שיעור 12 -מציאת נקודות קיצון

פתרון בגרויות בפונקציה מעריכית

חקירת פונקציית e‏ · 4 יחידות · שאלון 472

📄 דף הסבר: נקודות קיצון של פונקציית e

כדי למצוא נקודות קיצון גוזרים ומשווים את הנגזרת ל־0, ואז בודקים בטבלה אם הנקודה היא מקסימום או מינימום.

הכלל החשוב

e^□ > 0

e בחזקת משהו – לא משנה מה כתוב בחזקה – תמיד גדול מ־0. לכן e^□ = 0 אין פתרון.

מותר לחלק ב־e^x

/:e^x e^x ≠ 0

כשהנגזרת מסודרת עם גורם משותף e, מחלקים בו – רק לרשום (גם בבגרות) ש־e^x ≠ 0.

הנגזרת של e

e^f(x) → f'(x)·e^f(x)

ובמכפלה: f·g → f'·g + g'·f

מקסימום או מינימום?

מציבים בנגזרת מספר לפני ומספר אחרי הנקודה. יורדת ↘ ואז עולה ↗ – min. עולה ↗ ואז יורדת ↘ – max. אפשר להציב רק בסוגריים – e תמיד חיובי ולא משפיע על הסימן.

שלביםמציאת נקודות קיצון וסוגן

1גוזרים

מוצאים את f'(x) ומסדרים.

2משווים ל־0

f'(x) = 0, מחלקים ב־e בחזקה (≠ 0) ומוצאים את x.

3טבלה

מציבים בנגזרת מספר לפני ואחרי – ↗ / ↘ – ומחליטים max או min.

4מוצאים את y

מציבים את x בפונקציה המקורית וכותבים את הנקודה וסוגה.

גוזרים ← משווים ל־0 ← טבלה ← y מהפונקציה ← נקודה + סוג ✅

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון מצאנו נקודות קיצון וסוגן לשתי פונקציות e: אחת בלי נקודות קיצון, ואחת עם נגזרת מכפלה וטבלה שמראה מינימום.

🔵 תרגיל 1: נקודות קיצון של f(x) = e^2x – אין פתרון

מצא נקודות קיצון וסוגן (אם יש) לפונקציה f(x) = e^2x

e^f(x) → f'(x)·e^f(x)

f'(x) = 2·e^2x = 0 /:2

e^2x = 0

אבל e^□ > 0 תמיד ← אין פתרון

תשובה: אין נקודות קיצון

🟢 תרגיל 2: נקודת הקיצון של f(x) = xe^x וסוגה – נגזרת מכפלה

מצא נקודות קיצון וסוגן (אם יש) לפונקציה f(x) = xe^x

נגזרת מכפלה: f·g → f'·g + g'·f

f'(x) = 1·e^x + e^x·x = 0

מחלקים: /:e^x , e^x ≠ 0

y' = 1 + x = 0

x = −1

מציבים ב־1 + x מספר לפני ומספר אחרי:

x = −2: 1 + (−2) = −1 < 0

x = 0: 1 + 0 = 1 > 0

x	−2	−1	0
f'(x)	−	0	+
f(x)	↘	min	↗

מציבים בפונקציה המקורית:

f(−1) = −1·e⁻¹ = −1·1e = −1e

תשובה: (−1 , −1e) min

💡 לזכור

e^□ > 0 תמיד – לכן מחלקים ב־e בחזקה (רושמים שהוא שונה מ־0), והסימן של הנגזרת נקבע רק לפי מה שנשאר בסוגריים.

חקירת פונקציית e שאלון 472- 4 יחידות פרק אחד25 שיעורים18 שבועות

כניסה לשיעורים