גדילה ודעיכה-4 יחידות-שאלון 472. פרק אחד22 שיעורים10 שבועות
שיעור 18-פתרון בגרות 2024 חורף
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בגרות חורף 2024 (שאלון 472) – שני קרחונים בדעיכה: זיהוי גרפים, התאמת פונקציות, הצבה, מציאת הזמן שבו המשקלים שווים בעזרת ln, ואחוז גדילה בעזרת שורש עשירי.
🔵 סעיף א: איזה גרף מתאים לקרחון שקצב הפשרתו מהיר יותר – לפי הסרטוט
בים הצפוני יש שני קרחונים A ו־B. במשך השנים הקרחונים מפשירים ומאבדים ממשקלם. חוקרת מדדה את המשקל של כל אחד מן הקרחונים בכל קיץ במשך 10 שנים. לפניכם סרטוט המתאר את המשקל של כל קרחון (באלפי טונות) לפי שנים. א. מבין הגרפים I ו־II, קבעו איזה גרף מתאים לקרחון שקצב הפשרתו מהיר יותר. נמקו את קביעתכם.
ציר אופקי: הזמן (בשנים) · ציר אנכי: משקל הקרחונים (באלפי טונות)
בהתחלה המשקל בגרף I גדול יותר,
ולאחר כמה שנים הוא משתווה לגרף II.
אילו II היה מפשיר מהר יותר – הם לא היו משתווים.
תשובה: גרף I מפשיר מהר יותר
🟢 סעיף ב: התאמת הפונקציות f(t) ו־g(t) לגרפים לפי M₀ ולפי q
הפונקציה f(t) = 7 · (0.96)t מתארת את המשקל של קרחון A בכל שנה. הפונקציה g(t) = 10 · (0.91)t מתארת את המשקל של קרחון B בכל שנה. ב. קבעו בנוגע לכל פונקציה מהו הגרף המתאר אותה. נמקו את קביעתכם.
Mt = M0 · qt
לפי המשקל בהתחלה:
f : M0 = 7
g : M0 = 10
או לפי q:
f : q = 0.96
g : q = 0.91
ככל ש־q קטן יותר – מאבדים יותר משקל בכל שנה (9% לעומת 4%).
תשובה: f(t) ← II
g(t) ← I
🟣 סעיף ג: השוואת משקלי הקרחונים אחרי 7 שנים – הצבה t = 7
ג. המשקל של איזה משני הקרחונים היה גדול יותר לאחר 7 שנים מתחילת המדידות?
f(7) = 7 · 0.967 = 5.26
g(7) = 10 · 0.917 = 5.17
5.26 > 5.17
תשובה: המשקל של f(t) – קרחון A (גרף II) גדול יותר
🔷 סעיף ד: מציאת הזמן t שבו משקלי הקרחונים שווים – השוואה ו־ln
ד. מצאו לאחר כמה שנים מתחילת המדידות היה המשקל של קרחון A שווה למשקל של קרחון B.
f(t) = 7 · 0.96t
g(t) = 10 · 0.91t
t = ?
7 · 0.96t = 10 · 0.91t
0.7 = 0.91t0.96t
0.7 = (0.910.96)t
0.7 = 0.9479t
ln 0.7ln 0.9479 = t
t = 6.67
תשובה: לאחר 6.67 שנים
🔵 סעיף ה: מציאת אחוז הגדילה השנתי כשהכמות גדלה פי 1.5 ב־10 שנים – שורש עשירי
החוקרת בדקה גם את מספר כלבי הים באזור זה. היא גילתה שמספר כלבי הים באזור זה גדל בכל שנה באחוז קבוע. לאחר 10 שנים מתחילת המדידות היה מספר כלבי הים גדול פי 1.5 ממספרם בתחילת המדידות. ה. מצאו בכמה אחוזים גדל מספר כלבי הים בכל שנה.
Mt = 1.5M0 t = 10
1.5M0 = M0 · q10
q = 10√1.5 = 1.041
גדילה:
1.041 = 1 + p100
0.041 = p100
p = 4.1%
תשובה: 4.1% בכל שנה
💡 לזכור
בדעיכה – ככל ש־q קטן יותר, הכמות יורדת מהר יותר.
כשהכמות גדלה "פי a" ב־t שנים:
Mt = a · M0
מצמצמים את M₀ ומוצאים את q בעזרת שורש מסדר t.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il