שיעור 13- חקירה עם מכפלה

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון חקרנו פונקציה עם מכפלה של פולינום ופונקציית e: נקודות חיתוך עם ציר x, נקודות קיצון וסוגן בעזרת נגזרת מכפלה וטבלה, וסקיצה של הגרף.

נתונה הפונקציה f(x) = (x² − 2)·e^{−2x + 1}. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר x.

חיתוך עם ציר x: y = 0

(x² − 2)·e^{−2x + 1} = 0

מכפלה שווה 0 ← הראשון 0 או השני 0:

e^{−2x + 1} > 0 ← אין פתרון

x² − 2 = 0

x² = 2

x = ±√2 ≈ ±1.41

תשובה: (±√2 , 0)

מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) וקבע את סוגן.

נגזרת מכפלה: f·g → f'·g + g'·f

e^f(x) → f'(x)·e^f(x)

f'(x) = 2x·e^{−2x + 1}

+ (−2)·e^{−2x + 1}·(x² − 2) = 0

מצמצמים ב־e^{−2x + 1} – הוא תמיד גדול מ־0 (אף פעם לא 0):

2x − 2(x² − 2) = 0

2x − 2x² + 4 = 0 /:(−2)

x² − x − 2 = 0

x₁ = −1 , x₂ = 2

הפונקציה מוגדרת לכל x. מציבים בנגזרת (e תמיד חיובי) מספרים לפני, בין ואחרי:

מציבים בפונקציה המקורית:

f(−1) = (1 − 2)·e³

= −e³ ≈ −20.08

f(2) = (4 − 2)·e⁻³

= 2e⁻³ ≈ 0.099

תשובה: min (−1 , −e³) , max (2 , 2e⁻³)

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

מסמנים את נקודות החיתוך (±√2 , 0) ואת נקודות הקיצון, ומחברים לפי הטבלה: יורדת עד המינימום, עולה עד המקסימום, ואחר כך יורדת.

אחרי המקסימום אין עוד נקודת חיתוך – הגרף מתקרב לציר x (y = 0 אסימפטוטה אופקית, נובע מהסקיצה).

תשובה: סקיצה עם חיתוך ב־±√2, min (−1 , −e³) ו־max (2 , 2e⁻³)

במכפלה עם e: e^□ > 0 תמיד – לכן בחיתוך עם ציר x ובהשוואת הנגזרת ל־0 מצמצמים בו, ובטבלה הסימן נקבע רק לפי מה שנשאר.