📋 סיכום ונוסחאותחקירת פונקציית e

5 יחידות · שאלון 572 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן

⬅️ חזרה לקורס: חקירת פונקציית e – 572

1. תחום הגדרה ומשוואות עם e

📐 הכלל

e^x > 0 לכל x · מוגדר לכל x · בעיה רק במכנה

e^x = a ⟹ x = ln a · e^{ln a} = a

📐 מקרים מיוחדים

e^x = 0 או מספר שלילי ← אין פתרון

e^x = 1 ⟹ x = 0

📐 בסיסים שווים והצבה

e^4x = e^{6 + x} ⟹ 4x = 6 + x

e^x = t , e^2x = t²

תחום: f(x) = 1e^x − 2 ← e^x ≠ 2 ← x ≠ ln 2

הצבה: e^2x − 3e^x + 2 = 0 ← t² − 3t + 2 = 0
t = 1 ← x = 0 · t = 2 ← x = ln 2

🔹 גורם משותף: xe^x − 2e^x = e^x(x − 2) = 0 ← e^x ≠ 0 , x = 2
🔹 t ≤ 0 בהצבה ← נפסל.

2. אסימפטוטות

📐 אסימפטוטה אנכית

מכנה = 0, ובודקים שהמונה לא מתאפס (מתאפס ← חור)

אין מכנה, או מכנה e^x ← אין אנכית

📐 אסימפטוטה אופקית

בודקים כל צד: x → ∞ ו־x → −∞

e^∞ → ∞ · e^−∞ = 1e^∞ → 0 · מספר∞ → 0

יצא מספר k ← y = k · יצא ∞ ← אין בצד הזה · אפשר גם להציב שני מספרים בכל צד

📐 אסימפטוטות של 1f(x)

f → ±∞ ← חור · f → k ← y = 1k · f → 0 ← אין אופקית

f(x) = 1e^x − 1: מכנה = 0 ← x = ln 1 = 0 ← אנכית x = 0
x → ∞: 1∞ → 0 ← y = 0 · x → −∞: 10 − 1 = −1 ← y = −1

f(x) = 1e^x − 1 (כחול) והאסימפטוטות x = 0, y = 0 (ימין) ו־y = −1 (שמאל) (ירוק חזק). אין חיתוך עם הצירים

3. נגזרת ומשוואת משיק

📐 נגזרת

(e^x)' = e^x · (e^mx)' = me^mx

(e^f(x))' = f'(x) · e^f(x)

📐 מכפלה ומנה (מהנוסחאון)

(f · g)' = f'g + fg'

(fg)' = f'g − fg'g²

📐 משיק

y − y₁ = m(x − x₁) , m = f'(x₁)

את y₁ מציבים בפונקציה, את m בנגזרת

f(x) = e^2x ב־x = 0: y₁ = 1 , f'(x) = 2e^2x ← m = 2 ← y = 2x + 1

🔹 מסדרים את הנגזרת עם גורם משותף e^x – זה מה שצריך לקיצון.
🔹 תשובה עם e (למשל e²) מתקבלת גם בבגרות.

4. נקודות קיצון

גוזרים ומסדרים עם גורם משותף.
f'(x) = 0, מחלקים ב־e^x (רושמים e^x ≠ 0).
טבלה: מספר לפני ואחרי – מספיק להציב בסוגריים, e תמיד חיובי.
y מהפונקציה המקורית, וכותבים נקודה וסוג.

f(x) = xe^x ← f'(x) = e^x + xe^x = e^x(1 + x) = 0 ← x = −1
f'(−2) < 0 ↘ , f'(0) > 0 ↗ ← מינימום (−1, −1e)

f(x) = xe^x (כחול): מינימום (−1, −1e) (סגול), חיתוך עם הצירים (0, 0) (ירוק חזק)

🔹 פרמטר: מציבים את x של הקיצון הנתון ב־f'(x) = 0 ומוצאים את הפרמטר.
🔹 מנה: נוסחת המנה, והמכנה בריבוע תמיד חיובי – הסימן נקבע לפי המונה.

5. אינטגרל ושטחים

📐 אינטגרל

∫e^xdx = e^x + c

∫e^{mx + n}dx = e^{mx + n}m + c

מעתיקים, מחלקים בנגזרת של החזקה · מספר בכפל נשאר

📐 שטח

S = ∫ba(y₁ − y₂)dx עליון פחות תחתון · בלי c

∫3e^2xdx = 32e^2x + c

שטח: ∫ln 30e^xdx = e^x|ln 30 = e^{ln 3} − e⁰ = 3 − 1 = 2

y = e^x (כחול), השטח (תכלת) בין x = 0 ל־x = ln 3 ≈ 1.1 (סגול) שווה 2. חיתוך עם ציר y: (0, 1) (ירוק חזק)

🔹 e⁰ = 1 – בהצבת 0 האיבר לא מתבטל!
🔹 גבולות: משווים פונקציה לישר (לפעמים בהצבה e^x = t).

6. הרכבה: e^g(x)

📐 נגזרת

f'(x) = g'(x) · e^g(x) ← קיצון רק כש־g'(x) = 0

נשמר	תחום הגדרה, x של הקיצון וסוגו, תחומי עלייה וירידה
משתנה	y של הקיצון: (x , e^g(x))
אופקית	g → 0 ← y = 1 · g → −∞ ← y = 0
אנכית של g	g → ∞ ← אנכית · g → −∞ ← חור (a , 0)

g(x) = x² − 2x (כחול) ו־f(x) = e^g(x) (ירוק חזק): אותו x של המינימום – (1, −1) הופך ל־(1, 1e). חיתוך של g עם ציר x (0, 0), (2, 0) ← f = 1 (סגול)

🔹 e^g(x) > 0 – הגרף תמיד מעל ציר x.

✔️ סדר חקירה של פונקציית e

תחום הגדרה: מכנה ≠ 0 ← x ≠ ln a.
חיתוך עם הצירים: x = 0 ; y = 0 (זכרו e^x ≠ 0).
אסימפטוטות: אנכית מהמכנה, אופקית ב־∞ וב־−∞.
נגזרת, f'(x) = 0, טבלה ← קיצון ותחומי עלייה וירידה.
סרטוט, ואז משיק או שטח לפי השאלה.

🔹 בקורס: בגרויות 2011 א, 2012 א, חורף 2023, קיץ 2023, 2023 ב, 2024, 2025 א ו־2025 ב.

מתמטריק · eldadh.co.il

📋 סיכום ונוסחאותחקירת פונקציית e

1. תחום הגדרה ומשוואות עם e

2. אסימפטוטות

3. נגזרת ומשוואת משיק

4. נקודות קיצון

5. אינטגרל ושטחים

6. הרכבה: eg(x)

✔️ סדר חקירה של פונקציית e

6. הרכבה: e^g(x)