אינטגרלים 5 יחידות-571-פונקציה קדומה, שטחים אינטגרל עם זיהוי הנגזרת הפנימית, אינטגרל צובר 8 פרקים44 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 40- חישוב אינטגרלים עם הנגזרת השנייה
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
מזהים מהגרפים מי הנגזרת ומי הנגזרת השנייה, ואז מוכיחים ששני שטחים שווים – בלי לדעת את הפונקציה: האינטגרל של f"(x) הוא f'(x) .
🔵 סעיף 1: איזה גרף הוא של f'(x) ואיזה של f"(x) ? נמק
בשרטוט שלפניכם מוצגים שני גרפים, I ו־II . אחד הגרפים הוא של פונקציית הנגזרת f'(x) והגרף האחר הוא של פונקציית הנגזרת השנייה f"(x) .
(1) איזה גרף הוא של f'(x) ואיזה גרף הוא של f"(x) ? נמקו.
(1) איזה גרף הוא של f'(x) ואיזה גרף הוא של f"(x) ? נמקו.
f'(x) ו־f"(x) מתנהגים כמו f(x) ו־f'(x) :
ל־f'(x) יש קיצון ← f"(x) = 0 ← חיתוך עם ציר x
בגרף II יש קיצון, אבל בגרף I אין שם חיתוך עם ציר x – לכן II לא יכול להיות f'(x) .
בכל נקודת קיצון של גרף I יש לגרף II חיתוך עם ציר x (x = −0.6 , x = 0.4 , x = 1).
תשובה: I ← f'(x) , II ← f"(x)
🟢 סעיף 2: הוכחה שהשטח המקווקו ברביע הרביעי שווה לשטח המנוקד ברביע הראשון
(2) הוכיחו שהשטח המוגבל על ידי גרף II וציר ה־x ברביע הרביעי (השטח המקווקו) שווה לשטח המוגבל על ידי גרף II , ציר ה־x וציר ה־y ברביע הראשון (השטח המנוקד).
השטח המקווקו – בין 0.4 ל־1 , מתחת לציר x:
∫10.4f"(x)dx = f'(x)|10.4
השטח מתחת לציר x, לכן כופלים ב־−1 כדי שיצא חיובי:
−1 · (f'(1) − f'(0.4))
מגרף I : f'(1) = 0
= −1 · (0 − f'(0.4))
= f'(0.4)
השטח המנוקד – בין 0 ל־0.4 :
∫0.40f"(x)dx = f'(x)|0.40
= f'(0.4) − f'(0)
מגרף I : f'(0) = 0 (ראשית הצירים)
= f'(0.4) − 0 = f'(0.4)
שני השטחים שווים ל־f'(0.4) .
תשובה: שני השטחים שווים ל־f'(0.4)
💡 לזכור
f'(x) היא פונקציה קדומה של f"(x) , לכן ∫baf"(x)dx = f'(b) − f'(a) . את הערכים של f' קוראים מהגרף שלה. שטח מתחת לציר x – כופלים ב־−1 .
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il