שיעור 63- נקודות פיתול ותחומי קעירות 1

נושא השיעור- מציאת נקודות פיתול ותחומי קעירות

מציאת נקודות פיתול:

נקודת פיתול היא נקודה על גרף פונקציה שבה הפונקציה משנה את כיוון הקעירות שלה. כלומר, היא עוברת מלהיות קעורה כלפי מעלה לקעורה כלפי מטה, או להיפך.

איך מוצאים נקודות פיתול?

1. נגזרת שנייה: נקודת פיתול היא נקודה שבה הנגזרת השנייה של הפונקציה מתאפסת או אינה מוגדרת.

2. בדיקת סימן הנגזרת השנייה: כדי לוודא שמדובר בנקודת פיתול, בודקים את סימן הנגזרת השנייה משני צידי הנקודה החשודה. אם הסימן משתנה, אזי מדובר בנקודת פיתול.

לסיכום, שלבי מציאת נקודות פיתול:

1. מצא את הנגזרת השנייה של הפונקציה.

2. פתר את המשוואה f"(x) = 0 או מצא את הנקודות שבהן הנגזרת השנייה אינה מוגדרת.

3. בדוק את סימן הנגזרת השנייה משני צידי כל נקודה חשודה. אם הסימן משתנה, מדובר בנקודת פיתול.

דוגמה

נמצא את נקודות הפיתול של הפונקציה f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x.

1. נגזרת ראשונה: f'(x) = 3x^2 – 6x + 2

2. נגזרת שנייה: f"(x) = 6x – 6

3. פתרון המשוואה f"(x) = 0: 6x – 6 = 0 x = 1

4. בדיקת סימן:

   • עבור x < 1, f"(x) < 0 (קעורה כלפי מטה)

   • עבור x > 1, f"(x) > 0 (קעורה כלפי מעלה)

מסקנה: x = 1 היא נקודת פיתול.