שיעור 3-פתירת משוואות מערכיות 2 -e

פתרון בגרויות בפונקציה מעריכית

חקירת פונקציית e‏ · 4 יחידות · שאלון 472

📄 דף הסבר: הנוסחה x = ln a ושיטת ההצבה e^x = t

איך מוציאים את x מהחזקה, גורם משותף, ומשוואות עם e^2x בעזרת הצבה

הנוסחה

e^x = a
↓
x = ln a

a מספר כלשהו (חיובי). אפשר להשאיר ln בתשובה, או לחשב במחשבון: ln2 = 0.693.

הצבה

e^x = t

e^2x = (e^x)² = t² (בחוקי חזקות x·2 = 2x). מקבלים משוואה ריבועית ב־t.

גורם משותף

כשיש x או e^x בכל האיברים – מעבירים הכל לצד אחד (= 0) ומוציאים גורם משותף. או הראשון = 0 או מה שבסוגריים = 0.

לא לשכוח

e^x = 0 או e^x = מספר שלילי ← אין פתרון, כי e^x > 0 תמיד.

שלביםמשוואה עם e^2x ו־e^x – שיטת ההצבה

1מציבים

e^x = t , ובמקום e^2x רושמים t².

2פותרים ב־t

משוואה ריבועית: גורם משותף, או במחשבון mode 5 3.

3חוזרים להצבה

כל פתרון של t נותן e^x = t.

4מוצאים x

e^x = a → x = ln a. אם t ≤ 0 – אין פתרון.

e^x = t ← משוואה ב־t ← חוזרים להצבה ← x = ln a ✅

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון פתרנו שש משוואות עם e: בעזרת הנוסחה x = ln a, בהוצאת גורם משותף (x או e^x), ובשיטת ההצבה e^x = t.

🔵 תרגיל ו: e^x = 2 – הנוסחה x = ln a

פתרו: e^x = 2

הנוסחה: e^x = a → x = ln a

אצלנו a = 2:

x = ln2

אפשר להשאיר כך בבגרות. במחשבון: ln2 = 0.693

תשובה: x = ln2 (≈ 0.693)

🟣 תרגיל ז: גורם משותף x – −3x + x·e^x = 0

פתרו: −3x + x·e^x = 0

גורם משותף x:

x(−3 + e^x) = 0

או x = 0

או −3 + e^x = 0

e^x = 3

x = ln3

תשובה: x = 0 , x = ln3

🟢 תרגיל ח: גורם משותף e^x – 4xe^x = 2e^x

פתרו: 4xe^x = 2e^x

מעבירים הכל לצד אחד:

4x·e^x − 2e^x = 0

גורם משותף e^x:

e^x(4x − 2) = 0

e^x = 0 ← אין פתרון

4x − 2 = 0

4x = 2

תשובה: x = 12

🔷 תרגיל ט: שיטת ההצבה e^x = t – e^2x − 4e^x = 0

פתרו: e^2x − 4e^x = 0

הצבה: e^x = t

e^2x = (e^x)² = t²

t² − 4·t = 0

t(t − 4) = 0

t = 0 , t = 4

חוזרים להצבה:

e^x = 0 ← אין פתרון

e^x = 4 → x = ln4

תשובה: x = ln4

🔵 תרגיל י: הצבה ומשוואה ריבועית – e^2x + 8·e^x + 15 = 0

פתרו: e^2x + 8·e^x + 15 = 0

הצבה: e^x = t

t² + 8t + 15 = 0

במחשבון mode 5 3: a = 1 , b = 8 , c = 15

t = −3 , t = −5

חוזרים להצבה:

e^x = −3 ← אין פתרון

e^x = −5 ← אין פתרון

כי e^x > 0 תמיד.

תשובה: אין פתרון

🟣 תרגיל יא: גורם משותף e^x – x²·e^x − 4e^x = 0

פתרו: x²·e^x − 4e^x = 0

גורם משותף e^x:

e^x·(x² − 4) = 0

e^x = 0 ← אין פתרון

x² − 4 = 0

x² = 4

תשובה: x = ±2

💡 לזכור

e^x = a → x = ln a. גורם משותף ← כל גורם = 0. e^2x ו־e^x ← הצבה e^x = t, ובסוף חוזרים להצבה. e^x ≤ 0 ← אין פתרון.

חקירת פונקציית e שאלון 472- 4 יחידות פרק אחד25 שיעורים18 שבועות

כניסה לשיעורים

שיעור 3-פתירת משוואות מערכיות 2 -e

📄 דף הסבר: הנוסחה x = ln a ושיטת ההצבה ex = t

הנוסחה

הצבה

גורם משותף

לא לשכוח

1מציבים

2פותרים ב־t

3חוזרים להצבה

4מוצאים x

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

🔵 תרגיל ו: ex = 2 – הנוסחה x = ln a

🟣 תרגיל ז: גורם משותף x – −3x + x·ex = 0

🟢 תרגיל ח: גורם משותף ex – 4xex = 2ex

🔷 תרגיל ט: שיטת ההצבה ex = t – e2x − 4ex = 0

🔵 תרגיל י: הצבה ומשוואה ריבועית – e2x + 8·ex + 15 = 0

🟣 תרגיל יא: גורם משותף ex – x2·ex − 4ex = 0

💡 לזכור

Modal title

📄 דף הסבר: הנוסחה x = ln a ושיטת ההצבה e^x = t

🔵 תרגיל ו: e^x = 2 – הנוסחה x = ln a

🟣 תרגיל ז: גורם משותף x – −3x + x·e^x = 0

🟢 תרגיל ח: גורם משותף e^x – 4xe^x = 2e^x

🔷 תרגיל ט: שיטת ההצבה e^x = t – e^2x − 4e^x = 0

🔵 תרגיל י: הצבה ומשוואה ריבועית – e^2x + 8·e^x + 15 = 0

🟣 תרגיל יא: גורם משותף e^x – x²·e^x − 4e^x = 0