3 , 40).

בדיקה: אלמוג עובר 20 ק"מ בשעה (80 ק"מ ב־4 שעות); בזמן 3 הוא רכב שעתיים: 2 · 20 = 40 ✔

✅ פתרון סופי: כן, במרחק 40 ק"מ מנקודת המוצא

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

א	II – דני, I – אלמוג
ב	20 ק"מ
ג	4 שעות
ד	10 ק"מ
ה	כן, 40 ק"מ

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס קריאת גרפים 3 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – הסתברות: משחק סביבונים

📄 נוסח השאלה

במשחק סביבונים המשתתפים מסובבים שני סביבונים מאוזנים. לסביבון האחד יש ארבע פאות, על כל אחת מן הפאות יש מספר (מ־1 עד 4) המיוצג על ידי נקודות – על כל פאה מספר אחר.

לסביבון האחר יש שש פאות, על כל פאה יש מספר (מ־1 עד 6) המיוצג על ידי נקודות – על כל פאה מספר אחר (ראה ציור). כל משתתף מסובב בתורו את שני הסביבונים יחד.

שני סביבונים: אחד עם ארבע פאות ואחד עם שש פאות

א. מהי ההסתברות שבאותו התור שני הסביבונים יראו את המספר 4?

ב. מהי ההסתברות שבאותו התור שני הסביבונים יראו את אותו המספר?

ג. מהי ההסתברות שסכום המספרים שיראו שני הסביבונים באותו התור יהיה גדול מ־8?

רומי ונדב משחקים במשחק הסביבונים. רומי תזכה בנקודה אם סכום המספרים, שיראו שני הסביבונים שהיא סובבה, יהיה 5. נדב יזכה בנקודה אם סכום המספרים, שיראו שני הסביבונים שהוא סובב, יהיה 8.

ד. למי יש סיכוי גדול יותר לזכות בנקודה, לרומי או לנדב? נמק את תשובתך.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – שניהם 4

בסביבון הראשון ההסתברות ל־4 היא 14, ובשני 16. הסביבונים בלתי תלויים:

14 · 16 = 124📐 מכפלת הסתברויותהסתברות של שני שלבים (עם החזרה) = מכפלת ההסתברויות

✅ פתרון סופי: 124

סעיף ב – אותו מספר

נבנה טבלה של כל התוצאות: 4 · 6 = 24 תוצאות, כולן שוות הסתברות. בכל משבצת – סכום שני המספרים. המשבצות המסומנות – אותו מספר בשני הסביבונים:

4 פאות \ 6 פאות	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10

1 , 1 ; 2 , 2 ; 3 , 3 ; 4 , 4 – 4 תוצאות:

P = 424 = 16📐 הסתברותהסתברות = מספר המקרים הרצוייםמספר כל המקרים

✅ פתרון סופי: 16

סעיף ג – סכום גדול מ־8

המשבצות המסומנות – סכום 9 או 10:

4 פאות \ 6 פאות	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10

3 + 6, 4 + 5, 4 + 6 – 3 תוצאות:

P = 324 = 18📐 הסתברותהסתברות = מספר המקרים הרצוייםמספר כל המקרים

✅ פתרון סופי: 18

סעיף ד – רומי או נדב

סכום 5 (רומי) – המשבצות המסומנות:

4 פאות \ 6 פאות	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10

P = 424

סכום 8 (נדב): 2 + 6, 3 + 5, 4 + 4:

P = 324

424 > 324

✅ פתרון סופי: לרומי (424 = 16 לעומת 324 = 18)

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

א	124
ב	16
ג	18
ד	רומי

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 3 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – פיתגורס ושטח: מגן דוד

📄 נוסח השאלה

בשיעור אומנות הכין עידו מגן דוד מנייר: הוא גזר שני משולשים שווי־צלעות, זהים בגודלם. אורך הצלע של כל משולש הוא 13 ס"מ (ראה ציור).

כדי לוודא שהמשולש סימטרי, קיפל עידו את הדף לאורך הקו המקווקו (גובה המשולש).

א. מהו אורך הקו המקווקו? (דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית).

ב. מהו השטח הכולל של שני המשולשים המשמשים את עידו להכנת מגן דוד? (דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית).

עידו רצה להדביק סרט בצבע תכלת לאורך הצלעות של כל משולש. מחירו של הסרט 20 שקלים למטר.

ג. (1) מהו אורך הסרט הדרוש להדבקה על הצלעות של משולש אחד? (2) מהו מחירו של סרט באורך הדרוש לעידו להכנת מגן דוד אחד? נמק את תשובתך.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הגובה

במשולש שווה צלעות הגובה חוצה את הבסיס. מתקבל משולש ישר זווית: היתר 13 (צלע), ניצב אחד 6.5 (חצי צלע), והניצב השני הוא הגובה:

13² = 6.5² + h²📐 משפט פיתגורסc² = a² + b²

169 = 42.25 + h²

h² = 126.75

h = √126.75 ≈ 11.26

✅ פתרון סופי: ≈ 11.26 ס"מ

סעיף ב – שטח שני המשולשים

שטח משולש אחד:

13 · 11.262 = 73.19📐 שטח משולששטח משולש = בסיס · גובה2

שני משולשים:

2 · 73.19 = 146.38

✅ פתרון סופי: ≈ 146.38 סמ"ר

סעיף ג – הסרט

(1) הסרט מכסה את שלוש הצלעות – היקף המשולש:

3 · 13 = 39

(2) לשני משולשים:

2 · 39 = 78

78 ס"מ הם 0.78 מטר. המחיר:

0.78 · 20 = 15.6

✅ פתרון סופי: (1) 39 ס"מ; (2) 15.6 שקלים

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

א	≈ 11.26 ס"מ
ב	≈ 146.38 סמ"ר
ג	(1) 39 ס"מ, (2) 15.6 שקלים

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – משפט פיתגורס

📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – מלבן והיקף: בריכת נוי

📄 נוסח השאלה

בפארק עירוני בנו בריכת נוי בצורת מלבן שאורכו 5 מטר ורוחבו 4 מטר (ראה ציור).

בריכת נוי מלבנית 5 על 4 מטר בתוך גינה מגודרת, במרחק x מכל צד

א. מהו שטח הבריכה?

ב. מקשטים את היקף הבריכה בפס דק של אבן. מהו אורך הפס?

מסביב לבריכה הקימו גינה מעוצבת בצורת מלבן, שצלעותיו מקבילות לדפנות הבריכה. כדי לשמור על הגינה הקיפו אותה בגדר שאורכה הכולל הוא 42 מטר (הקו המקווקו בציור).

המרחק בין הגדר ובין דפנות הבריכה שווה בכל ההיקף. נסמן את המרחק הזה ב־x.

ג. (1) הבע באמצעות x את האורך ואת הרוחב של השטח המגודר (הקו המקווקו בציור). (2) מצא את האורך ואת הרוחב של השטח המגודר.

ד. מהו שטח הגינה שמסביב לבריכה? (ללא שטח הבריכה).

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – שטח הבריכה

5 · 4 = 20📐 שטח מלבןשטח מלבן = אורך · רוחב

✅ פתרון סופי: 20 מ"ר

סעיף ב – אורך הפס

2 · 5 + 2 · 4 = 18📐 היקף מלבןהיקף מלבן = 2 · אורך + 2 · רוחב

✅ פתרון סופי: 18 מטר

סעיף ג – מידות השטח המגודר

(1) מכל צד של הבריכה מתווסף x – פעמיים לאורך ופעמיים לרוחב. האורך:

5 + 2x

הרוחב:

4 + 2x

(2) אורך הגדר הוא היקף המלבן המגודר:

2(5 + 2x) + 2(4 + 2x) = 42📐 היקף מלבןהיקף מלבן = 2 · אורך + 2 · רוחב

10 + 4x + 8 + 4x = 42

8x + 18 = 42

8x = 24

x = 3

האורך: 5 + 2 · 3 = 11. הרוחב: 4 + 2 · 3 = 10.

✅ פתרון סופי: (1) אורך 5 + 2x, רוחב 4 + 2x; (2) 11 מטר ו־10 מטר

סעיף ד – שטח הגינה

שטח המלבן המגודר פחות שטח הבריכה:

11 · 10 = 110

110 − 20 = 90

✅ פתרון סופי: 90 מ"ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

א	20 מ"ר
ב	18 מטר
ג (1)	אורך 5 + 2x, רוחב 4 + 2x
ג (2)	11 מטר ו־10 מטר
ד	90 מ"ר

📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – דיאגרמת עמודות: מכירת ספרים

📄 נוסח השאלה

לפניך דיאגרמת עמודות המתארת מכירת ספרים בחנות מסוימת ביום אחד לפי מחיר.

דיאגרמת עמודות: מספר הספרים שנמכרו לפי מחיר הספר בשקלים

א. בנה טבלת שכיחויות של מספר הספרים לפי מחיריהם.

ב. כמה ספרים סך הכול נמכרו בחנות באותו היום?

ג. מהו המחיר הממוצע של הספרים שנמכרו בחנות באותו היום?

ד. מהו המחיר השכיח? נמק את תשובתך.

ה. מהו החציון של מחירי הספרים? נמק את תשובתך.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – טבלת שכיחויות

נקרא את גובה כל עמודה בדיאגרמה:

מחיר הספר (שקלים)	מספר הספרים (שכיחות)
20	3
25	6
30	7
40	10
50	12
60	8
70	4

✅ פתרון סופי: הטבלה שלמעלה

סעיף ב – כמה ספרים

3 + 6 + 7 + 10 + 12 + 8 + 4 = 50

✅ פתרון סופי: 50 ספרים

סעיף ג – המחיר הממוצע

לכל מחיר: מחיר · מספר הספרים:

20 · 3 = 60

25 · 6 = 150

30 · 7 = 210

40 · 10 = 400

50 · 12 = 600

60 · 8 = 480

70 · 4 = 280

סכום כל המחירים:

60 + 150 + 210 + 400

+ 600 + 480 + 280 = 2180

218050 = 43.6📐 ממוצעממוצע = סכום הנתוניםמספר הנתונים

✅ פתרון סופי: 43.6 שקלים

סעיף ד – המחיר השכיח

השכיח הוא המחיר שהופיע הכי הרבה פעמים – העמודה הגבוהה ביותר: 12 ספרים במחיר 50 שקלים.

✅ פתרון סופי: 50 שקלים

סעיף ה – החציון

יש 50 ספרים (מספר זוגי), ולכן החציון הוא הממוצע של הנתון ה־25 והנתון ה־26 (כשהמחירים מסודרים מהקטן לגדול).

נצבור את השכיחויות: עד 20 שקלים – 3; עד 25 – 9; עד 30 – 16; עד 40 – 26.

הנתונים ה־17 עד ה־26 הם 40 שקלים, ולכן גם ה־25 וגם ה־26 הם 40.

✅ פתרון סופי: 40 שקלים

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

א	טבלת שכיחויות (בפתרון)
ב	50 ספרים
ג	43.6 שקלים
ד	50 שקלים
ה	40 שקלים

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3 – חציון, שכיח

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 3 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – אחוזים: מחיר שולחן כתיבה

📄 נוסח השאלה

מחירו של שולחן כתיבה הוא 800 שקלים. בתחילת השנה התייקר השולחן ב־15%.

א. חשב את מחיר השולחן לאחר ההתייקרות.

בסוף השנה ירד מחירו של השולחן ל־736 שקלים (לאחר ההתייקרות).

ב. בכמה אחוזים ירד מחיר השולחן?

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – אחרי ההתייקרות

800 · 1.15 = 920📐 התייקרותהתייקרות של 15% = כפל ב־1.15

✅ פתרון סופי: 920 שקלים

סעיף ב – אחוז הירידה

הירידה בשקלים:

920 − 736 = 184

ביחס למחיר שלפני הירידה (920):

184920 · 100 = 20📐 אחוז השינויאחוז השינוי = השינוי חלקי המחיר המקורי, כפול 100

בדיקה: 920 · 0.8 = 736 ✔

✅ פתרון סופי: 20%

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

א	920 שקלים
ב	20%

📝 לכל פתרונות הבגרות 3 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־3 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.