📋 סיכום ונוסחאותאינטגרלים: פונקציה קדומה, שטחים, זיהוי הנגזרת הפנימית ואינטגרל צובר

5 יחידות · שאלון 571 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן

⬅️ חזרה לקורס: אינטגרלים – 571

1. אינטגרל של פולינום ופונקציה קדומה

📐 אינטגרל של חזקה

∫xⁿdx = xⁿ⁺¹n + 1 + c

מוסיפים 1 למעריך ומחלקים במעריך החדש · מספר שכופל נשאר

📐 מספר לבד

∫a dx = ax + c · תמיד + c

📐 פונקציה קדומה

f(x) = ∫f'(x)dx

את c מוצאים מנקודה על הגרף: מציבים x ו־y

∫(6x² − 4x + 8)dx = 2x³ − 2x² + 8x + c

פונקציה קדומה: f'(x) = 2x, הגרף עובר ב־(1, 5)
f(x) = x² + c ← 5 = 1 + c ← c = 4 ← f(x) = x² + 4

🔹 בדיקה: גוזרים את התשובה ומקבלים את מה שבתוך האינטגרל.
🔹 שבר עם מספר במכנה כותבים ככפל: x³3 = 13x³

2. חישוב שטחים

📐 שטח מתחת לגרף

S = ∫baf(x)dx

הגבולות על ציר x: הגדול למעלה, הקטן למטה · בשטחים בלי c

📐 שטח בין שני גרפים

S = ∫ba(גבוה − נמוך)dx

גבולות: נקודות חיתוך (עם ציר x: y = 0; בין גרפים: משווים) או ישרים נתונים.
מי מגביל מלמעלה ומי מלמטה.
אינטגרל בלי c, ואז "קו" עם הגבולות.
מציבים: (גדול) פחות (קטן).

y = −x² + 4 וציר x: חיתוך x = ±2
∫2−2(−x² + 4)dx = (−x³3 + 4x)|2−2 = 323 = 1023

y = −x² + 4 (כחול), השטח (תכלת) בין x = −2 ל־x = 2: 1023

גבוה פחות נמוך: הפרבולה y = x² − 10x + 21 (כחול) פחות המשיק y = −4 (ירוק חזק), בין x = 3 (סגול) ל־x = 5: S = 83

🔹 שטח מתחת לציר x: האינטגרל יוצא שלילי, והשטח הוא המספר החיובי.
🔹 "גבוה פחות נמוך": המינוס חל על כל הסוגריים של הפונקציה התחתונה.

3. תרגול בגרויות: אינטגרל של פולינום

חקירה רגילה: חיתוך עם הצירים, קיצון, משיק (m = f'(x₁)).
משרטטים ומסמנים את השטח המבוקש.
גבולות על ציר x מנקודות החיתוך או מהנתונים.
שטח שמורכב משני חלקים ← שני אינטגרלים, ומחברים.
פרמטר בשטח ← משווים את האינטגרל לשטח הנתון ופותרים.

🔹 בקורס: 2010 חורף, 2015 א, 2020 א, 2020 ב, 2021 א, 2021 מועד מיוחד.

4. אינטגרל של פונקציה מורכבת ופונקציית מנה

📐 פונקציה מורכבת

∫(ax + b)ⁿdx = (ax + b)ⁿ⁺¹a(n + 1) + c

לא פותחים סוגריים · מחלקים בנגזרת הפנימית a · לא בדף הנוסחאות

📐 x במכנה: מעלים למונה

1xⁿ = x⁻ⁿ

∫1(ax + b)ⁿdx = (ax + b)⁻ⁿ⁺¹a(−n + 1) + c

∫(2x + 4)³dx = (2x + 4)⁴2 · 4 + c = (2x + 4)⁴8 + c

שטח: f(x) = x + 4x² בין x = 1 ל־x = 2
∫21(x + 4x⁻²)dx = (x²2 − 4x)|21 = 0 − (−3.5) = 3.5

f(x) = x + 4x² (כחול), השטח (תכלת) בין x = 1 ל־x = 2 (סגול) שווה 3.5

🔹 מספר במכנה מוציאים החוצה: 12x⁵ = 12 · 1x⁵
🔹 מינוס במכנה אפשר להוציא לפני השבר.

5. אינטגרלים עם שורשים

📐 שורש

∫12√xdx = √x + c

במכנה חייב להיות 2 כפול השורש

📐 שורש של ביטוי לינארי

∫12√nx + bdx = √nx + bn + c

מחלקים בנגזרת הפנימית n

חסר 2 במכנה? מוסיפים 2 במכנה וגם במונה:
∫3√xdx = 6∫12√xdx = 6√x + c

∫12√2x + 3dx = √2x + 32 + c

6. אינטגרל עם חלוקת פולינום

📐 כשמעלת המונה גדולה או שווה למעלת המכנה

מונהמכנה = מנה + שאריתמכנה

חלוקת פולינומים: האיבר הראשון חלקי האיבר הראשון, כופלים, מחסירים.
כותבים מחדש: מנה ועוד שארית חלקי המכנה.
אינטגרל לכל איבר, ומוסיפים c.

x² + 6x + 10x + 3 = x + 3 + 1x + 3
∫(x + 3 + 1x + 3)dx = x²2 + 3x + ln|x + 3| + c

7. אינטגרל עם זיהוי הנגזרת הפנימית

📐 הנוסחה מהנוסחאון

∫f[u(x)] · u'(x)dx = F[u(x)] + C

📐 הנוסחה המפורטת

∫(f(x))ⁿ · f'(x)dx = (f(x))ⁿ⁺¹n + 1 + C

מזהים את f(x) שבתוך הסוגריים ואת החזקה n.
בודקים שמה שכופל הוא בדיוק f'(x).
חזקה ועוד 1, חלקי החזקה החדשה.
מסדרים ומוסיפים c.

∫(x² + 1)³ · 2x dx = (x² + 1)⁴4 + c

📐 עם שורש

√f = f¹² · 1√f = f⁻¹²

∫2x√x² + 1dx = ∫(x² + 1)⁻¹² · 2x dx = 2√x² + 1 + c

🔹 חסר מספר בנגזרת? כופלים ומחלקים באותו מספר, ומוציאים אותו מחוץ לאינטגרל.

8. סעיפי חשיבה ואינטגרל צובר

הזזה f(x) − k	הגרף יורד k; השטח החדש = השטח הנתון S ועוד (או פחות) מלבן
פונקציה אי־זוגית	∫a−af(x)dx = 0 – השטחים שווים, האינטגרלים נגדיים
נגזרת שנייה	∫f"(x)dx = f'(x)
שטח מתחת לציר x	האינטגרל שלילי, השטח חיובי

📐 אינטגרל צובר

g(t) = ∫t0f(x)dx

צוברים שטח חיובי (f מעל ציר x)	g עולה
צוברים שטח שלילי	g יורדת
חיתוך של f עם ציר x	קיצון של g (מחיובי לשלילי ← מקסימום)
קיצון של f	נקודת פיתול של g
שטח חיובי = שטח שלילי	g חוזרת ל־0

f(x) = x² − 4x + 3 (כחול) ו־g(t) = ∫t0f(x)dx (ירוק חזק): מקסימום של g ב־(1, 113), מינימום ב־(3, 0) (שם f חותכת את ציר x), פיתול ב־(2, 23) (סגול) (קיצון של f)

🔹 בקורס: שאלות מבגרויות 2020, 2021, 2023 ו־2023 מועד ב (אינטגרל מצטבר), וסעיף עם פרמטר בזיהוי הנגזרת הפנימית.

מתמטריק · eldadh.co.il