מתמטריק – אלדד

📋 סיכום ונוסחאותגדילה ודעיכה

5 יחידות · שאלון 572 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן

1. נוסחת גדילה ודעיכה

📐 הנוסחה
M(t) = M(0) · qt
M(0)הכמות ההתחלתית
M(t)הכמות בסוף
qפי כמה זה גדל (או קטן) בכל פעם
tמספר הפעמים שזה גדל
📐 q מתוך אחוז
גדילה ב־p%: q = 1 + p100
דעיכה ב־p%: q = 1 − p100
גדילה: q > 1 · דעיכה: 0 < q < 1
דוגמה (שיעור 2): חיסכון 200000 ברווח של 5% בשנה
q = 1 + 5100 = 1.05
M(3) = 200000 · 1.053 = 231525
🔹 "מתחלק לשניים" ← q = 2. ריבית של p% בשנה היא גדילה.

2. מציאת M(t) ומציאת M(0)

  1. רושמים נתונים: M(0), q, t.
  2. t = מספר הפעמים שזה גדל, לא תמיד מספר השעות: גדל כל חצי שעה ← מספר השעות כפול 2; גדל כל שנתיים ← מספר השנים חלקי 2.
  3. מציבים בנוסחה ומחשבים.
📐 הכמות ההתחלתית
M(0) = M(t)qt
שיעור 5: חיידקים מתחלקים כל חצי שעה. בשעה 8:00 היו 40000. כמה היו ב־5:00?
3 שעות ← t = 6 , q = 2
40000 = M(0) · 26 ← M(0) = 4000064 = 625
🔹 זמן שעבר לפני M(0): מציבים t שלילי, ו־q לא משתנה (שיעור 3: M(−10) = 21.5 · 1.013−10 ≈ 18.895).

3. מציאת q ומציאת אחוז השינוי p

  1. מציבים M(0), M(t) ו־t בנוסחה.
  2. מחלקים ב־M(0), כך שבצד אחד נשאר רק qt.
  3. מוציאים שורש מסדר t.
  4. מ־q מוצאים את p.
📐 שורש מסדר גבוה
qn = a ⇒ q = n√a
📐 אחוז השינוי
גדילה: q = 1 + p100 ← מחסירים 1 וכופלים ב־100
דעיכה: q = 1 − p100
שיעור 12: 78732 = 120000 · q4
q4 = 78732120000 ← q = 4√78732120000 = 0.9
דעיכה: 0.9 = 1 − p100 ← p = 10%
🔹 גדילה באחוז קבוע היא גדילה פי q, לא במספר קבוע: 1156 ← 1503 זה פי 1.3, ובפעם הבאה לא נוסיף שוב 347 (שיעור 7).

4. מציאת הזמן t

📐 משוואה מעריכית
ax = b ⇒ x = ln bln a
  1. מציבים בנוסחה את M(0), M(t) ו־q.
  2. מחלקים ב־M(0) ומגיעים לצורה qt = b.
  3. t = ln bln q
שיעור 10: 571000 = 505361 · 1.031t
1.129 = 1.031t
t = ln 1.129ln 1.031 ≈ 3.974 ≈ 4 שנים
🔹 "בתחילת איזו שנה" או "לראשונה יותר מ…": מעגלים את t כלפי מעלה.
🔹 אפשר גם להציב t = 1, 2, 3, … ולבדוק מתי עוברים את הסכום.

5. גדילה ודעיכה עם גרפים

12345620000400006000080000100000120000tM(0, 120000)(4, 78732)(6, 63773)
שיעור 12: מחיר מכונית M(t) = 120000 · 0.9t (כחול). נקודות שנקראו מהגרף (סגול), אחרי 6 שנים ≈ 63773 (ירוק חזק)
12345650100150200250300tM(0, 100)q = 1.2q = 0.8
אותה כמות התחלתית M(0) = 100: גדילה 100 · 1.2t (ירוק חזק), דעיכה 100 · 0.8t (תכלת)
  • M(0) = נקודת החיתוך עם הציר האנכי (t = 0).
  • גרף עולה ← גדילה, יורד ← דעיכה.
  • ככל ש־q גדול יותר, הגרף עולה מהר יותר.
  • קוראים מהגרף שתי נקודות ← מציבים בנוסחה ומוצאים q.

6. השוואה בין שתי כמויות

  1. כותבים נוסחה לכל כמות (בדרך כלל מסמנים f(t) ו־g(t)).
  2. משווים תמיד באותו t.
  3. מתי אחת עוברת את השנייה? משווים, מחלקים, ומגיעים ל־(q1q2)t = b, ואז ln.
51015205000100001500020000tM(0, 10000)(0, 1000)(18.44, 13159)
שיעור 16: f(t) = 10000 · 1.015t (כחול, מקווקו), g(t) = 1000 · 1.15t (ירוק חזק). נפגשים ב־t ≈ 18.44 (סגול)
שיעור 16: 1000 · 1.15t = 10000 · 1.015t
0.1 = (1.0151.15)t = 0.8826t
t = ln 0.1ln 0.8826 ≈ 18.43 ≈ 19 ← בתחילת 2042
🔹 מי שמתחיל עם יותר לא בהכרח נשאר עם יותר: q גדול יותר "עוקף" עם הזמן.
🔹 כמות התחלתית לא ידועה? מסמנים אותה באות – היא מצטמצמת.

✔️ סדר פתרון שאלת גדילה ודעיכה

  1. גדילה או דעיכה? רושמים M(0), M(t), q, t ומסמנים מה חסר.
  2. אחוז ← q: 1 + p100 או 1 − p100.
  3. t = מספר הפעמים (כל חצי שעה? כל שנתיים?).
  4. חסר M(t) ← מציבים. חסר M(0) ← מחלקים ב־qt.
  5. חסר q ← שורש מסדר t, ואז p.
  6. חסר t ← ln, ומעגלים לפי השאלה.
  7. השוואה ← אותו t לשתי הכמויות.
מתמטריק · eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות