שיעור 23- פתרון בגרות קיץ 2023

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון פתרנו את שאלת חקירת e מבגרות קיץ 2023 מועד א, שאלון 472 (4 יחידות): נקודות חיתוך, הוכחת הפונקציה, קיצון, סקיצה, חיתוך עם g(x) ושטח.

🔵 סעיף א: נקודות החיתוך של הפונקציה f(x) עם הצירים

נתונה הפונקציה f(x) = e^x·(e^x − 6)² המוגדרת לכל x. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

x = 0:

f(0) = e⁰·(e⁰ − 6)²

= 1·(−5)² = 25

(0, 25)

y = 0:

0 = e^x·(e^x − 6)²

e^x = 0 – אין פתרון, כי e^x > 0 עבור כל x

(e^x − 6)² = 0 → e^x − 6 = 0

e^x = 6

לפי e^x = a → x = ln a: x = ln6

תשובה: (0, 25) , (ln6, 0)

🟣 סעיף ב: הוכחה ש־f(x) = e^3x − 12e^2x + 36e^x

הראו כי מתקיים: f(x) = e^3x − 12e^2x + 36e^x

הצבה (לא חובה, אבל עוזר): e^x = t

f(x) = t(t − 6)²

= t(t² − 12t + 36)

= t³ − 12t² + 36t

חוזרים להצבה:

= (e^x)³ − 12(e^x)² + 36·e^x

בחוקי חזקות (e^x)³ = e^3x:

תשובה: f(x) = e^3x − 12e^2x + 36e^x

🟢 סעיף ג: נקודות הקיצון של f(x) וסוגן – נגזרת והצבה t

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

נגזרת של e: (e^f(x))′ = f′(x)·e^f(x)

f′(x) = 3·e^3x − 12·2·e^2x

+ 36·e^x = 0

הצבה e^x = t:

3t³ − 24t² + 36t = 0 /:3

t³ − 8t² + 12t = 0

t(t² − 8t + 12) = 0

לסוגריים – במחשבון mode 5 3:

t = 0 , t = 2 , t = 6

e^x = 0 – אין פתרון

e^x = 2 → x = ln2

e^x = 6 → x = ln6

מציבים בפונקציה: f(ln2) = 32 , f(ln6) = 0

בדיקה בנגזרת: f′(0) > 0 , f′(ln3) < 0 , f′(ln7) > 0

x	x=0	ln2	x=ln3	ln6	x=ln7
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	↗	max	↘	min	↗

תשובה: max (ln2, 32) , min (ln6, 0)

🔷 סעיף ד: סקיצה של גרף הפונקציה f(x)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נעזרים בנקודות החיתוך ובנקודות הקיצון. אין עוד נקודות חיתוך, לכן משמאל הגרף מתקרב לציר x בלי לחתוך אותו.

תשובה: ראו סקיצה

🔵 סעיף ה(1): נקודת החיתוך של f(x) עם g(x) = e^3x

נתונה הפונקציה g(x) = e^3x העולה לכל x. (1) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם גרף הפונקציה g(x).

משווים בין הפונקציות:

e^3x = e^3x − 12e^2x + 36e^x

0 = −12e^2x + 36e^x

הצבה e^x = t וחילוק ב־12:

0 = t² − 3t → t(t − 3) = 0

t = 0 , t = 3

e^x = 0 – אין פתרון

e^x = 3 → x = ln3

מציבים ב־g(x): g(ln3) = e^3·ln3 = 27

תשובה: (ln3, 27)

🟣 סעיף ה(2): סקיצה של g(x) בקו מקווקו באותה מערכת צירים

באותה מערכת צירים שבה סרטטתם את גרף הפונקציה f(x), סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x) בקו מקווקו.

נקודת חיתוך עם ציר y: g(0) = e⁰ = 1 → (0, 1). עם ציר x – אין (e^3x > 0).

הפונקציה עולה ועוברת ב־(0, 1) וב־(ln3, 27). השטח של סעיף ה(3) צבוע:

תשובה: ראו סקיצה

🟢 סעיף ה(3): השטח בין f(x), g(x) וציר y – אינטגרל של e

מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x), על ידי גרף הפונקציה g(x) ועל ידי ציר ה־y.

בין x = 0 ל־x = ln3 הגרף של f(x) מעל g(x), לכן f(x) − g(x):

S = ∫ln30e^3x − 12e^2x

+ 36e^x − e^3x dx

= ∫ln30−12e^2x + 36e^x dx

אינטגרל של e: ∫e^f(x) = e^f(x)f′(x)

= [−12e^2x2 + 36e^x]

= [−6e^2x + 36e^x]₀^ln3

= (−6e^2ln3 + 36e^ln3)

− (−6e⁰ + 36e⁰)

= 54 − 30

תשובה: S = 24

💡 לזכור

e^x = 0 – אין פתרון. בהצבה e^x = t הכל נהיה פולינום, ובסוף חוזרים ל־x = ln a. שטח בין שני גרפים: העליון פחות התחתון.

חקירת פונקציית e שאלון 472- 4 יחידות פרק אחד25 שיעורים18 שבועות

כניסה לשיעורים