שיעור 16-פתרון בגרות 2023 א

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בגרות 2023 מועד א (שאלון 472) – שאלת גדילה בריבית: בחירת הפונקציה המתאימה, הצבה, בניית פונקציית חוב, זיהוי גרף ומציאת השנה שבה חוב אחד עובר את השני בעזרת ln.

🔵 סעיף א: בחירת הפונקציה f(t) המתארת חוב שגדל בריבית של 1.5% בשנה

במערך מסחרי יש שני סוגים של חוב: חוב של הבנק ללקוח כאשר הלקוח מפקיד כסף, וחוב של הלקוח לבנק כאשר הבנק מלווה כסף ללקוח. כאשר הבנק חייב כסף ללקוח, הוא משלם ללקוח ריבית בגובה 1.5% מן החוב בכל שנה. בתחילת שנת 2023 הפקיד דני בבנק 10,000 שקל. א. איזו מבין הפונקציות (1)–(4) שלפניכם מתארת את גובה החוב של הבנק לדני לפי השנים?
(1) f(t) = 10,000 · 1.015^t (2) f(t) = 10,150 · 1.02^t
(3) f(t) = 10,150 · 2^t (4) f(t) = 10,000 · 1.5^t

ריבית – גדילה של 1.5%:

q = 1 + p100

q = 1 + 1.5100

q = 1.015

רק בפונקציה (1) מופיע 1.015, וגם M₀ = 10000 מתאים.

תשובה: פונקציה (1) f(t) = 10000 · 1.015^t

🟢 סעיף ב: חישוב החוב של הבנק לדני כעבור 20 שנה – הצבה t = 20

ב. כמה כסף יהיה הבנק חייב לדני כעבור 20 שנה מן היום שבו הפקיד דני את הכסף?

M(t) = M₀ · q^t

f(t) = 10000 · 1.015^t

מציבים t = 20:

f(20) = 10000 · 1.015²⁰

f(20) = 13468.55

תשובה: 13468.55 שקל

🟣 סעיף ג: מציאת פונקציית החוב g(t) כשהריבית היא 15% בשנה

כאשר הבנק מלווה כסף ללקוח, הוא גובה ממנו ריבית של 15% מגובה החוב בכל שנה. בתחילת שנת 2023 לוותה יעל 1,000 שקל מן הבנק. ג. מצאו את הפונקציה g(t) המתארת את גובה החוב של יעל לבנק לפי השנים.

ריבית – גדילה:

p = 15%

q = 1 + 15100

q = 1.15

M₀ = 1000

במקום M(t) כותבים g(t):

M(t) = M₀ · q^t

תשובה: g(t) = 1000 · 1.15^t

🔷 סעיף ד: זיהוי הגרף המקווקו לפי הכמות ההתחלתית M₀ ולפי q

בסרטוט שלפניכם מתוארים הגרפים של הפונקציה f(t) ושל הפונקציה g(t). ד. איזו פונקציה מתאר הקו המקווקו? נמקו.

ציר אופקי: הזמן (שנים) · ציר אנכי: החוב (שקלים)

לפי החוב בהתחלה:

f(0) = 10000

g(0) = 1000

הקו המקווקו מתחיל גבוה יותר – ב־10000.

או לפי q:

f(t) : q = 1.015

g(t) : q = 1.15

ככל ש־q גדול יותר הגדילה מהירה יותר – הקו המקווקו עולה לאט יותר.

תשובה: הקו המקווקו – f(t) (החוב של הבנק לדני)

🔵 סעיף ה: מציאת השנה שבה החוב לדני קטן מהחוב של יעל – השוואה ו־ln

בתחילת כל שנה הבנק מברר את המאזן שלו. ה. בתחילת איזו שנה יגלה הבנק שהחוב שלו לדני קטן מן החוב של יעל לבנק?

דני – f(t)

יעל – g(t)

משווים:

1000 · 1.15^t = 10000 · 1.015^t

0.1 = 1.015^t1.15^t

0.1 = (1.0151.15)^t

0.1 = 0.8826^t

t = ln(0.1)ln(0.8826)

t = 18.43 ≈ 19

"בתחילת איזו שנה" – מעגלים כלפי מעלה:

2023 + 19 = 2042

תשובה: בתחילת שנת 2042

💡 לזכור

ריבית של p% בשנה היא גדילה: q = 1 + p100. כדי למצוא מתי חוב אחד עובר את השני – משווים את שתי הפונקציות, מחלקים, ומוצאים t בעזרת ln. "בתחילת איזו שנה" – מעגלים את t כלפי מעלה ומוסיפים לשנת ההתחלה.

גדילה ודעיכה-4 יחידות-שאלון 472. פרק אחד22 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים